La formula di Eulero per i poliedri, un approccio laboratoriale

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1 10 SEMINARIO NAZIONALE SUL CURRICOLO VERTICALE Firenze, 10 maggio 2015 La formula di Eulero per i poliedri, un approccio laboratoriale Ivan Casaglia Liceo Scientifico Guido Castelnuovo Firenze

2 La formula di Eulero per i poliedri costituisce uno dei risultati più interessanti della geometria dello spazio [anche se il suo significato più profondo non può essere interamente compreso in una trattazione al livello di scuola superiore] I libri di testo più diffusi presentano la formula di Eulero (quando la presentano), scollegata dagli altri risultati, relegata ad una sorta di curiosità, talvolta accompagnata da qualche informazione sul suo significato topologico

3 Il problema del significato in matematica non può essere affrontato solo attraverso la modellizzazione ma anche ricostruendo il senso del fare matematica In questa prospettiva l approccio laboratoriale va inteso non solo come utilizzo di modelli fisici, ecc. (che è comunque cosa molto utile), ma come osservazione, scoperta, formulazione di ipotesi, verifica, validazione, generalizzazione

4 Questa traccia di percorso didattico si ispira ad una proposta di George Polya contenuta nel capitolo finale di La scoperta matematica (1962), dal titolo Indovinare e metodo scientifico Ripercorre il ragionamento condotto da Eulero nella prima delle tre memorie dedicata a questo argomento (in cui spiega come fu portato alla scoperta della formula, senza fornirne una dimostrazione)

5 Ha il merito di mostrare alcune caratteristiche del modo di procedere del pensiero matematico - ricerca della generalizzazione di un risultato già noto, - osservazione sperimentale di casi concreti - formulazione di una congettura (evidenziando quindi il momento induttivo del lavoro matematico) - ricerca di una dimostrazione

6 Che cosa serve per partire? Il concetto di poliedro (e questo è di per sé un bel problema: cosa definiamo come poliedro?) A partire dall analogia tra poliedri nello spazio e poligoni nel piano ci si chiede quali proprietà dei poligoni siano traducibili (cioè generalizzabili) anche per i poliedri e si considera in particolare la proprietà angolare dei poligoni la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è uguale a ( n 2) π

7 (1) Che cosa può prendere il posto degli angoli quando si passa dai poligoni ai poliedri? Diedri formati dalle facce? Angoli solidi nei vertici? Per i primi si può chiedere agli studenti di indagare in proprio, a partire da casi molto semplici (tetraedri) Per i secondi occorrerebbe definire preliminarmente il significato di addizione tra angoloidi In entrambi i casi la somma dipende, in generale, dalla forma del poliedro

8 Consideriamo il caso più semplice angoli delle facce (2) L osservazione può condurre alla scoperta Invitiamo gli studenti a costruire una tabella che permetta di raccogliere le osservazioni relative a diversi tipi di poliedri per vedere se si riesce a individuare qualche regolarità

9 poliedro f Somma angoli di una faccia α tetraedro 4 π 4π cubo 6 2π 12π ottaedro 8 π 8π

10 poliedro f Somma angoli di una faccia α 5 prisma 7 3π (basi) 2π (facce laterali) 2 3π + 5 2π = 16π 4 torre 9 2π (base e facce dei muri ) 5 2π + 4 π = 14π π (facce del tetto )

11 (3) L osservazione dovrebbe rivelare qualche regolarità, schema o legge Osserviamo qualche regolarità? No, se ci limitiamo a tentare di generalizzare in modo ingenuo, cercando una relazione tra numero delle facce [ f ] e somma degli angoli L osservazione ha più probabilità di dare risultati degni di nota se è guidata da qualche buona considerazione o intuizione idea guida

12 Nella tabella abbiamo sommato gli angoli faccia per faccia ; che cosa accade se sommiamo gli angoli vertice per vertice? Non siamo in grado di farlo perché non sappiamo quanto vale la somma degli angoli che concorrono in uno stesso vertice, ma sappiamo che questa somma deve essere minore di 2π e quindi se indichiamo con v il numero dei vertici del poliedro α < 2πv Verifichiamo questa relazione nella tabella considerata

13 poliedro f α v 2πv tetraedro 4 4π 4 8π cubo 6 12π 8 16π ottaedro 8 8π 6 12π

14 poliedro f α v 2πv 5 prisma 7 16π 10 20π 4 torre 9 14π 9 18π

15 Questa nuova tabella permette di osservare che, in tutti i casi considerati 2πv α = 4π che può essere riscritta nella forma α = 2π ( v 2) Tenuto conto che nei poligoni il numero dei vertici è uguale al numero dei lati, questa relazione si presenta come una naturale estensione ai poliedri della proprietà angolare dei poligoni

16 (4) Si tratta di una coincidenza o è una proprietà di carattere generale? Per cominciare invitiamo gli studenti a considerare altri casi, oltre a quelli già visti, per verificare se vale ancora la proprietà [cioè mettiamo alla prova la proprietà appena scoperta]

17 poliedro f α v 2πv dodecaedro 12 36π 20 40π icosaedro 20 20π 12 24π n prisma n + 2 ( 4n 4) π 2n 4πn n piramide n + 1 ( 2n 2) π n + 1 ( 2n + 2) π

18 Considerata la varietà dei casi esaminati, la proprietà α = 2π ( v 2) può essere considerata una congettura L osservazione dà solo generalizzazioni ipotetiche, congetture, non dimostrazioni Controllate la vostra congettura: esaminate i casi particolari e le relative conseguenze Qualunque caso particolare o conseguenza che sia verificata aggiunge credito alla congettura

19 Alla ricerca di una dimostrazione (5) Si può dimostrare questa proprietà? Un dimostrazione guidata si tratta di generalizzare il procedimento utilizzato per compilare la tabella Consideriamo un poliedro con f facce e immaginiamo di numerarle, indicando con - s 1 il numero dei lati (spigoli) della prima faccia - s 2 il numero dei lati della seconda faccia ecc. Andiamo quindi a sommare gli angoli faccia per faccia

20 α = π ( s 1 2) + π ( s 2 2) π ( s f 2) = π ( s + s s 2f ) 1 2 f La somma s 1 + s s f rappresenta la somma dei lati di tutte le facce e poiché ogni spigolo del poliedro è lato di due di queste facce s 1 + s s f = 2s Mettendo insieme queste due relazioni possiamo scrivere α = π ( 2s 2f ) = 2π ( s f )

21 Questa relazione (a differenza della congettura) è stata dimostrata Se combiniamo questa relazione con la congettura, eliminando α, otteniamo 2π ( v 2) = 2π ( s f ) da cui la formula di Eulero v s + f = 2

22 (6) Nel nostro tentativo di dimostrare la congettura abbiamo scoperto questa nuova relazione che è equivalente alla prima Una dimostrazione della congettura permette di provare anche la formula di Eulero (e viceversa) Una prima osservazione: se immaginiamo di poter deformare il poliedro con continuità, cioè senza strappi, in modo che la connessione tra vertici, spigoli e facce resti immutata, il poliedro di modifica, ma i numeri v, s e f rimangono gli stessi

23 Una simile trasformazione modifica i singoli angoli delle facce, ma non modifica la somma α che, come abbiamo già dimostrato, dipende soltanto dal numero degli spigoli e dal numero delle facce Immaginiamo allora di appoggiare una base del poliedro su un piano orizzontale (il piano di un tavolo) e immaginiamo di allargare questa base in modo che l intero poliedro possa essere proiettato ortogonalmente (o schiacciato ) su questa base, in modo che i vertici che non appartengono alla base allargata vengano proiettati in punti interni alla base stessa Si ottengono, in questo modo, i diagrammi di Schlegel

24 Si può proporre la costruzione del più semplice e invitare gli studenti a costruire gli altri

25 (7) Considerando il diagramma di Schlegel di un generico poliedro possiamo calcolare α

26 Il diagramma si Schlegel rappresenta un poliedro schiacciato costituito da due fogli poligonali sovrapposti: - il foglio inferiore (la base allargata) che è un unico poligono - il foglio superiore che è suddiviso in f 1 poligoni Indichiamo con n il numero dei lati del poligono che racchiude i due fogli (cioè il numero degli spigoli della faccia allargata) e andiamo a calcolare α.

27 Foglio inferiore la somma degli angoli interni è ( n 2)π Foglio superiore la somma degli angoli del bordo è la stessa di quella del foglio inferiore, ( n 2)π la somma degli angoli interni può essere ottenuta sommando vertice per vertice : - la somma degli angoli in ciascun vertice è 2π - i vertici interni al foglio sono v n

28 Riassumendo α = ( n 2)π s. angoli foglio inferiore s. angoli foglio sup. + ( n 2)π + ( v n)2π = 2π ( v 2) (8) La formula di Eulero può essere dimostrata direttamente considerando il diagramma di Schelegel di un poliedro generico rete piana (9) Un curiosità: i radiolari I radiolari sono protozoi caratterizzati da uno scheletro siliceo

29 A colpo d occhio: un poliedro con facce esagonali (necessariamente non regolari)

30 Se si guarda con maggiore attenzione si individuano delle facce pentagonali È un caso o la presenza di facce pentagonali è in qualche modo necessaria? Può esistere un poliedro le cui facce siano tutte esagonali? La formula di Eulero permette di provare che non è possibile che tutte le facce siano esagonali

31 (10) poliedri regolari La formula di Eulero permette di dimostrare che i poliedri regolari convessi sono solo cinque (senza tener conto del fatto che le facce sono poligoni regolari )

32 (11) Un possibile sviluppo La formula di Eulero vale per questo poliedro? v s + f = 2 2g

33 (12) Formula di Eulero e definizione di poliedro [Imre Lakatos, Dimostrazione e confutazioni la logica della scoperta matematica] poliedro superficie poliedrica (i) è una superficie formata da poligoni se in uno spigolo concorrono quattro facce non vale la formula di Eulero due tetraedri affiancati lungo uno spigolo v s + f = 3

34 (ii) è una superficie formata da poligoni disposti in modo che in ogni spigolo si incontrino esattamente due di essi, formando un diedro se in un vertice si incontrano sei facce non vale la formula di Eulero due tetraedri incollati in un vertice] v s + f = 3

35 (iii) è una superficie formata da poligoni disposti in modo che in ogni spigolo si incontrino esattamente due di essi, formando un diedro, e che inoltre sia possibile arrivare da qualunque faccia a qualunque altra, oltrepassando degli spigoli [Hilbert Cohn-Vossen, Geometria intuitiva, 1932] e così via

36 (10)* Se tutte le f facce fossero esagonali si avrebbe - v = 6f 3 - s = 6f 2 da cui = 2f (ogni vertice è comune tre facce) = 3f (ogni spigolo è comune a due facce) v s + f = 2f 3f + f = 0

37 (11)* Consideriamo un poliedro regolare con f facce, poligoni (regolari e congruenti) di n lati n 3 Indichiamo con r il numero delle facce che concorrono in uno stesso vertice r 3 n f = 2s (ogni spigolo è comune a due facce) r v = 2s (ogni spigolo contiene due vertici) v s + f = 2s r s + 2s n = 2

38 1 r + 1 n = 1 s n 3 e r 3, ma non possono essere entrambi maggiori di 3 [se fosse n = r = 4 si avrebbe 1 s = 0] n = 3 o r = 3

39 (a) n = 3 (triangoli equilateri) l uguaglianza diventa 1 r 1 6 = 1 s Poiché deve essere 1 s > 0 si hanno solo tre casi possibili r = 3 s = 6 tetraedro r = 4 s = 12 ottaedro r = 5 s = 30 icosaedro

40 (b) r = 3 (triangoli equilateri) l uguaglianza diventa 1 n 1 6 = 1 s come prima si hanno solo tre casi possibili n = 3 s = 6 tetraedro n = 4 s = 12 cubo n = 5 s = 30 dodecaedro