Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.

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1 1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine noto è l eventuale termine di grado zero. Il grado di un polinomio è il massimo dei gradi dei suoi termini. Esempio 1 Consideriamo il polinomio 3xy 4 2x 3 y 2 z + x 3 y 3 z + 3. I termini del polinomio sono: 3xy 4, 2x 3 y 2 z, x 3 y 3 z, +3; Il polinomio ha termine noto uguale a +3; Il polinomio ha grado 7; Definizione 1 Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. 5ab 2 + 3a 2 b + 3a 3 + b 3 è un polinomio omogeneo perchè tutti i termini hanno grado 3; 2ab 2 + 4a 2 b + 5a 3 + b non è omogeneo perchè il termine noto ha grado 0, mentre tutti gli altri termini hanno grado 3. Definizione 2 Un polinomio si dice ordinato rispetto ad una lettera se i suoi termini sono disposti con esponenti di quella lettera in ordine decrescente o crescente. 2x 3 y 1 2 x2 + 3xy 2 è ordinato rispetto ad x ma non rispetto ad y. Definizione 3 Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera quando compaiono tutte le potenze di quella lettera, da quella di grado massimo a quella di grado zero. 2x 2 y 2 + 3x + 1 è completo rispetto alla lettera x, ma non rispetto alla lettera y in quanto manca il termine di primo grado in y. 1 I polinomi

2 1.2 Operazione fra polinomi Somma e differenza Per eseguire la somma o la differenza di due o più polinomi si procede come segue: - si tolgono le parentesi ricordando che si lasciano inalterati i segni dei termini all interno di una parentesi preceduta dal segno più, mentre si cambiano i segni dei termini all interno di una parentesi preceduta dal segno meno; - si riducono gli eventuali termini simili. Esempio 2 Semplificare l espressione: ( 2x+5y 1) (x +y 2)+(x 2y) ( 2x + 5y 1) (x + y 2) + (x 2y) = = 2x + 5y 1 x y x 2y = = 2x + 2y Moltiplicazione Per eseguire la moltiplicazione tra due polinomi: - si moltiplica ciascun termine dell uno per tutti i termini dell altro; - si riducono gli eventuali termini simili. Esempio 3 a) 2x 2 (x 3 3x 2 + 1) = = 2x 2 x 3 + 2x 2 ( 3x 2 ) + 2x 2 1 = = 2x 5 6x 4 + 2x 2 b) (2x + 3)(x 3) = 2x x + 2x ( 3) + 3 x + 3 ( 3) = = 2x 2 6x + 3x 9 = 2x 2 3x 9 c) (x 2 + 2x 2)(x 3) = x 2 x + x 2 ( 3) + 2x x + 2x( 3) 2 x 2( 3) = = x 3 3x 2 + 2x 2 6x 2x + 6 = = x 3 x 2 8x I polinomi

3 1.2.3 Prodotti notevoli - Somma di due monomi per la loro differenza (A + B)(A B) = A 2 B 2 a) (x + 3y)(x 3y) = (x) 2 (3y) 2 = x 2 9y 2 b) (4y 2x)( 4y 2x) = ( 2x) 2 (4y) 2 = 4x 2 16y 2 - Quadrato di un binomio (A + B) 2 = A A B + B 2 a) (2x + y) 2 = (2x) (2x) (y) + (y) 2 = 4x 2 + 4xy + y 2 b) (x 3y) 2 = [x+( 3y)] 2 = x 2 +2 x ( 3y)+( 3y) 2 = x 2 6xy+9y 2 - Cubo di un binomio (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 a) ( 2x + 3) 3 = ( 2x) ( 2x) ( 2x) = = 8x x 2 54x + 27 b) (x 3) 3 = [x+( 3)] 3 = (x) 3 +3 x 2 ( 3)+3 (x) ( 3) 2 +( 3) 3 = = x 3 9x x 27 3 I polinomi

4 - Potenza n-esima di un binomio Lo sviluppo della potenza n-esima di (A + B) è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di A (a partire da quella di grado n) e crescenti di B (a partire da quella di grado 0), i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo di Tartaglia. Il triangolo di Tartaglia è il seguente: 1 riga riga riga riga riga riga riga 6 Il procedimento per costruirlo è molto semplice. Ogni riga inizia e termina con 1. Se indichiamo con x e y due numeri successivi posti su di una stessa riga, l elemento posto tra di essi, nella riga immediatamente successiva, è la loro somma. Per esempio, la riga 5 può essere dedotta dalla riga 4 come segue: riga riga 5 Continuando con questo procedimento si possono costruire tante righe quante si vogliono del triangolo di Tartaglia. Confrontiamo i coefficienti delle potenze di A + B con esponente uno, due e tre, con i numeri che compaiono nelle corrispondenti tre righe del triangolo: Come possiamo notare: (A + B) 1 = 1 A + 1 B (A + B) 2 = 1 A AB + 1 B 2 (A + B) 3 = 1 A A 2 B + 3 AB B 3 4 I polinomi

5 i coefficienti di (A + B) 1 coincidono con i numeri della riga 1 del triangolo di Tartaglia; i coefficienti di (A + B) 2 coincidono con i numeri della riga 2 del triangolo di Tartaglia; i coefficienti di (A + B) 3 coincidono con i numeri della riga 3 del triangolo di Tartaglia. In generale, i numeri della n-esima riga del triangolo di Tartaglia coincidono con i coefficienti dello sviluppo di (A + B) n. Esempio 4 a) Calcolare (a + b) 4. Lo sviluppo della potenza sarà un polinomio omogeneo, ordinato secondo le potenze decrescenti di a(iniziando da quella di grado 4) e crescenti di b(a partire da quella di grado 0); si tratterà quindi di un polinomio del tipo: a 4 b 0 + a 3 b 1 + a 2 b 2 + a 1 b 3 + a 0 b 4 Restano da determinare i coefficienti. In base alle osservazioni precedenti, essi coincidono con i numeri della quarta riga del triangolo di Tartaglia: Possiamo dunque completare il polinomio scrivendo anche i coefficienti: 1 a 4 b a 3 b a 2 b a 1 b a 0 b 4 In definitiva: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 b) Calcolare (x 2 + 3) 4. Utilizziamo lo sviluppo che abbiamo ricavato nell esempio precedente: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. Sostituendo x 2 al posto di a e 3 al posto di b otteniamo che: (x 2 +3) 4 = (x 2 ) 4 +4(x 2 ) 3 3+6(x 2 ) (x 2 ) = x 8 +12x 6 +54x x I polinomi

6 1.2.4 Divisione Teorema 1 (Teorema della divisione) Dati due polinomi nella variabile x, A(x) di grado n e B(x) di grado m(m 0) con n m, esistono sempre e sono unici due polinomi Q(x) ed R(x) tali che A(x) = B(x) Q(x) + R(x) dove il grado di Q(x) è n m e il grado di R(x) è minore del grado di B(x). Q(x)è detto polinomio quoziente R(x)è detto polinomio resto Teorema 2 (Algoritmo della divisione) 1. Si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti delle variabili e, se il dividendo non è completo, lo si riscrive completando i termini mancanti con termini aventi coefficienti nulli; 2. si divide il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore: il risultato ottenuto è il primo termine del quoziente; 3. si moltiplica il primo termine del quoziente per tutti i termini del divisore e si cambia il segno ad ogni termine. Si somma il polinomio ottenuto con il dividendo ed il risultato è il primo resto parziale; 4. se il resto parziale ha grado minore di quello del divisore, la divisione è terminata, altrimenti si ripetono i passi 2 e 3, assumendo come dividendo il primo resto parziale. Si continua il procedimento finché non si trova un resto parziale con grado minore di quello del divisore: quest ultimo resto parziale è il resto della divisione. Esempio 5 Eseguire la divisione: (2x 2 + 4x 3 2x 1) : (2x 2 + 1). Si osservi che il polinomio dividendo è completo, ma non è ordinato secondo le potenze decrescenti di x. Perciò va prima ordinato per poi costruire lo schema della divisione. 6 I polinomi

7 4x 3 +2x 2 2x 1 2x x 3 2x 2x +1 +2x 2 4x 1 2x 2 1 4x 2 Si conclude che: - il quoziente è Q(x) = 2x il resto è R(x) = 4x 2 Esempio 6 Eseguire la divisione: (x x2 + 3x + 1) : (2x 1). Secondo lo schema della divisione, si ha: x x2 +3x +1 2x 1 x x2 1 2 x x +1 3x il quoziente è Q(x) = 1 2 x il resto è R = 5 2 Dato un polinomio P (x) di grado n è possibile stabilire, senza eseguire la divisione, se è divisibile per un binomio del tipo (x c), con c numero qualsiasi. Si osservi infatti che se P (x) si divide per il binomio (x c) di grado 1, si ottiene un quoziente di grado n 1 ed un resto di grado zero (una costante) Sostituendo c al posto di x si ha ossia P (x) = Q(x)(x c) + R. P (c) = Q(c)(c c) + R Si ha il seguente importante risultato. P (c) = R. 7 I polinomi

8 Teorema 3 (Teorema del resto) Se un polinomio P (x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per (x c), il resto della divisione è costante ed è uguale a P (c). Esempio 7 Utilizzando il Teorema del Resto, calcolare il resto R della divisione (2x 3 + x 2 5) : (x + 2). R= P ( 2) = 2 ( 2) 3 + ( 2) 2 5 = 17 Esempio 8 Determinare il valore di r per cui la divisione (x 2 2x 1) : (x r), abbia resto 2. Dal Teorema del resto, il valore di r cercato è quel valore per cui P (r) = 2. da cui P (r) = r 2 2r 1 = 2 r 2 2r 3 = 0, r 1,2 = 2 ± r 1 = 3, r 2 = 1. 2 Abbiamo trovato due valori di r che soddisfano la condizione richiesta. Esempio 9 1. Verificare che (x 2) è un fattore di x È sufficiente verificare che x è divisibile per (x 2), cioè che il resto nella divisione di P (x) = x per (x 2) è zero. Applicando il Teorema del Resto, ciò equivale a dimostrare che P (2) = 0. Risulta infatti P (2) = = Scrivere x come prodotto di due polinomi. Dal punto precedente si ha che x si può scrivere come prodotto fra x 2 e un polinomio di grado 7. Per determinare tale polinomio è possibile applicare il Principio di identità dei polinomi Due polinomi P 1 (x) e P 2 (x) nella stessa variabile x si dicono identici se e solo se assumono valori uguali per ogni valore attribuito ad x. Corollario 1 Condizione necessaria e sufficiente affinchè due polinomi siano identici è che siano uguali i coefficienti delle potenze delle variabili aventi lo stesso esponente. Risulta dunque x = (x 2)(x 7 + ax 6 + bx 5 + cx 4 + dx 3 + ex 2 + fx + g) 8 I polinomi

9 da cui svolgendo il prodotto al secondo membro e ordinando secondo le potenze decrescenti di x si ha x = x 8 +(a 2)x 7 +(b 2a)x 6 +(c 2b)x 5 +(d 2c)x 4 +(e 2d)x 3 + +(f 2e)x 2 + (g 2f)x 2g. Per il principio di identità dei polinomi deve essere Possiamo allora concludere che a 2 = 0 a = 2 b 2a = 0 b = 4 c 2b = 0 c = 8 d 2c = 0 d = 16 e 2d = 0 e = 32 f 2e = 0 f = 64 2g = 256 g = 128 x = (x 2)(x 7 + 2x 6 + 4x 5 + 8x x x x + 128) Teorema 4 (Teorema di Ruffini) Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P (x) sia divisibile per il binomio (x c) è che P (c) = 0. Esempio 10 (Applicazione del Teorema di Ruffini) La somma di due potenze di uguale grado non è mai divisibile per la differenza delle basi ed è divisibile per la somma delle basi soltanto se l esponente è dispari. (x n + a n ) è divisibile per (x + a) se n è dispari. Infatti P ( a) = ( a) n + a n = 0 solo se n è dispari. non è mai divisibile per (x a). Infatti P (a) = (a) n + a n = 2a n qualunque sia n. 1. (x 2 +a 2 ) non è divisibile per (x a). Infatti, P (a) = (a) 2 +a 2 = 2a (x 3 +a 3 ) non è divisibile per (x a). Infatti, P (a) = (a) 3 +a 3 = 2a (x 2 + a 2 ) non è divisibile per (x + a). Infatti, P ( a) = ( a) 2 + a 2 = 2a I polinomi

10 4. (x 3 + a 3 ) è divisibile per (x + a). Infatti, P ( a) = ( a) 3 + a 3 = a 3 + a 3 = 0. Esempio 11 La differenza di due potenze di uguale grado è sempre divisibile per la differenza delle basi ed è divisibile per la somma delle basi soltanto se l esponente è pari. (x n a n ) è divisibile per (x + a) se n è pari. Infatti P ( a) = ( a) n a n = a n a n = 0 solo se n è pari. è sempre divisibile per (x a). Infatti P (a) = (a) n a n = 0 qualunque sia n. 1. (x 2 a 2 ) è divisibile per (x a). Infatti, P (a) = (a) 2 a 2 = (x 3 a 3 ) è divisibile per (x a). Infatti, P (a) = (a) 3 a 3 = (x 2 a 2 ) è divisibile per (x + a). Infatti, P ( a) = ( a) 2 a 2 = (x 3 a 3 ) non è divisibile per (x + a). Infatti, P ( a) = ( a) 3 a 3 = a 3 a 3 = 2a I polinomi

11 Teorema 5 (Regola di Ruffini) Si può applicare quando il divisore è un binomio del tipo (x c). Il dividendo, se non lo è già, va ordinato secondo le potenze decrescenti di x e completato. I passaggi da eseguire, nel caso della divisione del polinomio a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 per (x c), sono: c a 3 a 2 a 1 a 0 a 3 a 2 a 1 a 0 c a 3 c a 3 a 2 + a 3 c a 3 a 2 c a 3 c a 3 a 2 + a 3 c R 11 I polinomi

12 Esempio 12 Fattorizzare (x 3 a 3 ). Dal Teorema di Ruffini si ha che (x 3 a 3 ) è divisibile per (x a). Infatti risulta P (a) = (a) 3 a 3 = 0. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini a 3 +a +a +a 2 +a a +a 2 0 x 3 a 3 = (x a)(x 2 + ax + a 2 ) Esempio 13 Fattorizzare (x 3 + a 3 ). Poichè abbiamo la somma di due potenze di ugual grado, e poichè l esponente è dispari, per quanto osservato in precedenza si ha che (x 3 + a 3 ) è divisibile per (x + a). Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini a 3 a a +a 2 a 3 +1 a +a 2 0 x 3 + a 3 = (x + a)(x 2 ax + a 2 ) Osservazione 1 Poichè capita frequentemente di dover scomporre somme o differenze di cubi, è bene ricordare queste scomposizioni: x 3 + a 3 = (x + a)(x 2 ax + a 2 ) x 3 a 3 = (x a)(x 2 + ax + a 2 ) 12 I polinomi

13 Dovendo dividere il polinomio P (x) per un binomio del tipo ax b oppure ax + b si opera nel seguente modo: - si divide P (x) ed il binomio ax b (oppure ax + b) per il coefficiente a; - si trovano i coefficienti del quoziente applicando la Regola di Ruffini; - il resto trovato si moltiplica per a(da una nota proprietà della divisione risulta infatti che dividendo o moltiplicando il dividendo ed il divisore per uno stesso numero il quoziente non cambia, il resto però rimane moltiplicato o diviso per quel numero). Esempio 14 Eseguire la divisione (4x 3 7x 2 + 5x 2) : (2x 1). Dividendo per 2 il dividendo ed il divisore si ottiene: (2x x x 1) : (x 1 2 ) da cui applicando la Regola di Ruffini si ha: Q(x) = 2x x R(x) = = 3 4. Nel caso in cui occorre soltanto verificare che un certo polinomio intero in x, P (x), è divisibile, oppure no, per il binomio ax b (oppure ax + b), basta calcolare il resto che è dato da ( ) ( ( b P oppure P b )). a a Esempio 15 Stabilire se il polinomio 2x 3 + 3x 2 8x + 3 è divisibile per (2x 1). È sufficiente calcolare il resto della divisione: R = P ( 1 2 ) = 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 ( 1) = = I polinomi

14 1.3 Scomposizione di un polinomio in fattori Definizione 4 Si definisce irriducibile qualsiasi polinomio che non può essere scomposto come prodotto di polinomi di grado minore. Scomporre un polinomio vuol dire ridurlo a prodotti di polinomi che sono irriducibili. Per scomporre un polinomio non esiste una regola generale da seguire. Verranno indicati di seguito alcuni metodi da utilizzare nei diversi casi di scomposizione. 1.4 Raccoglimento a fattore comune Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori, questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, essere raccolti(o messi in evidenza). Il polinomio risulterà allora scomposto nel prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori comuni(cioè il monomio M.C.D. dei termini del polinomio) ed il polinomio quoziente tra il polinomio dato ed il monomio raccolto. In altri casi si può mettere in evidenza un polinomio. Esempio 16 Scomporre in fattori i seguenti polinomi: 1. 15x 6 25x 4 + 5x 3 Essendo il M.C.D.{15x 6, 25x 4, 5x 3 } = 5x 3, risulta: 15x 6 25x 4 + 5x 3 = 5x 3 (3x 3 5x + 1) 2. 6a 4 b 8a 2 b 3 + 2a 3 b 2 Essendo il M.C.D.{6a 4 b, 8a 2 b 3, 2a 3 b 2 } = 2a 2 b, risulta: 6a 4 b 8a 2 b 3 + 2a 3 b 2 = 2a 2 b (3a 2 4b 2 + ab) 3. 5a(a + b) + 3b(a + b) a 2 (a + b) Mettendo in evidenza il fattore polinomiale (a + b),comune a tutti i termini del polinomio,si ha: 5a(a + b) + 3b(a + b) a 2 (a + b) = (a + b)(5a + 3b a 2 ) 14 I polinomi

15 1.5 Raccoglimento a fattore parziale Se il polinomio è del tipo: ax + bx + ay + by è possibile mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e, negli ultimi due, il fattore comune y: ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) mettendo poi in evidenza il fattore (a + b) si ha: ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y) Esempio 17 Scomporre in fattori i seguenti polinomi: 1. 3x + 6y 2x 2 4xy 3x + 6y 2x 2 4xy = 3 (x + 2y) 2x (x + 2y) = (x + 2y) (3 2x) x2 2xy xy2 2y x2 2xy xy2 2y 3 = 1 3 x xy2 2xy 2y 3 = = 1 ( ) 1 3 x (x + y2 ) 2y (x + y 2 ) = (x + y 2 ) 3 x 2y 15 I polinomi

16 1.6 Scomposizione mediante prodotti notevoli Dato un polinomio da scomporre: - qualunque sia il numero di termini si verifica la possibilità di effettuare il raccoglimento totale; - si conta il numero di termini del polinomio e, se possibile, si segue la seguente tabella: Se il polinomio ha: Può essere riconducibile a: differenza o somma 2 termini di potenze di uguale grado 3 termini quadrato di un binomio trinomio del tipo x 2 + (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 cubo del binomio 4 termini raccoglimento parziale a fattore comune differenza tra quadrato del binomio e quadrato di monomio e viceversa Esempio 18 (Differenza di quadrati) Scomporre in fattori i seguenti binomi: 4a 2 25b 2 = (2a) 2 (5b) 2 = (2a + 5b)(2a 5b) 16x 4 1 = (4x 2 ) 2 (1) 2 = (4x 2 +1)(4x 2 1) = (4x 2 +1)[(2x) 2 (1) 2 ] = (4x 2 + 1)(2x 1)(2x + 1) Esempio 19 (Somma e differenza di cubi) Scomporre in fattori i seguenti binomi: 125x = (5x) 3 + (1) 3 = (5x + 1)(25x 2 5x + 1) 8a 3 27b 3 = (2a) 3 (3b) 3 = (2a 3b)(4a 2 + 6ab + 9b 2 ) Esempio 20 (Quadrato di binomio) Scomporre in fattori il seguente trinomio: 4x x + 25 = (+2x) 2 + 2(+2x)(+5) + (+5) 2 = (2x + 5) 2 16 I polinomi

17 Esempio 21 (Fattorizzazione di un trinomio del tipo x 2 + sx + p ) Si supponga di dover fattorizzare un trinomio di secondo grado del tipo x 2 + sx + p con s e p numeri razionali. È semplice vedere che se esistono due numeri x 1 e x 2 tali che x 1 + x 2 = x 1 x 2 = il trinomio si può scomporre nel prodotto di due binomi, ossia s p x 2 + sx + p = (x + x 1 )(x + x 2 ). Consideriamo ad esempio il trinomio x 2 17x Si cercano x 1 e x 2 tali che x 1 + x 2 = 17 x 1 x 2 = 30 Si osserva che poichè il prodotto fra x 1 e x 2 è positivo, i due numeri cercati saranno concordi e poichè la somma fra x 1 e x 2 è negativa, è facile vedere che i due numeri cercati sono: x 1 = 15 e x 2 = 2. Per cui risulta x 2 17x + 30 = (x 15)(x 2) Esempio 22 (Cubo di binomio) Scomporre in fattori i seguenti quadrinomi: a 3 + 6a 2 b + 12ab 2 + 8b 3 = (a) 3 + 3(a) 2 (2b) + 3(a)(2b) 2 + (2b) 3 = (a + 2b) 3 1 9x + 27x 2 27x 3 = (1) 3 + 3(1) 2 ( 3x) + 3(1)( 3x) 2 + ( 3x) 3 = (1 3x) 3 Esempio 23 (Raccoglimento parziale a fattore comune) Scomporre in fattori il seguente quadrinomio: 2x 2 + 4x + 3xy + 6y = 2x(x + 2) + 3y(x + 2) = (x + 2)(2x + 3y) Esempio 24 (Differenza tra quadrato del binomio e quadrato di monomio) Se il polinomio si presenta nella forma si può vedere come a 2 + 2ab + b 2 c 2 (a + b) 2 c 2 = [(a + b) + c][(a + b) c]. Scomponiamo il seguente quadrinomio: 4x 2 + 4x y 4 = (2x + 1) 2 (5y) 2 = (2x y 2 )(2x + 1 5y 2 ) 17 I polinomi

18 1.7 Fattorizzazione mediante la Regola di Ruffini Per determinare una fattorizzazione di un dato polinomio P n (x) di grado n, si ricorre, quanto possibile, alla Regola di Ruffini illustrata in precedenza. Per determinare un fattore del tipo (x a) della scomposizione di P n (x), può essere utilizzato il seguente risultato: Teorema 6 Le radici razionali di un polinomio P n (x), ossia i valori che sostituiti alla variabile x annullano il polinomio, sono da ricercare fra i rapporti dei divisori del termine noto e quelli del coefficiente del termine di grado massimo, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo. Esempio 25 Fattorizzare il polinomio P 4 (x) = x 4 + 3x 3 11x 2 3x I divisori del termine noto di P 4 (x) sono: ±1, ±2, ±5, ±10. Si trova che P 4 (1) = 0 P 4 ( 1) = 0 P 4 (2) = 0 P 4 ( 5) = 0. Il polinomio P 4 (x) è divisibile dunque per (x 1), (x+1), (x 2), (x+5). La fattorizzazione cercata è data da:. P 4 (x) = (x 1)(x + 1)(x 2)(x + 5) Esempio 26 Fattorizzare il polinomio P 3 (x) = 3x 3 + 2x 2 3x 2. I divisori di 2 sono: ±1, ±2; I divisori di 3 sono: ±1, ±3; Quindi i possibili valori razionali che annullano P 3 (x) sono da ricercare tra: ±1, ±2, ± 1 3, ± 2 3. P (1) = = 0 P 3 (x) è quindi divisibile per (x 1). Calcoliamo il quoziente della divisione fra P 3 (x) e (x 1) utilizzando la Regola di Ruffini x 3 + 2x 2 3x 2 = (3x 2 + 5x + 2)(x 1). 18 I polinomi

19 Consideriamo ora il polinomio P 2 (x) = 3x 2 + 5x + 2 e fattorizziamolo utilizzando lo stesso metodo. P 2 (x) è quindi divisibile per (x + 1). P (1) = P ( 1) = = Da cui 3x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2). Il polinomio iniziale P 3 (x) può quindi essere scomposto come 3x 3 + 2x 2 3x 3x 2 = (x 1)(x + 1)(3x + 2) 19 I polinomi

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