Dai numeri alle lettere

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1 Dai numeri alle lettere Introduzione al calcolo letterale 1

2 Dai numeri alle lettere quando? Il passaggio dall aritmetica all algebra è il frutto di un cammino durato millenni e che ha coinvolto numerosi popoli ( egiziani, greci, indiani, ecc). Il fatto di usare simboli per indicare numeri indeterminati è una delle acquisizioni più lente e faticose della storia del pensiero scientifico. I greci esprimevano proprietà e relazioni tramite parole. L adozione di un simbolismo analogo a quello che noi utilizziamo avviene solo nel XVII secolo. 2

3 Dai numeri alle lettere Negli scritti dei Babilonesi, degli Egizi e dei pitagorici i problemi e le risoluzioni venivano descritti senza l impiego di alcun simbolo soltanto mediante frasi e parole della lingua corrente. Lo sviluppo dell algebra è detta retorica (dal greco rethor, oratore). Con Diofanto (250 d.c.) iniziarono ad essere utilizzate delle abbreviazioni, alternate al linguaggio naturale. Lo sviluppo dell algebra è detta sincopata (dal greco synkopé, tagliare, ridurre). Nel 1591 il matematico francese François Viète usa vocali per indicare variabili e consonanti per indicare costanti. Inizia l algebra simbolica. Ad esempio l espressione : a cubus + b in a quadratus 3 + a in b quadratus 3 + b cubus aequalis a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 3

4 Dai numeri alle lettere Cartesio ( ) introdusse la notazione delle potenze, la linea di frazione per la divisione e accostò i fattori di una moltiplicazione senza interporre tra essi alcun simbolo. Leibniz ( ) e Eulero ( ) contribuirono al passaggio alle notazioni moderne. La diffusione degli scritti di Eulero contribuì alla divulgazione delle moderne notazioni simboliche. 4

5 Dove e quando gli studenti incontrano «le lettere»? Che significato hanno? a + b = b + a (sottitendendo per ogni valore di a e b) a 0 = 0 (per ogni valore di a) Che valore hanno a e b? Non vogliamo determinare a e b, anzi l indeterminatezza delle lettere sta indicare che vale sempre. Le lettere servono ad esprimere proprietà. 5

6 Dove e quando gli studenti incontrano «le lettere»? Che significato hanno? Sia n un numero naturale. n+1 il successivo di n ( al variare di n nei numeri naturali) 2n un numero pari con nεn 2n+1 un numero dispari con nεn n è indeterminato Le lettere utilizzate per rappresentare generici elementi. 6

7 Dove e quando gli studenti incontrano «le lettere»? Che significato hanno? 2 + a = 7 Quale Cosa significato é la a? ha la lettera a? Ora a non è indeterminata, anzi vogliamo trovare il valore di a che rende vera l uguaglianza. 7

8 Dove e quando gli studenti incontrano «le lettere»? Che significato hanno? A = b h P = b + b + h + h Ora ad A ed a P viene assegnato un valore, determinato dall operare su grandezze di cui si conoscono le misure. 8

9 Dove e quando gli studenti incontrano «le lettere»? Che significato hanno? y = 2 x Quale significato hanno le lettere x e y? Scegli per x un valore indeterminato, e determina il valore di y. x variabile indipendente, y variabile dipendente. Stiamo parlando di una funzione, ( e in particolare anche della legge di proporzionalità diretta) 9

10 Le lettere servono ad indicare «cose» diverse Siamo consapevoli che è diverso il significato delle lettere che compaiono in un equazione, una relazione, una proprietà, una formula, una definizione. I nostri giovani allievi dovranno impararlo, e ogni volta che introdurremo un concetto, dovremo fermarci, sottolinearlo, chiedere, ottenere risposte, e ritornarci più volte se vogliamo che lo apprendano. 10

11 Le lettere servono ad indicare «cose» diverse E possibile utilizzare, trasferire conoscenze già acquisite in ambiti differenti. E spesso ciò lo facciamo con grande disinvoltura. Ciò puo provocare qualche confusione e disorientamento nei nostri studenti. 11

12 Formule, equazioni, funzioni Consideriamo A = b h è la formula per calcolare l area di un rettangolo. è un equazione contenente tante possibili incognite quante sono le lettere, e per calcolare il valore di un incognita è necessario conoscere i valori di tutte le altre. è una funzione che rappresenta il valore di A al variare di b e h (funzione xy=a) - Da A = b h, note A e b calcolare il valore di h ; formula inversa h = A b. A e b variano ed h ha sempre lo stesso valore b= A h y = X h funzione. 12

13 equazioni e funzioni y=x+1 equazione lineare? funzione? E la stessa cosa? Le equazioni delle rette sono tutte funzioni di primo grado? NO. x=3 è un equazione ma non è una funzione! L equazione di una circonferenza x 2 + y 2 = 1 non è una funzione, come non lo è l equazione dell ellisse, dell iperbole e di altre curve. Quindi non tutte le equazioni sono funzioni! 13

14 Definizione di funzione a A 1 B c d b Parliamo di Arcieri e Bersagli Ogni arciere scaglia un unica freccia e colpisce un unico bersaglio Per ogni elemento di A esiste un unico corrispondente in B 14

15 Es. di equazioni che non sono funzioni 15

16 Quando le lettere diventano «protagoniste» nella matematica? In terza media vengono introdotti monomi e polinomi. Nel biennio della scuola superiore lo studente opera soprattutto con polinomi, scomposizioni, frazioni algebriche. (e spesso anche le equazioni e le disequazioni sono esercizi di calcolo algebrico) Nel triennio si affrontano molti altri argomenti, ma il calcolo algebrico è spesso indicato come l origine di tutte le difficoltà. (?) 16

17 I monomi I monomi quando vengono introdotti spesso restano slegati dagli altri argomenti. Gli studenti sanno che : «è algebra!». Se i monomi piacciono, allora i calcoli sono facili, si memorizzano le regole, ma spesso non si capisce a cosa servano e che relazione abbiano con gli altri argomenti studiati della matematica. Se i monomi non sono simpatici, «ci sono troppi segni, troppe lettere, esponenti. non si sa cosa fare» 17

18 I monomi - definizione Il monomio è : - o un numero, - o un prodotto di un numero con una o più lettere. 3 a b che scriveremo 3ab 3 a a b che scriveremo 3a 2 b Sono monomi 3 ed a Poi si chiarirà: Nel monomio 3: la parte numerica è 3, le lettere sono tutte elevate a 0 Nel monomio a : la parte numerica è 1, la lettera a è elevata ad 1 18

19 I monomi Alle lettere si possono sostituire i numeri. Se a=3, b=5 e c=2 quanto vale 3abc? e 3ab 2 c? E se a=1 b=- 3 4 c=-3? E se si possono sostituire i numeri allora potrebbero valere anche le proprietà già utilizzate per i numeri? 19

20 Operazioni con i monomi Quando fa x + x? x + x = 2x 20

21 Operazioni con i monomi Quando fa x x? x x x x = x 2 L area di un quadrato di lato x 21

22 Operazioni con i monomi Quando fa x + y? x + y = x+y 22

23 Operazioni con i monomi Quando fa x y? y x x y = xy L area di un rettangolo di lati x ed y 23

24 Operazioni con i monomi 2x + 3y + 4x operando con i segmenti x y x x y y y x x x x 2x + 3y + 4x = 6x + 3y 24

25 Operazioni con i monomi 2x 3y = 6xy y y y x x 25

26 Operazioni con i monomi a a a = a 3 Volume del cubo= a 3 Spigolo del cubo =a 26

27 I monomi Un obiezione: I monomi, legati a enti geometrici (segmenti, superfici), sono quantità positive. Risposta: Gli studenti hanno già lavorato con i segmenti, le figure, quindi l utilizzo del modello geometrico, li può aiutare a capire (es. 2x x 2 ) e non commettere alcuni errori. Generalizzare verrà in seguito, del resto i ragazzi già conoscono le operazioni con i numeri negativi. -5a+3a=-2a -5a-3a=-8a 27

28 Se compresa l addizione e la moltiplicazione nei relativi, si può generalizzarla e applicarla ai monomi. 2a 3b = 6ab 2a 3b = 6ab 28

29 + += + + = += = + a 0 = 0 +a (+b -b)= +a 0 = 0 +a (+b -b)=a (+b)+a (-b)= +ab+ =0 +a b = ab 3 0 = 0 +3 (+5-5)= +3 0 = 0 +3 (+5-5)=3 (+5)+3 (-5)= +15+ =0 3 5 = 15 29

30 Sono monomi: Costruiamo i monomi: I numeri razionali Le singole lettere a b x y. Il prodotto (o il quoziente con denominatore diverso da 0 ) di due razionali Il prodotto (o il quoziente con denominatore diverso da 0 ) di due lettere xy ab a/b x 2 Il prodotto (o il quoziente denom. 0 ) di un razionale e di una o più lettere 3x 4ab 1/a a/3-5b I prodotti (o il quozienti diversi da 0 ) di tutti gli oggetti che sopra abbiamo costruito 30

31 Costruiamo i monomi: Quindi sono monomi tutte le espressioni che otteniamo per successivi prodotti a partire dai numeri razionali e lettere. Non sono monomi le espressioni numeriche letterali in cui compaiono addizioni e sottrazioni. Definiamo monomio intero un monomio che non ha lettere nel denominatore. Assegniamo ai monomi interi un grado. 31

32 5a 2 b + 2b 5a 2 b polinomi monomi 3ab 4 5 ac Numeri reali 4 5 ac 3ab 4 5 ac

33 Problemi con i monomi 5x 3x Calcola l area e il perimetro del rettangolo i cui lati sono 3x e 5x 7 4 x 3 4 x 3 4 x Calcola il perimetro del poligono. x x 33

34 Problema con i monomi a a 2a a Viene dato un quadrato. Utilizzando i dati della figura, calcolare l area della parte colorata del quadrato 34

35 Problema con i monomi a) Se in un rettangolo si dimezza la base e si raddoppia l altezza, è vero che l area rimane invariata? A= 1 2 b 2h=1 2 2bh=bh A=bh 35

36 Dai monomi ai polinomi Data la definizione di polinomi, si definiscono le operazioni di addizione, sottrazione e prodotti. Anche per i polinomi possono essere utilizzati elementi della geometria. 36

37 I polinomi 2c 6c -4 a a b a+1 b+a Calcola l area e il perimetro a+2 b+1 b-2 37

38 Problemi con polinomi Calcola l area di un rettangolo con base 2x+4 e altezza x+3. L area di un rombo di diagonali 3a+5 e 2c+3. Il volume di un parallelepipedo rettangolare di spigoli 3a, 4a+5, 2a+1. La base di un rettangolo è 3a e l altezza 4b, Calcolare area e perimetro. Se si aumenta la base di 2b e si diminuisce l altezza di 2b, quanto misurano area e perimetro? 38

39 Calcola l area di un rettangolo con base 2x+4 e altezza x+3 (x+3)(2x+4)=2x 2 +10x+12 1u x x x 39

40 L area di un rombo di diagonali 3a+4 e 2c+3. A(a,c)=(3a+4)(2c+3)/2=(6ac+8c+9a+12)/2 4 4c a c 3 40

41 L area di un rombo di diagonali 3a+4 e 2c+3. A(a,c)=(3a+4)(2c+3)/2=(6ac+8c+9a+12)/2 4 4c 12 ac ac ac ac 3a 3a a ac ac 3a c 3 41

42 2a+5 Il volume di un parallelepipedo rettangolare di spigoli 3a, a+1, 2a+5 V= 3a(a+5)(2a+1)=6a 3 +33a 2 +15a 3a 42

43 La base di un rettangolo è 3a e l altezza 4b. Calcolare area e perimetro. Se si aumenta la base di 2b e si diminuisce l altezza di 2b, quanto misurano area e perimetro? 4b 2b A=(3a)(4b)=12ab P=6a+8b 3a 2b 2b P =2(3a+2b)+2(4b-2b)= =6a+8b=P A =(3a+2b)(2b)=6ab+4b 2 43

44 Quando A=A? a= 2 3 b Quando A>A 2b A=(3a)(4b)=12ab P=6a+8b 2b P =2(3a+2b)+2(4b-2b)=P 3a 2b A =(3a+2b)(2b)=6ab+4b 2 44

45 Problema con i polinomi b) Se in un rettangolo si diminuisce la lunghezza della base del 20% e si aumenta la lunghezza dell altezza del 20%, è vero che l area rimane invariata? 20 %= =1 5 R1 AREA R1=(b- 1 b)(h + 1 h)= 5 5 =(4 5 b)(6 24 h)= bh

46 Esercizi utili per comprendere le espressioni con le lettere Traduci ciascun frase in linguaggio simbolico: Ho un numero x, lo moltiplico per 8 e poi aggiungo 5. Raddoppio il numero n e poi sottraggo 4. Triplico il numero 5a poi aggiungo 10. Al numero a aggiungo il suo successivo. Triplico z, sottraggo 5 e elevo il risultato al quadrato. 46

47 E per gli studenti delle sc. superiori Il doppio del prodotto dei due numeri. La somma dei quadrati dei due numeri. Il prodotto del doppio del primo numero per il doppio del secondo numero. La somma fra il primo numero e il doppio del secondo. Il doppio della somma dei due numeri. Il quadrato della somma dei due numeri. 47

48 Il quadrato del binomio A quanto è uguale (a+b) 2? Prima risposta: (a+b) 2 = a 2 +b 2 Proviamo: a=3 e b= = =9 +16= = 7 2 =49 E allora? Altri 24 dove sono? 48

49 Il quadrato del binomio Possiamo fare la dimostrazione algebrica: (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +ab+ab+b 2 = = a 2 +2ab+b = = = =25+24= 49 49

50 Quadrato del binomio a b Lato del quadrato l= a+b Area del quadrato A=l 2 = (a+b) 2 (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab a 2 b 2 ab ba 50

51 Quadrato del trinomio (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2cb a 2 ab ac lato=a+b+c ab ac b 2 cb c 2 cb 51

52 Somma di due monomi per la loro differenza (a+b)(a-b) =a 2 -b 2 a-b a+b (a-b)a (a-b)a (a-b)b (a-b)b 52

53 Cubo del binomio (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3a 2 b+3ab 2 53

54 Cubo del binomio (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3a 2 b+3ab 2 a 3 b 3 3a 2 b 3ab 2 3ab 2 3ab 2 3a 2 b 3a 2 b 54

55 Basta far vedere queste immagini? Ci sono in molti libri. Sono presenti anche animazioni al computer. Non basta farglieli vedere! Bisogna che scoprano le leggi sperimentando...disegnando sul quaderno. e costruendo il modello 55

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61 Quesiti sulle.. lettere 61

62 Prova invalsi Percentuale risposte corrette: 58,3% errate: 37,1% mancate: 4,6 % 62

63 Prova invalsi Percentuale risposte corrette:26,8% errate: 64% mancate:9,0% 63

64 Prova invalsi Percentuale risposte corrette: 59,4% errate: 37,4% mancate: 3,2% 64

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66 Competenze Tradurre dal linguaggio verbale a quello simbolico. Acquisire consapevolezza nell uso delle lettere per generalizzare, rappresentare relazioni, formalizzare e risolvere problemi. 66

67 Vi ringrazio per l attenzione. liliana.dario@gmail.com 67