L'importanza delle restrizioni econometriche nell'utilizzo dei modelli GARCH per la valutazione del rischio di prodotti finanziari

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1 L'imporanza delle resrizioni economeriche nell'uilizzo dei modelli GARCH per la valuazione del rischio di prodoi finanziari Giusj Carmen Sanangelo (MeodiaLab) Robero Reno (Universià di Siena e MeodiaLab) Suno: quesa breve ricerca illusra con una semplice simulazione come l'uilizzo di modelli GARCH per la valuazione del rischio di ioli finanziari dipenda in maniera criica dai coefficieni oenui dalla sima, e propone alcune semplici accorgimeni per eviare un'eccessiva variabilià della classe di rischio assegnaa: essa non è infai aribuibile al modello, ma al modo in cui esso viene simao e implemenao. 1. Inroduzione L aivià di gesione di un porafoglio coinvolge il conrollo cosane degli srumeni finanziari come pare del mandao dao dal cliene. La gesione è, quindi, personalizzaa e condoa sulla base delle finalià e dei profili del cliene. In linea con queso principio, il manager concenra la sua analisi sull eccessiva volailià che alcune serie soriche di prezzi possono presenare, e in modo paricolare sulle relazioni ra volailià dei prezzi di srumeni finanziari e performance. Lo sudio della persisenza di alcuni fenomeni può faciliare la scela degli srumeni finanziari e rendere la loro classificazione molo più sabile. Inolre, la regolamenazione è sempre più orienaa all uilizzo di una classificazione dei fondi basaa su una robusa meodologia quaniaiva.

2 Il presene documeno illusra un caso di analisi su una simulazione di rendimeni di un ipoeico iolo finanziario che abbia evidenziao il problema della variazione frequene della classe di rischio. Tale problema è di paricolare rilevanza in quano ha noevoli ricadue operaive negaive. L aspeo esaminao nella valuazione del rischio di mercao è un analisi del VaR giornaliero (Value-a-Risk). Al fine di simare la varianza condizionaa è sao adoperao un consolidao modello economerico, il GARCH(1,1) (Generalized Auoregressive Condiional Heeroschedasiciy), nel quale si ipoizza che la varianza sia una combinazione lineare di rendimeni quadraici e varianze condizionae quadraiche riardae nel empo. La funzione di auocorrelazione dei rendimeni al quadrao è significaivamene posiiva in un orizzone emporale ampio e indica che se il rendimeno del giorno precedene è sao molo grande (piccolo), il giorno successivo coninuerà ad esserlo, giusificando l'uilizzo del modello prescelo. Queso ipo comporameno ipico delle serie finanziarie, ossia il clusering della volailià (l alernarsi di periodi di ala volailià con periodi di bassa volailià), implica il non poer usare un rumore bianco per il modello. 2. Modelli ARCH e GARCH Il modello ARCH, o meglio la famiglia di modelli, fu inrodoo dal premio Nobel Rober Engle nel ARCH sa per AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy, ossia modello di auoregressione con eeroschedasicià condizionale, in cui la varianza condizionale cambia al variare del paramero emporale. I modelli ARCH richiedono però un numero elevao di riardi rendendo il modello poco flessibile e molo oneroso. Per queso, nel 1986, fu proposa da Bollerslev una famiglia generalizzaa di modelli ARCH: i GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroschedasiciy). Eeroschedasicià significa che la varianza cambia nel empo, condizionale indica che le previsioni oenue sono basae sulle informazioni disponibili nel periodo precedene, quindi le sime di volailià rifleono il livello di incerezza generao dagli shock passai caurando cosi il asso di persisenza di quesi shock. Auoregressivo si riferisce invece al meodo uilizzao per modellare l eeroschedasicià condizionale, che si basa su una regressione della varianza e infine generalizzao poiché si raa di una generalizzazione del primo modello a varianza condizionale auoregressiva (ARCH). I modelli a eeroschedasicià condizionale auo regressiva, perciò, permeono di prevedere la volailià

3 fuura uilizzando una regressione basaa su valori passai della volailià sessa, generando una sima che cambia nel empo. Analiicamene si può definire il GARCH(p,q) come: r h h p i1 q 2 ir 1 i i1 h 2 1 in cui i primi p ermini sono la componene ARCH, menre i secondi q ermini sono la componene GARCH. La denoazione p si riferisce all ordine del riardo della pare auoregressiva rappresenaa dai valori della varianza condizionale sessa nel passao, menre q mosra il numero dei riardi della componene dei rendimeni al quadrao. Nella famiglia dei modelli GARCH il più uilizzao è GARCH(1,1), cioè: h r h con ui i re coefficieni maggiori di 0. Il coefficiene β indica il asso di persisenza, e valori elevai indicano che una variazione della volailià ende a permanere a lungo. Il coefficiene α è legao agli errori di previsione e indica la rapidià con cui la volailià si adaa ai nuovi shock di mercao. Inolre coefficieni più elevai conducono a previsioni più sensibili alle condizioni receni e dunque più erraiche. Bollerslev (1986) afferma che condizione sufficiene affinché il processo GARCH(p,q) sia sazionario è, con ui i coefficieni posiivi: p q i i1 i1 1 i

4 3. L esercizio di simulazione Abbiamo simulao rendimeni con un modello GARCH(1,1). Si è proceduo al calcolo dei quinili della disribuzione delle deviazioni sandard implicie e alla direa classificazione delle varianze secondo il seguene schema: QUINTILE CLASSE <7,479% 1 rischio molo basso 7,479% - 7,623% 2 rischio basso 7,623% - 7,974% 3 rischio medio 7,974% - 8,715% 4 rischio alo >10,920% 5 rischio molo alo La classificazione è arbiraria e presenaa a puro scopo illusraivo, perano valida solo in queso esempio e col paricolare modello simulao. L'obieivo di quesa ricerca è infai concenrarsi sull'esio delle sime del modello anziché sulla bonà del modello sesso (già ampiamene comprovaa in alre ricerche). La finalià del lavoro è di migliorare (ridurre) le variazioni ra le classi della simulazione consideraa, manenendo inaleraa la descrizione quaniaiva della classe di rischio e le buone proprieà del modello uilizzao. Un uleriore analisi può essere sruuraa al fine di proporre un meodo di classificazione degli srumeni finanziari secondo un grado di rischio ale da ridurre le variazioni. Seguendo l analisi descria in precedenza, è sao adoperao nuovamene il GARCH(1,1) con una resrizione semplice e ragionaa. In paricolare, sono sae imposae due resrizioni sul coefficiene β del GARCH(1,1), inizialmene inferiore a 0,3 e successivamene superiore a 0,8.

5 I grafici segueni mosrano le volailià condizionae in enrambi i casi. Caso 1: β<0.3 Caso 2: β>0.8 È imporane noare che, per quel che concerne i rendimeni, le proprieà delle due serie non sono muae. Un semplice esercizio di backesing mosra infai come il numero di violazioni del VaR basae su enrambi i modelli sia pressoché idenico. Il rischio dell'aivo finanziario nei due casi e quindi lo sesso, ma la classificazione del rischio risula neamene diversa (ed eccessivamene variabile, in maniera spuria) a causa di un coefficiene β roppo basso.

6 4. Conclusioni Il modello GARCH è un oimo srumeno per il Risk-Managemen, e quesa breve ricerca conferma queso dao consolidao. Tuavia, esso va gesio con aenzione per eviare che nei casi in cui le sime sono disore (il che avverrà sempre per alcune serie, a causa delle fluuazioni saisiche) la variabilià della volailià ricosruia col modello sia eccessiva, implicando una ingiusificaa variabilià della classificazione del rischio finanziario. Quesa breve noa mosra due possibili foni di variabilià eccessiva, enrambe indipendeni dal modello. La prima e la disorsione nella sima, che nel caso del modello GARCH può riprodurre una sensibile (e ingiusificaa) variabilià della varianza ricosruia che porerebbe a una classificazione del rischio ballerina. Un modo per eviare che ciò avvenga è imporre una ragionaa resrizione economerica sui coefficieni. Uleriori sudi permeeranno di rendere ale scela meno arbiraria in un'oica di due diligence. La seconda fone di disorsione è quella dell'uilizzo di fasce di rischio rigide. Se l'aivo finanziario si rova roppo vicino a al confine di una banda, piccole variazioni simae della sua volailià porano a repenini cambi di classificazione. Successivi sudi si concenreranno su queso aspeo al fine di rendere più flessibile il passaggio da una classe di rischio all'alra, preservando una valuazione del rischio correa dal puno di visa finanziario.