UNITA' 13 (2 FLDN) SOMMARIO

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1 U.13/0 UNIT' 13 ( FLDN) SOMMRIO. IDROSTTIC.1. EQUZIONE DELL IDROSTTIC.1.1. Idrostatica (fluidostatica).1.. Princiio di Pascal (isotroia della ressione).1.3. Gradiente di ressione.1.4. Equaione dell idrostatica.1.5. Osservaioni.. MNOMETRI..1. Barometro... Pieometro..3. Manometro differeniale ad U..4. Micromanometri..5. Trasduttori di ressione..6. Tubo Bourdon

2 U.13/1.1. EQUZIONE DELL IDROSTTIC.1.1. Idrostatica (fluidostatica) Studia i fluidi in quiete, nei quali, cioè, non vi è moto relativo tra articelle di fluido limitrofe. In assena di moto relativo, non si manifestano fore di tio viscoso. Gli unici sfori resenti sono raresentati dalla ressione e sono di tio normale..1.. Princiio di Pascal (isotroia della ressione) La ressione in un unto è definita come la fora normale comressiva infinitesima divisa er l area infinitesima a cui è alicata. Si dimostra che il valore della ressione al unto non diende dalla giacitura dell area di alicaione. Si consideri un elemento di fluido come in figura, con rofondità unitaria (Δ = 1) e centroide in un generico unto di coordinate (,y,). Siano 1 e i valori medi della ressione sulle due facce dell elemento aventi direione normale arallela all asse e all asse y, risettivamente. Sia inoltre 3 il valore medio della ressione sulla faccia obliqua, inclinata di un angolo arbitrario α. Si vuole dimostrare che 1, e 3 sono tra loro uguali. Se si valuta l equilibrio alla traslaione in direione er l elemento di fluido, si ha che: ΔΔy F = Δm a Δ y 3Δs sen( α) = ρ a La massa Δm dell elemento di fluido, ari a ρ Δ Δy Δ/ ρ Δ Δy/, uò essere comlessivamente soggetta ad un moto accelerato, ma rivo di moti relativi tra articelle del fluido. Sulle suerfici dell elemento, aventi area ari a Δy Δ Δy, e Δs Δ Δs, agisce quindi la sola ressione. Se si valuta l equilibrio alla traslaione in direione y, si ha: ΔΔy ΔΔy Fy = Δm a y Δ 3Δs cos( α) ρg = ρ a 1 y nche in questo caso, sulle suerfici del volume di area ari a Δ Δ Δ, e Δs Δ Δs, agisce soltanto la ressione. Nelle relaioni recedenti si uò inoltre notare che

3 U.13/ e Δ s sen( α) Δy Δ s cos( α) Δ Sostituendo e semlificando, si ottiene e Δ 3 = ρ a ( a g) Δy 1 3 = ρ y + Passando al limite er Δ 0 e er Δy 0, il termine di destra di entrambe le relaioni recedenti va a ero. Se ne desume che: = = 1 3 nnullandosi il volume, le ressioni 1, e 3 si trovano ad essere alicate nello stesso unto, il centroide dell elemento di fluido. Inoltre, l angolo α è arbitrario, ed il rocedimento uò essere relicato in direione. Ne risulta che la ressione è necessariamente isotroa, ovvero il suo valore untuale non diende dalla direione. Di conseguena, la ressione uò essere, a seconda delle necessità, imiegata con significato sia vettoriale, sia scalare Gradiente di ressione La ressione è assunta come funione scalare, continua e derivabile, dello saio: = (, y,) Suerfici isobare sono le suerfici luogo dei unti d eguale ressione. Il gradiente di un camo scalare è un vettore che esrime la raidità di variaione massima ositiva della variabile in ciascun unto dello saio. Tale vettore è quindi orientato secondo i valori crescenti della variabile ed è, in ogni unto, diretto secondo la normale alla suerficie isovalore (isobara er il gradiente di ressione) assante er il unto considerato. grad r d r dn ( ) = n Le comonenti cartesiane del gradiente di ressione sono: r r r grad( ) = i + j + k y La raidità di variaione della variabile in una generica direione, individuata da un versore s r, é data da: d ds = grad r ( ) s

4 U.13/ Equaione dell idrostatica Si consideri un elemento di fluido in quiete, come in figura, avente dimensioni infinitesime e centroide localiato in un generico unto di coordinate (,y,). Siano -d/ e +d/ i valori della ressione sulle due facce con normale arallela all asse. Se si valuta l equilibrio alla traslaione in direione, si ottiene er l elemento: F = dm a d dyd + d dyd + dm g = dm a nalogamente, in direione y ed in direione si ha che: Fy = dm a y y dy dd y+ dy dd + dm gy = dm a y F = dm a d ddy + d ddy + dm g = dm a Poiché il fluido è in quiete, a = a y = a. La massa dm dell elemento uò essere inoltre valutata come segue: dm = ρdv = ρddyd Per le ressioni +d/ e -d/ si ha che: + d d = + = d d, y,, y, (, y,) d + (, y,) + = (, y,) d Lo stesso vale er le ressioni su tutte le altre facce dell elemento. Introducendo le relaioni recedenti in quella relativa all equilibrio alla traslaione in direione, si ottiene d d = che uò essere semlificata in (, y,) dyd (, y,) + dyd + ρddyd g 0 + ρ g = 0 d

5 U.13/4 Con analogo rocedimento, si ricava: + ρ g y y = 0 + ρ g = 0 Le tre equaioni recedenti costituiscono le roieioni sugli assi, y e dell equaione (vettoriale) dell idrostatica: r grad () + ρ g = 0 ovvero r r r i + j + k + ρ y r r r ( g i + g j + g k) 0 y = Se si sceglie un sistema di riferimento cartesiano in cui l asse è arallelo alla direione della gravità, ma tale che il verso di k r sia oosto al verso di g r, l equaione dell idrostatica si riduce alla relaione scalare: d d = ρg Se la densità del fluido è costante, si ottiene infine che, alla quota da cui d = ( ρg) d = ρg o = ρg ( ) o d.1.5. Osservaioni La ressione alla rofondità h = ( 0 ) non diende dalla forma del contenitore e, quindi, dal eso del fluido sorastante. Se la densità é costante, la ressione in un liquido cresce linearmente con la rofondità h (distana dal elo libero): = + ρgh h o In unti diversi di uno stesso fluido in quiete la ressione conserva il medesimo valore a arità di quota.

6 U.13/5.. MNOMETRI..1. Barometro È realiato riemiendo comletamente di mercurio un tubo di vetro graduato, chiuso all estremità inferiore. Il tubo viene oi rovesciato, in modo da immergerne l imbocco in una vaschetta anch essa iena di mercurio. seguito di ciò si verifica che la colonna di mercurio risale nel tubo, ma solo fino ad una certa altea. Lo saio vuoto sora la colonna si satura di vaori di mercurio; al suo interno si instaura una ressione Hg ari alla tensione di vaore del mercurio stesso, funione della temeratura. lla suerficie del fluido esosta all atmosfera (il elo libero) la ressione è ari alla ressione atmosferica. Lo stesso valore della ressione si ha dentro il tubo di vetro, alla stessa quota del elo libero. Infatti, in unti diversi di uno stesso fluido in quiete la ressione conserva il medesimo valore a arità di quota. Pertanto, considerando trascurabile la tensione di vaore del mercurio, il valore della ressione atmosferica uò essere correlato all altea della colonna di fluido risetto al elo libero (h=760 mm Hg a livello del mare): atm = ρ Hg gh+ Hg γ Hg h... Pieometro Si usa er misurare la ressione in un reciiente, o in un condotto con fluido in moto. Il fluido manometrico è semre liquido. Il fluido oeratore è: (a) liquido ( > atm ) = atm + ρgh (b) liquido ( < atm ) = atm ρgh (c) gas o liquido ( qualunque) = atm + ρ fluido manometrico gh ρgh 1

7 U.13/6..3. Manometro differeniale ad U È costituito da un tubo di materiale trasarente riiegato ad U come in figura. Si consideri il ramo di sinistra del manometro, considerando di avere acqua come fluido manometrico. licando al ramo l equaione dell idrostatica, si ricava che la ressione nel unto C vale: ( h 3 h1 ) + ρh Og h1 C = + ρariag Peraltro, alicando l equaione dell idrostatica al ramo di destra, si ha: ( h 3 h ) + ρh Og h C = B + ρariag Uguagliando tra loro i secondi membri delle due equaioni recedenti, si ricava che la differena di ressione tra i due ambienti o condotti e B vale: ( ρ ρ ) g( h h ) γ ( h h ) B = HO aria 1 HO L ultima semlificaione è resa ossibile dal fatto che il eso secifico dell acqua è tre ordini di grandea maggiore di quello dell aria. Se l estremità in B è aerta all atmosfera, il manometro restituisce la ressione relativa nel condotto o ambiente.,rel,ass atm H O ( h h ) γ 1 1 Nota: nei roblemi di manometria é oortuno rocedere come segue: a. scegliere un unto o un menisco (a ressione nota o incognita) ad una estremità della linea manometrica e scriverne il simbolo; b. rocedere verso il menisco successivo aggiungendo (se a quota inferiore) o sottraendo (se a quota sueriore) il termine ρgh, fino all altra estremità (ambiente o menisco); c. eguagliare la sommatoria al valore di ressione all estremità.

8 U.13/7..4. Micromanometri Micromanometro a tubo inclinato Serve ad amlificare il segnale monometrico e, quindi, a diminuire l imatto degli errori di lettura. B = ρgδh = ρglsenθ *Micromanometro a due fluidi a C D = γ 3 γ 1 γ1 a h

9 U.13/8..5. Trasduttori di ressione Un elemento deformabile, ad esemio una membrana, seara due ambienti, ai quali sono collegate due distinte rese di ressione. L elemento si deforma quando sulle sue due facce rinciali agiscono ressioni e, quindi, fore risultanti di ressione diverse. La differena di ressione tra i due ambienti uò essere osta in relaione con, ad esemio, la massima traslaione Δs subita da un unto dell elemento deformabile: Δ = 1 Δs La traslaione Δs è valutabile attraverso la risosta di un sensore direttamente collegato all elemento deformabile. Il sensore uò restituire un segnale elettrico, generalmente in tensione (sensore attivo), oure variare una sua rorietà come, ad esemio, la resistività elettrica (sensore assivo), in entrambi i casi roorionalmente alla traslaione. La risosta del sensore uò essere misurata tramite un sistema di acquisiione dati comuteriato, er uso industriale o da laboratorio. Tiicamente si imiegano: Trasduttori di ressione relativa = atm Δ = 1,rel Trasduttori di ressione assoluta 0 (ambiente vuoto e sigillato) Δ = 1,ass Trasduttori di ressione differeniale Δ = 1

10 U.13/9..6. Tubo Bourdon È costituito da un condotto schiacciato e ricurvo, che tende a raddriarsi quando la ressione interna è maggiore di quella esterna. La deflessione è roorionale alla differena tra ressione interna e ressione esterna. La lettura della ressione interna avviene tramite un indicatore a lancetta, collegato al tubo mediante un meccanismo che trasforma la deflessione in una rotaione della lancetta indicatrice. Se adeguatamente calibrato, il tubo Bourbon resenta buona accuratea. Tuttavia, uò essere facilmente danneggiato da fluttuaioni ad alta frequena della ressione.