LIMITI E CON TIN UITÀ DELLE FUN ZION I REALI A VARIABILE REALE

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L INSEGNAMENTO SECONDARIO Casse di Speciaizzazione A49-A59 Unità Didattica LIMITI E CON TIN UITÀ DELLE FUN ZION I REALI A VARIABILE REALE Genny Mazzo VIII Cico - Anno Accademico 7-8

2 COLLOCAZIONE DEL TEMA LIMITI E CONTINUITA NEL CONTESTO DEI PROGRAMMI MINISTERIALI DELLA SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE L insegnamento dea matematica nei icei di ordinamento si basa sui programmi ministeriai redatti ne 95, che però ricacano sostanziamente i programmi dea Riorma Gentie, risaente a 93. Ne attesa di una riorma dea scuoa secondaria superiore, moti icei hanno adottato progetti di sperimentazione, tra cui uno dei più seguiti è i Piano Nazionae per Inormatica (PNI). I suoi programmi sono stati eaborati ne 985, ao scopo di introdurre inormatica nee scuoe secondarie superiori; in reatà i progetto coinvose soo a scuoa secondaria superiore, con inserimento di eementi di inormatica a interno di nuovi e più corposi programmi di matematica e isica. Nea Circoare Ministeriae de 7 settembre 996, n. 65. Indicazioni programmatiche reative a'insegnamento dea matematica ne triennio de iceo scientiico, si aerma che: [ ] ne corso de triennio 'insegnamento dea matematica prosegue ed ampia i processo di preparazione scientiica e cuturae dei giovani già avviato ne biennio; concorre insieme ae atre discipine ao sviuppo deo spirito critico ed aa oro promozione umana ed inteettuae. Reativamente a inquadramento de argomento Limiti e continuità dee unzioni nei programmi ministeriai PNI di matematica e isica per i iceo scientiico, argomento in questione è trattato ne Tema n 7 Anaisi ininitesimae, a punto b, in cui consigia di introdurre i concetto di ite accompagnandoo da un ventagio quanto più ampio possibie di suoi impieghi in ambiti matematici ed etramatematici, arricchendo a trattazione presentando ed iustrando opportuni controesempi che serviranno a chiarire i concetti. I programmi aggiungono che, quaora insegnante o ritenesse opportuno, i concetti di ite e derivata, egati ai cassici probemi dea tangente a una curva e dea veocità, possono essere anticipati negi anni precedenti, recuperando soo aa ine un impostazione rigorosa. I successivi programmi eaborati daa Commissione Brocca negi anni 99 e 99, che rientravano in un progetto più ampio di riordino dea Scuoa secondaria superiore, non hanno sostanziamente modiicato i programmi PNI di Matematica e Fisica. Essi sono stati adottati dai vari istituti di istruzione secondaria come progetti di sperimentazione su proposta deo stesso Ministero dea Pubbica Istruzione. Tra i e i 4 si coocano invece e proposte di riorma dei curricoi di Matematica da parte de UMI, Unione Matematica Itaiana; scopo di questo avoro era queo di rinnovare i programmi aa uce dei cambiamenti intervenuti nea società e nee tecnoogie. Si voeva proporre, inatti, una matematica per i cittadino, cioè un corpus di conoscenze e abiità ondamentai da acquisire

3 indipendentemente daa varietà degi indirizzi dea scuoa secondaria, perché ritenute necessarie a tutti cooro che entrano ne attuae società. Anche in queste proposte si consigia di presentare un approccio intuitivo a concetto di ite, mediante introduzione di sempici esempi di successioni, ne secondo biennio de iceo scientiico. Questa conoscenza a parte de nuceo tematico reazioni e unzioni ; come abiità si richiede di possedere i senso intuitivo di ite di una successione. Nea ettera inviata ae scuoe da Fioroni, Ministro dea Pubbica Istruzione, i 7 dicembre 7, si espicita che a richiesta atta aa scuoa daa società itaiana è quea di corrispondere ai bisogni crescenti e nuovi che attuae ase di sviuppo tecnico-scientiico e di compessità sociae rende evidenti. I quadro normativo a cui ar rierimento è rappresentato da art., comma 6, dea L. 96/6 e da conseguente regoamento approvato con D. M. 39 de agosto 7. In aegato a tae decreto vengono indicati gi indirizzi reativi ai saperi e ae competenze, ae conoscenze e ae abiità che gi studenti dovrebbero acquisire. Gi ambiti di insegnamento sono suddivisi in assi, noi ci interesseremo de asse matematico. Tae asse ha obiettivo di ar acquisire ao studente saperi e competenze che o pongano nee condizioni di possedere una corretta capacità di giudizio e di sapersi orientare consapevomente nei diversi contesti de mondo contemporaneo [ ] La competenza matematica comporta a capacità e a disponibiità a usare modei matematici di pensiero e di rappresentazione graica e simboica, a capacità di esprimere adeguatamente inormazioni quaitative e quantitative, di esporare situazioni probematiche, di porsi e risovere probemi, di progettare e costruire modei di situazioni reai. La inaità de asse matematico è quea di riuscire a ar acquisire agi studenti e abiità necessarie per appicare i principi e i processi matematici di base ne contesto quotidiano (casa e avoro). DESTINATARI: L unità didattica è destinata ad una casse quarta di un iceo scientiico con sperimentazione PNI e viene inserita neo studio dee unzioni reai di variabie reae. Lo svogimento de attività inizierà ne primo quadrimestre. Le ore settimanai di matematica previste sono 5 e comprendono anche i aboratorio di inormatica. PREREQUISITI: Lo studente deve possedere e seguenti nozioni: Conoscenze di base di ogica: uso dei quantiicatori esistenziai ed universai; Nozioni di numeri irrazionai e trascendenti; numero di Nepero; Conoscenza degi eementi ondamentai de piano cartesiano; Concetto di unzione, dominio e codominio di una unzione; 3

4 Deinizione di unzioni pari e dispari e reative simmetrie; Deinizione di unzione crescente e decrescente (unzioni monotòne); Funzioni poinomiai, unzioni razionai e irrazionai, unzione segno, unzione vaore assouto, unzione radice, unzioni esponenziai e ogaritmiche, unzioni trigonometriche; Conoscenze minime di topoogia: intervao, intorno, punto di accumuazione; Conoscenza minime de sotware didattico Derive. ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI: Prima de inizio di questo nuovo percorso didattico è opportuno accertarsi che gi aievi abbiano acquisito determinati concetti e proprietà e si provvederà a tae accertamento mediante un cooquio con a casse e o svogimento di acuni esercizi come ripasso. Gi studenti verranno quindi chiamati aa avagna per dimostrare e conoscenze su tai prerequisiti. Inotre verranno assegnati esercizi per casa. Si cercherà, ogniquavota questi verranno utiizzati, di richiamare proprietà e concetti ad essi egati. OBIETTIVI GENERALI: Acquisire e conoscenze e e abiità previste da percorso didattico Operare con i simboismo matematico riconoscendo e regoe sintattiche di trasormazioni di ormue Condurre ad un appropriato essico matematico Rendere gi studenti in grado di arontare situazioni probematiche di varia natura; Arontare situazioni probematiche di varia natura avvaendosi di modei matematici atti aa oro rappresentazione Sviuppare a capacità di eggere un graico Sviuppare a capacità di abbozzare su ogio un graico sommario dee unzioni studiate Costruire procedure di souzione di un probema sapendo argomentare i passaggi utiizzati Inquadrare storicamente evouzione dee idee matematiche ondamentai Saper avorare con i vari sotware didattici OBIETTIVI TRASVERSALI: Acquisire abiità di studio Sviuppare capacità ogiche, argomentative e intuitive Sviuppare o spirito critico e potenziare i ragionamento 4

5 Sviuppare a capacità di riesaminare criticamente e sistemare ogicamente e conoscenze acquisite Sviuppare attitudine aa comunicazione e ai rapporti interpersonai avorendo o scambio di opinioni tra i docente e aievo e tra gi aievi stessi per abituare aa comunicazione scientiica e a conronto di idee Produrre congetture e sostenere con ragionamenti coerenti; Vautare opportunità di ricorrere ai mezzi tecnoogici disponibii per ragionare sue situazioni probematiche proposte Abituare a rispettare i tempi di consegna dei avori Perseguire ed ampiare i processo di preparazione scientiica e cuturae degi studenti OBIETTIVI SPECIFICI: Gi obiettivi speciici sono suddivisi in conoscenze e abiità. OBIETTIVI SPECIFICI Conoscenze: Conoscere origine storica de concetto di ite Conoscere i concetto intuitivo di ite e e deinizioni rigorose di ite (Limite inito di una unzione in un punto, ite ininito di una unzione in un punto, ite inito di una unzione a ininito, ite ininito di una unzione a ininito); Conoscere i teoremi ondamentai sui iti (Unicità de ite, conronto, permanenza de segno); Conoscere i teoremi su cacoo dei iti; Conoscere e orme indeterminate; Conoscere i iti notevoi dee unzioni Conoscere a deinizione di asintoto; sen per e per ; Conoscere i concetto di unzione continua in un punto e in un intervao; Conoscere a continuità dee unzioni eementari; Conoscere e operazioni tra unzioni continue; Conoscere a deinizione di punto di discontinuità e a dierenza tra i tre tipi (discontinuità di prima, seconda e terza specie); Conoscere i principai teoremi sue unzioni continue in un intervao (Weierstrass, vaori intermedi, esistenza degi zeri). 5

6 Abiità: Saper dare a deinizione di ite nei quattro casi e a rispettiva interpretazione graica; Saper enunciare e dimostrare i teoremi ondamentai sui iti (Teorema de unicità de ite, Teorema de conronto, Teorema di permanenza de segno); Saper riconoscere i iti ondamentai; Saper appicare i iti ondamentai nea risouzione di iti dai più sempici ai più compessi; Saper appicare con correttezza e consapevoezza e varie tecniche risoutive a ine di rimuovere e orma indeterminate per poter eettuare i cacoo de ite; Saper riconoscere quando una unzione riporta degi asintoti e determinarne equazione; Saper deinire una unzione continua in un punto ed in un intervao; Saper riconoscere e rappresentare graicamente i punti di discontinuità di una unzione (discontinuità di prima, seconda e terza specie) Saper interpretare graicamente i signiicato dei teoremi ondamentai dee unzioni continue. METODOLOGIE DIDATTICHE Si introdurrà argomento utiizzando un approccio storico-epistemoogico che, per tanti argomenti di matematica, è ondamentae per ar capire agi studenti che ciò che si sta ha dee origini ed è rutto di una evouzione. Nee ezioni in casse si cercherà di dare prima un interpretazione intuitiva dei concetti per poi passare aa ormaizzazione rigorosa in modo da avvicinare graduamente a concetto un po astratto di ite. Si partirà quasi sempre da esempi che verranno commentati opportunamente con aiuto de insegnante per poter poi trarre deinizioni e teoremi. Per apprendimento dei contenuti e per perseguire gi obiettivi esposti si arà uso di ezioni sia rontai che diaogate, con i sussidio de ibro di testo e di otocopie contenenti esercizi svoti e approondimenti. Quindi nea stessa ora di ezione si arà uso de approccio diaogato e de approccio rontae; e ezioni non saranno mai soo rontai in modo da creare discussioni guidate che stimoeranno gi aunni a dare i oro contributo attivo mediante osservazioni e domande. Gi esempi e gi esercizi, come anche a spiegazione teorica, verranno sistematicamente aiancati da graici che possono aiutare moto gi studenti a chiarire concetti che potrebbero sembrare astratti. 6

7 Verranno assegnati compiti per casa, cercando di dedicare sempre una parte dea ezione aa correzione di questi aa avagna sia da parte de docente, che da parte dei ragazzi. (I compiti verranno comunque controati da docente, per assicurarsi che i ragazzi i svogano). Verranno discussi e conrontati insiemi gi esercizi che hanno apportato incertezze e probemi. Si svogerà attività di aboratorio inormatico utiizzando sotware didattici come Derive; in queste occasioni si preerirà i avoro di gruppo, e esercitazioni guidate ma anche quee autonome. STRUMENTI UTILIZZATI: Libro di testo Lavagna e gessi Cacoatrice scientiica Riga e squadre Fotocopie Sotware didattici come Derive. CONTROLLO DELL APPRENDIMENTO: I controo de apprendimento sarà eettuato mediante veriiche ormative e veriica sommativa. Le veriiche ormative consistono ne controo degi esercizi assegnati per casa, a correzione aa avagna degi stessi, eettuato dagi aievi, a discussione in casse dei probemi incontrati neo svogimento degi esercizi e neo studio dea teoria, quache domanda durante e ezioni, o svogimento di quache esercizio aa avagna. Le veriiche sommative consistono in prove orai e prove scritte. Le prove orai serviranno a docente per vautare non soo a teoria appresa dai ragazzi, ma verrà chiesto anche o svogimento di quache esercizio e verranno atte domande riguardanti e attività di aboratorio. La prova scritta sarà svota a termine de unità didattica e ha soprattutto i compito di vautare e abiità e permetterà di veriicare autonomia deo studente ne utiizzo degi strumenti orniti. VALUTAZIONE: Per determinare i voto dea veriica sommativa attribuiamo ad ogni esercizio un punteggio. La diversità di punteggio rappresenta un diverso iveo di diicotà in termini di conoscenze e abiità. 7

8 Per attribuire i punteggio teniamo conto dei seguenti indicatori: o Conoscenze speciiche o Competenze ne appicare e procedure e i concetti acquisiti o Capacità ogiche ed argomentative o Competezza dea risouzione o Correttezza dea risouzione e de esposizione Naturamente, ne caso di errore neo svogimento de esercizio, verrà attribuito soo parte de punteggio competo. Per are questo, si stabiirà di vota in vota, a seconda dea gravità de errore commesso, quanto aro pesare e di quanto abbassare i punteggio. Fatto questo, appicheremo a stessa diminuzione di punteggio a ciascun studente che avrà atto o stesso errore. Riportiamo ora una grigia che verrà utiizzata nea vautazione dea veriica sommativi inae. È stato attribuito un punto per ogni richiesta che viene atta ne esercizio non distinguendo gi esercizi in base aa diicotà ritenendoi generamente tutti di diicotà anaoga. A seconda de numero e de tipo di esercizi si attribuirà punteggio diverso. Esempio: Esercizio Punti Punti Assegnati Totae /34 Tabea di vautazione per intero compito in decimi

9 RECUPERO: Per gi studenti che trovano diicotà ne apprendimento, verranno svote attività pomeridiane, ossia gi sportei, che consistono in esercitazioni mirate a singoo studente. TEMPI PREVISTI PER L INTERVENTO DIDATTICO: Per svogere unità didattica sua paraboa si prevedono i seguenti tempi: Accertamento dei prerequisiti: h Introduzione storica ai iti e deinizioni di ite nei 4 casi (ite inito di una unzione in un punto etc.): h Teoremi sui iti e operazioni con i iti: h Limiti notevoi; esempi di cacoo dee orme indeterminate: 3h 9

10 Deinizione di unzione continua in un punto e in un intervao; continuità di acune unzioni eementari: h Operazioni tra unzioni continue; deinizione i tre tipi di discontinuità: h Deinizione e determinazione degi asintoti; teorema di Weierstrass: h Teorema dei vaori intermedi: h Teorema di esistenza degi zeri: h Veriica sommativa: h Consegna e correzione veriica sommativa: h Tot.: 9 ore Le ore indicate sopra sono da intendersi di pura spiegazione e presentazione degi argomenti, seguita da esempi chiariicativi; a queste ezioni si devono aggiungere dae ae 5 ore (dipende daa reazione e daa partecipazione dea casse) dedicate ao svogimento di esercizi appicativi degi argomenti svoti. Queste ore di esercitazione NON saranno atte tutte aa ine ma saranno equamente distribuite aa ine dee spiegazioni. Poiché e ore settimanai di matematica previste dai programmi ministeriai, per questa casse, sono 5, si stima di riuscire a svogere argomento in questione in mesi abbondanti. SVILUPPO DEI CONTENUTI:. Approccio storico-epistemoogico: a nascita de cacoo ininitesimae. Concetto intuitivo di ite 3. Limite inito di una unzione in un punto 4. Limite ininito di una unzione in un punto 5. Limite inito di una unzione a ininito 6. Limite ininito di una unzione a ininito 7. Teoremi sui iti (Unicità de ite, conronto, permanenza de segno) 8. Cacoo dei iti 9. Cacoo dee orme indeterminate e iti notevoi. Funzioni continue e operazioni tra unzioni continue. Punti di discontinuità (I, II e III specie). Teoremi ondamentai sue unzioni continue (Weierstrass, esistenza degi zeri, vaori intermedi). Approccio storico epistemoogico: a nascita de cacoo ininitesimae

11 I concetto generae di ite sembra abbastanza intuitivo ed è usato quotidianamente ne inguaggio parato; dobbiamo però cercare di deiniro con precisione e capire come i concetto si possa appicare aa matematica. I ite in matematica è soo una tortura in più per gi studenti o è stato studiato anche ne antichità? A quae scopo? I iti e e oro appicazioni hanno permesso di dare a risposta ad acuni probemi che erano rimasti irrisoti ino a 6; tra questi probemi ricordiamo queo de cacoo dea veocità di un corpo in ogni singoo istante, a determinazione de massimo e de minimo di una unzione, a determinazione dea tangente a una curva e i cacoo dea unghezza di una curva, dee aree deitate da curve, dee superici e dei voumi. Soprattutto i due probemi, egati aa isica, dovrebbero essere stati introdotti, ameno intuitivamente, nea casse terza; ora si provvederà a dare una impostazione rigorosa. Tutto questo verrà atto seguendo e indicazioni dei programmi ministeriai: se i docente o ritiene opportuno, un idea intuitiva dei concetti di ite e di derivata, egati ai cassici probemi dea tangente ad una curva e dea veocità, può essere data negi anni precedenti, recuperando soo aa ine una impostazione rigorosa a) come si deinisce a veocità in un determinato istante? In un moto acceerato a veocità e acceerazione di un corpo cambiano in ogni istante, quindi, dovendo cacoare a veocità istantanea, considerando che, sia o spazio percorso che i tempo necessario sono nui, si avrà un espressione de tipo, che non ha signiicato. Ma gi oggetti che si muovono hanno una veocità in ogni istante de oro cammino, quindi si deve potera cacoare. La veocità istantanea viene perciò deinita come un rapporto tra quantità tendenti a zero, dette ininitesime o per usare e paroe di Isaac Newton come utimo rapporto di quantità evanescenti. Newton spiegava che utimo rapporto di due quantità evanescenti: è da intendersi i rapporto dee quantità non prima che esse svaniscono, né dopo che sono svanite, ma con i quae esse svaniscono Newton sembra voer dire che bisogna considerare i rapporto ne preciso istante in cui i numeratore e i denominatore diventano zero cioè proprio que istante in cui a razione si presenta come /. Newton, matematico de 6, ne suo capoavoro principae, "Phiosophiae naturais principia mathematica", otre ad esporre i risutati dee sue indagini in campo meccanico e astronomico, getta e basi de cacoo ininitesimae.

12 Leibniz tendeva ad arontare a questione con a discussione dee quantità ininitamente piccoe. Con ciò egi intendeva dee quantità che, per quanto non nue non potevano essere uteriormente diminuite (come gi atomi dea chimica), e sue quantità ininitamente piccoe erano i mattoni, e unità indivisibii che costituivano a matematica, e cose più vicine ao zero che ci ossero. Augustin-Louis Cauchy, ne 8, propose questa deinizione di ite: Aorché i vaori successivi assunti da una stessa variabie si avvicinano indeinitamente a un vaore issato in modo da dierirne aa ine tanto poco quanto si vorrà quest utima quantità è chiamata i ite di tutte e atre. Cauchy evita termini come ininitamente piccoo ; notiamo invece uso di espressioni come "vaori successivi" o "avvicinarsi indeinitamente" o " tanto poco quanto si vorrà". Egi dice sempicemente che un certo vaore è i ite di una variabie se possiamo are in modo che a variabie dierisca da ite tanto poco quanto vogiamo. Tutto queo che importa è a possibiità di arrivare tanto vicino a ite quanto si vuoe. I successo dea deinizione si basò in arga misura su atto che per suo tramite Cauchy riuscì a dimostrare i più importanti teoremi de anaisi. Ma anche asserzione di Cauchy aveva bisogno di essere messa a punto. Kar Weierstrass ha contribuito a consoidamento dee ondamenta de anaisi matematica (un processo che va sotto i nome di aritmetica de anaisi ). Nee sue ezioni deiniva i ite dea unzione () ne punto ne modo seguente: "Se data una quasiasi grandezza e, esiste una h, tae che per <h<h a dierenza ( ±h)- L è minore di e in vaore assouto, aora L è i ite di () per = ". b) Un uteriore probema consisteva nea determinazione de massimo e de minimo di una unzione; probema egato in particoare ao studio de moto: si sapeva che ne moto dei proiettii a gittata, cioè a distanza orizzontae percorsa da proiettie, dipendeva da angoo di eevazione de cannone rispetto a terreno ma era importante sapere quae osse angoo massimo che dava a massima gittata. c) Per quanto riguarda i probema di individuare a retta tangente ad una curva, in passato i Greci paravano di tangente ad una conica come quea retta che intersecava a conica in un soo punto e che rimaneva tutta da una stessa parte rispetto ad essa. La pubbicazione dei Principi matematici, u causa di una accesa disputa con i matematico Leibniz, che a sua vota era giunto aa scoperta de cacoo ininitesimae in una orma indipendente e che acuni consideravano più moderna di quea di Newton.

13 In reatà questa deinizione non è adatta a deinire a tangente se a curva osse più compessa in quanto in questo caso, a retta tangente ad una curva ne punto P non interseca a curva in un soo punto e non rimane da una stessa parte rispetto ad essa. P. Concetto intuitivo di ite Da introduzione storica si dovrebbe aver capito che a necessità di introdurre i iti è stata avvertita per descrivere e capire i comportamento di acune unzioni vicino ai punti nei quai esse perdevano signiicato. Senza ricorrere ai probemi dei grandi isici de passato, ci accorgiamo anche noi, di acune itazioni che abbiamo incontrato nei cacoi in dae eementari. Si può eseguire a divisione tra un quaunque numero (diverso da ) e? Nea peggiore dee ipotesi prendiamo una cacoatrice e proviamo a digitare 5:; a cacoatrice ci manda un messaggio: ERROR. Ma perché? Che cosa signiica dividere un numero per? Proviamo a mano, oppure con a cacoatrice, oppure con i computer, a dividere 5 per numeri moto piccoi, vicini a : ,,, Si dovrebbe già sapere, comunque si nota che a diminuire de numero a denominatore si incontra un aumento de vaore dea razione; se continuiamo a diminuire i denominatore, e o acciamo diventare ininitamente piccoo (cioè ininitamente prossimo ao zero), i vaore dea razione diventa ininitamente grande. Questo atto, in matematica si suoe esprimere dicendo che i ite di una razione co denominatore che tende a zero è ininito. 3

14 Quindi pur continuando a dire che a divisione per zero è impossibie, abbiamo comunque aermato che a divisione per zero tende a ininito. Sinteticamente, anche se a scrittura k non ha senso, si scrive k Nota didattica: acciamo presente agi studenti che non è un numero ma soo un simboo che ci indica i comportamento di una unzione i cui vaore diventa arbitrariamente grande. Questa precisazione è importante per evitare che neo studente si creino misconcezioni che o portino anche a pensare che ininito sia una grandezza che si può paragonare o addirittura sommare o sottrarre ad atre grandezze inite: scritture come, o non hanno signiicato. 3. Limite inito di una unzione in un punto Prima di introdurre a deinizione rigorosa invitiamo gi studenti ad esaminare una unzione 9 de tipo: 3 ) Determinare i dominio ) Tracciare i graico per via eementare 4

15 I graico che si otterrà sarà una retta di equazione y 3 privata de punto 3; 6 e con dominio D ;3 3; 3) Esaminare, aiutandosi con i graico tracciato, cosa succede ai vaori assunti daa unzione quando ci si avvicina a punto 3 da destra e da sinistra. La unzione non è deinita in, ma 3 è un punto di accumuazione per D; questo signiica che in un intorno V di 3 cadono ininiti numeri di D. Possiamo pensare di trovare e coordinate dei punti dea unzione e cui ascisse appartengono a V; i oro vaori descriveranno i comportamento dea unzione quando assume vaori prossimi a 3. A questo punto si potrebbe pensare di organizzare una piccoa attività di aboratorio; portiamo a casse ne aboratorio di inormatica e cerchiamo di ar capire cosa succede con i iti mediante utiizzo de sotware Derive. Riportiamo in aegato un esempio di attività. Cosa osserviamo? Man mano che si avvicina a 3 (sia da sinistra che da destra), i vaori di y si avvicinano a -6. Cerchiamo ora di ormaizzare quanto capito; riprendiamo a unzione e acciamo notare che comunque si issi un intorno de punto y 6, 9 3 U 6 ; 6 si riesce sempre a trovare un intorno di 3, V 3 ;3 tae che 3 ;3, con 3, risuta 6 6. Pertanto diciamo che i ite per tendente a 3 dea unzione, è uguae a -6 e scriviamo: DEFINIZIONE: Limite inito di tendente ad un vaore inito Sia una unzione deinita in tutti i punti di un intervao I a, b tranne a più in I. Si dice che a unzione ha per ite i numero reae per che tende a e si scrive 5

16 se, comunque si scegie un numero reae positivo,, è possibie determinare un intorno competo V di, (cioè un insieme di punti tai che ), tae che per ogni V, diverso (a più) da, sia veriicata a condizione. NOTA I graico sopra è stato presentato soo per questo primo ite; per gi atri ho atto rierimento soo agi esempi; ho invitato i ragazzi a provare a rappresentare graicamente, da soi, i signiicato dea deinizione. Cerchiamo, inotre, di ar ben capire dove si posizionino ed ne graico. Osservazioni Spesso si prende come intorno V di un intorno circoare, quindi a deinizione data sopra si può ormuare: t.c. con si ha ( ) Operativamente ricordare che A( ) k k A( ) k Cosa signiica a deinizione? Signiica che issato un a piacere, piccoo quanto si vuoe, riusciamo sempre a trovare un intorno di che sia tae che per ogni punto che appartiene a que intorno, a unzione () appartiene a intervao ;. In atri termini: quando è moto vicino a, () è moto vicina ad. tranne a più in : cioè in a unzione può anche non essere deinita; 6

17 quando diciamo reae positivo, pensiamo a vaori di che diventano sempre più piccoi ; diremo che è preso piccoo a piacere ; cambiando cambierà in corrispondenza anche, per cui è opportuno sottoineare a dipendenza di da, scrivendo ; se a condizione si veriica in un intorno destro di, e non in un intorno competo, si dice che esiste i ite destro dea unzione e si scrive: anaogamente se a condizione si veriica in un intorno sinistro di, e non in un intorno competo, si dice che esiste i ite sinistro dea unzione e si scrive: se diciamo che esiste i ite dea unzione per, è sottinteso che esiste ite destro, ite sinistro e che sono uguai cioè: La deinizione di ite può servire non per cacoare i ite ma per veriicare se un ite ornitoci, è corretto o meno. Esempio 5 Veriicare che 3 Si deve provare che, sceto, esiste un intorno competo di 3 per ogni de quae (escuso a più 3) si ha 5, ossia: Espicitiamo i vaore assouto aggiungiamo 3/ ai tre membri: 3. 3, 3 3, motipichiamo ciascun membro per in modo da isoare a : 7

18 3 3. L insieme dee souzioni di questa disequazione è quindi 3,3, abbiamo trovato un intorno di 3 (i raggio de intorno è, dipende da ) per cui è vera a condizione iniziae, quindi i ite è veriicato. Esercizi per casa (o aa avagna): Appicando a deinizione di ite, veriicare che: 3 (3 ) 8 n Daa deinizione si deduce che i ite in un punto, è indipendente da comportamento dea unzione ne punto stesso; si possono veriicare, inatti i seguenti casi: a unzione è deinita in, esiste i ite per ed è uguae a vaore che a unzione assume in ; a unzione è deinita in ed esiste i ite per ma c Esempio Studiamo a unzione 3 se se I coincide con, ;invece non coincide con, se perché mentre Basta provare che,, esiste un intorno di tae che,, con, risuta: 8

19 a unzione è deinita in, ma non è possibie deinire i ite per ; Esercizio dire se è possibie dare a deinizione di ite per tendente a zero dea unzione motivando a risposta. ( a unzione assumerà un vaore preciso ()= ma non si può parare di ite per tendente a zero perché a unzione non esiste in un intorno deo zero ( D ; ; ) a unzione non è deinita in, ma esiste i ite per Esercizio utiizzando a deinizione di ite, veriichiamo che risuta 4. Limite ininito di una unzione in un punto Per introdurre a deinizione di ite ininito di una unzione per che tende a un vaore inito, utiizziamo o studio di un atra unzione: ) Determinare i dominio; ) Tracciare i graico per via eementare; ( ) 9

20 I dominio dea unzione sarà D ; ; e i graico che otterranno sarà queo mostrato nea igura sopra. 3) Esaminare, aiutandosi con i graico tracciato, quai vaori vengono assunti da quando ci si avvicina a punto da destra e da sinistra. 4) Esaminare andamento de graico dea unzione quando ci si avvicina a punto da destra e da sinistra. Cosa osserviamo? Osserviamo che, man mano che si avvicina a - (sia da sinistra che da destra), i vaori di y diventano sempre più grandi. Per esercizio si può provare a costruire una tabea anaoga (con derive) a quea atta ne esempio precedente per osservare i comportamento dea unzione quando assume vaori che appartengono ad un intorno sinistro e destro di ; i dati numerici raorzeranno i graico. Pertanto con anaoghe considerazioni a quee atte prima diremo che i ite per tendente a - dea unzione, è uguae a e scriviamo: ( ) OSSERVAZIONE DIDATTICA

21 L insegnante dovrebbe tentare di ar capire agi studenti che tutte e atre deinizioni che verranno date, seguono daa prima e che non è necessario imparare tutto a memoria, bisogna soo are un piccoo sorzo per capire bene a prima, e atre verranno di conseguenza. L insegnante, prima di dare a nuova deinizione, potrebbe spronare gi aunni a immaginare come potrebbe essere. DEFINIZIONE: Limite ininito per tendente ad un vaore inito Sia una unzione deinita in tutti i punti di un intervao I a, b tranne a più in I. Si dice che a unzione ha per ite per che tende a e si scrive se, comunque si scega un numero reae positivo, M, è possibie determinare in corrispondenza a tae sceta, un intorno competo di V di, (cioè un insieme di punti tai che M ), tae che per ogni V sia veriicata a condizione M OSSERVAZIONI: i vaore assouto indica che si possono veriicare due casi (a seconda dee situazioni): M oppure M : se in V, escuso, vae sempre a disequazione M, si ha che e in questo caso si dice che a unzione diverge positivamente; se invece, vae sempre a disequazione M, si ha che e in questo caso si dice che a unzione diverge negativamente; quando diciamo M numero reae positivo pensiamo a vaori si M che diventano sempre più grandi; a condizione corrisponde a ; cambiando M cambierà in corrispondenza anche dipendenza di da M, scrivendo M., per cui è opportuno sottoineare a Esercizio Provare a rappresentare graicamente, in generae, i signiicato dea deinizione.

22 Veriica de ite Come si veriica un ite ininito? Esempio Usiamo a unzione di prima ( ) ( ) e veriichiamo, tramite a deinizione appena vista che ( ) Fissiamo arbitrariamente un numero reae positivo M e risoviamo a disequazione passando ai reciproci si ha ( ) ( ) Estraiamo a radice quadrata ad entrambi i membri Espicitiamo ora i vaore assouto M M M Possiamo ora dire che insieme dee souzioni dea disequazione è intorno di M M dato da ; M M ( intorno ha i raggio che dipende da M: a aumentare di M diminuisce i raggio); quindi, issato M generico, esiste un intorno di in cui i punti veriicano a condizione M. Gi asintoti verticai Una retta r è detta asintoto de graico dea unzione () se: a distanza PH di un generico punto P ; da tae retta tende a zero quando ascissa o ordinata de punto tendono a ininito, cioè: PH per oppure per ().

23 ????????????? La retta La retta si dice ASINTOTO VERTICALE cioè è una retta paraea a asse dee y a cui i graico dea unzione si avvicina progressivamente. Quindi in generae, si dice che a retta entrambe e condizioni:. a unzione non è deinita per,. se Si possono veriicare e situazioni mostrate nee due igure seguenti: è asintoto verticae dea unzione se vagono Ne nostro esempio asintoto verticae è a retta. OSSERVAZIONI 3

24 ) Se una unzione non è deinita in un punto, non necessariamente ha in que punto un asintoto verticae. Esempio La unzione non è deinita per, i suo graico è i seguente e non ha acun asintoto verticae. Inatti, in questo caso, è veriicata soo una dee condizioni dette prima. ) i graico di una unzione può avere più asintoti verticai, anche ininiti come ne caso dea unzione tangente: tg 3) È necessario che tutti i punti di un intorno competo di acciano parte de dominio dea unzione. 4) Anche in questo caso a deinizione è utie per veriicare esattezza di un ite dato. Esercizi per casa (o aa avagna) 4

25 ESERCIZIO : veriicare che risuta: ESERCIZIO : provare che risuta: e ESERCIZIO 3: veriicare esattezza de seguente ite: 3 3 ESERCIZIO 4: veriicare che 3 5. Limite inito di una unzione a ininito Un probema anaogo ai precedenti si può porre ne caso di unzioni deinite su tutto asse reae (o su una semiretta); ad esempio si può ar rierimento ae unzioni tempo, deinite su semiasse positivo per t. Facendo un breve rierimento a esperienza quotidiana, possiamo dire che, ne caso di enomeni dipendenti da tempo, si para spesso di andare a regime o stabiizzarsi dopo un certo tempo. Per esempio si può pensare a numero di un certo prodotto aentare venduto giornamente; si tratta di una unzione tempo che, dopo eventuai brusche variazioni in un periodo di orte pubbicità, si stabiizza su una certa quota giornaiera costante. Per indicare questo comportamento si para di ite inito dea unzione a ininito. Prima di dare a deinizione, come a soito osserviamo i comportamento di acune unzioni. Consideriamo e unzioni: g, sen ) Determinare i dominio ) Tracciare i graico per via eementare 3) Aiutandosi con i graico tracciato di ciascuna unzione, esaminare andamento quando tende a. si avvicina aa retta y ; 5

26 g continua ad osciare tra -3 e- senza avvicinarsi a nessun punto in particoare. Per esercizio si può proporre agi studenti di compiare una tabea di vaori, simie a quee compiate in precedenza. DEFINIZIONE: Limite inito per tendente a ininito Sia una unzione deinita in,. Si dice che a unzione ha per ite i numero reae per che tende a ininito e si scrive se, comunque si scega un numero reae positivo,, è possibie determinare in corrispondenza a tae sceta, un numero reae positivo, N, tae che per ogni che veriichi a condizione N si abbia:. OSSERVAZIONI: Se è soddisatta soo per N, oppure sotanto per N, aora si dice che esistono rispettivamente, i iti, Esercizio Provare a rappresentare graicamente, in generae, i signiicato dea deinizione. 6

27 La retta y La retta y si dice ASINTOTO ORIZZONTALE cioè è una retta paraea a asse dee a cui i graico dea unzione si avvicina progressivamente. I graico di una unzione può ammettere a massimo due asintoti orizzontai e ciò accade quando i iti dea unzione per sono entrambi initi, ma diversi ra oro. Esercizio Veriicare che. Si tratta di risovere a disequazione: e vedere se ra e sue souzioni vi è un intorno di (cioè unione di un intorno di con uno di ). Svogendo i cacoi avremo: Tenendo conto che, i primo intervao ottenuto rappresenta un intorno di, i secondo un intorno di ; possiamo concudere quindi che i ite è veriicato. 3 ESERCIZIO : veriicare che 3 7

28 ESERCIZIO : provare che e ESERCIZIO 3: veriicare che risuta ESERCIZIO 4: provare che 4 6. Limite ininito di una unzione a ininito Osserviamo a unzione ( ) 3 Notiamo che quando va verso vaori moto grandi (o moto piccoi), anche a unzione assume vaori moto grandi, ossia tendenti a. DEFINIZIONE: Limite ininito per tendente a ininito Sia una unzione deinita in,. Si dice che a unzione ha per ite ininito, per che tende a ininito e si scrive se, comunque si scega un numero reae positivo, M, è possibie determinare in corrispondenza a tae sceta, un numero reae positivo, N, tae che per ogni che veriichi a condizione N si abbia: M 8

29 OSSERVAZIONI: Se per iti: N risuta sempre M, aora si dirà che esistono rispettivamente i, Se per N risuta sempre M, oppure M, oppure M, aora si dice che esistono rispettivamente i iti:,, Se inine, per N risuta sempre M, oppure M, oppure M, aora si dice che esistono rispettivamente i iti:,, Se si veriica che scriveremo Esercizio Se si veriica che scriveremo Provare a rappresentare graicamente, in generae, i signiicato dea deinizione. Esempio Veriicare che 3 4. Si tratta di risovere a disequazione: 3 4 M Svogendo i cacoi avremo: 9

30 3 4 M 3 M 4 3 M 4 Posto 3 N M 4 a reazione è veriicata per ogni N e quindi i ite è veriicato. Esercizio per casa (o aa avagna) Veriicare i seguenti iti a) ( 3 ), b), c) 7. Teoremi sui iti Enunceremo di seguito dei teoremi e dee proprietà che sono vaidi per unzioni deinite in quasiasi dominio D e per punti (in cui cacoiamo i ite) di accumuazione de dominio D; vagono inotre per. Per sempicità, tuttavia, penseremo sempre a particoari domini D, ossia a intervai di e a come punto di D. I teoremi che seguono sono presentati utiizzando iti initi () di unzioni in un punto ( ); osserviamo che essi vagono anche se invece di abbiamo o. Teorema di unicità de ite Se una unzione ammette ite per, aora tae ite è unico. Prima di procedere con a dimostrazione cerchiamo di spiegare i signiicato de teorema. Trovare i ite() di una unzione in un punto signiica che, man mano che i vaori assunti daa unzione tendono a stabiizzarsi verso que vaore di (si avvicinano ad senza mai toccare que numero). Se questi vaori si stabiizzano attorno a un certo vaore, essi non possono stabiizzarsi anche attorno a un atro vaore ; quindi non possiamo trovare vaori diversi come iti dea stessa unzione in uno stesso punto. Dim. Dimostriamo a tesi per assurdo. Ricordiamo che per eettuare questo tipo di dimostrazione si procede ne seguente modo: si suppone asa a tesi; se con questa supposizione si arriva a negare 3

31 ipotesi iniziae, signiica che è sbagiato supporre asa a tesi, quindi a tesi de teorema è dimostrata. Supponiamo che a tesi sia asa, cioè che non sia unico, ossia che (otre ad ) esiste un atro vaore m tae che ( ) m m Aora sarà sicuramente m< oppure m>. Supponiamo m< e, poiché possiamo scegiere (positivo) piccoo a piacere, consideriamo m Appichiamo ora a deinizione di ite a entrambi i casi: dovrebbero esistere due intorni V e V di tai che ( ) per ogni V ( ) m per ogni V ' Osserviamo che anche contemporaneamente V V ' è un intorno di. Aora in ( ) ( ) m per ogni V V ' V V ' devono vaere Espicitando i vaori assouti: ( ) m ( ) m Conrontando e disuguagianze possiamo aermare che m ( ) da cui segue che ricaviamo : m m m m da cui otteniamo che m. Ma iniziamente avevamo supposto a disuguagianza opposta, cioè che osse m. 3

32 Da qui possiamo concudere che a supposizione che esistano due iti distinti ed m è asa. Quindi se OSSERVAZIONE Se osse vero che, i ite è unico. m, questo signiicherebbe che i vaore di () dovrebbe appartenere contemporaneamente a un intorno di e ad un intorno di m, intorni che non hanno vaori in comune!!! Questo è impossibie. NOTA Espicitamente non ci sono esercizi precisi di appicazione di questo teorema; impicitamente, ogni vota che si cacoa un ite si appica i principio de teorema, ne senso che, se si cacoa i ite e si trova un certo vaore si può essere sicuri che non ne esistono atri! Teorema de conronto (Teorema dei due carabinieri) Siano, g e h tre unzioni deinite neo stesso dominio D, escuso a più un punto. Se per ogni punto de dominio, diverso da risuta: g h e se, inotre, è h, aora risuterà anche: g NOTA I teorema viene anche detto dei due carabinieri perché a unzione g viene stretta/chiusa dae atre due unzioni ed h; se queste si muovono in una direzione (in inguaggio matematico tendono a un certo vaore ), anche a unzione g è costretta ad andare verso que vaore. Dim. Per ipotesi sappiamo che h quindi daa deinizione di ite segue che, preso comunque un corrispondenza di esso due intorni competi di, V e, è possibie determinare in V ' (cioè un insieme di punti tai che 3

33 e ), tai che ogni V e per ogni V ' si veriichino e seguenti condizioni: h h Le due disuguagianze vagono simutaneamente per de dominio appartenenti a intorno V Inotre poiché per ipotesi deve veriicarsi g h, segue a reazione: V ' g h ' V V per ipotesi che impica: g ' V V cioè g ' V V Quest utima reazione signiica proprio che g. Esercizio Date e unzioni ( ) 4 3 g( ) h ( ) e sapendo che ( ) h( ), cacoiamo g( ) usando i teorema de conronto. Per poter appicare i teorema dobbiamo prima veriicare che siano soddisatte e sue ipotesi, cioè che, in un intorno di si veriichi che ( ) g( ) h( ) : 4 3 ossia 4 3 ( ) ( ) sempre vero! 33

34 Poiché e disequazioni de sistema sono veriicate, aora anche a disuguagianza ( ) g( ) h( ) è veriicata, in particoare è veriicata in un intorno di. Aora, poiché sono soddisatte e ipotesi de teorema de conronto, posso aermare che g( ), esattamente come gi atri iti. Esercizio per casa (o aa avagna) Cacoare g( ), sapendo che 3 ( ) 8 4, g( ) 5, h( ) 4 4 e che ( ) h( ) 3 3 Teorema di permanenza de segno Se a unzione ammette ite diverso da zero cioè, aora esiste un intorno I di, escuso a più i punto, in cui assume o stesso segno di. Viceversa, se esiste un intorno I di, privato a più de punto, in cui risuta Dim., e se esiste i, aora: Dimostriamo a prima parte de teorema. Ipotesi Tesi in un intorno di Per ipotesi, sappiamo che preso comunque un, è possibie determinare in corrispondenza ad esso un intorno competo di, V(cioè un insieme di punti tai che ), tae che ogni V si veriichi a seguente condizione: essendo per ipotesi, risuta e poiché a sceta di è arbitraria aora scegiamo. In ta caso abbiamo V 34

35 Da cui segue a tesi, osservando che se, essendo e quindi, se, essendo e quindi e quindi Dimostriamo a seconda parte de teorema Sia per esempio. E supposto per assurdo che ' per a prima parte de teorema esiste un intorno I ' di tae che, I, con. Ma per ipotesi I, ciò impica ' che per i punti de intorno I I a unzione assume vaori sia positivi che negativi. Abbiamo ottenuto una contraddizione, pertanto deve essere. OSSERVAZIONI: i teorema vae anche se ; i teorema non è vaido ne caso i cui i ite sia uguae a zero inatti se per esempio, consideriamo ( ), in un quaunque intorno competo de punto, i vaori assunti daa unzione y sono in parte positivi e in parte negativi (è positiva in ogni intorno sinistro di e negativa in ogni intorno destro. 8. Cacoo di iti e operazioni In generae, per cacoare i ite di una unzione basta sostituire i vaore a cui tende a variabie, tutte e vote in cui compare nea unzione: sin sin 3 3 ( ) Cerchiamo ora di presentare dee regoe generai utii per cacoare i iti; purtroppo spesso queste soe regoe non basteranno, si dovranno utiizzare teoremi, conoscenze di iti ondamentai e trucchetti per superare gi ostacoi presentati dai iti. 35

36 I iti initi I teoremi che ci accingiamo ad enunciare sono vaidi sia per che tende a un vaore inito,, sia a o ma in questo caso, i vaore de ite è sempre un numero reae. Per questi teoremi daremo soo enunciato omettendone a dimostrazione. Somma/dierenza tra iti Consideriamo e due unzioni 6 e g 3 e i oro iti per 4, ossia 4 6 e La unzione somma s g è s e i Osserviamo che , che è proprio uguae a ite dea unzione s. 4 4 Enunciamo ora i teorema che regoa i comportamento dei iti visti sopra: Teorema I ite dea somma (o dea dierenza) di due unzioni è uguae aa somma (o aa dierenza) dei iti dee due unzioni. Ossia, siano e g due unzioni; se, g dove ed aora g Prodotto tra iti Vogiamo ora cacoare 5 36

37 La unzione unzioni ( ) g( ), h( ) 5( ). 5 di cui dobbiamo cacoare i ite è ormata da prodotto di due. Sapendo che 5 e, si avrà che 5 5 Teorema I ite de prodotto di due unzioni è uguae a prodotto dei iti dee due unzioni. Ossia, siano e g due unzioni; se, g dove ed aora g In particoare, se si considera a unzione costante aora g k, k k k Esempio ) ) Quoziente di iti E con i quoziente q g cosa succede? Sproniamo i ragazzi a pensare ad acuni esempi e vediamo se a souzione proposta può unzionare. Teorema I ite de quoziente di due unzioni è uguae a quoziente dei iti dee due unzioni, supposto che i ite dea unzione divisore sia non nuo. 37

38 Ossia, siano e g due unzioni; se, g dove ed, aora g In particoare consideriamo a unzione se, reciproca di :,, aora Esempi 4 7 ) ) 3 3 Potenza n-esima di una unzione Teorema Sia una unzione; se aora n n n Radice n-esima di una unzione Teorema Sia una unzione; se, e 38

39 aora n n n Esempio Essendo 5 4, aora Con aiuto di questi iti possiamo cominciare a cacoare i ite di quache unzione. Esempi Abbiamo appicato i teorema de quoziente, dea somma, dea potenza e de prodotto Abbiamo appicato i teoremi de quoziente, dea somma e dea potenza. 4 3 Eevamento a potenza Teorema Se e g aora risuterà: g g Finora ci siamo occupati di una serie di teoremi sui iti, a inizio, però, avevamo precisato che questi teoremi vagono per i iti initi. Cerchiamo ora di capire cosa succede a somme, prodotti, quozienti etc. di iti quando quacuno di essi è ininito. I probema, quando avoriamo con ininito è che, come abbiamo già detto, è soo un simboo e, di conseguenza, non vagono e normai regoe di cacoo. Presentiamo una tabea che riassume tutti i comportamenti de ininito, pregheremo, però, gi studenti di non imparara a memoria ma di riettere su di essa. La tabea verrà discussa in casse. 39

40 g g g g g ( se i segni dei due iti sono concordi, se sono discordi) Indeterminato Indeterminato Indeterminato Indeterminato Indeterminato Indeterminato Indeterminato n se n è pari se n è dispari se per I g g 4

41 I casi rimanenti otre a tutti quei visti, e precisamente: costituiscono e cosiddette FORME INDETERMINATE (O FORME DI INDECISIONE), per e quai non è possibie stabiire a priori, quanto vaga, senza avere uteriori inormazioni sue espressioni che hanno dato oro origine. 9. Cacoo dee orme indeterminate e iti notevoi Abbiamo già accennato che in acuni casi i iti di unzioni si presentano sotto orme che vengono chiamate di indecisione poiché non esistono teoremi che permettano di cacoari direttamente, ma è necessario appicare trasormazioni anche notevoi per arrivare a risutato. Ricordiamo che e orme indeterminate sono: Per a risouzione di mote orme indeterminate si ricorre a utiizzo dei cosiddetti iti notevoi (casi particoari di orme indeterminate): Limiti Notevoi I cacoo dei iti, ad eccezione de caso dee unzioni eementari in punti de oro dominio, può presentarsi un probema compesso. Ci sono acuni iti detti notevoi perché ondamentai nee appicazioni de anaisi e ci sono di aiuto per risovere i iti che si presentano in orma indeterminata. sen Osserviamo che a misura de angoo è indicata in radianti. Cosa succede se uso i gradi Poiché i ite ha a orma indeterminata de tipo, dobbiamo studiare i comportamento dea unzione in un intorno piccoo de punto ; ciò ci permette di supporre successivamente determinare i vaore de ite destro e de ite sinistro. e 4

42 i) Cacoiamo sen Considerata a igura, indichiamo con a unghezza de arco AP. Tenendo conto che PH sen e TA tg, si ha che sen < < tg per a teoria dea rettiicazione dea circonerenza. Poiché sen > possiamo dividere per sen entrambi i membri ottenendo Consideriamo i reciproci sen cos cos sen Poiché a unzione sen precedenza) anche i. ii) Cacoiamo Ponendo cos è continua, i cos, aora per i teorema de conronto (visto in sen u e osservando che a unzione sen è dispari, otteniamo che sen sen( u) senu u u u o u senu u o u Abbiamo così dimostrato i ite. 4

43 Con i supporto de insegnante, gi studenti sono ora chiamati (possibimente aa avagna) a cacoare i iti che seguono tg. cos. 3. cos Passiamo ora a cacoare un secondo ite notevoe: Non dimostriamo questo ite ma ci itiamo a ricordare che è una orma indeterminata de tipo e che a ettera e, che prende i nome di numero di Nepero, da matematico scozzese John Napier, è un numero irrazionae, trascendente e i suo vaore approssimato per dietto è, La prova dea trascendenza di questo numero è dovuta a Hermite (873), mentre già Euero (737) aveva dimostrato che era irrazionae, ecco i motivo per cui questo numero si indica con a ettera e. É interessante osservare che, assieme a, questo è uno dei pochi numeri trascendenti usati nea pratica comune e che hanno un simboo speciae. Come curiosità segnaiamo che mentre è noto che e è un numero trascendente, non si sa ancora se e sia razionae o irrazionae. Per rendere più chiaro i signiicato si può esaminare i graico dea unzione che tende, per, aa retta di equazione y e. Si potrebbe anche suggerire di costruire a soita tabea con derive, attribuendo vaori moto grandi a. 43

44 Anaogamente a quanto atto per i primo ite notevoe, possono essere cacoati atri iti utiizzando atro ite notevoe appena visto, ad esempio: n( ). e. Forniamo ora acuni esempi di cacoo di iti che si presentano in orma indeterminata. ) FORMA INDETERMINATA tg cos cos sen sen sen cos sen sen ) FORMA INDETERMINATA (4 6 9) Razionaizzo (4 6 9)(4 6 9) 9... (4 6 9) 3) FORMA INDETERMINATA 5 cos sen 5 cos sen 5 In generae a b sen sen a b sen sen a b 4) FORMA INDETERMINATA 3 ( 3)

45 ASINTOTI OBLIQUI Abbiamo già parato di asintoti verticai e orizzontae ma esistono gi ASINTOTI OBLIQUI? Data sempre una unzione deinita su un intervao iitato,, a retta y m q m è un ASINTOTO OBLIQUO per i graico dea unzione se i) ( ) ii) m ricordiamo che deve risutare m diverso da e da ininito iii) q m Esempio Determiniamo, se esiste, asintoto obiquo dea unzione y cominciamo con cacoare m e q mediante e ormue viste sopra: ( ) m q ( ) m ( 4) I cacoi svoti sono vaidi sia per che per, quindi, in entrambi i casi, i graico dea unzione ha un asintoto obiquo di equazione: y

46 . Funzioni continue Da un punto di vista intuitivo, una unzione è continua quando è possibie tracciare i suo graico senza staccare a penna da ogio. Consideriamo a unzione: Osserviamo che i graico non può essere tracciato con continuità, ne senso che, è necessario staccare a matita da ogio per disegnare a unzione. 46

47 Avendo dato a deinizione di ite, possiamo rendere più rigoroso i concetto intuitivo di unzione continua. Abbiamo visto che nea deinizione di ite per, ci interessa sotanto conoscere i comportamento dea unzione in un intorno di e non siamo aatto interessati a queo che accade in tae punto: può anche non esistere o assumere un vaore diverso da queo de ite. I concetto di continuità di cui ci occupiamo ora, vuoe invece cercare di mettere in reazione i ite a cui tende a unzione per con i vaore dea unzione ne punto. Facciamo un esempio: disegniamo i graici dee unzioni a), b) g se se Cacoiamo ora i ite per due unzioni quando = : Cosa osserviamo? di entrambe e unzioni, poi cacoiamo i vaore assunto dae, g g Esse hanno o stesso ite per ; ne caso a) tae ite coincide con i vaore unzione ne punto = mentre ne caso b) questo non accade. dea Diamo aora a seguente Deinizione: Sia una unzione deinita in un intervao a, b e un punto interno a intervao. La unzione si dice continua ne punto se esiste inito i e tae vaore è uguae a queo che a unzione assume in. In simboi: è continua in un punto se () Se in un punto (de dominio di una unzione) non vae questa reazione, si dice che è un punto di discontinuità o punto singoare. 47

48 Per stabiire, quindi, se una unzione è continua in un punto, dobbiamo accertarci che siano veriicate tre condizioni: deve esistere cioè a unzione deve essere deinita in ; deve esistere inito i ; i due vaori devono coincidere. Quindi tornando a esempio, i caso a) è una unzione continua in, mentre ne caso b) a unzione è discontinua in. Esempio Se vogiamo vautare a continuità dea unzione di equazione 3, dobbiamo: 3 y, di dominio D, in. cacoare i vaore dea unzione ne punto 3. cacoare i vaore de ite per 3 3. conrontare i vaori ottenuti 3 ; 3 3 Poiché questi coincidono, possiamo concudere che a unzione è continua in 3. Continuità a destra o a sinistra Può capitare che, pur potendo cacoare, non sia possibie cacoare i vaore de ite per ma si possa vautare tae ite in un intorno soo sinistro o soo destro di. Quindi se capita che - - diciamo che a unzione è CONTINUA A SINISTRA de punto diciamo che a unzione è CONTINUA A DESTRA de punto 48

49 Funzione continua in un intervao La deinizione che abbiamo dato di continuità è una deinizione puntuae, cioè una deinizione che dà a descrizione di ciò che accade in un punto. Ma possiamo dare anche a seguente deinizione: Deinizione: Una unzione deinita in de intervao. a, b si dice continua ne intervao a, b se è continua in ogni punto Principai unzioni continue Di seguito, vengono presentate e più comuni unzioni continue in o nei suoi intervai. La unzione costante La unzione k è continua in tutto. Inatti, in ogni punto di si ha k k La unzione La unzione è continua in tutto cioè per un quaunque punto si ha, inatti risuta per ogni ;. Le unzioni goniometriche Sono continue in e unzioni sen e cos ; sono continue anche a unzione tg in k, k Z e a unzione ctg in k, k Z Per esempio, sen sen La unzione esponenziae La unzione esponenziae, deinita in : y a, con a è continua in. La unzione ogaritmica La unzione ogaritmica, deinita in : y og, con a, a è continua in. a Proprietà: 49

50 La somma, a dierenza, i prodotto e i quoziente di unzioni continue, è ancora una unziona continua. Esempio ( ) è una unzione continua perché g ( ), h ( ), k ( ) sono unzioni continue e () è ormata daa somma di esse.. Punti di discontinuità Abbiamo già detto che un punto di un intervao I a, b si dice punto di discontinuità per una unzione se a unzione non è continua in ; esistono tre tipi di punti di discontinuità: Punti di discontinuità di prima specie Anaizziamo a seguente unzione: ( ) se se In generae, a unzione + è continua, essendo somma di unzioni continue; i probema è dato da punto di congiunzione, cioè =. Proviamo aora a cacoare i ite destro per i primo tratto e i ite sinistro per i secondo: Limite destro e ite sinistro sono initi ma diversi! DEFINIZIONE: un punto si dice punto di discontinuità di prima specie per a unzione se per esistono initi i iti destro e sinistro dea unzione ma sono diversi tra oro. La dierenza si chiama sato dea unzione in. Esercizio per casa (o aa avagna) Data a unzione ( ) 3 5 specie e cacoare eventuae sato. individuare i punto di discontinuità, controare se è di prima 5

51 Punti di discontinuità di seconda specie Anaizziamo i graico dea unzione tg e cacoiamo i ite per che tende a da destra e da sinistra. ( ) ( ) DEFINIZIONE: un punto si dice punto di discontinuità di seconda specie per a unzione se per ameno uno dei due iti, destro o sinistro, dea unzione è ininito oppure non esiste. Ritornando a esempio: a unzione tg presenta nei punti seconda specie; quindi ha ininiti punti singoari. k, k Z dee discontinuità di Esercizio per casa (o aa avagna) da are in casse subito dopo a spiegazione, o provano a are da soi mentre uno studente o esegue aa avagna: - disegnare a unzione, cacoare i iti destro e sinistro per un punto di discontinuità e di che tipo. e dire se è - Veriicare se a unzione n ha punti di discontinuità ed eventuamente dire di quae specie. 5

52 Punti di discontinuità di terza specie Costruiamo i graico dea unzione I campo di esistenza è. Se cacoiamo i ite per troviamo una orma indeterminata de tipo. Scriviamo a unzione in un atro modo, cercando se possibie di sempiicare attori a numeratore e a denominatore; si ha: Ora possiamo cacoare i ite: Osserviamo che: a unzione è deinita su tutto ; a unzione coincide con a unzione su insieme. DEFINIZIONE: un punto si dice punto di discontinuità di terza specie per a unzione se ) esiste ed è inito i ite per, ossia ; ) non è deinita in, oppure, se o è, risuta Un punto di discontinuità di terza specie viene anche detto punto di discontinuità einabie ne senso che se a unzione non è deinita in, è possibie estendere i suo campo di esistenza a tae punto, ponendo, rendendo in ta modo a unzione continua. Ovviamente a unzione che si ottiene non è quea originaria ma dierisce per. 5

53 Ritornando a esempio: per a unzione, i punto ; è un punto di discontinuità di terza specie che si può einare deinendo a unzione ne modo seguente: se se. Teoremi ondamentai sue unzioni continue Nei seguenti teoremi consideriamo unzioni continue deinite in un intervao chiuso e itato. Ricordiamo che una unzione () continua in un intervao chiuso e itato I a, b è itata (superiormente e ineriormente). Teorema di Weierstrass Se () è una unzione continua in un intervao chiuso e itato I a, b, aora assume in esso un vaore massimo M e un vaore minimo m (assouti). Ricordiamo che i massimo e i minimo assouti di una unzione deinita in un intervao I sono rispettivamente i più grande e i più piccoo dei vaori assunti daa unzione in I. a) Funzione crescente ne intervao I a, b, massimo e minimo negi estremi. ( m (a) e M (b) ) a b b) Funzione decrescente ne intervao I a, b, massimo e minimo negi estremi. ( M (a) e m (b) ) a 53 b

54 c) Funzione prima crescente e poi decrescente ne intervao I a, b, massimo a interno de intervao e minimo in un estremo ( M ) e m (b) ) ( b d) Funzione costituita da tratti crescenti e decrescenti ne intervao I a, b, massimo e minimo interni a intervao. ( M ) e m ) ) ( M ( m m M Se acune ipotesi de teorema non sono veriicate, i risutato non è più vero come mostrano i seguenti controesempi: y () a) La unzione è continua ne intervao aperto e itato ;5. Essa è priva di massimo e minimo in questo intervao. 5 54

55 y () b) La unzione non è continua ne punto. Ne intervao ; 3 essa assume minimo, ma è priva di massimo. y () c) La unzione è continua ne intervao iitato ;. Non vae i teorema di Weierstrass e a unzione è priva di minimo assouto. Esempio Stabiire se i Teorema di Weierstrass vae per a unzioni riportate, ne intervao indicato a ianco; in caso aermativo determinare massimo M e minimo m dea unzione. ) ( ) in [-3,5] Dobbiamo innanzitutto veriicare e ipotesi de teorema, ossia controare se a unzione è continua ne intervao chiuso e itato [-3,5]. Cacoiamo i dominio dea unzione: cioè ; cosa signiica questo? Signiica che a unzione presenta un punto di discontinuità in = ma 3,5, quindi a unzione non è continua ne intervao presentato, di conseguenza i teorema non è appicabie. Vediamoo graicamente, aiutandoci con derive: 55

56 ) ( ) 4 in [,3] Dobbiamo innanzitutto veriicare e ipotesi de teorema, ossia controare se a unzione è continua ne intervao chiuso e itato [,3]. La unzione è poinomiae, quindi continua in teorema di Weierstrass è appicabie: a unzione ammette M e m in [,3]. ( ) 4 '( ) 4 4 I minimo dea unzione si ha in corrispondenza di =, da cui m = [,-4], in particoare continua ne intervao richiesto. I I massimo si ha in corrispondenza de estremo ineriore de intervao [,3], quindi M = [,] Esercizi per casa Svogere o stesso esercizio visto sopra con e unzioni: ( ) in [,] ( ) n in [,3] 56