Esercitazione 1 - Statica del corpo rigido

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1 Università degi Studi di ergmo orso di Lure in Ingegneri Tessie orso di Eementi di Meccnic Esercitzione 1 - Sttic de corpo rigido Esercizio n.1 core e rezioni vincori de struttur rppresentt in figur 1., conoscendo e unghezze e b e i moduo de forz ppict. b Figur 1. nisi de sistem L struttur gice intermente in un pino ed è compost d un st vincot terr nei punti e medinte, rispettivmente, un cernier e un crreo e crict ne punto d un forz vertice dirett verso i bsso. Le ipotesi sue qui si bs risouzione de esercizio sono che st si un corpo rigido e che i vincoi sino idei (in qunto ti non presentno ttriti o giochi). Un st che gice intermente in un pino present 3 grdi di ibertà. L st è vincot d un cernier in che constringe st ruotre ttorno punto stesso, togiendo così due grdi di ibertà. I crreo posto in impedisce st di trsre in direzione vertice e togie quindi un uteriore grdo di ibertà: i sistem risut perciò vincoto isostticmente. Sostituzione dei vincoi medinte corrispondenti rezioni vincori L zione dei vincoi su st può essere espress medinte dee forze, dette rezioni vincori, e qui costituiscono, ssieme e forze ppicte, un sistem di forze equiibrto. In figur 1.b sono evidenzite e rezioni vincori. 1

2 H V V Figur 1.b coo dee rezioni vincori Le rezioni vincori possono essere ccote medinte scrittur dee equzioni crdini de sttic: F x 0 F y 0 M O 0 dove x e y sono due direzioni non pree e O è un punto pprtenente pino. In questo esercizio è conveniente prendere come direzioni x e y direzione orizzonte e que vertice, che indicheremo rispettivmente con e ettere H e V. onsiderimo i punto come poo per scrittur de equzione i momenti in modo che e rezioni vincori H e V non vi compino. Le equzioni crdini de sttic quindi sono F H 0 F V 0 M 0 H 0 V V 0 V b 0 I sistem è costituito d tre equzioni in tre incognite (H, V e V ) che può essere risoto fcimente. I risutto ottenuto è H 0 V b V 1 b I sistem di equzioni proposto F x 0 F y 0 M O 0 è equivente 2

3 F x 0 M Q 0 M O 0 dove un equzione e forze è stt sostituit d un equzione i momenti. Questo pssggio è sempre ecito condizione che i poi rispetto i qui i momenti vengono ccoti non sino coincidenti e che i segmento OQ non si perpendicore direzione rispetto que si scrive equzione di equiibrio dee forze (in questo cso direzione x). Spesso utiizzre due equzioni i momenti è comodo perché consente di scrivere equzioni in cui compiono meno incognite. Vedimo come e equzioni già scritte possono essere riformute medinte sostituzione de equzione di equiibrio in direzione vertice con equzione di equiibrio dei momenti rispetto punto F H 0 M 0 M 0 H 0 V b 0 V b 0 che mmette come souzione H 0 V b V 1 b que coincide, ovvimente, con que già trovt. differenz de sistem di equzioni scritto in precedenz, questo present tre equzioni ciscun in un so incognit (o disccoppite), che quindi sono direttmente risovibii. 3

4 Esercizio n.2 core e rezioni vincori per struttur mostrt in figur 2., dopo ver schemtizzto opportunmente i vincoi cui st è soggett. α Figur 2. nisi de sistem L struttur gice intermente in un pino ed è compost d un st vincot terr nei punti e e crict ne punto d un forz vertice dirett verso i bsso. Le ipotesi sue qui si bs risouzione de esercizio sono che st si un corpo rigido e che non ci sino fenomeni di ttrito. differenz de esercizio precedente, ne que i vincoi erno già schemtizzti, in questo cso è necessrio fre dee considerzioni in bse e qui identificre e tipoogie di vincoo. Ne punto in cui ppoggi st, vist ipotesi di ssenz di ttrito, rezione vincore srà un forz dirett perpendicormente superficie di ppoggio. Ne punto st è impernit e può somente ruotre ttorno punto stesso. I vincoi così descritti possono essere schemtizzti con un crreo d sse orizzontre vincoto terr in e un cernier terr in come indicto in figur 2.b. I grdi di vincoo egugino i grdi di ibertà, perciò struttur è isosttic. 4

5 Figur 2.b Sostituzione dei vincoi medinte corrispondenti rezioni vincori In figur 2.c sono evidenzite e rezioni vincori. H H V Figur 2.c coo dee rezioni vincori Le rezioni vincori possono essere ccote medinte scrittur dee equzioni crdini de sttic. nche in questo cso utiizzeremo e direzioni orizzonti e vertici, mentre i poo per scrittur de equzione dei momenti è i punto F H 0 F V 0 M 0 H H 0 V 0 H tn cos 0 I sistem è costituito d tre equzioni in tre incognite (H, H e V ) che può essere risoto fcimente. I risutto ottenuto è 5

6 H cos tn H cos tn V Souzione de probem per vi grfic In cuni csi è possibie risovere probemi di sttic utiizzndo i metodo grfico, i que fornisce un rpid souzione senz bisogno di scrivere e equzioni crdini de sttic. er contro, mentre e equzioni crdini de sttic possono essere ppicte in modo metodico, i metodo grfico necessit di spirito di osservzione e di un cert dose di intuito. Ne esercizio in questione, si può notre che e rette di ppiczione de forz e de rezione vincore H si intersecno ne punto D, come d figur 2.d R H α D β Figur 2.d ffinché e tre forze gicenti ne pino sino in equiibrio è necessrio che si incontrino in un punto. In questo cso, quindi, rezione vincore in deve essere dirett in modo te che rett di ppiczione pssi per i punto D. Noti i vettore forz e e due direzioni dei vettori H e R si può costruire i tringoo dee forze, come indicto ne figur 2.e R H β Figur 2.e 6

7 questo punto i moduo dei vettori H e R può essere ottenuto misurndo d disegno e unghezze dei vettori e scndoe opportunmente, oppure si può ccore ngooeccore i moduo dei vettori come H tn R sin L ngoo può essere ccoto grzie d un po di trigonometri. Fissndo ttenzione su tringoo D, unghezz de to è pri cos, mentre unghezz de to D è pri cos. Grzie teorem de coseno possimo ccore unghezz de to D, che risut essere D 2 D 2 D cos cos 2 2 cos 2 cos ppicndo or i teorem de seno ottenimo D sin sin rcsin D sin e quindi possimo ccore i modui dei vettori H e R. 7

8 Esercizio n.3 Trovre ngoo per i que struttur mostrt in figur 3. ssume un posizione di equiibrio, in ssenz di ttrito. α Figur 3. nisi de sistem differenz de precedente esercizio, st in è ppoggit o spigoo. Dt ssenz di ttrito si può schemtizzre i vincoo in con un crreo con direzione di scorrimento inet sse de st stess (figur 3.b). Figur 3.b L st quindi, privt di due grdi di ibertà, h possibiità di muoversi ne pino, si dice che struttur è iposttic. 8

9 Sostituzione dei vincoi medinte corrispondenti rezioni vincori In figur 3.c sono evidenzite e rezioni vincori. R H Figur 3.c coo dee rezioni vincori Le rezioni vincori possono essere ccote medinte scrittur dee equzioni crdini de sttic. nche in questo cso utiizzeremo e direzioni orizzonti e vertici, mentre i poo per scrittur de equzione dei momenti è i punto F H 0 F V 0 M 0 H R sin 0 R cos 0 R cos cos 0 I sistem è costituito d tre equzioni in tre incognite (H, R e ) che può essere risoto fcimente. I risutto ottenuto è H tn R cos R cos2 Egugindo e due espressioni per R si ottiene cos cos2 rccos 3 Sostituendo i vore così trovto de ngoo si ottengono nche i vori dee rezioni vincori H e R. 9

10 Souzione de probem per vi grfic nche in questo esercizio c è presenz di un sistem pino di tre forze in cui e H si incontrno ne punto D. ffinchè i sistem di forze si equiibrto, nche rett di ppiczione di R deve pssre per D, come mostrto in figur 3.d R H α D Figur 3.d L ngoo può essere trovto medinte pure considerzioni geometriche. L unghezz de to D è pri cos. condo unghezz de to, esprimibie come cos, è possibie esprimere unghezz de to D come. Egugindo e due quntità ricvimo i vore cos 2 de ngoo cos cos 2 rccos 3 Noti quindi i vettore forz e e due direzioni dei vettori H e R si può costruire i tringoo dee forze, come in figur 3.e 10

11 α R H Figur 3.e questo punto i moduo dei vettori H e R può essere ottenuto misurndo d disegno e unghezze dei vettori e scndoe opportunmente, oppure si può ccore i moduo dei vettori come H tn R cos 11