A = {x (1/2,2);x x < x x } x x < x x < > 0 2 < 0. B = {x (0, );x x < x x } B = (0,1) (4, ). A = B (1/2,2) =

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1 ÒÐ ÅØÑØ ½ ¹ ÓÖ Ó ÄÙÖ Ò ÅØÑØ ºº ¾¼½»¾¼½µ ÔÔÐÐÓ ¾ ÙÒÓ ¾¼½ ÓÒÓÑ ÆÓÑ ÈÖÓÐÑ ½º ÎÖ Ð³Ò Ñ ÅØÖÓÐ A = {x (1/,);x x < x x } ÓÒÒ Óº ËÓÐÙÞÓÒº Ä ÕÙÞÓÒ x x < x x ÕÙÚÐÒØ logx ( x x ) <. Ë x (,1) ÑÓ logx < Ð ÕÙÞÓÒ x x > ÓÐÙÞÓÒ x (,1). Ë x (1, ) ÑÓ logx > Ð ÕÙÞÓÒ x x < ÓÐÙÞÓÒ x (4, ). ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³Ò Ñ B = {x (, );x x < x x } ØÐ Ð³Ò Ñ ÓÒÒ Óº ÈÖÓÐÑ ¾º B = (,1) (4, ). A = B (1/,) = ( ) 1,1 ½

2 µ ÌÖÖ Ð ÖÓ ÐÐ ÙÒÞÓÒ µ ÌÖÖ Ð ÖÓ ÐÐ ÙÒÞÓÒ f(x) = xcosx,x (,π); g(x) = x,x (,π); µ ËØÙÖ Ð ÒÙÑÖÓ ÐÐ ÓÐÙÞÓÒ Ð ÔÖÓÐÑ ÔÖ x ( π,π). ËÓÐÙÞÓÒ ÑÓ g(x) = e f(x) f (x) = cosx x sin x = sinx x sin x <. Ä ÙÒÞÓÒ f(x) Ö ØÒ ÔÖ x ր π. ÑÓ ÒÓÐØÖ ËÓÐÙÞÓÒ ÑÓ ÓÚ Ð ÕÙÞÓÒ limf(x) = 1. xց g (x) = 1 ( 1 xcosx ) = 1 ( 1 xcosx > 1 xcosx ) > Ö ³ ÓØØÒÙØ ÒÐÐ ÓÐÙÞÓÒ Ð ÔÙÒØÓ µº Ó Ð ÙÒÞÓÒ g(x) Ö ØÒ + ÔÖ x ր π. ÑÓ ÒÓÐØÖ limg(x) = 1. xց ËÓÐÙÞÓÒ Ä Ù ÙÒÞÓÒ f(x) g(x) ÓÒÓ ÒØÖØ ÒÐÐ ÙÖ ÒØÓ ÕÙ Ù ÑÓ ÔÙÒØ µ µ ØÙØ ÔÖѵº ÆÐгÒØÖÚÐÐÓ (,π) ³ ÙÒ ÓÐ ÓÐÙÞÓÒ ÐÐ ÕÙÞÓÒ g(x) = e f(x) Ù ÐÐ ÑÑØÖ Ð ÙÒÞÓÒ f,g ÓÒÓ ÔÖµ Ú ÒÐ ÒØÖÚÐÐÓ ( π,) ³ ÙÒ ÓÒ ÓÐÙÞÓÒº ÒÐÑÒØ Ò (π,π) Ð ÙÒÞÓÒ e f(x) ÔÓ ØÚ ÑÒØÖ g(x) ÒØÚº ÁÐ ÒÙÑÖÓ ÐÐ ÓÐÙÞÓÒ ÐÐ ÕÙÞÓÒ ÒÐгÒØÖÚÐÐÓ ( π,π). ÈÖÓÐÑ º g(x) = e f(x) ¾

3 ½ ÖÓ e f(x) Ò ÐÙµ g(x) Ò ÚÓеº ÐÓÐÖ a N = Nπ+π/ 3 1+sin(x)dx ÚÖ Ø Ð ÐÑØ lim N + a N. ËÓк ËÓÑ 3 1+sin(x)dx = 3 1+yydy ÓÒ y =, ÔÓ ÑÓ Ö Ð Ó ØØÙÞÓÒ 1+y = t 3 ÓØØÒÖ 3 1+sin(x)dx = 6(t 3 1)t 3 dt = 6t7 7 6t4 4. Ó ÓØØÒ Nπ+π/ 3 1+sin(x)dx = 6(1+sin(Nπ +π/)) Ä Ù ÓÒ 3(1+sin(Nπ +π/))4 + 3 = 6(1+( 1)N )) (1+( 1)N ) (1+sin(Nπ +π/))4 a N = + 3 = 6(1+( 1)N )) (1+( 1)N ) ÒÓÒ ÐÑغ

4 ÈÖÓÐÑ º Ø Ð Ù ÓÒ a n = tn 3 tdt (t 4 +n 3 t) ÚÖ Ð Ù ÓÒ a n a n 1 +a n ÐÑØغ ËÓÐÙÞÓÒº ÈÖ ÓÒ n N ØÓ M a n = lim I n(m), I n (M) = Mր tn 3 dt (t 3 +n 3 ) : Í ÒÓ Ð Ó ØØÙÞÓÒ t = sn ÔÙÓ ÓØØÒÖ M tn 3 dt Mn sds I n (M) = (t 3 +n 3 ) = n3/ (s 3 +) ÕÙ Ú ÓÚ ÕÙ Ú a n = lim Mր I n(m) = cn 3/, c = sds (s 3 +) >. a n a n 1 +a n = cn 3/ (1 (1 δ) 3/ +(1 δ) 3/ ) ÓÚ δ = 1/n. Í ÒÓ ÌÝÐÓÖ ÑÓ a n a n 1 +a n = cn 3/ (1 (1 δ) 3/ = 1 3δ +O(δ ), (1 δ) 3/ = 1 3δ +O(δ ), ( 1 3δ ) ) +(1 3δ)+O(δ ) = n 3/ O(δ ) = n 3/ O(n ) Ó ÔÙÓ ÓØØÒÖ a n a n 1 +a n.

5 ÒÐ ÅØÑØ ½ ¹ ÓÖ Ó ÄÙÖ Ò ÅØÑØ ºº ¾¼½»¾¼½µ Ð ¹ ÔÔÐÐÓ ¾ ÙÒÓ ¾¼½ ÖÙÔÖÓ Á ÓÑÔØÒÓ ÓÒÓÑ ÆÓÑ ÈÖÓÐÑ ½º ÎÖ Ð³Ò Ñ ÅØÖÓÐ A = {x (1/,);x x < x x } ÓÒÒ Óº ËÓÐÙÞÓÒº Ä ÕÙÞÓÒ x x < x x ÕÙÚÐÒØ logx ( x x ) <. Ë x (,1) ÑÓ logx < Ð ÕÙÞÓÒ x x > ÓÐÙÞÓÒ x (,1). Ë x (1, ) ÑÓ logx > Ð ÕÙÞÓÒ x x < ÓÐÙÞÓÒ x (4, ). ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³Ò Ñ B = {x (, );x x < x x } ØÐ B = (,1) (4, ). Ð³Ò Ñ ÓÒÒ Óº ÈÖÓÐÑ ¾º ÎÖ Ð³ÕÙÞÓÒ A = B (1/,) = z = e z, ( ) 1,1

6 ÓÚ z C µ ÓÐÙÞÓÒ ÙÐг ÖÐ ÙÐг ÑÑÒÖÓ µ ÐÑÒÓ Ù ÓÐÙÞÓÒ ÒÐ ÑÔÓ ÓÑÔÐ Óº ËÓÐÙÞÓÒ Ë z = re iθ, гÕÙÞÓÒ z = e z ÑÔÐ ÕÙ ÓØØÒÑÓ sinθ µ r = e rcosθ, θ = rsinθ. θ sinθ eθcosθ/sinθ =. ½µ Ë Ë ÔÙÓ ÚÖ f ÔÔÖ f(φ) = φ sinφ eφcosφ/sinφ f() = 1 e <,f(π/) = f( π/) = π 1 >,limf(θ) = +. θ π Ó Ð Ö ÔÓ Ø Ð ÔÙÒØÓ µ ÒÓÒ ÓÒÓ ÓÐÙÞÓÒ ÔÖ θ =,π,±π/. Ä ÙÒÞÓÒ f(θ) ÐÑÒÓ ÙÒ Ö ÒÐ ÒØÖÚÐÐ (,π/) Ù ÐÐ ÔÖØ ÑÓ ÐÑÒÓ Ù ÓÐÙÞÓÒ ±θ ØÐ f(±θ) =. ÈÓÒÒÓ z = re i±θ ÓÚ r = θ/sinθ Ù ØÓÒÓ ÐÑÒÓ Ù ÓÐÙÞÓÒ ÐгÕÙÞÓÒ z = e z. ÈÖÓÐÑ º ÐÓÐÖ Ð ÐÑØ Øµ lim n a n ÓÚ a n = 1 n n n ËÓÐÙÞÓÒ ËÔÔÑÓ S n logn γ ÓÚ γ Ð Ó ØÒØ ÙÐÖÓº ÕÙ ÔÙÓ ÓØØÒÖ a n = S 3n S n = S 3n log(3n) S n +logn+log3 γ γ +log3 = log3.

7 ÒÐ ÅØÑØ ½ ¹ ÓÖ Ó ÄÙÖ Ò ÅØÑØ ºº ¾¼½»¾¼½µ Ð ¹ ÔÔÐÐÓ ¾ ÙÒÓ ¾¼½ ÖÙÔÖÓ ÁÁ ÓÑÔØÒÓ ÓÒÓÑ ÆÓÑ ÈÖÓÐÑ ½º µ ÌÖÖ Ð ÖÓ ÐÐ ÙÒÞÓÒ µ ÌÖÖ Ð ÖÓ ÐÐ ÙÒÞÓÒ ÅØÖÓÐ f(x) = xcosx,x (,π); g(x) = x,x (,π); µ ËØÙÖ Ð ÒÙÑÖÓ ÐÐ ÓÐÙÞÓÒ Ð ÔÖÓÐÑ ÔÖ x ( π,π). ËÓÐÙÞÓÒ ÑÓ g(x) = e f(x) f (x) = cosx x sin x = sinx x sin x <. Ä ÙÒÞÓÒ f(x) Ö ØÒ ÔÖ x ր π. ÑÓ ÒÓÐØÖ ËÓÐÙÞÓÒ ÑÓ limf(x) = 1. xց g (x) = 1 ( 1 xcosx ) ÓÚ Ð ÕÙÞÓÒ = 1 ( 1 xcosx > 1 xcosx ) > Ö ³ ÓØØÒÙØ ÒÐÐ ÓÐÙÞÓÒ Ð ÔÙÒØÓ µº Ó Ð ÙÒÞÓÒ g(x) Ö ØÒ + ÔÖ x ր π. ÑÓ ÒÓÐØÖ limg(x) = 1. xց

8 ¾ ÖÓ e f(x) Ò ÐÙµ g(x) Ò ÚÓеº ËÓÐÙÞÓÒ Ä Ù ÙÒÞÓÒ f(x) g(x) ÓÒÓ ÒØÖØ ÒÐÐ ÙÖ ÒØÓ ÕÙ Ù ÑÓ ÔÙÒØ µ µ ØÙØ ÔÖѵº ÆÐгÒØÖÚÐÐÓ (,π) ³ ÙÒ ÓÐ ÓÐÙÞÓÒ ÐÐ ÕÙÞÓÒ g(x) = e f(x) Ù ÐÐ ÑÑØÖ Ð ÙÒÞÓÒ f,g ÓÒÓ ÔÖµ Ú ÒÐ ÒØÖÚÐÐÓ ( π,) ³ ÙÒ ÓÒ ÓÐÙÞÓÒº ÒÐÑÒØ Ò (π,π) Ð ÙÒÞÓÒ e f(x) ÔÓ ØÚ ÑÒØÖ g(x) ÒØÚº ÁÐ ÒÙÑÖÓ ÐÐ ÓÐÙÞÓÒ ÐÐ ÕÙÞÓÒ ÒÐгÒØÖÚÐÐÓ ( π,π). ÈÖÓÐÑ ¾º ÎÖ Ð³Ò Ñ g(x) = e f(x) {z C;z = e z } ÚÙÓØÓº ËÓÐÙÞÓÒº Ë z = re iθ, ÓÒ θ ( π,π)º ijÕÙÞÓÒ z = e z ÑÔÐ r = e rcosθ, θ+kπ = rsinθ, ÓÚ k =,±1,±,. ËÐÑÓ k =. ÕÙ ÓØØÒÑÓ sinθ µ θ sinθ eθcosθ/sinθ =. ¾µ Ë

9 ÆÐ ÔÖÓÐÑ ÔÖÒØ ÑÓ F(x) = x excosx/. f(x) = xcosx,x (,π); g(x) = x,x (,π) ÓÒÓ ØÐ f(x) Ö Ò x (,π), ÑÒØÖ g(x) Ö Ò x (,π) F(x) = g(x) e f(x). Ä ÖÐÞÓÒ F() = 1 e <,F(π) = + Ò Ñ ÓÒ Ð ØØÓ F(x) Ö ÒØ ÑÓ ØÖ Ð³ÙÒØ ÐÐ ÓÐÙÞÓÒ ÐгÕÙÞÓÒ f(θ) = ÔÖ θ (,π). Í ÒÓ Ð ØØÓ F(x) ÔÖ ÓØØÒÑÓ F(x) ØØÑÒØ Ù Ö ÒÐ ÒØÖÚÐÐÓ ( π,π). ÁÒ ÓÒ ÙÒÞ #{z C;z = e z }.

10 ÒÐ ÅØÑØ ½ ¹ ÓÖ Ó ÄÙÖ Ò ÅØÑØ ºº ¾¼½»¾¼½µ Ð ÔÔÐÐÓ ¾ ÙÒÓ ¾¼½ ÖÙÔÖÓ ÁÁÁ ÓÑÔØÒÓ ÓÒÓÑ ÆÓÑ ÈÖÓÐÑ ½º ÐÓÐÖ ÅØÖÓÐ a N = Nπ+π/ 3 1+sin(x)dx ÚÖ Ø Ð ÐÑØ lim N + a N. ËÓк ËÓÑ 3 1+sin(x)dx = 3 1+yydy ÓÒ y =, ÔÓ ÑÓ Ö Ð Ó ØØÙÞÓÒ 1+y = t 3 ÓØØÒÖ 3 1+sin(x)dx = 6(t 3 1)t 3 dt = 6t7 7 6t4 4. Ó ÓØØÒ Nπ+π/ 3 1+sin(x)dx = 6(1+sin(Nπ +π/)) Ä Ù ÓÒ 3(1+sin(Nπ +π/))4 + 3 = 6(1+( 1)N )) (1+( 1)N ) (1+sin(Nπ +π/))4 a N = + 3 = 6(1+( 1)N )) (1+( 1)N ) ÒÓÒ ÐÑغ ÈÖÓÐÑ ¾º ÖÚÖ ØÙØØ Ð ÓÐÙÞÓÒ y(x) C 1 ( 1,1), ØÐ (1+x)y (x) = y. ËÓк ÍÒ ÓÐÙÞÓÒ y 1 (x) = 1+x ØÖÓÚ ÙØÓº Ë y(x) ÕÙÐ ÓÐÙÞÓÒ (1+x)y (x) = y(x) µ ½¼

11 Ë z(x) = y(x)/(1+x)º Í ÒÓ µ ØÖÓÚ z (x) =, ÕÙ z(x) = C ØÙØØ Ð ÓÐÙÞÓÒ ÓÒÓ y(x) = C(1+x). ÈÖÓÐÑ º Ø Ð ÙÒÞÓÒ tx 3 tdt F(x) = (t 4 +x 3 t) µ ÚÖ F(x) Ò ÒØ ÖÒÞÐ ÔÖ ÓÒ x R, µ ÚÖ ÓÚ Ð ÙÒÞÓÒ F(x) ÓÒÚ º ËÓк Ë Ú { cx F(x) = 3/, x гÒØÖÐ ÚÖ, ÐØÖÑÒغ ÓÚ c >. ½½

12 ÒÐ ÅØÑØ ½ ¹ ÓÖ Ó ÄÙÖ Ò ÅØÑØ ºº ¾¼½»¾¼½µ Ð ÔÔÐÐÓ ¾ ÙÒÓ ¾¼½ ÖÙÔÖÓ ÁÎ ÓÑÔØÒÓ ÓÒÓÑ ÆÓÑ ÅØÖÓÐ ÈÖÓÐÑ ½º ÐÓÐÖ Ð ÙÒØ ÐÑØ lim n n π/ n sin(xn) dx x ÓÚ n = 1,3,5,7, ÔÖº Ó ÔÓØØ ÖÑÖ ÔÖ Ð Ó n =,4, ÔÖ ËÓк Í ÒÓ ÙÒ ÒØÖÞÓÒ ÔÖ ÔÖØ ÔÙÓ ÓØØÒÖ ÓÚ n n π/ sin(xn) n dx = x π/ Í ÒÓ Ð Ó ØØÙÞÓÒ xn = y ÑÓ n I n = π/ (cos(xn)) dx = o(1)+i n, x cos(xn) dx. x n 3/ cos(y) I n = n dy nπ/ y Ù ÒÓ ÙÒ³ÐØÖ ÒØÖÞÓÒ ÔÖ ÔÖØ Ä ÕÙÞÓÒ ÑÔÐ b a b a cosy sinb dy = sina b y b a + siny a y dy 3 f(x)dx (b a)sup [a,b] f(x) I n o(1)+n 1+3/ 1. n3 Ë n ÔÖ Ð ÐÑØ ÒÓÒ Øº Ë ÔÖÓ ÒÐÐÓ Ø Ó ÑÓÓ Ù ÒØÖÞÓÒ ÔÖ ÔÖغ ½¾

13 ÈÖÓÐÑ ¾º ³ ÚÖÓ Ó ³ Ð Ó Ø ÙÒÞÓÒ ÔÓ ØÚ ÒØÖÐ Ò Ò Ó ÊÑÒÒ ØÐ Ð ÙÒÞÓÒ f ÒÓÒ ÒØÖÐ Ò Ò Ó ÊÑÒÒ Ù ØÖ ÙØÑÒØ Ð Ö ÔÓ Øº ËÓк Ä ÓÑÔÓ ÞÓÒ ÙÒ ÙÒÞÓÒ ÒØÖÐ Ò Ò Ó ÊÑÒÒ ÙÒ ÙÒÞÓÒ ÓÒØÒÙ ÒØÖÐ Ò Ò Ó ÊÑÒÒº ÈÖÓÐÑ º Ø Ð Ù ÓÒ tn 3 tdt a n = (t 4 +n 3 t) ÚÖ Ð Ù ÓÒ a n a n 1 +a n ÐÑØغ ËÓÐÙÞÓÒº ÈÖ ÓÒ n N ØÓ M a n = lim I n(m), I n (M) = Mր tn 3 dt (t 3 +n 3 ) : Í ÒÓ Ð Ó ØØÙÞÓÒ t = sn ÔÙÓ ÓØØÒÖ M tn 3 dt Mn sds I n (M) = (t 3 +n 3 ) = n3/ (s 3 +) ÕÙ Ú ÓÚ ÕÙ Ú a n = lim Mր I n(m) = cn 3/, c = sds (s 3 +) >. a n a n 1 +a n = cn 3/ (1 (1 δ) 3/ +(1 δ) 3/ ) ÓÚ δ = 1/n. Í ÒÓ ÌÝÐÓÖ ÑÓ a n a n 1 +a n = cn 3/ (1 (1 δ) 3/ = 1 3δ +O(δ ), (1 δ) 3/ = 1 3δ +O(δ ), ( 1 3δ ) ) +(1 3δ)+O(δ ) = n 3/ O(δ ) = n 3/ O(n ) Ó ÔÙÓ ÓØØÒÖ a n a n 1 +a n. ½

ËØÙÓ ÙÒÞÓÒ ÖÞ ÚÓÐØ ½µ ÖÞÓ Ø Ð ÙÒÞÓÒ Üµ Ü ½ Ü ¾ Ü µ ØÖÑÒÖ Ð ÓÑÒÓ Ð ÒÓ ÐÑØ Ð ØÖÑ Ð ÚÒØÙÐ ÒØÓØ µ ØÖÑÒÖ Ð ÒØÖÚÐÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ð ÚÒØÙÐ ØÖÑ µ ØÖÖ ÙÒ Ö Ó ÕÙÐØØÚÓ º ËÓÐÙÞÓÒ µ ÈÖ ØÖÑÒÖ Ð ÓÑÒÓ ÑÔÓÒÑÓ Ð ÒÓÑÒØÓÖ ÚÖ Ó ÞÖÓ

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