Matematica e Statistica per Scienze Ambientali

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1 per Scienze Ambientali Applicazioni delle derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Dicembre 2013

2 Esercizio Un area rettangolare deve essere recintata usando un muro su un lato. Sono a disposizione 100m di materiale per recinzioni. Determinare l area massima che può essere recintata. Denotiamo la larghezza in metri dell area recintata con x e la sua lunghezza con y, allora y = 100 2x. L area totale A in metri quadrati è quindi esprimibile come funzione di x nel modo seguente: A(x) = xy = x(100 2x) = 100x 2x 2. La funzione A(x) rappresenta l area della superficie recintata, per x compresa tra 0 e 50. A è derivabile in tutti i punti interni, vale 0 agli estremi, quindi il massimo deve essere in un punto interno dove la derivata A (x) = 100 4x si annulla, cioè in x = 25. x y parete recinzione A(x)

3 Come procedere per determinare massimi o minimi I problemi di massimo e minimo si possono affrontare lungo le linee seguenti Disegna una figura per illustrare il problema Assegna una lettera ad ogni quantità variabile del problema Esprimi la quantità di cui si vuole determinare il massimo o il minimo in funzione delle altre quantità. Usa l informazione contenuta nell enunciato del problema per eliminare tutte le quantità da cui dipende quella da massimizzare, salvo una Usa l informazione contenuta nell enunciato del problema per limitare il dominio di definizione della funzione all intervallo dove i valori sono significativi per il problema posto Determina il massimo o il minimo di questa funzione cercandolo tra: 1 i punti interni dove la derivata della funzione si annulla 2 i punti interni dove la funzione non è derivabile 3 i punti estremi

4 Altri problemi di massimi e dei minimi Una scatola con un apertura in cima deve essere costruita da un pezzo quadrato di latta, largo un metro, tagliando solo dei piccoli quadrati agli angoli e ripiegando i bordi. Determinare il massimo volume che può essere limitato da una tale scatola. Si consideri un barattolo cilindrico di alluminio con un volume di 100 centimetri cubi. Determinare quello di area superficiale minima. Determina il triangolo isoscele di massima area che che può essere iscritto in un cerchio dato.

5 Altri problemi di massimi e dei minimi (II) Un uomo sulla riva di un fiume largo 4 chilometri vuole raggiungre un un posto sulla riva opposta che è 4 chilometri più a valle del punto di partenza. Egli può camminare alla velocità di 5 Km/h e può remare a una velocità di 4 Km/h. Assumiamo che l uomo remi e cammini in linea retta, come mostrato nella figura. Trascurando l effetto della corrente del fiume, qual è la strategia migliore per minimizzare il tempo necessario a raggiungere il punto di arrivo? punto di partenza 4 Km rema a 4Km/h cammina a 5Km/h x Km (4-x) Km

6 Il segno della derivata nell intorno di un punto estremale Supponiamo che la funzione f (x) sia derivabile in un punto x 0 e f (x 0 ) = 0, ovvero x 0 sia punto estremale per f. Per caratterizzare la natura del punto x 0 possiamo guardare al segno di f (x) in un intorno di x 0. Se f (x) = 0 per tutti i punti di un intorno I di x 0 allora la funzione f è costante in quell intorno per il teorema di Lagrange. Se f (x) > 0 per tutti gli x di un intorno I di x 0 tali che x < x 0 e f (x) < 0 per tutti gli x di I di tali che x > x 0, f ha in x 0 un punto di massimo relativo Se f (x) < 0 per tutti gli x di un intorno I di x 0 tali che x < x 0 e f (x) > 0 per tutti gli x di I di tali che x > x 0, f ha in x 0 un punto di minimo relativo Se f (x) non cambia segno in un intorno di x 0 (dove f (x 0 ) = 0), f ha in x 0 un punto di flesso a tangente orizzontale

7 Esempi La funzione f (x) = x 2 ha derivata nulla in x 0 = 0. La sua derivata è f (x) = 2x che è positiva per x < 0 e negativa per x > 0. Quindi la funzione ha un punto di massimo in x 0. La funzione f (x) = x 2 ha derivata nulla in x 0 = 0. La sua derivata è f (x) = 2x che è negativa per x < 0 e positiva per x > 0. Quindi la funzione ha un punto di minimo in x 0. La funzione f (x) = x 3 ha derivata nulla in x 0 = 0. La sua derivata è f (x) = 3x 2 è positiva per x 0. Quindi la funzione ha un punto di flesso a tangente orizzontale in x 0.

8 Esempi (II) In rosso, il grafico della funzione f (x) = x 2. In blu, il grafico della funzione f (x) = x 2. In verde, il grafico della funzione f (x) = x

9 Il comportamento della derivata in un punto estremale Sia f una funzione derivabile in x 0 un numero sufficiente di volte e sia f (x 0 ) = 0. Allora, se la prima derivata di ordine superiore che non si annulla: ha ordine pari, uguale a 2k e f (2k) (x 0 ) < 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo; ha ordine pari, uguale a 2k e f (2k) (x 0 ) > 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo; ha ordine dispari, allora x 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale.

10 Lo studio qualitativo del grafico di una funzione (I) Un problema applicativo che ancora riveste un certo interesse è quello di tracciare un grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale. Considereremo per lo più grafici di funzioni per i quali conviene seguire lo schema seguente: determinare eventuali simmetrie e periodicità della funzione. Se una funzione è periodica ci limiteremo a studiarla su un suo intervallo di periodicità determinare il campo di esistenza, che nei nostri esempi avrà la forma di unione di un numero finito di intervalli calcolare il valore dei limiti agli estremi del campo di esistenza determinare gli zeri della funzione, ovvero l insieme dei punti dove la funzione interseca l asse delle ascisse

11 Lo studio qualitativo del grafico di una funzione (II) Determinare gli intervalli dove la funzione è positiva e quelli dove la funzione è negativa. Nei nostri esempi le funzioni che dovremo studiare saranno continue all interno del loro campo di esistenza. Quindi, per il teorema di Bolzano, su ogni intervallo avente come estremi uno zero o un punto all estremo del campo di esistenza e che non contiene al suo interno nè zeri nè estremi del campo di esistenza, la funzione avrà segno costante che si potrà quindi determinare calcolando il suo valore in un punto qualsiasi di tale intervallo Calcolare la derivata prima della funzione Determinare i punti dove la derivata prima si annulla, gli intervalli dove la derivata prima è positiva (f crescente) e quelli dove è negativa (f decrescente). Determinare quindi i punti di massimo e di minimo, relativi e assoluti.

12 Lo studio qualitativo del grafico di una funzione (III) Quelle che abbiamo discusso sono solo alcune delle caratteristiche qualitative del grafico di una funzione. Sono importanti altre cratteristiche quali gli intervalli dove la funzione ha concavità verso l alto (derivata seconda positiva) e quelli dove ha concavità verso il basso (derivata seconda negativa). I punti dove la funzione cambia la concavità si dicono punti di flesso e in essi la derivata seconda si annulla. Possiamo poi caratterizzare il comportamento asintotico di una funzione con la determinazione di eventuali asintoti, ma non approfondiremo queste nè altre caratteristiche più fini del grafico di una funzione.

13 Esempio il grafico di f (x) = log( x 2 +1 x 2 1 ) + x 2 +1 x 2 1 Simmetrie Osserviamo innanzitutto che, apparendo la x solo al quadrato, f ( x) = f (x) e quindi la funzione è simmetrica rispetto all asse delle x. Basterè quindi studiare il grafico solo per x > 0 e riprodurlo simmetricamente rispetto all asse delle ordinate. Campo di esistenza Per essere definito il logaritmo, deve essere il suo argomento positivo. Il numeratore di x 2 +1 ) è sempre positivo, x 2 1 mentre il denominatore è positivo per x < 1 e per x > 1. tale sarà il segno della frazione e quindi dell argomento del logaritmo. Il campo di esistenza sarà quindi x > 1 e x < 1. Limiti al campo di esistenza Per simmetria, ci basta considerare due limiti: ( x 2 ) lim f = lim log + 1 x 1 + x 1 + x 2 + x x 2 1 = lim log y + y = + y + e lim f = x + lim log x + ( x 2 ) + 1 x 2 + x x 2 1 = lim log y + y = 1 y 1

14 Esempio il grafico di f (x) = log( x 2 +1 x 2 1 ) + x 2 +1 x 2 1 derivata ( x f = log 2 ) ( + 1 x 2 ) ( + 1 x 2 ) + 1 x 2 1 x x 2 = 1 ( x 2 ) ( 1 x 2 ) ( x x 2 ) 1 2x(x 2 x 2 = 1 x ) 2x(x 2 + 1) (x 2 1) 2 = 8x 3 (x 2 1) 2 (x 2 + 1) segno della derivata L espressione che abbiamo trovato per la derivata non si annulla mai nel campo di esistenza ed è negativa quando x > 0. La funzione è quindi decrescente in (1, + ) e crescente in (, 1).

15 Esempio il grafico di f (x) = log( x 2 +1 x 2 1 ) + x 2 +1 x