Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4

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1 Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee l equazioe a b + abi = 3 4 i, da cui il sistema a b = 3 4 ab = 1. Usiamo la secoda equazioe per trovare a: a b = 3 4 a = 1 b 1 4b b = 3 4 a = 1 b, da cui, suppoedo b 0, b 4 + 5b 9 = 0 a = 1 b. Risolviamo la prima equazioe per trovare valori di b: poiamo b = t e otteiamo t +5t 9 = 0, da cui t = 1, 1 4. Le soluzioi si trovao risolvedo b = 1 e b = 1 4. La prima o ha soluzioi reali, metre la secoda ha le due soluzioi b = ± 1. I valori corrispodeti di a soo a = 1 b = 1. Ne segue che i umeri complessi cercati soo z 1 = i, z = 1 1 i. Esercizio Determiare tutti i puti di accumulazioe per l isieme ( 1) } A = + 1 N. Soluzioe. Sia a = ( 1) +1. Osserviamo prelimiarmete che per valori pari di vale a = metre per valori dispari di abbiamo a = +1. Ne segue che possiamo scrivere } A = A 1 A = + 1 N, pari } + 1 N, dispari. 1 +1,

2 Studiamo i due isiemi A 1 e A separatamete: per quato riguarda A 1, si vede che i suoi elemeti soo cresceti; ioltre + 1 = = , quidi gli elemeti di A 1 si avviciao crescedo a 1. Mostriamo che 1 è puto di accumulazioe: dobbiamo far vedere che ogi itoro di 1 cotiee u elemeto di A 1. I altre parole, per ogi ɛ > 0 vogliamo trovare tale che 1 ɛ < +1 < 1 + ɛ. La secoda disuguagliaza è sempre baalmete verificata, quidi risolviamo la prima: 1 ɛ < ɛ (1 ɛ)( + 1) < >. ɛ Abbiamo otteuto che per ogi ɛ, o appea scegliamo > 1 ɛ ɛ, il valore a si trova ell itoro di 1 di raggio ɛ, cioè 1 è di accumulazioe per A 1 (e quidi per A). Ioltre 1 è l uico puto di accumulazioe per A 1 perché A 1 è fatto di puti isolati. Co ragioameti aaloghi si può dimostrare che 1 è u puto di accumulazioe per A, quidi cocludiamo che gli uici puti di accumulazioe per A soo 1 e 1. Esercizio 3 Si cosideri la fuzioe dipedete dai parametri reali α, β, γ di legge x 3 + αx + βx + γ se x 0 f(x) = (αx + β)e γx se x < 0. Determiare le triple (α, β, γ) per le quali f risulta cotiua e derivabile due volte i x = 0. Dimostrazioe. Affiché f sia cotiua i x = 0 deve valere che i limiti destro e siistro i 0 devoo essere uguali e coicideti co il valore f(0). Poiché questo ci porta all equazioe β = γ. f(0) = lim x 0 + f(x) = γ e lim x 0 f(x) = β, Per la derivabilità i x = 0 dobbiamo imporre la stessa codizioe, ma per le derivate destra e siistra: coducedoci all equazioe β = γβ + α. Aalogamete per la derivata secoda: lim f (x) = lim 3x + αx + β = β x 0 + x 0 + lim f (x) = lim x 0 x 0 +[γ(αx + β)eγx + αe γx ] = γβ + α, lim f (x) = lim 6x + α = α x 0 + x 0 + lim f (x) = lim (αx + β)e γx + αγe γx ] = γ β + αγ, x 0 x 0 +[γ dadoci l equazioe α = γ β + αγ.

3 I defiitiva i valori di α, β, γ che soddisfao le richieste risolvoo il sistema o lieare β = γ β = γβ + α α = γ β + αγ. Risolviamolo: sostituedo la prima ella secoda, si ottiee β = β +α; ricaviamo α e sostituiamo ella terza: α = β β, da cui Risolvedo, troviamo tre valori di β: (β β ) = β 3 + β(β β ) β 3 4β + β = 0. β 3 4β + β = 0 β(β 4β + ) = 0 β = 0 β = ±. Sostituedo elle altre equazioi, otteiamo tre possibili triple: (0, 0, 0), ( 4+3,, ) e ( 4 3, +, + ). Esercizio 4 Si cosideri la fuzioe di legge f(x) = (x 4) (x 1) 3. (a) Calcolare il domiio, gli zeri, gli itervalli i cui è positiva, gli itervalli di mootoia, massimi e miimi relativi, evetuali asitoti. Se e tracci u grafico qualitativo. (b) Calcolare 0 f(x) dx. Soluzioe. 1. La fuzioe è razioale fratta, duque il domiio è tutta la retta reale trae i puti che aullao il deomiatore, i quali risolvoo (x 1) 3 = 0 x = 1, pertato dom f = (, 1) (1, + ). Gli zeri di f come oto risolvoo f(x) = 0, cioè (x 4) = 0 x 4 = 0 x = ±. Per sapere dove f è positiva bisoga risolvere f(x) > 0, cioè (x 4) (x 1) 3 > 0. Notiamo che il umeratore è sempre o egativo visto che è u quadrato, pertato il sego è dato semplicemete dal deomiatore: f(x) > 0 (x 1) 3 > 0 x > 1. Quidi f è positiva i (1, ) (, + ) e egativa i (, ) (, 1) (bisoga escludere gli zeri). La fuzioe è sempre derivabile el suo domiio perché rapporto di fuzioi derivabili. Calcoliamoe la derivata: f (x) = (x 4)x(x 1) 3 3(x 1) (x 4) (x 1) 6 = (x 4)[4x(x 1) 3(x 4)] (x 1) 4 = = (x 4)(x 4x + 1) (x 1) 4. 3

4 Studiadoe il sego, si osserva che: x 4x + 1 > 0 per ogi x e lo stesso vale per il deomiatore (x 1) 4 (i questo caso ad eccezioe di x = 1, che però è escluso dal domiio). Ne segue che il sego è dato da x 4, duque f è crescete i (, ) (, + ) e f è decrescete i (, 1) (1, ). I particolare x = ± soo puti stazioari di f, co x = puto di massimo relativo e x = puto di miimo relativo. Sia il massimo che il miimo valgoo 0. Calcoliamo gli asitoti. È facile vedere che lim x 1 x 1 f(x) = + e lim f(x) =, + perciò x = 1 è asitoto verticale. Cerchiamo asitoti orizzotali o obliqui. Poiché lim f(x) = ±, x ± allora o ammette asitoti orizzotali. Calcolado f(x) lim x ± x = lim x 4 8x + 16 x ± x 4 3x 3 + 3x x = 1, si vede che esiste u asitoto obliquo y = mx+q co m = 1. Per calcolare q basta calcolare lim [f(x) mx] = lim 3x 3 11x + x + 16 x ± x ± x 3 3x + 3x 1 = 3. Cocludiamo che y = x + 3 è asitoto obliquo sia a + che a. I Fig.1 c è u grafico della fuzioe.. Per calcolare quest itegrale coviee sviluppare le poteze: f(x) = x4 8x + 16 x 3 3x + 3x 1, e effettuare la divisioe fra poliomi, visto che il umeratore ha grado maggiore del deomiatore: x 4 8x + 16 x 3 3x + 3x 1 = x + 3 x + 8x 19 (x 1) 3. L itegrale, quidi, è: f(x) dx = x + 8x 19 (x + 3) dx (x 1) 3 dx. Il primo itegrale è baale: (x + 3) dx = 1 x + 3x + c, metre il secodo richiede la risoluzioe col metodo della scomposizioe i fratti semplici; scriviamo x + 8x 19 (x 1) 3 = A x 1 + B (x 1) + C (x 1) 3 = Ax + (B A)x + A B + C (x 1) 3, 4

5 80 Grafico di f(x) y x Figura 1: Grafico della fuzioe f(x) = (x 4) (x 1) 3. che coduce al sistema lieare A = B A = 8 A B + C = 19 A = B = 1 C = 9. Ne segue che x + 8x 19 (x 1) 3 dx = Per cocludere, 0 f(x) dx = x 1 dx + 1 (x 1) dx + = l x 1 1 (x 1) + 9 (x 1) + c. 9 (x 1) 3 dx ( 1 x + 3x l x ) x (x 1) = 1 9 ( 6 l ) = l