Appunti del corso di METODI MATEMATICI DELLA FISICA. Guido Cognola

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1 Appunti del corso di METODI MATEMATICI DELLA FISICA Guido Cognol nno ccdemico Questi ppunti sono essenzilmente l trscrizione in mnier schemtic e concis delle lezioni svolte nel corso di Metodi Mtemtici dell Fisic Second Unità nell nno ccdemico Il mterile è preso di libri di testo consigliti e non deve ssolutmente diventre un sostituto degli stessi. cognol didttic dicembre 29 e-mil:

2 Testi consigliti A.N. Kolmogorov nd S.V. Fomin. Elementi di teori delle funzioni e di nlisi funzionle. Edizioni MIR 198. V.V. Vldimirov et Coll. Recuel de Problèmes d Équtions de Physique Mthémtique. Edizioni MIR 1976.

3 Indice 1 Integrle di Lebesgue Integrle di Riemnn Misur di Lebesgue Funzioni misurbili Integrle di Lebesgue Teoremi Clssici Spzi Metrici Isometri fr spzi metrici Contrzioni Spzi Normti Esempi di spzi normti Spzi Euclidei Esempi di spzi euclidei Sistemi ortonormli chiusi Teorem di Riesz-Fischer Spzi di Hilbert Lo spzio L Completezz di L 1 e L Bsi ortonormli in L Sistem trigonometrico Form compless dell serie di Fourier Completezz del sistem trigonometrico Polinomi di Legendre Polinomi di Hermite Funzionli lineri continui Spzio dule Bse dule Distribuzioni Funzioni test Lo spzio D Lo spzio S Distribuzioni di Schwrtz Distribuzioni regolri Prodotto di un distribuzione per un funzione C Cmbimento di vribile Derivzione Prodotto diretto Prodotto di convoluzione Condizioni sufficienti per l esistenz del prodotto di convoluzione Regolrizzzione Distribuzioni temperte Trsformt di Fourier Soluzioni fondmentli di opertori differenzili lineri Opertori Lineri Opertoti Limitti Proprietà dell opertore ggiunto Proprietà dell opertore utoggiunto Spettro Opertori Comptti

4 9 Equzioni Integrli Appliczioni Problem di Cuchy Problem di Abel (1823) Problem dell cord Equzioni di Fredholm Nuclei di Hilbert-Schmidt Soluzione delle equzioni integrli di II specie Equzioni nucleo simmetrico Equzioni nucleo degenere Equzioni di Volterr Soluzioni sotto form di serie di potenze Nuclei Ortogonli Contrzioni: metodo delle pprossimzioni successive Spzi di Hilbert Distribuzioni Equzioni integrli 89

5 Definizioni Alcuni dei concetti seguenti si possono definire in spzi più generli, m qui simo interessti gli spzi euclidei per i quli è definito il concetto di distnz fr due punti rbitrri. Questo è dto dll norm dell differenz dei due punti, che per spzi reli è un ver distnz ρ(x,y) fr punti (vedi sotto). Punto di ccumulzione. x X è detto punto di ccumulzione se ogni suo intorno contiene lmeno un punto di X. Chiusur. L insieme X si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di ccumulzione. Limittezz. X si dice limitto se l distnz fr ogni coppi di punti è finit. Vle dire, per ogni x,y X esiste C per cui ρ(x,y) C. Compttezz. Uno spzio X si dice comptto se d ogni suo ricoprimento perto è possibile estrrre un sottoricoprimento finito. G X si dice reltivmente comptto o precomptto se l su chiusur in X è comptt. Totle Limittezz. X è totlmente limitto se d è unione finit di plle perte (ε-rete), cioè X = n B(x k,ε), dove B(x,ε) è l pll pert di rggio ε centrt in x. Discontinuità di prim specie. Qundo i limiti destro e sinistro esistono entrmbi m sono diversi fr loro. Funzione vrizione limitt. f definit in [,b] si dice vrizione limitt se, per ogni suddivisone dell intervllo del tipo = x < x 1 < < x n = b si h f(x k ) f(x k 1 ) < costnte. Funzione ssolutmente continu. f definit in [, b] si dice ssolutmente continu se, fissto rbitrrimente ε >, esiste δ per cui f(b k ) f( k ) < ε, (b k k ) < δ, k k dove ( k,b k ) è un qulsisi fmigli finit di intervlli disgiunti. Ogni funzione ssolutmente continu è uniformemente continu e vrizione limitt. In prticolre, l integrle indefinito di ogni funzione sommbile definisce un funzione ssolutmente continu. Convergenz qusi ovunque. Si dice che l successione {f n } converge f qusi ovunque se f n (x) f(x), meno di un insieme di misur null, vle dire, l insieme dei punti in cui l funzione non converge h misur null. Sottoinsieme denso: un insieme G è denso in X se ogni punto di X è circondto d punti di G rbitrrimente vicini. In mnier precis: per ogni x X e comunque scelto un numero ε >, esiste un elemento x g G tle che ρ(x,x g ) < ε. Successione Fondmentle (o di Cuchy). Un successione {x k } si dice fondmentle se soddisf il criterio di Cuchy, vle dire se, comunque scelto un numero ε >, esiste un intero N ε tle che ρ(x n,x m ) < ε, per ogni n,m > N ε. Ogni successione convergente ovvimente soddisf questo criterio. In generle però non vle il vicevers. Quindi il criterio di Cuchy è un condizione necessri m non sufficiente per l convergenz delle successioni. Completezz di uno spzio. Uno spzio X si dice completo se ogni successione fondmentle è convergente. Questo signific che in uno spzio completo, l condizione di Cuchy è necessri e sufficiente per l convergenz. Esempio. L insieme Q dei numeri rzionli non è completo. Esistono inftti successioni di numeri rzionli che convergono d un numero rele, m non rzionle. L insieme dei numeri reli IR è completo ed è nche il completmento di Q. In IR ogni successione fondmentle converge d un numero rele.

6 Spzio seprbile. Uno spzio X si dice seprbile se contiene un insieme numerbile ovunque denso in X (gli spzi che si incontrno comunemente lo sono). Esempio. Un numero rele si può pprossimre con precisione rbitrri medinte un numero rzionle. L insieme dei numeri rzionli Q è quindi denso in IR; inoltre Q è numerbile e dunque IR è seprbile.

7 1 Integrle di Lebesgue E l estensione dell integrle di Riemnn d un clsse più vst di funzioni Integrle di Riemnn Anlizzimo brevemente, d un punto di vist critico, l definizione di integrle secondo Riemnn. Si quindi f(x) un funzione limitt definit nell intervllo I (, b), m e M rispettivmente gli estremi inferiore e superiore che quest rggiunge l vrire di x I, h i un piccolo intervllo in I con i h i = I, m i, M i e m i f i M i gli estremi inferiore, superiore e un vlore rppresenttivo che l funzione ssume l vrire di x h i. Si pong σ = i h i f i, s = i h i m i, S = i h i M i+1. L funzione f(x) è integrbile secondo Riemnn se i limiti per i delle espressioni precedenti sono coincidenti. Il procedimento precedente è sensto se nell intervllo h i i possibili vlori di f i sono vicini fr loro, vle dire se f i è effettivmente un punto rppresenttivo dell funzione. Se f è continu questo è certmente vero, m non è necessrio. Come si vede, nell definizione precedente si discretizz il dominio di definizione dell funzione non spendo quindi come srnno distribuiti i vlori dell stess nel generico intervllo. Nell definizione integrle di Lebesgue il procedimento è simile, m nzichè il dominio dell funzione, si discretizz il co-dominio, vendo quindi il controllo sui vlori che l funzione ssume in ogni intervllino. Prim di procedere ll definizione generle, considerimo un specile clsse di funzioni f(x) come sopr, m con l ulteriore restrizione che l insieme I αβ si un multi-intervllo, dove I αβ {x I, tli che m α f(x) β M} (1.1) comunque scelti α e β. A questo punto dividimo il co-dominio di f in tnti piccoli intervlli m = α < α 1 < α 2 <... < α n = β d ognuno dei quli corrisponderà un multi-intervllo I αiα i+1 = h (1) i + h (2) i +... h i I, dove l funzione ssumerà i vlori α i f i α i+1. Ponimo llor h i = I, (1.2) i s = i h i α i σ = i h i f i S = i h i α i+1 (1.3) e osservimo che i limiti per i delle espressioni precedenti sono coincidenti, per costruzione. Inftti, scelt un rbitrri discretizzzione con α i+1 α i < ε, si h S s = i (α i+1 α i )h i < ε(b ). h i è l misur (lunghezz) del multi-intervllo I αiα i+1. Se I αβ non è un multi-intervllo, le espressioni (1.3) non hnno lcun significto, meno che non si definisc h i in modo preciso. Per poter estendere l integrle di Lebesgue funzioni rbitrie è prim necessrio definire l misur di un insieme qulunque. 1 Per un trttzione elementre vedi: F.G. Tricomi, Istituzioni di nlisi superiore, Edizioni CEDAM, Pdov (1964).

8 1.2 Misur di Lebesgue E un delle vrie estensioni del concetto di misur d un insieme qulunque. Si P un intervllo (chiuso, perto o semiperto) in IR (o un rettngolo in IR 2 o un iper-prllelepipedo in R n ). L misur m(p) di P è l lunghezz (l re, l iper-volume) e l misur dell insieme vuoto è null per definizione; m(φ) =. Quest misur gode delle proprietà m(p) ; l misur è rele e non negtiv; m(p) = n m(p k) se P = n P k e P i Pj = Φ; l misur di un numero finito di intervlli disgiunti è l somm delle misure dei singoli intervlli. L misur si estende fcilmente d ogni insieme elementre, vle dire qulunque unione infinit di intervlli disgiunti. Si definisce m (E) = k m(p k ), E = k P k, P i Pj = Φ. Si osservi che rispetto ll second proprietà dell misur sopr, nell ultim espressione l indice k può ssumere infiniti vlori. In generle, l decomposizione dell insieme elementre E in infiniti intervlli disgiunti può essere effettut in più modi; si dimostr che l misur m (E) non dipende dll decomposizione. Si dimostr inoltre che se E è unione finit o numerbile di insiemi elementri E k disgiunti, llor m (E) = k m (E k ), E = k E k, E i Ej = Φ. Quest importnte proprietà dell misur m è dett Addidività numerbile o σ-dditività. Considerimo or un insieme qulsisi A contenuto in un regione finit di IR (IR n ) e un suo ricoprimento rbitrrio medinte intervlli (rettngoli) P k. Definimo l misur estern di A medinte l espressione µ (A) = inf A k P k m(p k ). Si dimostr l importnte e nturle proprietà, che se A B llor µ (A) µ (B). Definizione Un insieme si dice misurbile nel senso di Lebesgue se si può pprossimre con precisione rbitrri medinte insiemi elementri. Più precismente, A srà misurbile (secondo Lebesgue) se, per ogni ε > esiste un insieme elementre E per cui µ (A E) < ε, dove A E è l insieme complemetre dell intersezione. In tl cso l funzione µ si chim misur di Lebesgue e si indic semplicemente con µ. Unione e intersezione numerbile di insiemi misurbili è misurbile. Vlgono inoltre le proprietà A = n A n = µ(a) = n µ(a n ), (σ-dditività), dove {A n } è un fmigli disgiunt di insiemi misurbili. A = n A = n A n, A 1 A 2 A 3... = µ(a) = lim n µ(a n). (1.4) A n, A 1 A 2 A 3... = µ(a) = lim n µ(a n). L estensione d insiemi qulsisi contenuti in tutto IR (IR n ) è or immedit in qunto l sse rele può essere visto come un somm di intervlli disgiunti e l insieme A divent l somm di (infiniti) insiemi, ognuno contenuto in un intervllo. Si osservi che in tl cso l misur può essere infinit. Usndo le proprietà strtte che definiscono un misur, l misur di Lebesgue si può estendere d insiemi più generli di IR n.

9 Esempi Misur di un punto. L misur di Lebesgue di un punto isolto A è bnlmente null. Un punto inftti è contenuto in un intervllo I ε, con ε rbitrrimente piccolo, per cui µ(a) µ(i ε ) = ε. Usndo l σ-dditività si ricv che nche l misur di un infinità numerbile di punti è null. 1.3 Funzioni misurbili Si f(x) definit in un insieme misurbile I e si I αβ l insieme definito dll (1.1). L funzione f si dirà misurbile (secondo Lebesgue) se I αβ è un insieme misurbile. Equivlentemente si dice che f è misurbile se, per ogni, l insieme E α {x I, tli che f(x) > α} è misurbile. Se f è misurbile ed è ugule g q.o. (qusi ovunque, vle dire meno di un insieme di misur null), llor nche g è misurbile; somme, prodotti, limiti di funzioni misurbili sono misurbili. 1.4 Integrle di Lebesgue L definizione di integrle di Lebesgue è or immedit. Si us inftti lo stesso procedimento introdotto sopr, dove nziché richiedere che l insieme I αβ in (1.1) si un multi-intervllo, si richiede l misurbilità dell funzione limitt f. Questo, per definizione, grntisce l misurbilità di I αβ, che nel cso specile sopr, equzione (1.2), er stt ust tcitmente ponendo h i ugule ll lunghezz del generico multiintervllo (si sono ust l somm l posto dell unione). Allor ponimo h i = µ(i αiα i+1 ), s = i h i α i σ = i h i f i S = i h i α i+1. (1.5) Il limite delle espressioni precedenti per un suddivisione del co-dominio dell funzione con infiniti intervlli infinitesimi definisce l integrle di Lebesgue, cioè f(x)dx = lim h i f i. µ(i) = I i i i=1 Vlgono tutte le proprietà dell integrle di Riemnn. Inoltre se f è limitt in I e integrbile secondo Riemnn, llor è nche integrbile secondo Lebesgue e i due integrli coincidono. Se f = g q.o., llor dx f(x) = dx g(x). I I Come si f con l integrte di Riemnn, nche l integrle di Lebesgue si estende, funzioni non limitte. Per fre questo è sufficiente pprossimre l funzione non limitt f medinte un successione di funzioni limitte (troncte) f n e definire l integrle di f come limite degli integrli dell serie f n usndo i teoremi riportti di seguito. Se il limite è finito, l funzione si dice sommbile secondo Lebesgue. h i 1.5 Teoremi Clssici Teorem I o di Lebesgue Se {f n } è un successione di funzioni misurbili, uniformemente limitt (vle dire che esiste un numero N per cui vle relzione f n (x) < N) e convergente f q.o., llor nche f è misurbile e si h dx f n (x) dx f(x). Si osservi che per scmbire il limite con l integrle bst l limittezz uniforme e non l convergenz uniforme come per l integrle di Riemnn.

10 Corollrio Se f(x) è l somm di un serie di funzioni misurbili u n e le somme przili sono uniformemente limitte, llor n dx u n (x) = dx f(x). In queste ipotesi si può integrre termine termine. Teorem II o di Lebesgue Se {f n } è un successione di funzioni sommbili convergente f q.o. e per ogni n vle l relzione f n (x) φ(x), dove φ(x) è un funzione sommbile, llor nche f è sommbile e dx f n (x) dx f(x). Come sopr, si può scmbire il limite con l integrle. Corollrio I Se f(x) è l somm (q.o.) di un serie di funzioni sommbili u n e tutte le somme przili sono limitte d un funzione sommbile φ(x), llor nche f è sommbile e il suo integrle è l somm degli integrli di f n. Sotto queste condizioni si può integrre termine termine. Corollrio II Se un serie di funzioni sommbili non negtive converge q.o. d un funzione sommbile f, llor si può integrre termine termine. Teorem di B. Levi Se f 1 (x) f 2 (x)... f n (x)... è un successione di funzioni integrbili e tutti gli integrli sono mggiorti d un unic costnte, llor l successione converge f qusi ovunque e inoltre l integrle di f è il limite degli integrli. Teorem di Ftou Se {f n } è un successione di funzioni sommbili non negtive convergente f e tutti gli integrli di f n sono mggiorti d un costnte comune, llor l integrle di f esiste ed è mggiorto dll stess costnte.

11 2 Spzi Metrici Definizione (spzio metrico) Uno spzio metrico è un qulunque insieme X munito di un ppliczione ρ(x,y) che d ogni coppi di elementi x,y X ssoci un numero rele, con le proprietà 1. ρ(x,y) e ρ(x,y) = se e solo se x = y, 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) simmetri, 3. ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) disuguglinz tringolre. Un ppliczione con le proprietà precedenti è dett distnz. Esempi 1. L rett rele IR con l distnz ρ(x,y) = x y ; si verific bnlmente che le tutte le proprietà sono soddisftte. 2. L insieme delle n uple ordinte di numeri reli (x 1,x 2,...,x n ) con l distnz ρ(x,y) = n (x k y k ) 2. Questo spzio metrico è detto spzio Euclideo n dimensionle e si indic con IR n. Le prime due proprietà sono bnlmente verificte, mentre l disuguglinz tringolre deriv dll disuguglinz di Cuchy-Bunjkowskij-Schwrtz ( n ) 2 k b k i=1 2 i b 2 j (2.1) j=1 che su volt è un bnle conseguenz dell identità ( n ) 2 k b k = i=1 2 i b 2 j 1 2 j=1 ( i b j j b i ) 2 i=1 j=1 che si verific direttmente. Per ricvre l disuguglinz tringolre, presi tre punti x,y,z in IR n conviene prim porre k = x k y k, b k = y k z k = x k z k = k + b k. In questo modo si h [ρ(x,z)] 2 = ( k + b k ) 2 = 2 k + 2 k + b 2 k + 2 k b k b 2 k + 2 n i=1 i n b j = n k + n = [ρ(x,y) + ρ(y,z)] 2. (2.2) 3. L insieme IR n 1 delle n uple ordinte di numeri reli (x 1,x 2,...,x n ) con l distnz ρ 1 (x,y) = x k y k. Tutte le proprietà si verificno bnlmente. b=1 b k 2

12 4. L insieme IR n delle n uple ordinte di numeri reli (x 1,x 2,...,x n ) con l distnz ρ (x,y) = mx 1 k n x k y k. L disuguglinz tringolre deriv dl ftto che, per ogni k x k z k x k y k + y k z k mx 1 k n x k y k + mx 1 k n y k z k. 5. Lo spzio l 2 costituito dlle successioni {x k } di numeri reli tli che k x2 k < con l distnz ρ(x,y) = (x k y k ) 2. Se x,y l 2 llor l serie precedente converge come conseguenz delle disuguglinze (x k ± y k ) 2 2(x 2 k + y 2 k) e l disuguglinz tringolre è il limite dell (2.2). 6. Lo spzio C[,b] delle funzioni continue nell intervllo [,b] con l metric ρ(f,g) = mx f(t) g(t). (2.3) t b Le proprietà si verificno fcilmente. 7. Lo spzio C 2 [,b] delle funzioni continue nell intervllo [,b] con l metric b ρ 2 (f,g) = dt [f(t) g(t)] 2. L disuguglinz tringolre si ricv usndo l disuguglinz di Cuchy-Bunjkowskij-Schwrtz integrt. Rispetto tutti quelli precedenti, questo spzio metrico non è completo. Questo signific che esistono successioni fondmentli di funzioni pprtenenti C 2 [,b] che però non convergono funzioni di C 2 [,b]. 2.1 Isometri fr spzi metrici Definizione (continuità) Sino dti due spzi metrici X e Y con distnze ρ e ρ 1 rispettivmente e un ppliczione f : X Y. Si dirà che f è continu in x X se, comunque scelto ε >, esiste δ > tle che, per ogni x X per cui ρ(x,x ) < δ si bbi ρ 1 (f(x),f(x )) < ε. Quest definizione di continuità coincide con quell not se X e Y sono insiemi numerici. Definizione (omeomorfismo) Se f : X Y è un ppliczione biunivoc e bicontiun, vle dire continu, invertibile e con invers continu llor si dice omeomorfismo fr spzi metrici (l stess terminologi si us nche per gli spzi topologici), e i due spzi si dicono omeomorfi. Definizione (isometri) Un omeomorfismo che conserv le distnze si dice isometri. L isometri è quindi un ppliczione f : X Y biunivoc e bicontiun tle che ρ(x 1,x 2 ) = ρ 1 (f(x 1 ),f(x 2 )), x 1,x 2 X. Se fr due spzi metrici esiste un isometri, i due spzi si dicono isometrici e, tutti gli effetti, si possono considerre identici. Definizione (convergenz) Un successione di punti {x n } in uno spzio metrico X si dice convergente x X se lim ρ(x,x n) =. n Definizione (completezz) Uno spzio X si dice completo se ogni successione fondmentle converge d un elemento di X. Si dimostr che ogni spzio metrico h un completmento unico meno di isometrie.

13 2.2 Contrzioni Definizione (contrzione) Un ppliczione A d uno spzio metrico in sè stesso è dett contrzione se esiste un numero rele α < 1 tle che, per ogni coppi di punti x,y X si bbi ρ(ax,ay) αρ(x,y), α < 1. Teorem Ogni contrzione è un ppliczione continu. Dimostrzione Dt inftti un successione {x n } convergente x X si h ρ(ax,ax n ) αρ(x n,x) ρ(x n,x). Teorem (principio delle contrzioni) Ogni contrzione in uno spzio metrico completo h un solo punto fisso, vle dire che l equzione Ax = x, h sempre un e un sol soluzione. Dimostrzione Per l dimostrzione si usno le proprietà dell distnz, l continuità di A e l completezz di X. Dto un punto qulunque x, si costruisce l successione x 1 = Ax, x 2 = Ax 1 = A 2 x, x 3 = Ax 2 = A 3 x,... x n = A n x. Quest è un successione fondmentle in qunto, per ogni m n si h ρ(x n,x m ) = ρ(a n x,a n A m n x ) α n ρ(x,x m n ) α n [ρ(x,x 1 ) + ρ(x 1,x m n )] α n [ρ(x,x 1 ) + ρ(x 1,x 2 ) + ρ(x 2,x 3 ) ρ(x m n 1,x m n )] α n ρ(x,x 1 )(1 + α + α α m n ) αn ρ(x,x 1 ). 1 α Poiché α < 1, l ultimo termine è piccolo picere per n bbstnz grnde. Dt l completezz, l successione {x n } converge d un punto x X. Usndo l continuità si h nche Ax = A lim n x n = lim n Ax n = lim n x n+1 = x e quindi x è effettivmente un punto fisso, qulunque si x. L unicità si dimostr per ssurdo. Inftti, se x,y sono entrmbi punti fissi, con x y, llor ρ(x,y) e ρ(x,y) = ρ(ax,ay) αρ(x,y) = α, in contrsto con l ssunzione che A si un contrzione. Per l esistenz del punto fisso non è strettmente necessrio che A si un contrzione, m è sufficiente che un qulche potenz B = A n lo si. Se B è un contrzione e x = Bx è un punto fisso per B llor x è un punto fisso nche per A. Inftti, preso x = Ax come punto inizile si h x = Bx = B k x = Ax = AB k x = B k Ax = B k x (2.4) e poiché B è un contrzione, per k, B k x converge x qulunque si x. 3 Spzi Normti Si X uno spzio linere (vettorile) e p : X IR un funzionle (omogeneo e convesso) con le proprietà 1. p(x) e p(x) = se e solo se x = ; 2. p(αx) = α p(x) per ogni α IC (omogeneo); 3. p(x + y) p(x) + p(y) (disuguglinz tringolre). Lo spzio (X,p) è detto spzio normto e p(x) è dett norm di x e si indic con x. Uno spzio normto completo si chim spzio di Bnch. In questo cso ovvimente l topologi è quell che segue dll norm. Ogni spzio (rele) normto è nche metrico con l distnz dt d ρ(x,y) = x y.

14 3.1 Esempi di spzi normti 1. IR con l norm x = x ; 2. IR n con l norm x = n x2 k ; 3. IR n 1 con l norm x 1 = n x k ; 4. IR n con l norm x = mx 1 k n x k ; 5. IC n con l norm x = n x k 2 ; 6. C[,b] con l norm f = mx t b f(t) ; 7. l 2 con l norm x = x k 2 ; L verific del ftto che quelle definite negli esempi sopr sino effettivmente delle norme si effettu come per gli esempi dti nell sezione precedente. 4 Spzi Euclidei Se non specificto diversmente, in quest sezione x, y, z,... sono rbitrri elementi (vettori) di uno spzio linere X, mentre α,β,... sono numeri complessi rbitrri. Definizione (spzio euclideo) Si chim spzio euclideo (complesso) uno spzio linere (complesso) X in cui è definito un prodotto sclre. Questo è un funzionle (x,y) che d ogni coppi di elementi x,y X ssoci un numero (complesso) e gode delle seguenti proprietà: 1. (x,x) e inoltre (x,x) = se e solo se x = ; 2. (x,y) = (y,x) (l brr rppresent l coniugzione compless); 3. (x,αy) = α (x,y), (α x,y) = ᾱ (x,y); 4. (x,y + z) = (x,y) + (x,z), (x + z,y) = (x,y) + (z,y). Per l coniugzione compless usimo indifferentemente l brr sopr il simbolo o l sterisco. Se lo spzio euclideo è complesso bisogn fre ttenzione ll ordine degli elementi che formno il prodotto sclre, che in questo cso non è simmetrico cus dell proprietà 2. Ogni spzio euclideo è nche normto e di conseguenz metrico (se è rele). Inftti, medinte il prodotto sclre si può definire l norm x del generico elemento x X, vle dire x = (x,x), (4.1) che gode delle proprietà richieste 1) x e x = se e solo se x = ; 2) α x = α x ; 3) x + y x + y (disuguglinz tringolre). Le proprietà 1) e 2) seguono direttmente dlle proprietà del prodotto sclre, mentre l 3) segue dll disuguglinz di Cuchy-Bunjkowskij-Schwrtz. Nel prgrfo precedente quest disuguglinz (vedi 2.1) si è dimostrt in un cso prticolre, m vle in generle e negli spzi euclidei si scrive nell form comptt 2 (x,y) x y. (4.2) 2 Si ricordi che il modulo del prodotto di due vettori è ugule l prodotto dei moduli per il coseno del ngolo compreso, che è sempre minore di 1.

15 Quest si dimostr fcilmente considerndo l disuguglinz (λx + y,λx + y) = λ 2 (x,x) + λ(x,y) + λ(y,x) + (y,y) = x 2 λ 2 + 2Re [λ(y,x)] + y 2. Poiché λ è un un numero complesso rbitrrio si può scegliere λ = (x,y) t, t IR = Re[λ(y,x)] = (x,y) t. (x,y) Con quest scelt si ricv l disequzione x 2 t (x,y) t + y 2, che è sempre verifict se il discriminnte è negtivo o nullo. Imponendo tle condizione si ottiene direttmente l (4.2). Medinte l norm si può definire l distnz ρ(x,y) fr due punti rbitrri x,y X, ossi ρ(x,y) = x y. Quest gode delle proprietà richieste: 1) ρ(x,y) e ρ(x,y) = se e solo se x = y; 2) ρ(x,y) = ρ(y,x); 3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(y, z) (disuguglinz tringolre). Se lo spzio euclideo è rele llor ρ è un ver distnz. In ogni spzio euclideo l somm, il prodotto per un numero e il prodotto sclre sono continui. Questo signific che se {x n } e {y n } sono due successioni che convergono x e y rispettivmente e α n è un successione numeric che converge d α, llor si h x n + y n x + y, α n x n αx, (x n,y n ) (x,y). L convergenz nello spzio X v intes rispetto ll norm, vle dire: x n x signific che x n x. Per l dimostrzione si usno le proprietà dell norm e del prodotto sclre. Quindi (x n + y n ) (x + y) = (x n x) + (y n y) x n x + y n y, α n x n αx = (α n α + α)(x n x + x) αx α n α x n x + α n α x + α x n x, (x n,y n ) (x,y) = (x n x + x,y n y + y) (x,y) = (x n x,y n y) + (x n x,y) + (x,y n y) x n x y n y + x n x y + x y n y. In uno spzio euclideo rele, l norm rppresent l lunghezz del vettore e il prodotto sclre permette di definire l ngolo φ formto d due vettori x,y (non nulli) medinte l relzione cos φ = (x,y), φ π, (spzio rele). (4.3) x y Se φ = π/2 i due vettori si dicono ortogonli. Se lo spzio in questione è complesso, l relzione (4.3) perde in generle il suo significto geometrico in qunto il prodotto sclre può essere complesso (φ non è più un ngolo, tuttvi rimne vlido il concetto di ortogonlità fr vettori. In uno spzio euclideo (complesso) un sistem di vettori non nulli {x i } si dice ortonormle se (x i,x j ) = δ ij, δ ij = { per i j 1 per i = j, e semplicemente ortogonle se tutti i vettori in questione non hnno norm ugule 1. Si verific fcilmente che i vettori ortogonli sono fr loro linermente indipendenti. Inftti si h (bst moltiplicre sclrmente per x i generico) α 1 x 1 + α 2 x α n x n = = α i =, i = 1,2,...,n.

16 Un sistem (ortogonle) si dice completo se il più piccolo sottospzio (chiuso) di X che contiene lo spzio generto dl sistem è X stesso. In tl cso il sistem (ortogonle/ortonormle) form un bse (ortogonle/ortonormle) e ogni elemento di X si può scrivere (in un solo modo) come combinzione linere dei vettori di bse. In ogni spzio euclideo X seprbile esiste sempre un sistem ortonormle completo e ogni sistem ortonormle è numerbile (o finito). L esisten di un bse f 1,f 2,...f n... deriv direttmente dll ipotesi di seprbilità. Inftti, se lo spzio è seprbile, esiste un sottoinsieme G numerbile ovunque denso in X. D questo sottoinsieme bst quindi estrrre un insieme di vettori linermente indipendenti e poiché G è denso in X, il sistem estrtto srà completo. A questo punto, usndo l procedur di ortonormlizzzione (vedi sotto) si potrà costruire un bse ortonormle. Teorem (ortonormlizzzione) Dto un insieme di vettori f 1,f 2,...,f n,... linermente indipendenti, è possibile costruire un insieme di vettori ortonormli ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n,... tli che 1) ϕ n = n nk f k, con nn ; 2) f n = n b nk ϕ k, con b nn. Dimostrzione L dimostrzione è costruttiv nel senso che permette effettivmente di costruire l insieme cercto. Per comincire si pone ϕ 1 = 11 f 1, 11 = 1 f 1, b 11 = I coefficienti 11,b 11 sono determinti meno di un fttore di fse. Un volt costruito ϕ 1 si costruisce ϕ 2 medinte ϕ 2 = h 2 h 2, f 2 = b 21 ϕ 1 + h 2. Il coefficiente b 21 si determin imponendo che h 2 si ortogonle ϕ 1. In tl modo si h (ϕ 1,f 2 ) b 21 = = b 21 = (ϕ 1,f 2 ), h 2 = f 2 (ϕ 1,f 2 )ϕ 1. Or si procede llo stesso modo e si costruisce ϕ 3,ϕ 4,... Dti ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n 1 si costruisce ϕ n medinte ϕ n = h n 1 n h n, f n = b nk ϕ k + h n e i coefficienti si ricvno imponendo che h n si ortogonle tutti i ϕ k per k < n. In tl modo si ottiene b nk = (ϕ k,f n ), k = 1,2,...,n 1. In conclusione si h ϕ n = h n h n, h n = f n k = 1 n 1 (ϕ k,f n )ϕ k, che permette di ricvre i vettori ortonormli in modo ricorsivo. 4.1 Esempi di spzi euclidei IR L rett rele è uno spzio euclideo (rele) di dimensione 1. Il prodotto sclre è bnlmente il prodotto fr numeri reli e l norm coincide con il modulo. L distnz è il modulo dell differenz. IR n Le n-uple ordinte x (x 1,x 2,...,x n ) di numeri reli formno uno spzio euclideo (rele) di dimensione n con il prodotto sclre dto d (x,y) = x 1 y 1 +x 2 y x n y n. Un bse ortonormle è dt di versori e 1 = (1,,,...,), e 2 = (,1,,...,),... e n = (,,,...,1). l 2 Lo spzio i cui elementi sono dell form x (x 1,x 2,...,x n,...) (x k IC) con l condizione x k 2 <. Questo spzio, munito del prodotto sclre (x,y) = x k y k, è uno spzio euclideo (complesso) infinito-dimensionle. Un bse è dt dl sistem di infiniti vettori e 1 = (1,,,...), e 2 = (,1,,...), e 3 = (,,1,...),...

17 C 2 [,b] Lo spzio delle funzioni complesse, continue nell intervllo [,b] munito del prodotto sclre (f,g) = b f (t)g(t)dt è uno spzio euclideo complesso infinito-dimensionle. Un bse {ϕ n,ψ n } per questo spzio è dt dlle funzioni trigonometriche ( ) ( ) 2πnt 2πnt ϕ (t) = 1, ϕ n (t) = cos, ψ n (t) = sin, n = 1,2,3,... b b L ortogonlità di questo sistem si verific direttmente, mentre l completezz è un dirett conseguenz del teorem di Weierstrss (L completezz di un sistem in genere è ssi difficile d dimostrre). Si fcci ttenzione non confondere l completezz del sistem ortonormle con l completezz dello spzio su cui si lvor. In questo cso inftti il sistem trigonometrico è completo, mentre lo spzio C 2 [,b] non lo è, in qunto esistono successioni di funzioni continue che convergono funzioni discontinue (si ved l sezione (5.4)), 4.2 Sistemi ortonormli chiusi D or in vnti si ssumerà che tutti gli spzi in esme sino seprbili. Dto un vettore x in IR n e un bse ortonormle {e k } si h x = c k e k, c k = (e k,x), dove i coefficienti c k rppresentno le coordinte del vettore rispetto ll bse dt (se l bse è quell dell esempio precedente llor c k sono le coordinte crtesine, che sopr bbimo indicto con x k ). Il concetto di coordint si può generlizzre nche l cso in cui lo spzio si infinito-dimensionle. Si inftti X uno spzio euclideo infinito-dimensionle (seprbile) e ϕ n un sistem ortonormle. Dto un rbitrrio elemento f X, che chimeremo ncor vettore, definimo le sue coordinte c k, dette in questo cso coefficienti di Fourier (in senso generlizzto-vedi sezione (5.4)), medinte l relzione c k = (ϕ k,f), c k = (ϕ k,f) = (f,ϕ k ), k = 1,2,3,... e considerimo l serie formle c k ϕ k, (serie di Fourier). (4.4) L serie precedente srà dett serie di Fourier (in senso generlizzto-vedi sezione (5.4), del vettore f rispetto l sistem {ϕ k }. E chiro che tutto questo è sensto se l serie è convergente e se quest converge l vettore f. Per prim cos dimostrimo che effettivmente l serie precedente è convergente per qulunque f X. Abbimo S n = c k ϕ k, f S n. Usndo le proprietà dell norm e l definizione di c k si h f c k ϕ k 2 = [f c i ϕ i ], [f c j ϕ j ] = f 2 = f 2 i=1 c k(ϕ k,f) j=1 c k (f,ϕ k ) + i=1 j=1 c i c j (ϕ i,ϕ j ) c k 2. (4.5)

18 Dll disuguglinz precedente segue (per ogni n) c k 2 f 2 = c k 2 f 2, (disuguglinz di Bessel) e di conseguenz l serie di prtenz è convergente (qulunque si n, l (4.5) è inferiore f 2 ). Come si vede, l serie (4.4) converge l vettore f (in norm) qundo nell ultim espressione sopr vle l uguglinz. E interessnte verificre che fr tutti i possibili vettori g = n α kϕ k (dove n e α k sono rbitrri) costruiti medinte combinzioni lineri delle {ϕ k }, quello che dà l migliore pprossimzione per f si ottiene con α k = c k. Inftti, procedendo come sopr si h f g 2 = f = f 2 α k ϕ k 2 = f 2 c k 2 + (αkc k + α k c k) + α k c k 2. Quest espressione è chirmente minim per α k = c k. α k 2 Come detto sopr, l serie (4.4) converge l vettore f qundo l relzione di Bessel divent un uguglinz, ossi qundo il sistem ortonormle è chiuso. Definizione (sistem chiuso) Il sistem ortonormle {ϕ k } si dice chiuso se vle l relzione di Prsevl c k 2 = f 2, (uguglinz di Prsevl). Si è detto precedentemente che in ogni spzio euclideo seprbile esiste sempre un sistem ortonormle (numerbile) completo. Or dimostrimo che ogni sistem ortonormle completo è nche chiuso e quindi completezz e chiusur del sistem diventno concetti equivlenti. Teorem In ogni spzio euclideo seprbile X, ogni sistem ortonormle chiuso {ϕ k } è completo e vicevers. Dimostrzione Si {ϕ k } chiuso. Allor ogni elemento f X si può sviluppre in serie di Fourier, ossi si può pprossimre, con precisione picere, medinte un combinzione di vettori {ϕ k }. Questo signific che lo spzio generto d {ϕ k } è denso in X e quindi il sistem è completo per definizione di completezz. Si {ϕ k } completo. Allor ogni elemento f X si può pprossimre, con precisione picere, medinte un combinzione di vettori di bse. In prticolre, per qunto visto nell osservzione sopr, fr tutte le possibili combinzioni che pprossimno f, l somm costruit con i coefficienti di Fourier c k è l più precis. Questo signific che fissto ε > piccolo picere si h ε > f α k ϕ k f c k ϕ k (4.6) e questo implic che l serie di Fourier converge f e di conseguenz vle l relzione di Prsevl. Quindi il sistem è chiuso. Questo teorem ci ssicur che ogni vettore in uno spzio euclideo seprbile e completo h uno sviluppo rispetto d un bse ortonormle. Questo sviluppo è unico e i coefficienti sono quelli di Fourier.

19 4.3 Teorem di Riesz-Fischer Sino dti un sistem ortonormle (non necessrimente completo) e un successione di numeri c 1,c 2,c 3... Ci si può chiedere sotto quli condizioni questi numeri sono i coefficienti di Fourier di qulche vettore f X rispetto l sistem dto. Come segue dll disuguglinz di Bessel, un condizione necessri è che c k 2 <. Se lo spzio è completo, quest condizione è nche sufficiente. Teorem di Riesz-Fischer Si {ϕ k } un sistem ortonormle in uno spzio euclideo X seprbile e completo e {c k } un successione numeric tle che c k 2 <. Allor esiste un elemento f X per cui c k = (ϕ k,f), c k 2 = f 2. Dimostrzione Ponimo f n = n c kϕ k. Quest è un successione fondmentle in qunto, per n bbstnz grnde si h f n+p f n 2 = n+p k=n+1 c k ϕ k 2 = n+p k=n+1 c k 2 < ε. L ultim espressione segue dll ipotesi di convergenz. Inoltre, per l ipotesi di completezz di X, deve esistere un vettore f X tle che f n f, vle dire f f n. Or osservimo che, per n k si h (ϕ k,f) = (ϕ k,f n ) + (ϕ k,f f n ) = c k + (ϕ k,f f n ). Pssndo l limite per n e usndo l continuità del prodotto sclre si ottiene l prim tesi (ϕ k,f) = c k. Per ricvre l second bst sviluppre l norm f f n 2 = [f c i ϕ i ], [f c j ϕ j ] = f 2 c k 2 i=1 e pssre l limite per n. j=1 Teorem In uno spzio euclideo seprbile e completo, un sistem {ϕ n } ortonormle è completo se o solo se l unico vettore ortogonle tutti i ϕ n è il vettore nullo. Dimostrzione L condizione è necessri. Inftti se {ϕ n } è completo, llor è nche chiuso e per ogni f vle l uguglinz di Prsevl. In prticolre, se f è ortogonle tutti i {ϕ n }, i suoi coefficienti di Fourier sono tutti nulli e dunque f 2 = k c k 2 = = f =. L condizione è sufficiente. Inftti, se {ϕ n } non è completo si può trovre un elemento g per cui vle l disuguglinz di Bessel g 2 > k c k 2, c k = (ϕ k,g). D ltr prte, per il teorem di Riesz-Fischer, dt l successione c k, esiste un elemento f X per cui vle l uguglinz f 2 = k c k 2, c k = (ϕ k,f). Confrontndo le due relzioni precedenti si ottiene (ϕ k,f g) =, f 2 = k c k 2 > g 2. Dll ultim uguglinz segue che f g è ortogonle tutti i ϕ k, mentre dll disuguglinz si h che f g.

20 5 Spzi di Hilbert Definizione Due spzi euclidei X e X si dicono isomorfi se fr di essi esiste un corrispondenz biunivoc che d ogni elemento di x X ssoci un elemento x X che conserv l linerità e il prodotto sclre, vle dire x x, y ỹ = x + y x + ỹ, αx α x, (x,y) ( x,ỹ). Tutti gli spzi euclidei (reli) di dimensione n finit sono isomorfi IR n. Quindi IR n si può usre come modello per qulunque spzio euclideo (rele) n-dimensionle. Questo deriv dl ftto che il generico elemento x dello spzio euclideo X di dimensione n si può sviluppre rispetto d un bse di n vettori ortonormli. Le componenti (c 1,...,c n ) di x formno un elemento di IR n (se X è rele, ltrimenti di IC n ) e quindi d ogni vettore in X corrisponde un elemento di IR n. Vle nche il vicevers. Quest corrispondenz biunivoc conserv l linerità e il prodotto sclre. L stess cos non vle per gli spzi euclidei di dimensione infinit. A tle scopo bst ricordre che lo spzio C 2 [,b] delle funzioni continue in [,b] con il prodotto sclre (f,g) = b dt f(t)g(t), non è completo (successioni di funzioni continue possono convergere funzioni discontinue) e quindi non può essere isomormfo d uno spzio euclideo completo. Definizione Uno spzio euclideo completo, infinito-dimensionle è detto spzio di Hilbert. Un esempio importnte di spzio di Hilbert seprbile è lo spzio l 2 i cui elementi sono dell form x (x 1,x 2,...,x n,...) (x k IC) con l condizione x k 2 <, munito del prodotto sclre (x,y) = x k y k. Teorem Tutti gli spzi di Hilbert seprbili sono isomorfi fr loro. Dimostrzione E sufficiente dimostrre che ogni spzio di Hilbert H seprbile è isomorfo l 2. A tl scopo si consideri un generico vettore f H, un bse ortonormle ϕ n e i coefficienti di Fourier k = (ϕ k,f). Per l disuguglinz di Bessel, l successione ( 1, 2, 3,...) è un elemento di l 2. Quindi d ogni f H corrisponde un elemento di l 2. Vicevers, dto un vettore { k } l 2, per il teorem di Riesz-Fischer si trov un vettore f H vente k come coefficienti di Fourier. Dunque esiste un corrispondenz biunivoc fr H e l 2. Usndo l continuità del prodotto sclre si verific fcilmente che tle corrispondenz conserv l linerità e il prodotto sclre e quindi è un isomorfismo fr spzi di Hilbert. Inftti, dti f,g H e i corrispondenti,b l 2, cioè si h f ( 1, 2, 3,...), g b (b 1,b 2,b 3,...), α f α, (f + g) ( + b), (f,g) (,b), per ogni α IC. Le prime due impliczioni si verificno immeditmente, mentre per l terz bbimo (f,g) = i ϕ i, b j ϕ j = i b j (ϕ i,ϕ j ) = kb k = (,b). i=1 j=1 i,j=1 D questo teorem segue che ogni spzio euclideo infinito-dimensionle, seprbile e completo è isomorfo l 2, il qule è quindi un modello per qulunque spzio di Hilbert seprbile. Un ltro modello importnte è dto d L 2, vle dire dlle funzioni qudrto sommbile (secondo Lebesgue). Lo spzio di Hilbert L 2 [,b] è il completmento di C 2 [,b].

21 5.1 Lo spzio L 2 Per i nostri scopi srà sufficiente considerre funzioni f : IR n IC, con l misur solit, m IR n può essere sostituito d qulunque spzio misurbile X con misur di Lebesgue µ. Si quindi L 2 (X,µ) { f : X IC tli che } dµ f(x) 2 <, dove x X, dµ è l misur (di Lebesgue) di X e l integrle è ftto su tutto X (nelle ppliczioni fisiche X IR n (o un sottospzio) e dµ dx = dx 1 dx 2 dx n ). Si dimostr che lo spzio L 2 (X,µ) (brevemente L 2 (X) o L 2 ) con il prodotto sclre (f,g) = dµ f(x)g(x), (5.1) è uno spzio di Hilbert seprbile (euclideo, completo, infinito-dimensionle e seprbile). Queste due ultime ffermzioni dipendono dll misur di Lebesgue definit in X. Ci sono inftti spzi L 2 (X,µ) che non sono seprbili e nche csi degeneri di dimensione finit. Tutte le proprietà del prodotto sclre in (5.1) seguono bnlmente dlle proprietà dell integrle, dopo essersi ccertti che tutti i pssggi formli sono effettivmente leciti. A questo scopo si deve osservre che, se f,g L 2 e α IC llor fg L 1, αf L 2, f + g L 2. (5.2) Queste proprietà sono un dirett conseguenz di f(x)g(x) 1 ( f(x) 2 + g(x) 2), 2 αf(x) 2 = α 2 f(x) 2, f(x) + g(x) 2 = f(x) f(x)g(x) + g(x) 2 2 f(x) g(x) 2 ]. L prim delle proprietà in (5.2) ssicur l esistenz dell integrle che definisce il prodotto sclre per ogni coppi di funzioni pprtenenti L 2. Dto il prodotto sclre si h l norm [ ] 1/2 f f 2 = f(x) 2 dx e si dirà che l successione di funzioni f n L 2 converge in medi (qudrtic) f L 2 se [ 1/2 f n f = f n (x) f(x) dx] 2. Quest è l convergenz di f come vettore in uno spzio di Hilbert e non v confus con l convergenz puntule delle funzioni f n (x), che, fissto x è un convergenz in IC. Un funzione f qudrto sommbile in X non è necessrimente integrbile, vle dire che f L 2 (X) non implic f L 1 (X). Allo stesso modo f L 1 (X) non implic f L 2 (X). A titolo di esempio si considerino le due funzioni f 1 (x) = 1 (x 2/3 + 1)x, f 1 2(x) = 2/3 x 2/3 + 1, x IR. Come si verific rpidmente, f 1 L 1 (IR,dx) m f 1 / L 2 (IR,dx) ( f 1 2 non è integrbile nell origine), mentre f 2 L 2 (IR,dx) m f 2 / L 1 (IR,dx) ( f 2 non è integrbile ll infinito). Questo si verific in uno spzio con misur infinit. Se X h misur finit, llor L 2 (X) L 1 (X). Inftti, se X h misur finit, le costnti pprtengono L 2 (nche L 1 ovvimente). Usndo l prim delle proprietà riportte sopr llor si h che f = 1 f L 1 (X) per ogni f L 2.

22 5.2 Completezz di L 1 e L 2 L 1 (X) è uno spzio di Bnch, vle dire normto e completo, m non è uno spzio euclideo. In L 1 inftti si può definire un norm (nche se X h misur infinit) medinte f 1 = dx f(x), X m non un prodotto sclre. Ogni successione di Cuchy converge un elemento di L 1 e quindi lo spzio è completo. Dimostrimo or l completezz di L 1 perché servirà in seguito per dimostrre l completezz di L 2, che è lo spzio di Hilbert che ci interess. Considerimo llor un generic successione fondmentle f n L 1 e mostrimo che quest converge, nell norm di L 1, sempre d un elemento di L 1. Poiché {f n } soddisf il criterio di convergenz di Cuchy, d ess si può estrrre un sottosuccessione {g k }, nch ess fondmentle e tle che g k+1 g k 1 = dx g k+1 (x) g k (x) < 1 2 k. X Con g k (x) costruimo or l successione di funzioni positive G k (x) = g 1 (x) + g 2 (x) g 1 (x) g k (x) g k 1 (x), che per costruzione gode delle proprietà G 1 (x) G 2 (x) G 3 (x)... X dx G k (x) < k 1 j= 1 2 j < 2. L successione soddisf tutte le ipotesi del teorem di Levi e questo ci ssicur che G k (x) converge qusi ovunque d un funzione G(x) (convergenz puntule) il cui integrle è il limite degli integrli di G k (x). L convergenz e l integrbilità di G k (x) implic l convergenz (qusi ovunque) e l integrbilità di g k (x) in qunto si h g k (x) = g 1 (x) + g 2 (x) g 1 (x) g k (x) g k 1 (x) G k (x). Ponimo g(x) = lim k g k (x). Quest è un convergenz puntule, mentre per l completezz è necessri l convergenz nell norm di L 1. Quest si ottiene ricordndo che g k (x) è un successione fondmentle in L 1. Questo signific che comunque fissto ε >, per i,j bbstnz grndi si h g i (x) g j (x) 1 = dx g i (x) g j (x) < ε. X Vedimo che fissto i, h j (x) = g i (x) g j (x) è un successione di funzioni che soddisf tutte le ipotesi del teorem di Ftou. E quindi lecito pssre l limite j sotto il segno di integrle. Prendendo questo limite nell equzione precedente si ricv dµ g i (x) g(x) < ε = lim g k(x) g(x) 1 =, k X ottenendo in tl modo che l successione di funzioni g k converge g nche in norm L 1. Per completre l dimostrzione si deve verificre che nche l successione originle {f n } converge f L 1. A tle scopo osservimo che per ogni ε >, per n,j bbstnz grndi si h f n g k 1 < ε, g k g 1 < ε, d cui segue f n g 1 = f n g k + g k g 1 f n g k 1 + g k g 1 < 2ε. Questo signific che l successione originle converge f = g L 1 e lo spzio è quindi completo. Teorem Lo spzio L 2 (X,µ) è completo. Dimostrzione Considerimo per semplicità il cso in cui l misur di X è finit, vle dire µ(x) <. Si deve dimostrre che ogni successione fondmentle {f n } di funzioni in L 2 converge d un

23 elemento di L 2. In uno spzio di misur finit L 2 L 1 e questo implic che un successione fondmentle in L 2 si nche fondmentle in L 1. Inftti dll (4.2) si ottiene f n (x) f m (x) 1 dx f n (x) f m (x) = (1, f n f m ) X 1 f n f m = µ(x) f n (x) f m (x) < εµ(x). Qui f f 2 rppresent l norm in L 2. Per qunto si è visto sopr nel dimostrre l completezz di L 1, d ogni successione fondmenle {f n } si può estrrre un sottosuccesione fondmentle {g k } convergente qusi ovunque d un funzione g(x) L 1. Poiché {g k } è fondmentle nche in L 2, per ogni ε > e i,j bbstnz grndi si h g i g j 2 = dx g i (x) g j (x) 2 < ε 2. X Fissto i, l successione di funzioni h j (x) = g i (x) g j (x) 2 soddisf le ipotesi del teorem di Ftou e quindi si può pssre l limite j sotto il segno di integrle ottenendo dx g i (x) g(x) 2 < ε = lim g i g =, g(x) L 2. i X Il ftto che g L 2 è dovuto ll linerità dello spzio. Inftti sppimo che il vettore g i L 2 e il teorem di Ftou ci ssicur che nche il vettore (g g i ) L 2. Quindi nche l loro somm deve pprtenere L 2. Come sopr or verifichimo che g è nche il limite dell successione originle {f n }. Per ogni ε > e n,k bbstnz grndi bbimo f n g = f n g k + g k g f n g k + g k g < 2ε, d cui segue che f n f = g L 2 e quindi lo spzio è completo. L dimostrzione si estende l cso in cui X è un insieme misurbile di misur infinit, usndo il ftto che X è unione numerbile di insiemi disgiunti di misur finit e l σ-dditività dell misur di Lebesgue. 5.3 Bsi ortonormli in L 2 Come segue dlle considerzioni di crttere generle, in L 2 (spzio euclideo infinito-dimensionle, seprbile e completo) esiste un sistem ortonormle completo ϕ k per cui ogni f L 2 si può scrivere nell form f = c kϕ k, dove i coefficienti di Fourier {c k } formno un elemento di l 2. Vlgono le relzioni f 2 = (f,f) = f(x) 2 dx = c k 2, c k = (ϕ k,f). 5.4 Sistem trigonometrico Si consideri lo spzio delle funzioni qudrto sommbile nell intervllo [ π, π]. E immedito verificre che le funzioni trigonometriche ϕ = 1 2π, ϕ n (x) = cos nx π, ψ n (x) = sinnx π (5.3) pprtengono L 2 ([ π,π]) e sono fr loro ortonormli. Inoltre formno un sistem completo come conseguenz di un teorem di Weierstrss (vedi dimostrzione sotto). Ogni funzione f L 2 ([ π,π]) vrà quindi uno sviluppo dell form f = c ϕ + c n ϕ n + c n ψ n = 2 + n cos nx + b n sin nx, (5.4) n=1 n=1 n=1 n=1

24 dove i coefficienti di Fourier sono dti d n = 1 π b n = 1 π π π π π f(x)cos nx dx, n =,1,2,... f(x)sin nx dx, n = 1,2,3,... (5.5) Non si deve dimenticre che l convergenz è in medi qudrtic. Questo signific che ( π f(x) n cos nx + b n sinnx) dx. π n=1 n=1 In generle non vle l convergenz puntule, vle dire che l serie clcolt in un punto può differire dl vlore dell funzione clcolt nello stesso punto. Anziché [ π,π] si può considerre un intervllo rbitrrio [,] di lunghezz 2. In tl cso per ogni f L 2 ([,]) si h (bst fre il cmbio di vribile x πx/) f = 2 + n cos nπx + b n sin nπx, n = 1 b n = 1 n=1 f(x)cos nπx f(x)sin nπx n=1 dx, n =,1,2,... dx, n = 1,2,3, Form compless dell serie di Fourier Si ottiene come conseguenz dirett delle formule di Eulero cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix 2 2i Usndo queste espressioni e ponendo. α = 2, α ±n = n ib n, n = 1,2,3,... 2 per ogni f L 2 ([ π,π]) si h α n = 1 2π f = π n= π f(x)e inx dx, n =, ±1, ±2,... α n e inx. (5.6) Il sistem {e inx } non è normlizzto. Si h inftti ( e imx,e inx) = π π e i(n m) dx = 2π δ mn. Il sistem ortonormle corrispondente quello in (5.3) è pertnto ϕ n = einx 2π, n =, ±1, ±2,... (5.7) e l serie di Fourier divent f = c n ϕ n, c n = (ϕ n,f) = 1 π f(x)e inx dx, n =, ±1, ±2,... 2π n= π

25 5.6 Completezz del sistem trigonometrico L completezz del sistem trigonometrico è un dirett conseguenz di un teorem di Weierstrss, che, in questo contesto, è un conseguenz del teorem di Fejer che or dimostreremo. Considerimo dpprim un funzione continu di periodo 2π sull rett rele. Si deve osservre che l su serie di Fourier potrebbe divergere in qulche punto. Quindi non bst l continuità per vere l convergenz delle somme przili dell serie di Fourier. Esistono tuttvi ltre mniere di sommre l serie in modo d vere l convergenz. A tle scopo ponimo S (x) = 2, S n(x) = [ k cos kx + b k sinkx] e considermo l medi ritmetic (somme di Fejer) σ n = S + S 1 + S S n 1. n Introducimo nche lcune utili funzioni che useremo nell dimostrzione del teorem di Fejer. Nucleo di Dirichlet. Questo è definito dll funzione [ ] sin(n + 1/2)y D n (y) = 1 1 n 2π sin(y/2) π 2 + cos ky. (5.8) L ultim espressione deriv dll identità trigonometric ( n ) cos ky sin y = sin y [ ( sin k + 1 ) ( y sin k 1 ) ] y = 1 [sin y2 2 + sin 3y2 sin y2 ( sin n + 1 ) ( y sin n 1 ) ] y 2 2 = 1 ( 2 sin n + 1 ) y. 2 Nucleo di Fejer. Questo è definito medinte l funzione Φ n (y) = 1 2πn [ ] 2 sin ny/2 = 1 n 1 sin y/2 2πn k= e gode delle proprietà (si verificno direttmente) sin(k + 1/2)y sin y/2. (5.9) Φ n (y), π π dy Φ n (y) = 1, δ π dy Φ n (y) = π δ dy Φ n (y), per ogni n e δ > fissti. Inoltre si h lim n δ π dy Φ n (y) = lim n π δ dy Φ n (y) =. L uguglinz trigonometric in (5.9) si ottiene dll identità seguente: 2sin y sin(2k + 1)y = 2sin y[cos y sin(2ky) + siny cos(2ky)] Sommndo si h inftti n 1 k= 2sin y sin(2k + 1)y = = sin2y sin(2ky) + [1 cos 2y]cos(2ky) = cos 2ky cos 2(k + 1)y. (5.1) n 1 [cos 2ky cos 2(k + 1)y] k= = 1 cos 2y + cos 2y cos4y cos(2n 1)y cos(2ny) = 1 cos(2ny) = 2sin 2 (ny). (5.11)

26 Teorem di Fejer Se f è un funzione periodic e continu, llor l successione {σ n } delle somme di Fejer converge uniformemente f in ogni punto. Dimostrzione Dll definizione dei coefficienti si h S n (x) = 1 [ π n ] 1 π π 2 + (cos kt cos kx + sinkt sin kx) f(t)dt = 1 [ π n ] 1 π 2 + cos k(t x) f(t)dt = π π π D n (t x)f(t)dt. Usndo quest espressione nell definizione delle somme di Fejer e l form del nucleo di Dirichlet si ottiene σ n (x) = 1 2πn π π dz n 1 k= sin(k + 1/2)z sin z/2 f(x + z) = Tenendo conto dell continuità e dell periodicità di f si h Quindi π f(x) M, f(x) f(y) < ε, per x y < 2δ. f(x) σ n (x) = π π δ π 2M π dz [f(x) f(x + z)] Φ n (z) δ dz f(x) f(x + z) Φ n (z) + δ π dz Φ n (z)f(x + z), (5.12) δ π + dz f(x) f(x + z) Φ n (z) δ dz Φ n (z) + ε δ δ dz Φ n (z) + 2M dz f(x) f(x + z) Φ n (z) π δ dz Φ n (z). Come conseguenz delle proprietà di Φ(z), l espressione precedente si può rendere piccol picere indipendentemente d x IR e questo implic l convergenz uniforme delle somme di Fejer. Per dimostrre l completezz del sistem trigonometrico in L 2 [ π,π] or bst osservre che L convergenz uniforme implic l convergenz in medi qudrtic. Inftti, se fissto ε >, per n bbstnz grnde si h f(x) f n (x) < ε, qulunque si x, llor f f n 2 = X f(x) f n (x) 2 dx µ(x)ε 2. In questo cso prticolre X = [ π,π], µ(x) = 2π e f n (x) = σ n (x). Lo spzio delle funzioni continue in [ π,π] è denso in L 2 [ π,π], vle dire che ogni funzione qudrto sommbile si può pprossimre, con pprossimzione rbitrri, medinte funzioni continue. Nel cso in esme, dt un rbitrri funzione g L 2 [ π,π] e ε >, si può trovre un funzione continu f(x) per cui g f < ε e per l osservzione precedente f σ n < ε per n bbstnz grnde. Si h llor g σ n = g f + f σ n g f + f σ n < 2ε, d cui segue che qulunque funzione g L 2 [ π,π] si può sviluppre usndo il sistem trigonometrico (5.3) o equivlentemente il sistem (5.7). Il sistem trigonometrico (5.3) costituisce dunque un sistem ortonormle completo (chiuso) in L 2 [ π,π].

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