Energia potenziale elettrica

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1 Enegia potenziale elettica L ultima ossevazione del capitolo pecedente iguadava le analogie e le diffeenze ta il campo elettico e il campo gavitazionale pendendo in esame la foza di Coulomb e la legge di gavitazione univesale. Vediamo oa di estendee al campo elettico dei isultati già noti pe il campo gavitazionale. In paticolae pe il campo gavitazionale a suo tempo è stata intodotta una funzione di posizione: l enegia potenziale. Tale foma di enegia appesenta l enegia che può essee utilizzata pe compiee lavoo da un copo sotto l azione di un campo gavitazionale. La diffeenza ta enegia potenziale gavitazionale ed enegia potenziale elettica è dovuta al fatto che il campo gavitazionale ha azione soltanto attattiva mente quello elettico ha azione attattiva e epulsiva e necessita di un analisi più attenta. Ripendiamo la definizione di lavoo compiuto da una foza. Definizione: si definisce lavoo compiuto da una foza su un copo il podotto scalae L F s Ls cos Dove α è l angolo compeso ta al diezione della foza F e lo spostamento s. È possibile fomulae il lavoo del campo elettico come segue. Definizione: si definisce lavoo compiuto dal campo elettico su una caica q il podotto scalae ta la foza elettica che si instaua ta al caica che genea il campo elettico e la caica q pe lo spostamento subito della caica q, cioè: ( a) L F s Fs cos qes cos ( a) ( α ) Dove α è l angolo compeso ta la diezione del campo elettico e lo spostamento s subito dalla caica. L unità di misua del lavoo è il joule.

2 Poiché la caica può essee positiva o negativa, il segno indica il tipo di lavoo effettuato. In questo caso lo spostamento è paallelo e concode alle linee di campo, il lavoo eseguito dal campo sulla caica è positivo. Poiché la caica può essee positiva o negativa, il segno indica il tipo di lavoo effettuato. In questo caso lo spostamento è paallelo e discode alle linee di campo, il lavoo eseguito dal campo sulla caica è negativo. Il lavoo inolte non dipende dalla taiettoia seguita dalla caica ma dallo spostamento, cioè la distanza ta punto finale e punto iniziale, infatti: L F s Fs cos ( a) α che appesenta la componente paallela dello spostamento, cioè quella che da contibuto al lavoo. Le componenti dello spostamento pependicolai al campo elettico non danno contibuto, infatti pe esse Fs cos ( 9) L. Pe ogni taiettoia nel campo elettico i contibuti al lavoo sono dati dagli spostamenti paalleli mente quelli pependicolai hanno lavoo nullo. uello che conta è quindi il punto finale e il punto iniziale dello moto e non la taiettoia che segue al caica q, infatti:

3 Nel pimo caso la taiettoia cuvilinea si può scompoe in tante componenti oizzontali e pependicolai le cui somme danno ispettivamente il segmento tatteggiato oizzontale e il segmento tatteggiato veticale. ueste lunghezze coincidono con le componenti dello spostamento del secondo disegno in cui punto iniziale e finale sono gli stessi de pimo caso. Un campo elettico unifome è quindi consevativo poiché il lavoo compiuto su una caica q non dipende dalla taiettoia ma soltanto dal punto iniziale e dal punto finale. Potemmo espimee questo fatto consideando un pecoso chiuso: il lavoo compiuto da un campo elettico unifome su un pecoso chiuso è nullo. uesti isultati possono essee genealizzati anche a campi elettici non unifomi che endono validi in geneale i isultati illustati in pecedenza. Il campo elettico è consevativo Definizione: si definisce cicuitazione di un campo vettoiale lungo una geneica linea chiusa oientata la somma dei podotti scalai ta il campo vettoiale e il elativo spostamento in cui viene suddivisa al linea consideata. < α < 9 L > 9 < α < 18 L < Pe il campo elettico è possibile individuae pe ogni spostamento paallelo al campo elettico uno spostamento analogo ma di veso opposto, pe cui la somma degli spostamenti che danno un contibuto positivo è uguale e opposta alla somma degli spostamenti che danno un contibuto

4 negativo, quindi la loo somma è nulla. Il contibuto degli spostamenti pependicolai al campo elettico è nulla in quanto pe essi è nullo il lavoo, essendo Fs cos ( 9) L. Pe quanto ossevato sul fatto oa, olte al fatto che il campo elettico è consevativo: Teoema La cicuitazione del campo elettico è nulla. Il isultato pecedente è valido in geneale quindi anche pe campi non unifomi. Toniamo a consideae un campo elettico unifome e vediamo di intodue pe una caica q immesa in esso una funzione legata alla posizione. Ricodiamo la definizione di enegia potenziale gavitazionale: E p mgh dove h appesenta la distanza del copo dal suolo. Il copo cade quindi lo spostamento è concode alla foza di gavità. Il lavoo compiuto è positivo quindi l enegia posseduta dal copo viene utilizzata pe compiee lavoo. uindi il copo quando si muove concodemente all azione della foza pede enegia potenziale. Il copo sale quindi lo spostamento è opposto all azione della foza di gavità. Il lavoo compiuto è negativo e questo fa aumentae la capacità del copo di compiee lavoo. uindi il copo quando si muove in opposizione all azione della foza acquista enegia potenziale.

5 In sintesi un copo pede enegia potenziale quando si muove concodemente all azione della foza. Un copo quindi pede enegia potenziale se il lavoo compiuto dalle foze del campo è positivo. un copo acquista enegia potenziale quando si muove in opposizione all azione della foza. Un copo quindi acquista enegia potenziale se il lavoo compiuto dalle foze del campo è negativo. La diffeenza oa consiste nella natua epulsiva e attattiva della foza elettica dovuta al fatto che la caica può essee di segno positivo o di segno negativo e che la foza del campo elettico può essee costante o vaiabile. Caso 1: campo elettico unifome 1. Consideiamo una caica positiva e fissiamo una linea di ifeimento pependicolae alle linee di campo. L enegia potenziale elettica della caica q è legata al lavoo che la foza del campo elettico compie sulla caica q quando essa si sposta dal punto in cui è collocata Se la caica si tova sulla linea di ifeimento fissata la sua enegia potenziale saà nulla. uindi lo spostamento s avviene dalla caica veso la linea fissata, in questo esempio lo spostamento è concode al campo elettico.

6 lloa il lavoo vale: ( ) qes L F s cos Il lavoo che le foze del campo elettico compiono sulla caica q pe potala dalla posizione iniziale sino quella finale si può espimee quindi come vaiazione di enegia potenziale, cioè L E p Spostando la caica positiva da punti più lontani a punti più vicini alla etta di ifeimento il lavoo è positivo, cioè la caica pede enegia potenziale. Poiché un campo elettico unifome lo possiamo avee ad esempio in un condensatoe possiamo concludee che pe caiche positive e negative in esso possiamo concludee alloa che: 1. Se viene compiuto un lavoo opposto la foza che il campo elettico esecita sulla caica quest ultima aumenta la popia enegia potenziale;. Se viene compiuto lavoo concodemente alla foza che il campo elettico esecita sulla caica quest ultima diminuisce la popia enegia potenziale. In un condensatoe la linea/supeficie di ifeimento può essee una delle due laste, di solito il ifeimento, quella che appesenta enegia potenziale nulla, è quella di segno opposto alla caica assegnata. uindi l enegia potenziale saà massima sulla lasta avente caica dello stesso segno della caica q mente saà nulla sulla lasta che ha caica di segno opposto a q. Definizione: l enegia potenziale elettica di una caica in un campo unifome in un punto, fissato un livello di ifeimento, è data dalla fomula E qe s Pq b qes cos( α ) Dove α è l angolo compeso ta lo spostamento s e il campo elettico E.

7 Enegia potenziale pe un campo elettico geneato da una caica puntifome Consideiamo il campo elettico geneato da una caica che agisca su una caica di pova q. In questo caso avemo una foza di intensità vaiabile che agisce sulla caica in movimento, petanto il campo elettico che consideiamo non è costante. Vista la geometia (adiale non limitata) della situazione analizzata non è possibile consideae una etta di ifeimento, assumeemo alloa la convenzione che se la caica q è a contatto con la caica l enegia potenziale di q è massima (l enegia è massima con segno positivo se le caiche sono concodi mente è massima con segno negativo se le caiche sono opposte) se la caica q è infinitamente lontana dalla caica l enegia potenziale di q è nulla q In sintesi un copo pede enegia potenziale quando si muove concodemente all azione della foza. Un copo quindi pede enegia potenziale se il lavoo compiuto dalle foze del campo è positivo. un copo acquista enegia potenziale quando si muove in opposizione all azione della foza. Un copo quindi acquista enegia potenziale se il lavoo compiuto dalle foze del campo è negativo. Supponiamo che le caiche siano dello stesso segno(il lavoo è concode alla foza, quindi la caica q pede enegia potenziale), alloa dette ispettivamente a e b le distanze ta la caica e i punti e :

8 L qes E q 1 1 4πε a b Pq + E Pq qes b + qes a q 1 4πε b + q b 1 4πε a a q 4πε 1 b q + 4πε 1 a uindi la fomula L q 1 πε a 4 1 b appesenta il lavoo di un campo elettico geneato da una caica puntifome su una caica q che si sposta da un punto ad un punto. Nel caso in cui + cioè che la caica si allontani all infinito la fomula diventa: b L q πε 4 1 a Che è il lavoo che le foze del campo elettico devono compiee pe potae la caica da un punto ad una distanza infinita. (*) Utilizzando quest ultimo isultato alloa: Definizione: si definisce enegia potenziale di una caica q posta in un punto ad una distanza dalla caica che genea il campo elettico la elazione q 1 E p πε 4 La giustificazione della fomula pecedente deiva dal fatto che L cioè il lavoo E p compiuto è opposto vaiazione di enegia potenziale quindi invetendo la poposizione (*) l enegia potenziale elettica è pai al lavoo compiuto dal capo elettico pe potae al caica q da un punto di distanza infinita ad un punto avente distanza dalla caica. Il potenziale elettico

9 L enegia potenziale elettica è definita consideando una caica di pova q, vediamo oa come in pecedenza pe il campo elettico di definie una gandezza, legata all enegia potenziale che non dipenda da una caica di pova. Definizione: si definisce potenziale elettico V il appoto ta l enegia potenziale di una caica q e la caica q stessa, cioè: V qed q 1 Ed 4πε d d 4 1 πε d Il potenziale elettico caatteizza i punti cicostanti una caica con la capacità di compiee lavoo su una caica di pova q. L unità di misua del potenziale elettico è il volt: Si deduce che dall essee qes q J C [ V ] V Ed V E d E pe le unità di misua N V C m. Definizione: si definisce elettonvolt l enegia acquistata da un elettone nel passae da un punto ad un punto di un campo elettico ta i quali esiste una diffeenza di potenziale di un volt, cioè V V V. 1 Tale unità di misua è utile nel caso si consideino caiche dell odine di gandezza dell elettone e del potone. uando una paticella passa da un punto ad un punto il lavoo eseguito dal campo elettico è dato da: L E p + E p qes Consideando un elettone possiamo scivee: + qes qv + qv q ( V V )

10 1eV 1, C 1V 1, J Le caiche elettiche positive sotto l azione di un campo elettico si muovono da punti a potenziale maggioe a punti di potenziale minoe, infatti [ ] L > q V V > da cui q > V V > V > V Le caiche elettiche negative sotto l azione di un campo elettico si muovono da punti a potenziale minoe a punti di potenziale maggioe, infatti [ ] L > q V V > peò q < V V < V < V Relazione ta potenziale, campo elettico ed enegia potenziale elettica. La elazione espessa dal potenziale elettico pe un campo elettico unifome è: V Ed Dati due punti e la loo diffeenza di potenziale è V V Ed Da cui è possibile icavae V V E d Cioè l intensità di un campo elettico unifome è in elazione alla diffeenza di potenziale ta due suoi punti. La elazione appena vista non è più valida nel caso in cui il campo elettico non sia unifome, tuttavia è possibile utilizzala anche in quest ultimo caso consideando punti aventi distanza infinitesima pe i quali il campo elettico possa essee consideato costante. Consideiamo oa sempe un campo elettico unifome, sappiamo che pe esso possiamo scivee: F E F qe q

11 lloa icodando quanto appena visto e che V E p : q q V F qe d ( V ) E pe d E p che espime il legame ta la foza agente sulla caica q e la vaiazione di enegia potenziale sempe la caica q subisce in un campo elettico unifome. Vediamo oa di intodue il concetto, senza dimostalo, di enegia associata ad un campo elettico unifome. Consideiamo un condensatoe scaico: Sul il quale ad un ceto istante si accumuli una quantità di caica elettica positiva (oppue negativa, il agionamento è sempe lo stesso) sull amatua supeioe. Pe fa fluie le caiche sull amatua è stato necessaio compiee una ceta quantità di lavoo pe pocedee all elettizzazione. + Pe il pincipio di consevazione dell'enegia, non essendovi alcuna dissipazione, tutto il lavoo compiuto pe caicae il condensatoe veà a itovasi sotto foma di enegia elettostatica nel dielettico (sia esso il vuoto o un mezzo mateiale) compeso ta le amatue del condensatoe.

12 Supponendo il campo elettico unifome è possibile espimee l'enegia elettostatica che oa si tova concentata ta le amatue del condensatoe: 1 ε E V E tot Enegia associata ad un campo elettico unifome dove V è il volume acchiuso ta le amatue del condensatoe. Un campo elettico quindi contiene enegia il cui valoe dipende dall intensità del campo elettico e dal volume da esso occupato. volte si tova la densità volumica di enegia di un campo elettico che si icava dalla fomula pecedente come segue: D E E V tot 1 ε E Campo elettico, caica e potenziale di una sfea conduttice caica. Come fatto pe un campo elettico unifome (quello di un condensatoe ad esempio) vediamo oa di stabilie un legame ta caica, campo elettico e potenziale pe un conduttoe sfeico caico. Con conduttoe intendiamo un copo che pemetta al suo inteno il moto delle caiche. La densità supeficiale di caica σ pe un conduttoe sfeico di aggio R vale: σ S 4πR Supponiamo oa che il conduttoe sia in equilibio elettostatico, cioè nonostante la pevalenza di caiche positive o negative, non vi sia moto di caiche al suo inteno (vi sia appunto equilibio) Utilizziamo il teoema di Gauss pe stabilie che il campo elettico all inteno di un condensatoe caico in equilibio elettostatico è nullo. Un conduttoe è un copo in cui gli elettoni sono libei di muovesi all'inteno del volume occupato. Il fatto di essee libei di muovesi, nonostante possa appesentae un gado di libetà, appesenta un vincolo, che vedemo essee anche l unica possibilità, pe la localizzazione della caica in un conduttoe.

13 Se gli elettoni si muovono significa che c è una foza elettica che li fa muovee. Pe un elettone alloa possiamo scivee che la foza agente su di esso è: F qe Dove E è il campo elettico totale geneato dalle alte caiche. Lo stato di equilibio pe l elettone (in cui le paticelle sono feme) coisponde ad una foza totale nulla agente su di esso. Dalla fomula pecedente possiamo ossevae che essendo nulla la foza, cioè il pimo membo segue che dovà essee nullo anche il secondo membo, pe il quale l unica possibilità è quella che 19 sia nullo il campo elettico, la caica dell elettone non può valee zeo infatti q 1,6 1 C. Lo stato di equilibio pe un conduttoe alloa non può che essee caatteizzato da campi elettici nulli all'inteno del conduttoe. uale possibilità imane alloa alla caica pe localizzasi, visto che non è possibile posizionasi all inteno del conduttoe? L unica zona possibile pe la caica in eccesso è la supeficie del conduttoe. Tale isultato concoda inolte dal fatto che le caiche in eccesso, avendo segno uguale, si espingono ta loo, petanto essendo vincolate ad appatenee al conduttoe mateiale, esse si posizioneanno in modo tale da essee il più lontano possibile, cioè sulla supeficie del conduttoe che costituisce la massima distanza possibile ta loo. Inolte sulla supeficie del conduttoe possono esseci dei campi elettici, ma con componente solo nomale alla supeficie stessa, infatti se fosse pesente una componente tangenziale (non nulla) avemmo moto di caica sulla supeficie e il conduttoe non saebbe il equilibio elettostatico. Conclusione: dunque il campo elettico all'inteno di un conduttoe e' nullo. Intepetiamo questo isultato con il teoema di Gauss. Consideiamo una supeficie S ideale all inteno di un conduttoe caico in equilibio elettostatico.

14 conduttoe in equilibio supeficie gaussiana Il campo elettico è nullo all inteno del conduttoe, dalla fomula pe il flusso alloa Φ S ( E) E S pplicando quest ultimo isultato al teoema di Gauss possiamo scivee: Φ S ( E) ε Da cui segue che deve essee necessaiamente. uindi un conduttoe in equilibio elettostatico all inteno è eletticamente neuto, cioè la caica all'inteno del conduttoe e' sempe nulla. Petanto ogni eccesso di caica deve pe foza essee localizzato sulla supeficie del conduttoe. Il fatto di elettizzae un conduttoe detemina una ioganizzazione delle caiche sulla supeficie del conduttoe stesso e di geneae un campo elettico nullo al suo inteno. Il potenziale elettico pe una sfea conduttice è: costante pe tutti i punti inteni alla sfea infatti dati e inteni alla sfea, poiché il campo elettico è nullo all inteno del conduttoe, si ha: V V Ed V V costante pe tutti i punti appatenenti alla supeficie della sfea infatti dati e sulla supeficie del conduttoe, data la simmetia della sfea, in essi saà localizzata la stessa caica, alloa il lavoo necessaio pe potae una caica q dal punto al punto è dato da:

15 L E p E p qv qv q ( V V ) Poiché l enegia potenziale è la stessa (basta calcolala ispetto al cento pe endesi conto della validità dell affemazione)pe i due punti segue che E p E p q ( V V ) V V Cioè i punti sulla supeficie sfeica hanno lo stesso potenziale. Campo elettico, caica e potenziale nei punti immediatamente esteni ad una sfea conduttice caica. Sia dato una sfea conduttice caica di aggio R, pe quanto visto la caica si distibuià sulla supeficie e la densità di caica supeficiale vale: σ 4πR Pe i punti esteni immediatamente vicini alla supeficie del conduttoe il campo può essee consideato unifome (la caica che lo genea è la stessa pe ogni elemento supeficiale che si considea), quindi E σ ε πε 4 R Campo elettico nei punti immediatamente esteni ad una sfea conduttice caica. L espessione ottenuta è la stessa che si saebbe avuta se la caica fosse stata tutta concentata nel cento della sfea. Dall espessione pecedente si icava anche il potenziale: V 4πε R Potenziale elettico nei punti immediatamente esteni ad una sfea conduttice caica.

16 L espessione ottenuta pe il potenziale è valida pe calcolae il potenziale in qualunque alto punto inteno della sfea. Campo elettico, caica e potenziale nei punti lontani ad una sfea conduttice caica. Sia dato una sfea conduttice caica pe i punti esteni non immediatamente vicini alla supeficie del conduttoe, aventi distanza dal cento del conduttoe il campo elettico è dato dalla fomula: Pe il potenziale si può scivee: E 4πε Campo elettico nei punti non immediatamente esteni ad una sfea conduttice caica. V 4πε R Potenziale elettico nei punti non immediatamente esteni ad una sfea conduttice caica. Supefici equipotenziali Definizione: si definisce supeficie equipotenziale l insieme dei punti avente lo stesso potenziale elettico. Pe fa spostae una caica ta punti aventi lo stesso potenziale il campo elettico non compie lavoo. Infatti: L E p E p qv qv q ( V V ) Peciò se V V il lavoo è zeo. Pe motivi di simmetia inolte tali supefici pe una caica puntifome o pe una sfea caica conduttice sono sfee concentiche invece pe un campo elettico fa due piaste paallele queste sono linee pependicolai al campo.

17 Lasta positiva Supefici equipotenziale Lasta negativa Poposizione: le linee di campo sono sempe pependicolai alle supefici equipotenziali Dimostazione bbiamo visto che pe fa spostae una caica ta punti aventi lo stesso potenziale il campo elettico non compie lavoo. Ricodando al definizione di lavoo: L F s Dove s è lo spostamento ta le posizioni equipotenziali e. Se consideiamo una caica q, su essa agisce una foza dovuta al campo elettico, cioè una foza F qe Sostituendo nell espessione del lavoo e ossevando che sia lo spostamento sia il campo elettico sono divesi da zeo si ottiene L qe s Cioè che lo spostamento è pependicolae al campo elettico. Le linee di campo sono quindi pependicolai alle supefici equipotenziali (sulle quali avviene lo spostamento).

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