Elettrotecnica Esercizi di riepilogo

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1 Elettrotecnica Esercizi di riepilogo Esercizio 1 I 1 V R 1 3 V 2 = 1 kω, = 1 kω, R 3 = 2 kω, V 1 = 5 V, V 2 = 4 V, I 1 = 1 m. la potenza P R2 e P R3 dissipata, rispettivamente, sulle resistenze e R 3 ; la potenza P V 1 e P V 2 erogata, rispettivamente, dai generatori ideali di tensione V 1 e V 2. Esercizio 2 I R2 I R1 I 1 V 1 V 2 = 3 kω, = 1 kω, V 1 = 6 V, V 2 = 4 V, I 1 = 4 m. la corrente I R1 e I R2, rispettivamente, sulle resistenze e e indicate in figura; la potenza P V 1 e P V 2 erogata, rispettivamente, dai generatori ideali di tensione V 1 e V 2. Sulla base dei risultati ottenuti, è possibile stabilire chi, tra gli elementi del circuito, fornisce energia agli altri elemnti e chi invece la dissipa? 1

2 Esercizi di riepilogo Elettrotecnica Esercizio 3 V 1 I 1 I 2 R 3 = 1 kω, = 1 kω, R 3 = 1 kω, V 1 = 3 V, I 1 = 2 m, I 2 = 5 m. Determinare la potenza P R1 e P R2 dissipata, rispettivamente, sulle resistenze e. Esercizio 4 R 3 I 1 R 4 I 2 = 1 kω, = 1 kω, R 3 = 1 kω, R 4 = 1 kω, I 1 = 3 m, I 2 = 6 m. Determinare la potenza P R2 e P R3 dissipata, rispettivamente, sulle resistenze e R 3. Esercizio 5 I R1 V 1 V 2 I R2 I 1 I 2 = 3 kω, = 3 kω, V 1 = 12 V, V 2 = 6 V, I 1 = 2 m, I 2 = 2 m. la corrente I R1 e I R2, rispettivamente, sulle resistenze e e indicate in figura; la potenza P V 1 e P V 2 erogata, rispettivamente, dai generatori ideali di tensione V 1 e V 2. 2

3 Elettrotecnica Esercizi di riepilogo Esercizio 6 I 1 I 2 V 1 V 2 V R2 = 1 kω, = 1 kω, V 1 = 4 V, V 2 = 12 V, I 1 = 2 m, I 2 = 2 m. la tensione V R2 sulla resistenza, come indicato in figura; la potenza P I1 e P I2 erogata, rispettivamente, dai generatori ideali di corrente I 1 e I 2. Esercizio 7 C 1 L 1 = 10 Ω, = 10 Ω, C 1 = 300 µf, L 1 = 50 mh. Si assuma inoltre che il circuito funzioni in regime sinusoidale con frequenza angolare ω. Determinare la resistenza equivalente R (eq) e la reattanza equivalente X (eq) del bipolo in figura assumendo ω = 100 rad/s e ω = 200 rad/s. Il bipolo equivalente ottenuto è di tipo induttivo o capacitivo? 3

4 Esercizi di riepilogo Elettrotecnica Esercizio 8 L 1 L 2 = 40 Ω, L 1 = 58 mh, L 2 = 528 mh. Sapendo che la tensione di rete è V = 220 V RMS ad una frequenza di f = 50 Hz, determinare: l angolo ϕ di sfasamento tra la tensione e la corrente assorbita; quale capacità deve essere collegata ai morsetti e per rifasare il carico in modo da avere cos ϕ = Soluzione Si consideri inizialmente l impedenza del bipolo in figura alla frequenza f = 50 Hz, ovvero alla pulsazione ω = 2π f rad/s. Le impedenze associate ad e L 1 sono rispettivamente Z R1 = = 10 Ω, Z L1 = j ω L 1 = j 2π Ω j18.22 Ω da cui chiamando con Z 1 l impedenza della serie costituita da e L 1, si ha Z 1 = Z R1 Z L1 10 j18.22 Ω Indicando con Z 2 l impedenza associata a L 2, si ha Z 2 = Z L2 = j ω L 2 = j 2π Ω j165.8 Ω L impedenza complessiva Z si ha considerando il parallelo tra Z 1 e Z 2, ovvero Z = = Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 che, riscritta in forma polare, (40 j18.22)j j18.22 j j6632 Ω Ω 31 j23.15ω 40 j184 Z = Z e jϕ, Z = Ω, ϕ = arctan { rad deg L angolo ϕ trovato è anche l angolo di sfasamento tra tensione e corrente. Per tale angolo si ha cos ϕ = 0.8. Per rifasare il circuito, il metodo più conveniente è quello di calcolare potenza attiva P e reattiva Q. Si ricorda che, data la potenza complessa S, definita come S = 1 2 Ṽ Ĩ (dove Ṽ è il fasore associato alla tensione, Ĩ quello associato alla corrente, e Ĩ il suo complesso coniugato) oppure S = ṼI 4

5 Elettrotecnica Esercizi di riepilogo se invece delle ampiezze delle sinusoidi si considerano (ed è il caso dell esercizio in questione) i loro valori icaci, la potenza attiva P è la parte reale di S, mentre la potenza reattiva è la parte immaginaria di S, ovvero S = P jq In alternativa, note le ampiezze di tensione e corrente (e indicate con Ṽ o semplicemente con V l ampiezza della tensione e Ĩ oppure I quella della corrente) e l angolo di sfasamento ϕ, si ha P = 1 V I cos ϕ, 2 Q = 1 2 V I sin ϕ oppure, utilizzando i valori icaci P = V I cos ϕ, Q = V I sin ϕ dai cui si ha anche Q P = sin ϕ = tan ϕ, cos ϕ Q = tan ϕ P Con i dati già calcolati risulta più semplice utilizzare questa seconda definizione, dove per calcolare la corrente è sufficiente Ṽ I = Ĩ = Z = Ṽ = V Z Z RMS 5.68 RMS Per il circuito in esame si ha quindi P = V I cos ϕ 1000 W, Q = V I sin ϕ 750 VR Per rifasare il circuito si connetta una capacità C tra i morsetti e. Questa capacità avrà solo una potenza reattiva, pari a oppure, usando i valori icaci Q C = 1 V 2 = 1 2 X C 2 ωcv 2 Q C = V 2 X C = ωcv 2 dove X C è la reattanza associata alla capacità. Per via dell additività della potenza, nel circuito rifasato la potenza (attiva e reattiva) è la somma delle potenze (attive e reattive) dei singoli circuiti, nell esercizio in esame il bipolo considerato e la capacità di rifasamento. Indicando con P R e Q R potenza attiva e reattiva del circuito una volta rifasato, si ha P R = P, Q R = Q Q C dove P R e Q R devono essere tali che lo sfasamento tra tensione e corrente sia l angolo ϕ R tale che cos ϕ R = 0.95, ovvero ϕ R = arccos 0.95 { rad 18.2 deg, Q R P R = tan ϕr da cui Q Q C = P tan ϕ R Q C = P tan ϕ R Q VR VR Il fatto che la Q C da collegare al circuito per il rifasamento sia risultata negativa è in accordo col fatto che la potenza reattiva di una capacita sia sempre negativa. 5

6 Esercizi di riepilogo Elettrotecnica questo punto è possibile calcolare il valore di C come C = QC ωv 2 = QC 2πfV µf Esercizio 9 C=450µF M 1 P=8kW Il motore elettrico M 1 è stato rifasato tramite una capacità C = 450 µf per avere cos ϕ = Sapendo che la tensione di rete è V = 220 V RMS ad una frequenza di f = 50 Hz, e che la potenza attiva assorbita da M 1 vale P = 8 kw, calcolarne la potenza reattiva. Esercizio 10 C=200µF M 1 Q=4.72kVR Il motore elettrico M 1 è stato rifasato tramite una capacità C = 200 µf per avere cos ϕ = Sapendo che la tensione di rete è V = 220 V RMS ad una frequenza di f = 50 Hz, e che la potenza reattiva di M 1 è P = 4.72 kvr, calcolare la potenza attiva assorbita. 6

7 Elettrotecnica Esercizi di riepilogo Esercizio 11 M 1 P 1 =5kW cos ϕ 1 =0.8 M 2 P 2 =3.2kW cos ϕ 2 =0.75 Due motori M 1 e M 2 funzionano in serie. Il primo sviluppa una potenza P 1 = 5 kw con cos ϕ 1 = 0.8, mentre il secondo una potenza P 2 = 3.2 kw con cos ϕ 2 = Sapendo che la tensione di rete è V = 220 V RMS ad una frequenza di f = 50 Hz, determinare: l angolo ϕ di sfasamento tra la tensione e la corrente assorbita; quale capacità deve essere collegata ai morsetti e per rifasare il carico complessivo in modo da avere cos ϕ = Esercizio 12 P 1 =4kW M 1 cos ϕ 1 =0.8 M 2 Q 2 =6kVR cos ϕ 2 =0.707 Due motori M 1 e M 2 funzionano in parallelo. Il primo sviluppa una potenza P 1 = 4 kw con cos ϕ 1 = 0.8, mentre il secondo ha una potenza reattiva Q 2 = 6 kvr con cos ϕ 2 = Sapendo che la tensione di rete è V = 220 V RMS ad una frequenza di f = 50 Hz, determinare: l angolo ϕ di sfasamento tra la tensione e la corrente assorbita; quale capacità deve essere collegata ai morsetti e per rifasare il carico complessivo in modo da avere cos ϕ =