Esercizi di Probabilità e Statistica della 2 a settimana (Corso di Laurea in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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1 Esercizi di Probabilità e Statistica della 2 a settimaa (Corso di Laurea i Matematica, Uiversità degli Studi di Padova). Esercizio. Sia (Ω, A, P) uo spazio probabilizzato e B A o trascurabile. Dimostrare che la fuzioe d isieme A A P(A B) [0, ] è ua probabilità. Esercizio 2 (Formula delle probabilità totali per probabilità codizioate). Siao A, B, C tre eveti, per cui P(B C) 0, P(B C c ) 0. Si dimostri l idetità P(A B) P(A B C)P(C B) + P(A B C c )P(C c B). Esercizio 3 (paradosso di Simpso). Due ospedali, X e Y, soo specializzati ella cura di ua certa malattia mortale. I pazieti possoo etrare acora i buoe codizioi oppure già i cattive codizioi. Dei pazieti ricoverati i u ao ei due ospedali, questi erao i risultati di guarigioe: guariti totale ospedale A, buoe codizioi 87 ospedale B, buoe codizioi 59 ospedale A, cattive codizioi 3 0 ospedale B, cattive codizioi 2 40 Eseguiamo ora l esperimeto aleatorio cosideriamo u paziete a caso.. Rappresetare, i u opportuo spazio probabilizzato, i dati della tabella utilizzado gli eveti così defiiti: il paziete era X {dell ospedale X}, Y {dell ospedale Y}, B {i buoe codizioi}, C {i cattive codizioi}, G {guarito} 2. La probabilità che u paziete i buoe codizioi fosse guarito era maggiore per l ospedale X o per l ospedale Y? E per u paziete i cattive codizioi? Da quale ospedale vi fareste curare? Suppoiamo ora che u esamiatore faciloe trascuri le codizioi iiziali dei pazieti e voglia vedere, co u solo calcolo, quale dei due ospedali è il migliore. 3. La probabilità che u paziete fosse guarito era maggiore per l ospedale X o per l ospedale Y? 4. Perchè l esamiatore faciloe arriva a coclusioi errate? Esercizio 4. Sia (Ω, A, P) uo spazio probabilizzato.. Siao A e B due eveti, co A B. Quado è possibile che A e B siao idipedeti? 2. Mostrare che se A, A 2,..., A soo eveti idipedeti, allora P( ia i ) i P(Ac i).

2 3. Mostrare che se A, A 2,..., A soo eveti idipedeti tali che i P(A i), allora P(A A 2 A ). (Sugg: usare il fatto che se a,..., a 0 allora (a + + a )/ (a a 2 a ) / ) Esercizio 5. Da u ura coteete pallie di cui k rosse e k verdi, co k, si estrae ua pallia e quidi, seza reimmetterla ell ura, si estrae ua secoda pallia. Si cosiderio gli eveti iformalmete descritti da A la prima pallia estratta è rossa, A 2 la secoda pallia estratta è rossa Defiire uo spazio probabilizzato che descriva il feomeo, e mostrare che A e A 2 o soo idipedeti. Esercizio 6. La trasluceza ucale e il bitest soo due esami usati, come l amiocetesi e la villocetesi, per stabilire se u feto sia affetto dalla sidrome di Dow (trisomia 2) o la sidrome di Edwards (trisomia 8). Amiocetesi e villocetesi dao ua risposta certa ma provocao il rischio di u aborto spotaeo, metre trasluceza ucale e bitest soo esami o ivasivi che o hao alcua cosegueza sul feto o sulla madre, ma soo soggetti ad errori. I particolare, la trasluceza ucale idividua il 77% dei feti Dow e dà u risultato positivo ache el 5% dei casi i cui il feto o è Dow. Gli stessi dati per il bitest soo rispettivamete del % e del 5%. Possiamo riteere che questi eveti siao idipedeti sia el caso i cui il feto è Dow sia el caso i cui il feto o lo è. Ua cliica esegue assieme i due test el cosiddetto test combiato, che è positivo se almeo uo dei due test lo è: la cliica dice così di idetificare il % dei feti affetti da (queste) malattie cromosomiche, co u 5% di falsi positivi. Ifie, la probabilità che u feto sia Dow i ua doa, i fuzioe dell età, è riportata sotto. età della madre rischio alla 2 a settimaa 20 /08 25 / 30 / / 40 /64 44 /20. Calcolare la probabilità che il test combiato dia u risultato positivo el caso di u feto Dow. Cofrotare questo risultato co la probabilità promessa dalla cliica. 2. Calcolare la probabilità che il test combiato dia u risultato positivo el caso di u feto o Dow. Cofrotare questo risultato co la probabilità promessa dalla cliica. 3. Calcolare la probabilità che ua doa di 36 ai, a cui il test combiato sia risultato positivo, abbia veramete u bambio Dow. 4. Calcolare la probabilità che ua doa di 36 ai, a cui etrambi i test siao risultati positivi, abbia veramete u bambio Dow. Soluzioi su

3 Soluzioi Esercizio. Bisoga verificare che P( B) soddisfa i due assiomi della probabilità:. P(Ω B) ; difatti P(Ω B) P(Ω B) 2. Se (A ) A soo disgiuti, allora ache ((A B)) soo disgiuti, e si ha: P( A B) P(( A ) B) P( (A B)) P(A B) P(A B) P(A B) Esercizio 2. Usado la defiizioe di probabilità codizioata, calcoliamo P(A B C)P(C B) + P(A B C c )P(C c B) P(A B C) P(C B) + P(A B Cc ) P(C c B) P(B C) P(B C c ) P(A B C) + P(A B Cc ) P(A B) P(A B)

4 Esercizio 3 (paradosso di Simpso).. Poichè ci soo pazieti, cosideriamo uo spazio probabilizzato co 200 elemeti e la legge uiforme. Abbiamo allora P(G X B) 87, P(X B) 200, P(G Y B) 59, P(Y B) 200, P(G X C) 3 0, P(X C) 0 200, P(G Y C) 2 40, P(Y C) Abbiamo P(G X B) < P(G Y B), e P(G X C) < P(G Y C) 0. Sia i buoe codizioi che i cattive codizioi, l ospedale Y sembra migliore Bisoga ora calcolare P(G X) e allo stesso modo P(G X) P(X) P(G Y ) P(G Y ) P(Y ) P(G X B) + P(G X C) P(X) P(G X B)P(X B) + P(G X C)P(X C) P(X B) + P(X C) P(G Y B) + P(G Y C) P(Y ) P(G Y B)P(Y B) + P(G Y C)P(Y C) P(Y B) + P(Y C) e quidi si ottiee P(G X) 9 > P(G Y ) 8, al cotrario del puto Perchè o è detto che se P(G X B) < P(G Y B), e P(G X C) < P(G Y C), allora P(G X) > P(G Y ). Ua codizioe sufficiete per questo può essere P(B X) P(B Y ) (la tesi segue subito dalla formula delle probabilità totali per probabilità codizioate), che o era assolutamete verificata i questo caso: P(B X) P(X B) P(X) > P(B Y ) P(Y B) P(Y )

5 Esercizio 4.. Se A B, allora A B A, e si ha P(A) P(A B) P(A) se e solo se P(A) 0 oppure. 2. Calcoliamo P(A c B c ) P((A B) c ) P(A B) P(A) + P(A B) P(A) + P(A) ( P(A))( ) P(A c )P(B c ) 3. Abbiamo P( ia i ) P(( ia c i) c ) P( ia c i) P(A c i) i 4. Poichè la media geometrica è miore o uguale della media aritmetica, abbiamo ( i P(A A 2 A ) P(A i ) P(A ) ( ) i) i Esercizio 5. Ua possibile costruzioe per questo esperimeto aleatorio è Ω : D 2 {(ω, ω 2 ) ω i {,..., }} co l iterpretazioe che se ω i k allora la i-esima pallia è rossa; fissiamo poi A : P(Ω) e P la legge uiforme su Ω. Allora abbiamo che A i : {ω Ω ω i k}, e P(A i ) A i Ω Ioltre, A A 2 {ω Ω ω k, ω 2 k}, quidi P(A A 2 ) A A 2 Ω Se A e A 2 fossero idipedeti, avremmo che k( ) ( ) k k 2 2 P(A )P(A 2 ) P(A A 2 ) k(k ) ( ) k(k ) ( ) quidi k 0 oppure k( ) (k ), che è vero se e solo se k, etrambe codizioi che avevamo escluso poichè k. Da questo si desume che A e A 2 o soo idipedeti. A questa coclusioe si poteva arrivare ache cosiderado la probabilità di A 2 codizioata ad A : difatti P(A 2 A ) P(A A 2 ) P(A ) k(k ) ( ) k k che è uguale a P(A 2 ) k/ se e solo se k, che era stato escluso fi dall iizio. Poichè se A e A 2 soo idipedeti e o trascurabili si ha che P(A 2 A ) P(A 2 ), questo implica che A e A 2 o soo idipedeti.

6 Esercizio 6. Iazitutto defiiamo gli eveti Possiamo riscrivere i dati come D : { il feto è Dow }, T : { la trasluceza ucale è positiva }, B : { il bitest è positivo } P(T D) 0.77, P(T D c ) 0.05, P(B D) 0.6, P(B D c ) 0.05 Dato che il testo o forisce iformazioi i proposito, suppoiamo che queste probabilità o cambio co l età della doa. Ifie, defiedo P : { il test combiato è positivo }, abbiamo che P T B.. Dobbiamo calcolare P(P D) P(T B D) P(T B D) P(T D)P(B D) che i effetti è vicio allo 0.9 forito el testo: abbiamo qui usato il fatto che T e B soo codizioatamete idipedeti rispetto a D. 2. Siccome T e B soo codizioatamete idipedeti ache rispetto a D c, abbiamo P(P D c ) P(T B D c ) P(T B D c ) P(T D c )P(B D c ) che è ivece quasi il doppio dello 0.05 forito el testo. 3. Utilizzado la formula di Bayes abbiamo P(D P ) P(P D)P(D) P(P D)P(D) + P(P D c )P(D c ) Utilizzado la formula di Bayes e l iformazioe sull idipedeza abbiamo P(D T B) P(T B D)P(D) P(T B D)P(D) + P(T B D c )P(D c ) P(T D)P(B D)P(D) P(T D)P(B D)P(D) + P(T D c )P(B D c )P(D c )