ALGEBRA LINEARE PARTE II

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1 DIEM sez. Matematica Finanziaria Marina Resta Università degli studi di Genova Dicembre 005

2 Indice PREMESSA INVERSA DI UNA MATRICE DETERMINANTE. DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI MATRICI TRIANGOLARI MATRICI DI SCAMBIO REGOLA DEL BINET PER MATRICI ELEMENTARI DETERMINANTE DI MATRICI NON ELEMENTARI METODO DI CALCOLO DELL INVERSA DI UNA MATRICE ATTRAVERSO LA NOZIONE DI DETERMINANTE 4 i

3 PREMESSA Le note presentate a seguire non sostituiscono gli appunti presi a lezione, né si presuppongono completamente esaustive degli argomenti affrontati nel corso della lezione. Il loro intento è semplicemente quello di porsi come materiale aggiuntivo, in grado di fornire ulteriori delucidazioni sui temi presentati in aula. INVERSA DI UNA MATRICE Sia A una matrice di dimensione m n. Diremo che: A è invertibile a destra o ammette pseudo inversa a destra se esiste una matrice B tale che: AB = I m Se A è invertibile a destra, allora essa ammette infinite inverse a destra. A è invertibile a sinistra o ammette pseudo inversa a sinistra se esiste una matrice H tale che: HA = I n Se A è invertibile a sinistra, allora essa ammette infinite inverse a sinistra. Sia, invece, A una matrice quadrata di ordine n. Diremo che A è invertibile in senso proprio se ammette sia inversa sinistra, sia inversa a destra. In tal caso, inversa a sinistra e a destra saranno tra loro uguali, le indicheremo con la notazione: A, e parleremo di matrice inversa di A: A A = I n = AA A seguire vedremo come l individuazione dell inversa (pseudo inversa) di una matrice A assegnata possa essere realizzata in vari modi. Partendo dal caso più semplice, iniziamo a vedere una procedura che si applica alle matrici quadrate, basata sulla nozione di determinante. DETERMINANTE Def. preliminare Il determinante è un numero associato a matrici quadrate che serve per verificare la loro invertibilità. In particolare, se il determinante è diverso da zero, la matrice in esame si dirà non singolare, e sarà invertibile; se, invece, il determinante è uguale a zero, la matrice in esame si dirà singolare, e non sarà invertibile. Data A matrice quadrata, il suo determinante si indicherà con la notazione det(a), oppure con A.

4 . DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI.. MATRICI TRIANGOLARI Se A è una matrice triangolare (inferiore/superiore), il determinante si calcola come prodotto degli elementi sulla diagonale principale. In simboli: Se A =.. MATRICI DI SCAMBIO a a... a j... a n a a... a j... a n. a i a i... a ij... a in. a n a n... a nj... a nn Sono vere le seguenti affermazioni: det(a) = a a...a nn = n i a ii Se A è una matrice triangolare (inferiore/superiore) normata, il suo determinante sarà uguale a. Le matrici di tipo T rs (α) hanno determinante pari a : si tratta, infatti, di matrici triangolari normate. Se A è una matrice diagonale, e cioè, contemporaneamente triangolare inferiore e superiore, il suo determinante si calcola come il determinante di una matrice triangolare, ossia, secondo la forma sopra presentata. Le matrici identità hanno determinante pari a : si tratta, infatti, di matrici diagonali normate. Le matrici di tipo D r (α) hanno determinante pari a α: si tratta, infatti, di matrici diagonali, a diagonale unitaria, fatto salvo nel posto α. Il determinante di una generica matrice S rs è pari a.. REGOLA DEL BINET PER MATRICI ELEMENTARI Se E,E sono due matrici elementari: det(e E ) = det(e )det(e ) Esempio Consideriamo le seguenti matrici di ordine 4: A = ; B =

5 Poichè la matrice A è una matrice di tipo D r (α), nella fattispecie, con r =,α =, e B è una matrice triangolare inferiore, avremo: det(ab) = det(a)det(b) = ( 80) = 40 La regola del Binet (la cui validità verrà poi estesa alle matrici quadrate in genere) ci consente di evidenziare una proprietà valida (per il momento) per le matrici elementari. Se A è una matrice elementare di ordine n: det(as rs ) = det(a) det(s rs A) = det(a) In generale, se A è una matrice elementare di ordine n, sia A la matrice ottenuta da A attraverso uno o più scambi (di riga e/o di colonna): se il numero di scambi è pari: det(a) = det(a); se il numero di scambi è dispari: det(a) = det(a).. DETERMINANTE DI MATRICI NON ELEMENTARI Per le matrici quadrate di ordine non superiore a, il calcolo del determinante può avvenire avvalendosi delle seguenti procedure: Regola di Sarrus Se A = [a ] det(a) = a. [ ] a a Se A = det(a) = a a a a a a. a a a Se A = a a a, si procede affiancando ad A le sue prime due a a a a a a a a colonne : a a a a a, e si calcola: a a a a a Esempio det(a) = a a a +a a a +a a a (a a a +a a a +a a a ) Consideriamo la matrice: A = Avremo: det(a) = ( 9) (0 6+( 9) + 0 5) = = 88 In generale, se A è di ordine n, si può applicare la formula dello sviluppo di Laplace o primo teorema di Laplace:

6 rispetto alla riga i esima: det(a) = n a ij ( ) i+j det(a ij ) = j= rispetto alla colonna j esima: det(a) = i= n a ij m ij j= n n a ij ( ) i+j det(a ij ) a ij m ij dove A ij è la sottomatrice quadrata di che si ottiene da A eliminando la riga i esima e la colonna j esima, mentre m ij prende il nome di complemento algebrico di posto i,j, con: m ij = ( ) i+j det(a ij ) A seguire si riportano le principali proprietà del determinante. Se A è una matrice quadrata di ordine n, se A ha due colonne (righe) uguali allora: deta = 0. In generale, se A è una matrice quadrata di ordine n e almeno una riga (colonna) di A si può esprimere come combinazione lineare di una o più altre righe (colonne) di A, allora: deta = 0. Se una colonna (riga) di A è formata da elementi nulli, allora det(a) = 0. det(a T ) = det(a). La somma dei prodotti tra gli elementi di una riga (colonna) e i complementi di una riga (colonna) parallela è uguale a zero (secondo teorema di Laplace). Regola del Binet: se A,B sono due matrici elementari di ordine n: i= det(ab) = det(a)det(b) 4 METODO DI CALCOLO DELL INVERSA DI UNA MATRICE ATTRAVERSO LA NOZIONE DI DETERMINANTE Sia A una matrice quadrata di ordine n, non singolare. Risulta: A = det(a) Agg(A) dove Agg(A) o A è la notazione che si usa per indicare la matrice aggiunta classica di A, ossia la trasposta della matrice dei complementi algebrici di A. 4

7 Esempio Si consideri A = procede individuando Agg(A): nel nostro caso: m = ( ) + 0 m = ( ) + 0 m = ( ) + 0 m = ( ) + 4 m = ( ) + 0 Risulterà, pertanto:. Per calcolare la corrispondente matrice inversa, si A = A = m m m m m m m m m = ; m = ( ) = ; = 4; m = ( ) = ; = 6; m = ( ) + 4 = 9; = ; m = ( ) + 0 = ; =. A = Per calcolare det(a) scegliamo una qualunque riga (colonna) di A cui applicare la regola di Laplace. Ad esempio, se si sceglie la seconda riga si ottiene: det(a) = 0m + m + m = ( 6) + 9 = A questo punto applicando la formula: A = det(a) Agg(A), risulta: Come contro prova: A A = A = = = = AA 5

8 Si ricorda che: L inversa di una matrice identità di ordine n è la matrice identità stessa. ( L inversa di una matrice di tipo D r (α),α 0 è la matrice: D r α). L inversa di una matrice di tipo T rs (α) è la matrice: T rs ( α). L inversa di una matrice di tipo S rs (α) è la matrice stessa. Se A e B sono quadrate: (AB) = B A. Se A è quadrata e invertibile: (A ) = A. 6

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