Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2013/2014. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica o esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: &D Š 3 È D!Þ 2. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, giustificando il procedimento seguito: ( & % ) lim š log Š / log a/ log logœ ( Þ Ä_ 3. Derivata della funzione inversa. Sia 0a / sin cos Š. Sia! a!ß tale che 0a!!. Dopo aver dimostrato che 0 è invertiile in un intorno di!, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare w a! e scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di a nel punto!.

2 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Tema n 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0a È. 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ 8 8Œ 8 8 Þ 8 Nella serie compare anche il simolo di coefficiente inomiale. Ricordiamo che: 8 8a8 a8 á a85 Š 5 5x 6. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ( È.Þ È 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ( /.! % 8. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: a> / Ja ( / >.>Þ &Î asina> 2

3 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. ramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica e dicendo esplicitamente quante sono: D 3D & ReD!Þ 2. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0a per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0a in un intorno di!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica. Î / logach 0a à!þ Î ˆ ˆ! Sh log Cha 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): È È Î / lim Ä! sin cos tan cos a ˆ ˆ

4 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Tema n 2 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0a /. 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ Î log 88 Î sinœ Î Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l'espressione ottenuta: ( ˆ log arctan. 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ( Œ % *. 8. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: Ja (! È >.>Þ a> Î 2

5 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. ramanti Svolgimento del Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica o esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: &D Š 3 È D!Þ 3* È 3 % Poniamo D 3/ àš 3 / &D Š 3 È D 3 * 3* 3 % & 3 / / 3/ & 3 3 % * * 5 ā 3!ß 3 * 5 É & Le soluzioni in tutto sono &: D!àD Ê & / 3ˆ 5 ß5!ßßßÞ È È D!àDß Ê 3 à D%ß& 3 & Ê & 2. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, giustificando il procedimento seguito: ( & % ) lim š log Š / log a/ log logœ ( Þ Ä_ Esaminiamo i vari termini in parentesi. & Ä _à log ˆ / ' logˆ / µ logˆ / c d Ä _ (aiamo usato il fatto che se 0a µ a Ä _ allora log0a µ loga); % % log a/ Ä log a ; log ) Ä _.

6 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Per la gerarchia degli infiniti (potenza di prevale su potenza di log) possiamo concludere che e & % ) ' š log Š / log a/ log µ Þ Ora, poiché Š ( Ä ß ( logœ ( ( µ µ ( ( ( ' 3. Derivata della funzione inversa. Sia 0a µ ' 'Þ ' 0a / sin cos Š. Sia! a!ß tale che 0a!!. Dopo aver dimostrato che 0 è invertiile in un intorno di!, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare w a! e scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di a nel punto!. quindi! Þ / sin cosš! per cosš!ß 5ß 5ß 0 w sin a / Œ a coscosš sinš à 0 w a /!Þ Poiché 0 w a è continua, per il teorema di permanenza del segno sarà negativa in un intorno di. In tale intorno 0 è strettamente decrescente, quindi invertiile. Sia la sua inversa in tale intorno. Si ha: La retta tangente è: w a! / Þ 0wa C a! a! C / 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della w 2

7 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0a È. Definita per ogni. Per Ä _ß0a µ Ä _ con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto oliquo: Quindi C Poiché 0a Ê Œ 9Œ 9 a Þ è asintoto oliquo per Ä _Þ 0a È a È a a ci aspettiamo punti di non derivailità (precisamente, flessi a tangente verticale) nei punti!ß ß Þ Per diverso da questi valori, calcoliamo per! cioè: w 0 a! Î ca a d Ÿ È( È( à in questi intervalli la 0 è crescente, perciò È ( punto di massimo relativo, È ( punto di minimo relativo. Per Ä ß 0 w a Ä _, punto di flesso a tangente verticale, ascendente Per Ä!ß 0 w a Ä _,! punto di flesso a tangente verticale, discendente Per Ä ß 0 w a Ä _, punto di flesso a tangente verticale, ascendente La funzione non dovree avere altri punti di flesso. 3

8 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Grafico: 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ 8 8 Œ 8 8 Þ 8 Nella serie compare anche il simolo di coefficiente inomiale. Ricordiamo che: 8 8a8 a8 á a85 Š 5 5x Serie a termini positivi, applico il criterio del rapporto. Riscriviamo prima: 8 8 a8 a8 ÞÞÞÞ a88 8 a8 a8 ÞÞÞÞa8 Œ à 8 8x 8x a8 a8 ÞÞÞÞa8 8 8x a8 a8 x 8 a8 a8 ÞÞÞÞa8 8 8 a8 a8 8 a8 a8 8 8 a8 a8 a8 8 a8 a8 a8 a8 %8 % a8 µ Ä!Þ ˆ 8 8 / 8/ Per il criterio del rapporto, la serie converge. 8 4

9 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 6. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ( È.Þ È ( È È Sh. Ch>à. >.> È È SettChÈ SettChÈ >.> > >> ( Sh> Sh È È Sh Ch! È Š È È È SettChÈ SettCh È È! È logš È È È 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ( /.! % % % M ( /. ( / ˆ.( / ˆ.Þ!! ( / ˆ. / ˆ ( / a. / ˆ / ( /./ / ˆ - / ˆ -Þ %! M / ˆ / ˆ % &/ / &/ %!/ / Þ 5

10 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 8. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: a> / Ja ( / >.>Þ &Î asina> / 0 a> / > è definita per > Á 5. asina> &Î a> Esaminiamo il comportamento negli interi, dai più vicini a. Per > Ä! ß! (per gerarchia degli infiniti) 0 a> µ / / > Ä a> &Î _ esponenzialmente Quindi J non è definita per!, mentre lo è per! Ÿ ÞÞÞ (ora studieremo). Per > Ä ß 0 a> µ / a> asina> Ora linearizzanto la funzione sina> si ha sina> µ a>, quindi &Î a> 0 a> µ / / &Î &Î c a> d c d a> integraile (Î ). Per > Ä, ancora linearizzando sina> si ha sina> µ a>, quindi 0 a> µ / /2 / ca> d &Î, Î, non integraile (infinito di ordine J è definita per ā ). Quindi:! Ÿ Þ 6

11 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. ramanti Svolgimento del Tema n 2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica e dicendo esplicitamente quante sono: Poniamo D 3CßßC. D 3D & ReD!Þ ˆ C 3C3a3C&! C C&! C! C! Ê a! o C à! Ê C C! Ê ac o C à C Ê &! Ê &! Ê a! o &. Le soluzioni sono 3: D 3àD 3àD &3Þ 2. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione 0a per Ä!, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di 0a in un intorno di!. Classificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminaile, asintoto verticale á ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in ase alla sola stima asintotica.

12 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 Î / logach 0a à!þ Î ˆ ˆ! Sh log Cha 0a µ logach ˆ ˆ µ Ch ˆ ˆ µ Sh Î log Î log ˆ Î &Î Þ Î Î ˆ µ a È! punto di (discontinuità eliminaile e di) flesso a tangente orizzontale, discendente. 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): È È Î / lim Ä! sin cos tan cos a ˆ ˆ Num. È Î Ê / È Œ Œ 9ˆ Œ 9ˆ Š 2

13 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 * È È È Œ Œ Œ 9ˆ 9ˆ µ Þ * % % ) ) Den. 9 ˆ ˆ ŒŠ 9ˆ 9ˆ µ % % È È ) 0a µ Þ % 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0a /. Definita per Á ß Á Þ / %Î& Per Ä ß0a µ Ä _ß asintoto verticale. ' con velocità esponenziale (tangente orizzontale) Per Ä ß0 µ Ä! / a & _ asintoto verticale da sinistra. / Per Ä _ß0a µ Ä! C! asintoto orizzontale. Nell'insieme di definizione di 0 la funzione è anche derivaile e si ha: a 0 w a a / a / ' a a a a a /! a a per ( Á ß Á e) ' È * punto di minimo relativo; ' È * punto di massimo relativo. Ÿ! ' È* Ÿ ß Ÿ ' È* 3

14 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 La funzione deve presentare almeno due flessi negli intervalli Š ' È*ß_. Grafico: Š ß' È* e 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. _ Î log 88 Î sinœ Î Serie a termini positivi. Applico il criterio del confronto asintotico. Î Poiché Š Î Ä, Î Î log 88 µ Î 88Î Î 88 ˆ Î 88 Î Î Î µ Î Î Î sinœ µ Œ µ à 8 8Î 8 8Î 8Î à 4

15 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 Perciò + 8 µ 8 Î e per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente diverge.! la serie 6. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l'espressione ottenuta: ( ˆ log arctan. ( ˆ. ˆ ( Œ log log arctan log arctan. ˆ log arctan ( Œlog. a ˆ log arctan Œ log( ( Œ. ˆ log arctan log a arctan-þ % 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: ( Œ % *. % (. (. % * % a % > (. >à à..> a > & & %.> '>& ( (.> > Œ )> 5

16 2 appello di Analisi Matematica. A.A. 203/4. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n 2 & & ( Œ.> log> %> )> % )> & & log& log& % ) ) % 8. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: È > a> Î Ja ( 0 a> è definita per > Á ;! È >.>Þ a> Î Î w w > Î Per > Ä ß posto a> > si ha a> ß a ß a> µ a> ß È > 0 a> µ a> a> integraile perché Î Þ Per > Ä ß poiché w a ß a> µ a> ß non integraile. Quindi J è definita per ā Þ Î È È 0 a> µ a> a> & 6