CALCOLO COMBINATORIO

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "CALCOLO COMBINATORIO"

Transcript

1 CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, k n, tutti i gruppi di k oggetti distinti che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono o per un elemento o per l ordine degli elementi Il loro numero si indica con D n,k Quando k n, le disposizioni semplici di n oggetti a k a k si chiamano permutazioni, ed il loro numero si indica con P n Perciò, per definizione, P n D n,n In termini meno formali, le disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole conta l ordine non sono ammesse ripetizioni Il primo elemento da mettere nel gruppo può essere scelto in n modi (dall insieme di tutti gli oggetti dati, che ha n elementi, il secondo in n 1 (dall insieme di tutti gli oggetti dati meno il primo già scelto, il terzo in n 2, e così via fino al k-esimo che può essere scelto in n k + 1 modi Il numero di disposizioni semplici è quindi il numero degli elementi del prodotto cartesiano di k insiemi, il primo di cardinalità n, il secondo n 1,, l ultimo n k + 1, cioè D n,k n(n 1 (n k + 1 In particolare, il numero di permutazioni di n oggetti è P n D n,n Esempio 11 Ci sono 60 studenti che vogliono dare un esame; il professore decide di cominciare esaminandone 8 il prossimo mercoledì In quanti modi può essere fatta la lista degli esaminandi? Nella situazione descritta, due liste vanno considerate diverse non solo quando differiscono per almeno uno studente, ma anche se, a parità di nomi, differiscono per l ordine in cui sono stati messi i nomi Inoltre, nella lista uno studente non può comparire più di una volta Queste liste sono quindi tante quante sono le disposizioni semplici di 60 oggetti della classe 8, ovvero disposizioni con ripetizione Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni con ripetizione di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, eventualmente anche k > n, tutti i gruppi di k oggetti distinti o coincidenti (in tutto o in parte che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi identici solo se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero di volte e nello stesso ordine Quindi, le disposizioni con ripetizione degli n oggetti a 1,, a n a k a k sono le k-uple ordinate che si possono formare con a 1,, a n, cioè gli elementi del prodotto cartesiano (a 1,, a n k (a 1,, a n (a 1,, a n (a 1,, a n k volte 1

2 2 CALCOLO COMBINATORIO Il loro numero si indica con D n,k Per le osservazioni precedenti, D n,k n k (infatti sono n k gli elementi del prodotto cartesiano (a 1,, a n k ; oppure, basta pensare che il primo elemento può essere scelto in n modi, il secondo ancora in n modi, e così via fino al kesimo In termini meno formali, le disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole conta l ordine sono ammesse ripetizioni Esempio 12 Si vuole fare la schedina del totocalcio Ci sono tre simboli da distribuire in 13 caselle In altri termini, ogni schedina corrisponde ad un gruppo di 13 elementi formati con i 3 simboli dati; inoltre, lo stesso simbolo può essere usato più volte, e conta l ordine in cui sono messi i simboli Le schedine del totocalcio sono allora tante quante le disposizioni con ripetizione di 3 elementi della classe 13, ovvere combinazioni semplici Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano combinazioni semplici di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, k n, tutti i gruppi di k oggetti distinti che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi diversi se differiscono per almeno un elemento In definitiva, una combinazione semplice della classe k è un sottoinsieme di cardinalità k dell insieme degli n oggetti dati Il numero di tali combinazioni semplici si indica con C n,k Poiché una combinazione semplice della classe k corrisponde a k! disposizioni semplici, si ha k!c n,k D n,k, per cui C n,k n(n 1 (n k + 1 k! ( n k In termini meno formali, le combinazioni semplici di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole non conta l ordine non sono ammesse ripetizioni Esempio 13 Consideriamo gli stessi 60 studenti dell Esempio 11 Si vuole formare una squadra di calcio, scegliendo 11 di questi studenti Quante squadre diverse possono essere formate? Questa volta due gruppi di 11 studenti vanno considerati diversi solo se differiscono per almeno uno studente; inoltre uno studente non può comparire più di una volta nella stessa squadra Le possibili squadre sono quindi tante quante le combinazioni semplici di 60 oggetti della classe 11, cioè ( combinazioni con ripetizione Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano combinazioni con ripetizione di questi oggetti, della classe k, oppure a k a k (k intero positivo, eventualmente anche k > n, tutti i gruppi di k oggetti distinti o coincidenti (in tutto o in parte che si possono formare con gli n oggetti dati, intendendo due gruppi identici solo se hanno gli stessi elementi, lo stesso numero di volte Il loro numero si indica con C n,k Indicando con i 1, i 2,, i k gli indici degli oggetti che vanno a fare parte di un gruppo, C n,k è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere gli interi

3 CALCOLO COMBINATORIO 3 i 1, i 2,, i k {1, 2,, n} affinché 1 i 1 i 2 i k n Questo numero a sua volta è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere i 1, i 2,, i k che soddisfano la relazione 1 i 1 < i < i < < i k + k 1 n + k 1 Scrivendo b i al posto di a i + i 1, si vede bene che quest ultimo numero è uguale al numero di scelte per b 1, b 2,, b k interi tali che 1 b 1 < b 2 < < b k n + k 1 Siccome i b i sono tutti distinti, e variano nell insieme {1, 2,, n+k 1}, il numero che cerchiamo è uguale al numero dei sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme che ha n + k 1 elementi Quindi C n,k ( n+k 1 k In termini meno formali, le combinazioni con ripetizione di n oggetti a k a k sono gruppi formati con questi oggetti secondo le seguenti regole non conta l ordine sono ammesse ripetizioni Esempio 14 I soliti 60 studenti partecipano ad alcune gare Sono in palio 5 premi uguali; ci si chiede in quanti modi possono essere assegnati Essendo i premi uguali, nel conto delle diverse assegnazioni si fa attenzione solo a quali studenti hanno ricevuto un premio e quanti premi ha ricevuto lo stesso studente Se numeriamo gli studenti da 1 a 60, si può convenire che una sequenza di 5 numeri, presi dall insieme {1,, 60} rappresenti il fatto che i corrispondenti studenti hanno preso un premio Per esempio, {1, 1, 2, 35, 35} rappresenta il fatto che lo studente numero 1 ha preso 2 premi, lo studente numero 2 ha preso un premio, e lo studente numero 35 ha preso 2 premi Inoltre, ogni sequenza ottenuta da {1, 1, 2, 35, 35} cambiando l ordine dei numeri rappresenta la stessa cosa Con questa convenzione si vede bene che il numero delle possibili assegnazioni di premi è uguale al numero delle combinazioni con ripetizione di 60 elementi della classe 5, ovvero ( 64!5 2 Modi di mettere k palline in n urne In molti problemi di calcolo combinatorio può essere utile trasformare il problema in esame in quello di mettere palline dentro urne (e contare quindi i possibili modi di farlo, piuttosto che trasformarlo in quello di formare gruppi di elementi presi da un insieme dato Siano date n urne {a 1,, a n } (corrispondenti agli n oggetti dati della Sezione 1, e siano date k palline, da mettersi nelle urne una per volta Le palline possono essere indistinguibili oppure no, e si può decidere di non mettere più di una pallina per urna, oppure si possono ammettere più palline nella stessa urna Si possono contare i modi di mettere le k palline nelle n urne, usando i risultati della Sezione 1, se si fa il seguente parallelo Mettere una pallina nell urna a j corrisponde a scegliere l elemento a j dell insieme {a 1,, a n } Ogni modo di mettere le k palline nelle n urne corrisponde alla formazione di un gruppo di k elementi presi da {a 1,, a n } Se le palline sono indistinguibili, non ha importanza quale pallina va a finire in un urna Per esempio, date 10 urne a 1,, a 10, e 3 palline, mettere la prima pallina nell urna a 2 e le restanti nell urna a 5 corrisponde a formare il gruppo di 3 elementi {a 2, a 5, a 5 } presi dagli {a 1,, a 10 } Se invece mettiamo la prima pallina nell urna a 5, la seconda nell urna a 2 e la terza nell urna a 5, è come se formassimo il gruppo {a 5, a 2, a 5 } Se le palline sono indistinguibili, le due configurazioni di palline sono identiche, e quindi anche i corrispondenti gruppi vanno considerati identici Se invece le palline sono distinguibili, i due modi di procedere di cui sopra portano a configurazioni diverse di palline dentro le urne, ed anche i corrispondenti gruppi vanno considerati diversi

4 4 CALCOLO COMBINATORIO Tenendo conto poi che l ammettere più di una pallina dentro un urna corrisponde ad ammettere ripetizioni nel corrispondente gruppo, si ottengono subito i seguenti risultati Il numero di modi di mettere k palline distinguibili in n urne, con la regola di non mettere più di una pallina per urna è uguale al numero delle disposizioni semplici di n oggetti della classe k, ovvero D n,k n(n 1 (n k + 1 Il numero di modi di mettere k palline distinguibili in n urne, con la regola di ammettere anche più di una pallina per urna è uguale al numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti della classe k, ovvero D n,k nk Il numero di modi di mettere k palline indistinguibili in n urne, con la regola di non mettere più di una pallina per urna è uguale al numero delle combinazioni semplici di n oggetti della classe k, ovvero C n,k ( n k Il numero di modi di mettere k palline indistinguibili in n urne, con la regola di ammettere anche più di una pallina per urna è uguale al numero delle combinazioni con ripetizione di n oggetti della classe k, ovvero C n,k ( n+k 1 k 3 Permutazioni distinguibili Supponiamo di avere oggetti di due tipi, α e β, di tipo α, di tipo β, + n Ci si chiede quante sono le permutazioni di questi oggetti che danno luogo a configurazioni distinte Indichiamo con x tale numero Il problema può essere risolto in almeno due modi i Rendiamo gli oggetti distinguibili, per esempio indicandoli con α 1, α 2,, α r1, β 1, β 2,, β r2 Ci sono allora permutazioni distinte Fissata una permutazione, da questa si ottengono permutazioni che sono distinte per gli oggetti con gli indici, ma indistinguibili per gli oggetti senza indici, se e solo se si permutano tra loro gli oggetti di tipo α, oppure si permutano tra loro gli oggetti di tipo β Gli oggetti di tipo α si possono permutare in! modi, quelli di tipo β in! modi Quindi dalla fissata permutazione si ottengono!! permutazioni che sono distinte per gli oggetti con gli indici, ma indistinguibili per gli oggetti senza indici In altri termini, quelle!! permutazioni degli oggetti con gli indici vanno pensate come una permutazione degli oggetti senza indici Otteniamo così!!x, da cui x r 1!! ii Notiamo che ogni configurazione degli n oggetti è univocamente determinata dai posti occupati dagli oggetti di tipo α Il problema è così ricondotto al calcolo del numero di modi in cui si possono mettere palline indistinguibili in n urne, con la regola di non mettere più di una pallina per urna Quindi, x ( n!! Saremmo arrivati allo stesso risultato notando che ogni configurazione degli n oggetti è univocamente determinata dai posti occupati dagli oggetti di tipo β (perché? Con gli stessi ragionamenti, si ottiene il numero di permutazioni distinguibili di n oggetti, di tipo α 1, di tipo α 2,, r k di tipo α k, r k n Ragionando come in i, si ottiene direttamente x!! r k! ii, si ha ( ( n n r1 x ( n r1 r k 2 Ragionando come in!! r k!

5 CALCOLO COMBINATORIO 5 Esempio 31 La combinazione di una certa cassaforte è un mumero formato da tutte e sole le cifre 1,1,1,1,4,4,4,7,7,7,7,7, in un ordine che non ci ricordiamo Allora, il numero massimo di tentativi che si dovranno fare per aprire la cassaforte è 12! 4!3!5! 4 Partizione di una popolazione in sottopopolazioni di numerosità assegnata Sia data una popolazione con n elementi Si vuole trovare il numero x di modi in cui questa popolazione può essere suddivisa in k sottopopolazioni contenenti ciascuna un numero prefissato di elementi, precisamente nella prima, nella seconda,, r k nella k-esima Siccome non conta l ordine all interno di una sottopopolazione, e nessun elemento può comparire più di una volta in una sottopopolazione, la prima sottopopolazione si può formare in ( ( n modi, la seconda in n r1 modi, e così via fino alla (k 1-esima che può essere formata in ( n r k 2 modi, mentre per la k-esima la scelta è obbligata Allora, ( ( ( n n r1 n r1 r k 2 x!! r k! Esempio studenti vengono divisi per le esercitazioni di un certo corso 25 di essi dovranno andare in aula 1, 12 in aula 2 e 13 in aula 3 Il numero di modi in cui si può fare la suddivisione è 50! 25!12!13!

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

UTILIZZO DELLA PSICOCINETICA NELLA SCUOLA PRIMARIA E IN AMBITO SPORTIVO

UTILIZZO DELLA PSICOCINETICA NELLA SCUOLA PRIMARIA E IN AMBITO SPORTIVO UTILIZZO DELLA PSICOCINETICA NELLA SCUOLA PRIMARIA E IN AMBITO SPORTIVO Le capacità cognitive richieste per far fronte alle infinite modalità di risoluzione dei problemi motori e di azioni di gioco soprattutto

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell Davide Penazzi 2 Funzioni tra insiemi niti: i numeri di Stirling e Bell 1 Contare il numero delle funzioni tra insiemi 1.1 Denizioni e concetti preliminari

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 L insieme N dei numeri naturali 4 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Un ripasso di aritmetica: Conversione dalla base 10 alla base 16

Un ripasso di aritmetica: Conversione dalla base 10 alla base 16 Un ripasso di aritmetica: Conversione dalla base 1 alla base 16 Dato un numero N rappresentato in base dieci, la sua rappresentazione in base sedici sarà del tipo: c m c m-1... c 1 c (le c i sono cifre

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Analisi Matematica I Fabio Fagnani, Gabriele Grillo Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Queste dispense contengono il materiale delle lezioni del corso di Analisi Matematica I rivolto agli

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) L analisi della varianza è un metodo sviluppato da Fisher, che è fondamentale per l interpretazione statistica di molti dati biologici ed è alla

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

Matematica Discreta PARTE II

Matematica Discreta PARTE II Matematica Discreta PARTE II Giuseppe Lancia Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine Indice 1 Piccioni e buche 1 1.1 Il principio della piccionaia, forma semplice............................

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Test d ingresso per i curricula in lingua inglese Coloro che intendono iscriversi ai curricula in lingua inglese Economics of Financial and Insurance

Test d ingresso per i curricula in lingua inglese Coloro che intendono iscriversi ai curricula in lingua inglese Economics of Financial and Insurance Note e istruzioni per i test di ingresso ai Corsi di Studio del Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali, Matematiche e Statistiche (DEAMS) a.a. 2013/2014 Gli insegnamenti relativi ai Corsi di Laurea

Dettagli

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE

OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE 1 Mimmo Arezzo OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE CONVERSAZIONE CON ALCUNI STUDENTI DI FISICA 19 DICEMBRE 2006 2 1 Preliminari Definizione 1.0.1 Un ordinamento parziale (o una relazione d ordine parziale)

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

Appunti di Logica Matematica

Appunti di Logica Matematica Appunti di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Una proposizione è un affermazione che esprime un valore di verità, cioè una affermazione che è VERA oppure FALSA. Ad esempio: 5

Dettagli

Permutazione degli elementi di una lista

Permutazione degli elementi di una lista Permutazione degli elementi di una lista Luca Padovani padovani@sti.uniurb.it Sommario Prendiamo spunto da un esercizio non banale per fare alcune riflessioni su un approccio strutturato alla risoluzione

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Problema: Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50

Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Problema: Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50 http://einmatman1c.blog.excite.it/permalink/54003 Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50 Trovare un numero e' la prima frase e significa che

Dettagli

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765 COMPLEMENTO A 10 DI UN NUMERO DECIMALE Sia dato un numero N 10 in base 10 di n cifre. Il complemento a 10 di tale numero (N ) si ottiene sottraendo il numero stesso a 10 n. ESEMPIO 1: eseguire il complemento

Dettagli

1 n. Intero frazionato. Frazione

1 n. Intero frazionato. Frazione Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso.

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

4. Strutture algebriche. Relazioni

4. Strutture algebriche. Relazioni Relazioni Sia R una relazione definita su un insieme A (cioè R A A). R si dice riflessiva se a A : ara R si dice simmetrica se a, b A : arb = bra R si dice antisimmetrica se a, b A : arb bra = a = b R

Dettagli

Risposta: L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ;

Risposta: L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ; 1. Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? : L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ; nel nostro

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA

CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA Con calcolo combinatorio si indica quel settore della matematica che studia i possibili modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l obiettivo

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Guida all uso del portale dello studente

Guida all uso del portale dello studente Guida all uso del portale dello studente www.studente.unicas.it Versione 1.0 del 10/04/2010 Pagina 1 Sommario PREMESSA... 3 PROFILO... 7 AMICI... 9 POSTA... 10 IMPOSTAZIONI... 11 APPUNTI DI STUDIO... 12

Dettagli

Introduzione ad Access

Introduzione ad Access Introduzione ad Access Luca Bortolussi Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli studi di Trieste Access E un programma di gestione di database (DBMS) Access offre: un supporto transazionale

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

Le schede di Sapere anche poco è già cambiare

Le schede di Sapere anche poco è già cambiare Le schede di Sapere anche poco è già cambiare LE LISTE CIVETTA Premessa lo spirito della riforma elettorale del 1993 Con le leggi 276/1993 e 277/1993 si sono modificate in modo significativo le normative

Dettagli

Manuale Software. www.smsend.it

Manuale Software. www.smsend.it Manuale Software www.smsend.it 1 INTRODUZIONE 3 Multilanguage 4 PANNELLO DI CONTROLLO 5 Start page 6 Profilo 7 Ordini 8 Acquista Ricarica 9 Coupon AdWords 10 Pec e Domini 11 MESSAGGI 12 Invio singolo sms

Dettagli

e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come

e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Codifica dei numeri negativi

Codifica dei numeri negativi E. Calabrese: Fondamenti di Informatica Rappresentazione numerica-1 Rappresentazione in complemento a 2 Codifica dei numeri negativi Per rappresentare numeri interi negativi si usa la cosiddetta rappresentazione

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it

186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it 186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it Premessa Durante una mia visita al Palazzo Ducale di Mantova, nell ammirare i tanti capolavori che custodisce,

Dettagli

GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC

GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC Introduzione a emagister-agora Interfaccia di emagister-agora Configurazione dell offerta didattica Richieste d informazioni Gestione delle richieste d informazioni

Dettagli

I numeri che si ottengono successivamente sono 98-2 = 96 4 = 92 8 = 84 16 = 68 32 = 36 e ci si ferma perché non possibile togliere 64

I numeri che si ottengono successivamente sono 98-2 = 96 4 = 92 8 = 84 16 = 68 32 = 36 e ci si ferma perché non possibile togliere 64 Problemini e indovinelli 2 Le palline da tennis In uno scatolone ci sono dei tubi che contengono ciascuno 4 palline da tennis.approfittando di una offerta speciale puoi acquistare 4 tubi spendendo 20.

Dettagli

WWW.JUNIORGOLFCADDIE.IT. L organizzazione e la gestione economica, didattica e agonistica dei Club dei Giovani

WWW.JUNIORGOLFCADDIE.IT. L organizzazione e la gestione economica, didattica e agonistica dei Club dei Giovani WWW.JUNIORGOLFCADDIE.IT L organizzazione e la gestione economica, didattica e agonistica dei Club dei Giovani Il programma ideato da Luigi Pelizzari con il Patrocinio del Comitato Regionale Lombardo della

Dettagli

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI IL GIOCO DEL. OVVERO: 000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI EMANUELE DELUCCHI, GIOVANNI GAIFFI, LUDOVICO PERNAZZA Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del, uno dei più celebri fra i giochi

Dettagli

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA Tutti gli anni, affrontando l argomento della divisibilità, trovavo utile far lavorare gli alunni sul Crivello di Eratostene. Presentavo ai ragazzi una

Dettagli

VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE

VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE La contraffazione in cifre: NUOVA METODOLOGIA PER LA STIMA DEL VALORE DELLE MERCI SEQUESTRATE Roma, Giugno 2013 Giugno 2013-1 Il valore economico dei sequestri In questo Focus si approfondiscono alcune

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Progettazione di un DB....in breve

Progettazione di un DB....in breve Progettazione di un DB...in breve Cosa significa progettare un DB Definirne struttura,caratteristiche e contenuto. Per farlo è opportuno seguire delle metodologie che permettono di ottenere prodotti di

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Documento di accompagnamento: mediane dei settori non bibliometrici

Documento di accompagnamento: mediane dei settori non bibliometrici Documento di accompagnamento: mediane dei settori non bibliometrici 1. Introduzione Vengono oggi pubblicate sul sito dell ANVUR e 3 tabelle relative alle procedure dell abilitazione scientifica nazionale

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

DISPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA

DISPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA QUADERNO DI MATEMATICA A. S. MATHESIS - SEZIONE BETTAZZI A.A. 2010/2011 DISPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA A. Astolfi G. Audrito A. Carignano F. Tanturri seconda edizione riveduta e ampliata da G. Audrito

Dettagli

Documentazione Servizio SMS WEB. Versione 1.0

Documentazione Servizio SMS WEB. Versione 1.0 Documentazione Servizio SMS WEB Versione 1.0 1 Contenuti 1 INTRODUZIONE...5 1.1 MULTILANGUAGE...5 2 MESSAGGI...7 2.1 MESSAGGI...7 2.1.1 INVIO SINGOLO SMS...7 2.1.2 INVIO MULTIPLO SMS...9 2.1.3 INVIO MMS

Dettagli

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Appunti di Teoria dei Segnali Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Concetti preliminari di probabilità... Introduzione alla probabilità... Deinizione di spazio degli eventi... Deinizione di evento...

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Così come le macchine meccaniche trasformano

Così come le macchine meccaniche trasformano DENTRO LA SCATOLA Rubrica a cura di Fabio A. Schreiber Il Consiglio Scientifico della rivista ha pensato di attuare un iniziativa culturalmente utile presentando in ogni numero di Mondo Digitale un argomento

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Dal modello concettuale al modello logico

Dal modello concettuale al modello logico Dal modello concettuale al modello logico Traduzione dal modello Entita - Associazione al modello Relazionale Ciclo di sviluppo di una base di dati (da parte dell utente) Analisi dello scenario Modello

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

Esercizi sull Association Analysis

Esercizi sull Association Analysis Data Mining: Esercizi sull Association Analysis 1 Esercizi sull Association Analysis 1. Si consideri il mining di association rule da un dataset T di transazioni, rispetto a delle soglie minsup e minconf.

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli