Individuazione di linee e curve. Minimi quadrati. Visione e Percezione. Model fitting: algoritmi per trovare le linee. a = vettore dei parametri

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1 Segmentazone tramte modell ad hoc Indvduazone d lnee e curve Obbettvo: Data l mmagne d output d un algortmo d rlevamento d bord, trova tutte le stanze d una certa curva (lnea o ellss) o una sua parte. B A Le tre lnee c mostrano che A occlude B Model fttng: algortm per trovare le lnee S assume, per potes, d conoscere punt del modello che s vuole provare. La dscretzzazone ntrodurrà degl error. L obettvo è trovare le lnee che meglo s adattano a dat. Defnamo l modello: Mnm quadrat rova un vettore a 0 che mnmzza la dstanza d tra l modello e tutt punt per ogn possble a ax= ax + by + c = 0 a = vettore de parametr ogn vettore ndca una specfca lnea

2 Metodo de mnm quadrat Soluzone standard. + b = f ( x, a b ) y = ax, Mnmzza err= y f x, a, b y ( ) 2 f x a b....?..... Modello nadeguato La trasformata d Hough N punt collnear y Spazo Immagne c Spazo de parametr p1 Spazo mmagne Spazo de parametr pk p1 (x 2,y 2 ) (m,c) (x 1, y 1 ) pk x y= mx+c c=-xm+y m Una lnea ndvduata da k punt collnear nello spazo mmagne è dentfcata da k lnee nello spazo de parametr che s ntersecano nel punto (m,c). Un punto (x, y) nello spazo mmagne è una lnea c=-x m+y nello spazo de parametr. Una lnea nello spazo mmagne è un punto nello spazo de parametr.

3 rovamo l ntersezone c pn C(m,c) =0 nzalmente C(m,c)=n p Spazo de parametr C(m,c)=0 C(m,c)=1 p1 m La lnea è dentfcata da c(m,c)= c)= n p1 mx+c p p n y x Dat rasformata = m. 1 + c c = 1m = m. 2 + c c = 2m = m. 4 + c c = 3m = m. 4 + c c = 4m + 0 Camponamo lo spazo de parametr C sono tre lnee concdent Rappresentazone a e polare d una retta. ρ = xcosϑ+ ysnϑ dove ρ rappresenta la dstanza dall'orgne e ϑ l'orentamento L accumulatore sara massmo a C(-1,4) e qund L equazone della lnea e y=-1x+4 Se E e' un'mmagne M N ρ ϑ π 2 2 0, M + N, [ 0, ] L'ntervallo Lntervallo d varazone d ρ e ϑ e' fnto

4 Equazone della retta n forma normale y Le lnee sono snusod Spazo dell mmagne y ρ Spazo de parametr θ e ρ ρ θ x ρ x cos θ+y sn θ= ρ x θ Esempo Esempo Applchamo l rlevatore d bord d Canny: Consderamo l mmagne

5 rovamo valor massm nello spazo de parametr tρρ e θ Indvduamo valor d pcco e trovamo le lnee per de massm ncrementalmente

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7 AlgortmodHoughperlnee(Duda-Hart) lnee Hart) Input: un mmagne E n BW gà opportunamente fltrata (bord rlevat), d dmenson N M. Il pxel E(,j)=1 se appartene ad un bordo, altrment E(,j)=0. Sano ρ d d dmensone r, e θ d d dmensone t, due array che specfcano la dvsone n celle dello spazo de parametr ρ e θ ρ = x cos ϑ + y sn ϑ 2 2 ρ 0, M + N, ϑ [ 0, π] Algortmo d Hough per lnee Dscretzzamo lo spazo de parametr: (ρ, θ)=> ) (ρ d, θ d ). Sa A(r,t) un array con gl element nzalzzat a 0. Per ogn pxel E(,j)=1, per h =1..t: Sa ρ = cos ϑ d ( h ) + j sn ϑ d( h) rova l ndce k dell elemento pù vcno a ρ Incrementa A(k,h) d 1. rova tutt massm local (k p, h p )>s, dove s è una sogla opportuna. Output: l nseme delle coppe (ρ d (k p ), θ d (k p )) che descrvono le lnee n forma polare ρ d Algortmo d Hough per curve (Duda-Hart) L nput è come l algortmo per le lnee. Sa f(x,y,a)=0, a= a 1,.a n, una opportuna rappresentazone parametrca della curva, es.: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2, a= a, b, r. Sa A(s 1,,s n ) un array d contator, dove s è l ntervallo fssato per a. Per cascun pxel E(,j)=1, ncrementa tutt contator su f(x,y,a)=0, n A. rova tutt massm local a k, tal che A(a k )>t, dove t è una sogla opportuna. Output: un nseme d vettor a 1 1,,.a n che descrvono le stanze della curva ndvduata n E. Esempo fttng d un cercho Abbamo E s ed E o dall edge detecton e una mmagne booleana. L equazone del cercho n coordnate polar: a = x - r cos θ, b = y - r sn θ. Dove θ lo abbamo da E o. Sosttuamo per r: b = a tanθ- x tanθ+ y. (*) Dscretzzamo lo spazo de parametr (a,b) Azzeramo un accumulatore A(a,b) Per cascun pxel=1 ncrementamo l accumulatore A(a,b) lungo la lnea (*). Gl element massmal corrspondono al centro del cercho.

8 Note sulla trasformata d Hough L algortmo d Hough è un metodo per votazone (votng algorthm): cascun punto vota per parametr che potrebbero averlo prodotto se avesse fatto parte della curva n oggetto.. L nseme de vot fnal dell accumulatore, ndca la verosmglanza dell potes che effettvamente c sa una curva (lnea) nell mmagne. Lnea Voto Demo Matlab I =mread( lnee0.jpg ); Houghras demo con la radon ransform HoughMat2 demo con la trasformata d Hough d Matlab ellpse(i,r), usa la hough trasform per cerch e po fa l fttng d una ellsse lnea vot

9 Vantagg e svantagg Non è sensble all occlusone Adattamento d ellss Problema: Sa p 1...p N un nseme d punt d un'mmagne N, sa p = x, y. [ ] 2 2 x= x xy y x y p= [ x y ] Sa,,,,,1,, f ax bxy cy dx ey f 2 2 ( p,a) = x a = = 0 E molto sensble al rumore, e con l crescere de parametr cresce rapdamente l tempo d rcerca nello spazo de parametr. e' l'equazone mplcta dell'ellss, caratterzzata dal vettore metr a = abcde,,,,, f de para [ ] Voglamo trovare l vettore d parametr a 0, assocato all'ellsse che meglo s adatta a punt p 1...p N (dell'mmagne), come soluzone del problema d mnmzzazone: mn [ D( p,a ) ] a = 1 dove D( p,a) e' una opportuna dstanza. n 2 Adattamento d ellss e dstanza eucldea Il problema della mnmzzazone della dstanza tra l vettore de parametr e punt dell mmagne s può formulare: mn a n = 1 p p 2 con l vncolo che p appartenga all'ellsse, f ( p,a) = 0 Una sequenza d approssmazon (ved rucco e Verr cap. 5) porta a determnare: f ( p,a ) p p = f ( p,a ) n funzone de sol parametr not. Algortmo d adattamento per ellss L nput è un nseme d punt p 1 p n S us a 0 come punto nzale S rsolva: n f mn a ( p,a ) = 1 f ( p,a) L output è l vettore a m, che defnsce l mglore adattamento dtt t 2