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1 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin. CRITERI DI RESISTENZA La vrifica di ritnza ha o copo di tabiir o tato tniona d mnto truttura anaizzato è ta da provocarn i cdimnto into com rottura o nrvamnto. I probma fondamnta è quo di mttr in razion i paramtri critici d matria, a tnion di nrvamnto o qua di rottura r, ottnuti con mpici prov monoaiai di trazion o comprion, con a ritnza d mnto oggtto ad uno tato di tnion in gnr biaia o triaia. A quto copo, in ba a orvazion primnta d mccanimo fiico con cui i matria giung ao tato imit, ono tat viuppat divr tori ch prndono i nom di critri di ritnza. In particoar, i critri di ritnza fornicono combinazioni d tnioni ffttivamnt agnti (principai o cartian), dtt tnioni quivanti, ( ) f,, o g( x y z yz zx ),,,,, (.) ch poono r confrontat con tnioni di nrvamnto /o rottura d matria. Pr auni critri a tnion quivant dipnd oo da tnioni principai maima minima. Pr ciacun un critrio di ritnza, i cdimnto in un punto da truttura i vrifica a tnion quivant raggiung i vaor imit di rottura o nrvamnto, cioè : con,r. (.) Na pratica, avo cai particoari, truttur ono progttat affinché tnioni maim agnti i mantngano ufficintmnt a di otto di qu critich. Si dfinic tnion ammiibi una frazion opportuna da tnion ch provoca i dannggiamnto. La dfinizion i ottin introducndo un fattor n> com gu: n am (.) I vaor n è dtto cofficint di icurzza i uo vaor (tipicamnt. n, in auni cai n4) è impoto da normativ o co da progttita in ba a conidrazioni riguardanti: incrtzza u ntità d carico u modaità d appicazion (urti, oitazioni di montaggio traporto), incrtzza u proprità d matria (proprità iniziai, variazioni dovut aa avorazion, uura tmpratura in rcizio), imprciion d modo matmatico pr i caoo d tnioni (uo di tori mpificat), a poibi prnza d ar tnioni (dovut aa avorazion o a montaggio), a pricooità d cdimnto, i coto. Pr vrificar un mnto di gomtria nota è in condizion di icurzza, i caoa i vaor da tnion quivant i confronta con a tnion ammiibi tramit una diquazion di quto tipo: (.4) Quto tipo di caoo è dtto di vrifica. In auni cai è poibi crivr a in funzion di un paramtro gomtrico da truttura (D) ricavar qut uimo imponndo ch a guagi i vaor ammiibi: ( D) am (.5) quto tipo di caoo è dtto di progtto. Riguardo a mccanimo fiico con cui i matriai giungono a cdimnto, i uo ffttuar una prima ditinzion di maima tra i comportamnto di matriai duttii di qui fragii. I matriai duttii prntano vat dformazioni patich a partir da raggiungimnto da tnion di nrvamnto, infrior a vaor di tnion ch provoca a rottura. Tai dformazioni ono gat a corrimnti tra i piani atomici critaini ch avvngono a incirca ni piani u cui initono maim tnioni tangnziai. Auni critri di ritnza uggricono ch a condizion critica di matriai duttii è cotituita proprio da raggiungimnto do nrvamnto idntificano a tnion ottnuta na prova di trazion com vaor critico di rifrimnto. I matriai fragii non prntano vat dformazioni patich a condizion critica conidrata di critri di ritnza è oitamnt cotituita daa rottura. Poiché i matriai fragii prntano una ritnza a comprion uprior a qua di trazion, i vaor critici di rifrimnto ottnuti daa prova di trazion ono : tnioni di rottura a trazion comprion rt rc. Tipicamnt ni matriai fragii a rottura avvin pr improvvia propagazion di una frattura in un piano ortogona aa tnion norma ch raggiung i uo vaor critico. Com i vdrà n guito, i cdimnto a trazion può r faciitato daa imuana prnza di una tnion di comprion vata (ovviamnt minor da rc ), uprior, in vaor aouto, a qua maima di trazion. am.

2 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Critrio da maima tnion norma o di Rankin-Navir Quto critrio affrma ch i cdimnto i vrifica quando a maima tnion principa agnt guagia a tnion di nrvamnto o a tnion di rottura d matria. In pratica oo a maima tnion principa produc i cdimnto ar poono r tracurat. Siano t c ripttivamnt tnioni di nrvamnto in trazion in comprion rt rc anaogh tnioni di rottura tutt conidrat con i gno appropriato (ngativo pr qu di comprion): è a maggior d tnioni principai a minor, i cdimnto pr nrvamnto o rottura avvin quando: o ( <0),r (.6a,b) Introducndo i rapporto tra tnioni imit a trazion a comprion r r (.7) ch, i noti, è un numro ngativo otitundo /r na (6b), (6) poono r inttizzat com gu: { r } max, (.8) La (8) connt di dfinir una tnion quivant da confrontar con a oa tnion ammiibi a trazion amm /n, mdiant a (4) o a (5), com gu: { r } max, (.9) Conidrando tnioni principai non ordinat, ma tai ch iano a maima a minima o vicvra, n piano -, gi tati di tnion imit pri da (6) ono rapprntati da un quadrato (vdi fig.). Quta rapprntazion può r utiizzata anch in cao di tato di tnion biaia con 0. S tnioni ono ordinat ( > ) ara gnata in grigio na figura (pr a qua arbb < ) non dv r conidrata. S i punto rapprntativo do tato tniona agnt n matria i trova a intrno d diagramma, i componnt è in icurzza. No tato di tnion tangnzia puro, rapprntato daa ina tratto-punto in fig., i ha con max ( )/( + )/. Appicando i critrio di Navir (6) a quto cao i ottin ch i cdimnto i vrifica quando cui corripond max ( + )/. Dati primntai motrano ch qut vntuaità può r conidrata raitica pr i matriai fragii, mntr n cao di matriai duttii o nrvamnto i vrifica pr vaori da tnion tangnzia moo minori. N piano n - n ciacuno tato di tnion è rapprntato mdiant i crchi di Mohr di cui quo trno è rativo a piano in cui agicono tnioni principai più vat in moduo. In fig., ad mpio, ono riportati in ina trattggiata, i crchi imit a trazion comprion mpic con ina puntggiata i cao di. In particoar, pr i critrio di Navir, gi tati di tnion imit ono rapprntati da crchi di Mohr tangnti a rtt para a a avnti quazion motrat in fig.. Su piano di Mohr è poibi dfinir una curva imit data da inviuppo di tutti i crchi di Mohr ch rapprntano tati di tnion imit. Pr i critrio di Navir ta curva imit è a circonfrnza tangnt a rtt rapprntata con ina puntggiata in figura. Quto critrio: può r utiizzato pr matriai con comportamnto non immtrico, tipicamnt fragii, pr prvdr ia o nrvamnto ia a rottura, è po in contrato con i dati primntai, non prvdndo a rottura ni cai in cui tnioni ono di gno dicord a tnion di comprion è a maggior in vaor aouto, conidra oo tnioni maim in vaor aouto, tracurando fftto di qu intrmdia minima, indica ch a tnion tangnzia di nrvamnto è pari a, faic n cao di comprion idrotatica pari a prvdndo i cdimnto. t t n t c O n c Fig.. - Critrio di Navir n piano - (trattggiato pr t c).. Fig.. Rapprntazion d critrio di Navir n piano di Mohr.

3 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Critrio da maima tnion tangnzia o Trca Quto critrio affrma ch i cdimnto (pr nrvamnto) i vrifica quando a maima tnion tangnzia n punto conidrato divin ugua aa maima tnion tangnzia n provino di trazion a momnto do nrvamnto. Si uppon ch a crii d matria ia dovuta aa oa tnion tangnzia. E una toria faci da utiizzar d è po in accordo con i riuati primntai; a è uata pr prdir o nrvamnto d è quindi vaida pr i matriai duttii. In un provino oggtto a trazion mpic a tnion tangnzia maima ao nrvamnto è data da: ( 0) (.0) In campo atico, pr uno tato di tnion gnrico, tnioni di tagio maim agnti ni piani contnnti dirzioni principai ono dat da ( ),,, ; ij i j i j i j (.) Lo nrvamnto i vrifica quando max, cioè, conidrando tnioni principai non ordinat, { }, (.) max i, j i j na qua ignifica vaor aouto, da cui: { } i j,,; i j max i, j i j La tnion quivant è da confrontar con amm /n è data da { }, (.) max,, (.4) N cao biaia con 0 tnioni agnti n piano - a (4) divnta { } max,, (.5) In quta prion i nota ch a maima tnion tangnzia n cao piano è qua agnt n piano - oo tnioni ono di gno oppoto. N cao in cui hanno o to gno, a maima tnion tangnzia è qua agnt n piano - > n piano -, >. La fig. motra una rapprntazion grafica dgi tati imit dcritti da (5) n piano -. No pazio, con tnioni non ordinat, () ono quazioni di piani di un agono avnt pr a di immtria a trittric dgi ai. N piano n - n (fig.4) gi tati di tnion imit ono rapprntati da crchi tangnti a rtt para a a avnti quazion: ± /. L curva imit è rapprntata da t rtt di quazion ± /. Quto critrio: conidra oo tnioni maima minima, tracurando fftto di qua intrmdia, va pr matriai con comportamnto immtrico, tipicamnt duttii, indica ch a tnion tangnzia di nrvamnto è pari aa mtà d vaor di nrvamnto a trazion 0.5, faic n cao di trazion tripa pari a prvdndo a ritnza, non è utiizzabi pr prvdr a rottura poiché, in campo patico, i matria ha un comportamnto divro in ba a tipo di oitazion (tipicamnt i ha r r non r 0.5 r com prvdrbb i critrio). n n / Fig.. - Critrio di Trca.. Fig..4 Rapprntazion d critrio di Trca u piano di Mohr.

4 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Critrio d nrgia di ditorion o di Von Mi-Hncky Quto critrio affrma ch o nrvamnto d matria i vrifica quando nrgia atica di dformazion immagazzinata raggiung un vaor critico; ta vaor può r dtrminato con a prova di trazion d è pari a nrgia di dformazion rativa aa tnion monoaia di nrvamnto. I critrio di Von Mi, ndo baata u grandzz dfinit in campo atico, può r impigato oo pr individuar combinazioni di tnion ch provocano o nrvamnto, combinazioni ch rapprntano i imit uprior d campo atico to. Eo è mno mpic da utiizzar riptto aa toria da maima tnion tangnzia, ma pr i matriai duttii è qua ch dà i riuati più adrnti a ituazioni rai. I critrio di Von Mi prnd origin da orvazion ch i matriai duttii oggtti ad uno tato di tnion idrotatico (tnioni principai di comprion di ugua vaor), pr i quai o tato tniona provoca ocamnt una variazion di voum, ma non di forma, hanno una ritnza ao nrvamnto uprior riptto a vaor ottnuto da mpici prov di trazion. Pr ottnr i critrio di Von Mi i dtrmina i avoro di ditorion U d com diffrnza tra i avoro tota U quo ch provoca una variazion di voum U v i confronta con quo rativo a cao di trazion mpic. Vautazion d avoro di ditorion La vautazion d avoro di ditorion i ffttua ni gunti pai: i vauta i avoro di dformazion tota U, i caoa a tnion mdia m agnt i vauta i avoro da a compiuto U v, i avoro di ditorion i vauta com diffrnza U d U U v. I avoro pr unità di voum compiuto da tnioni principai è dato da: U ε otitundo ε mdiant a gg di Hook, nrgia tota di dformazion è: i i i i,, ; (.6) U U + U + U ( ) E + + ν + +. (.7) La oitazion agnt u cubtto unitario in ciacuna dirzion principa può r conidrata com a omma di una tnion mdia, dfinita com + + m (.8) da tnion i (i,,), dtta tnion ridotta, data daa diffrnza tra a tnion ffttivamnt agnt a tnion mdia ta, cioè i i m. È vidnt ch a m provoca oo una variazion di voum d mnto mntr i producono a ditorion di forma d cubtto. L nrgia di dformazion dovuta aa oa variazion di voum i ottin otitundo a poto d tr tnioni principai a componnt mdia (8) na (7): U v m 6 m m ovvro: U v ( ν ) ( ν ) ( ) E ν + + E 6E ν ( + + ) 6E L nrgia di ditorion i può ottnr gundo a diffrnza tra U U v (.9) (.0) + ν Ud U Uv + + ( + + ) E ; (.) i noti ch nrgia di ditorion è zro. Lavoro di ditorion n cao di trazion mpic N cao da prova di trazion, ao nrvamnto i ha, 0, da cui nrgia di ditorion riua: Dtrminazion d critrio Eguagiando q.() () i ottin U d + ν (.) E.4

5 ( ) G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin (.) daa qua i driva a condizion imit ao nrvamnto: ( ) (.4) Tnioni quivanti La razion (4) prmtt di dfinir a tnion quivant (dtta di Von Mi) pr o tato di tnion triaia da confrontar con qua ammiibi: + + ( + + ) ( ) ( ) ( ) + + (.5) Du tati tnionai dfiniti da divri vaori d componnti d tnor dgi forzi, ma avnti o to vaor da data daa (5) ono quivanti ai fini d nrgia di dformazion ( quindi do nrvamnto). La (5) può r ricritta pr un itma di ai non principa fornic: ( ) ( ) (.6) x y z x y y z z y yz zx Pr tato tniona piano con 0 a (5) i traforma in a (6) a ua voa divnta + (.7) + + (.8) x y x y L prioni (5-8) poono r utiizzat mdiant razioni (4) (5) pr fini di vrifica o progtto tnndo conto ch a ch può r inrita è oo qua di nrvamnto. Sotitundo n (5-8) a poto di i ottngono ituazioni imit pr i vari cai di tato tniona. N cao di tato di tnion puramnt tangnzia con, utiizzando a (7), ao nrvamnto i ottin: (.9) I La (9) può r ottnuta utiizzando anch a (8) ch in quto cao i riduc a. confronto con anaoga razion ottnuta con a toria da maima tnion tangnzia motra ch i critrio d nrgia di ditorion indica una ritnza ao nrvamnto a tagio apprzzabimnt più aa (d 5.4%). No pazio - - q. (4) rapprnta un ciindro avnt pr a a trittric dgi ai di rifrimnto. N piano - (con 0) a ua traccia è un i di q.(7) (vdi fig.5). Quto critrio: va pr matriai con comportamnto immtrico, tipicamnt duttii, conidra tutt tnioni principai (o tutt tnioni), indica ch a tnion tangnzia ch provoca o nrvamnto è 0.577, faic n cao di trazion tripa prvdndo a ritnza, non è utiizzabi pr prvdr a rottura poiché baato u grandzz vaid in campo atico / Fig..5 Critri di Von Mi Trca..5

6 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Critrio da tnion ottadrica Quto critrio affrma ch o nrvamnto ni matriai duttii avvin quando a tnion ottadrica raggiung i vaor critico. L tnioni quivanti ottnut con quto critrio coincidono con qu ottnut co critrio di Von Mi (5-8). Com vito n primo capitoo, i 4 piani ottadrici (fig.6) ono carattrizzati da fatto ch i vrori d normai n formano con gi ai principai angoi uguai. In particoar nominati i angoi α, β γ, i ha: α β γ co (.0,) Utiizzando quazioni ch conntono di ottnr tnioni pr agnata giacitura i ottngono tnioni normai tangnziai agnti ui piani ottadrici (.67) (.68), qui ricritt: + + h h ( ) ( ) ( ) + + (.,) N cao di tato di comprion idrotatica, pr i qua non i vrifica nrvamnto n matria, tnioni principai coincidono con a h mntr a h riua nua. Quto fa ritnr ch qut uima ia a caua do nrvamnto. In particoar in un provino oggtto ad uno tato di tnion monoaia tnioni ottadrich ao nrvamnto (fig.7) divntano: h h h (.4,5) N cao muiaia o nrvamnto i vrifica quando a tnion ottadrica () raggiung i vaor critico: ( ) ( ) ( ) + + (.6) a tnion quivant, ch coincid con qua di Von Mi (5), può r pra com ( ) ( ) ( ) + + (.7) n h, h h h 54.7 n α n comprion n trazion p n torion Fig..6 - Uno di 4 piani ottadrici. Fig..7 Tnioni ottadrich ao nrvamnto. Fig..8 La curva imit di Mohr crchi imit pr trazion tripa, trazion, torion comprion..6

7 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Critrio di Mohr Quto critrio ipotizza ch a crii d matria i vrifichi n piano in cui i raizza una combinazion critica di tnioni tangnziai normai. Tai combinazioni vngono idntificat u piano di Mohr n - n imponndo pr ogni n una n ch provochi a rottura tracciando i corripondnt crchio Mohr; a curva imit di Mohr, pcifica pr i matria anaizzato, è inviuppo di crchi ottnuti (fig.8). Ovviamnt gi tati tnionai i cui crchi di Mohr maggiori ono tangnti aa curva imit ono tati tnionai imit. I punti di tangnza di crchi imit con a curva di Mohr rapprntano o tato tniona agnt n piano in cui avvin a rottura. Sfruttando proprità di crchi di Mohr è poibi dtrminar a dirzion di tai piani (fig.9). Pr tracciar curv di Mohr arbb ncario ffttuar amno prov di trazion, comprion, torion, più una prova in tato tripo di oitazion carattrizzato dao tato tniona p. Nonotant a n, φ, n Fig..9 Vrifica di ritnza utiizzando a curva imit di Mohr. prnza di quah punto rativo a tati triaiai, curv di Mohr tracurano fftto da tnion intrmdia. L curv di Mohr hanno gunti carattritich: ono immtrich riptto a a, prché a rottura non dipnd da gno d, daa part d ngativ tndono a divntar para a a, prché pr comprion idrotatica non i ha rottura, daa part d poitiv curv intrcano a n punto p, ch, pr i matriai fragii, tnd a coincidr con a tnion di rottura a trazion rt, in quto punto a tangnt aa curva dv r vrtica prché i cdimnto a trazion avvin pr ditacco. S a curva di Mohr pr i matria conidrato è diponibi, quto critrio è, probabimnt, i più fficac. La vrifica dv r ffttuata confrontando i maggior di crchi di Mohr rapprntativi do tato di tnion agnt con i crchio imit rativo ao to tato (fig.9). Qut uimo i ottin ampificando di un fattor n crcnt tutt tnioni principai n, n, n fino a quando i crchio ottnuto non riua tangnt aa curva imit: i fattor n pr cui i ottin i crchio imit è i cofficint di icurzza. I punto di tangnza di coordinat, (fig.9) dtrmina a giacitura d piano in cui i vrifica a crii d matria; a norma a piano forma angoo φ / con a dirzion. Poiché pr n0 i crchio di Mohr dgnra in un punto coincidnt con origin, tracciando a congiungnt tra origin i punto imit, intrzion con i crchio do tato tniona agnt prmtt di dtrminar graficamnt i punto di coordinat /n, /n com in fig.9. n n n i φ α n Critrio di Couomb-Mohr La curva imit di Mohr può r approimata utiizzando oo i crchi di Mohr imit a trazion comprion rtt tangnti ai uddtti crchi (immtrich riptto a a n ) com motrato in fig.0. Tai rtt u piano di Mohr hanno quazion + µ i (.8) na qua i è intrzion con a n µtanα è i cofficint angoar. La rtta di Couomb è tangnt ai crchi imit in punti a cui congiungnt con i cntro d crchio (i raggio) forma un angoo pari a φπ/ α ha pndnza pari ad απ/ φ. Suit a gunt razion: µ tan π φ tan φ (a) (b) (c) Fig..0 Toria di Couomb Mohr: a) curva imit, b) a rtta tangnt ai crchi imit di trazion comprion rativi paramtri, c) a pzzata imit n piano - a confronto con quo da maima tnion norma..7 (.9) S non i ordinano in no dcrcnt tnioni principai, in ba a conidrazioni gomtrich u piano di

8 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Mohr, i critrio può r pro da gunti quazioni (quivanti a 6 pr a prnza d vaor aouto): + m( + ) + m ( + ) m( ) + + (.40a-c) n quai cotanti (ch è a coordinata n d punto di tangnza d crchio imit d cao di tato di tnion puramnt tangnzia aa rtta imit fig.0) m poono r pr in funzion di diamtri di crchi imit a trazion comprion, coincidnti con ripttivamnt, mdiant gunti razioni m + L 6 quazioni (40) rapprntano 6 piani ch no pazio formano un vrtic n punto /m. N cao piano, conidrando 0 non ordinando, (40) aumono a gunt forma: ( ) (.4,4) + m + + m + m (.4a-c) Qut prioni poono r utiizzat anch n cao triaia ono a maima a minima tnion agnt o vicvra. Pr m0 ( ) i critrio di Couomb-Mohr è quivant a quo di Trca. N primo trzo quadrant dov hanno o to gno a toria di Mohr qua di Navir coincidono. La condizion imit può r pra mpicmnt com { } { } max, min, (.44a,b) N condo quarto quadrant dov tnioni hanno gno oppoto, du tori diffricono. In particoar combinazioni imit ono pr daa gunt razion inar (in forma gmntaria): { } { } max, min, + (.45) Ordinando tnioni principai in modo ch > >, pr cui max{, } min{, }, introducndo i rapporto r tra tnioni imit a trazion comprion (7), cioè ponndo n (44-45) /r ponndo infin, è poibi ottnr a tnion quivant da confrontar con qua ammiibi a trazion am /n: { } max, r, + r (.46) La ina avnt pndnza /, ch rapprnta o tato di tnion puramnt tangnzia, intrca i contorno d rombo n punto di coordinat <. L anaoga intrzion con a ina rapprntativa da toria di Navir fornic, invc,, ch è una carattritica di moi matriai fragii. In quti matriai, ni cai in cui tnioni ono dicordi a tnion di trazion è a maima in vaor i, aouto o è comunqu vicina a qua di comprion (n cao di tato di tnion puramnt tangnzia ono uguai), a rottura avvin in piani normai ad a. Pr oitazioni di quto tipo i critrio di Couomb-Mohr riua ccivamnt conrvativo vin modificato opportunamnt. Critrio di Couomb-Mohr modificato I critrio di Couomb-Mohr modificato è rapprntato in fig. a confronto con quo origina. I vaor i rapprntato in figura è i vaor di comprion pr i qua a rottura a trazion prva ancora u qua pr corrimnto dovrbb r dtrminato primntamnt; tuttavia, oprando in modo conrvativo i aum i a pzzata imit utiizzata è qua rapprntata con ina pa in fig.. In quto cao, n primo trzo quadrant vagono ancora (44), n condo quarto quadrant, a tnion poitiva è maggior in moduo di qua ngativa, a condizion imit è ancora pra da (44), vicvra ( >0 <0 > oppur <0 >0 > ) a condizion imit è rapprntata da: + max, + min, (.47) Oprando com n cao prcdnt, ricordando a dfinizion (7) tnndo conto d (44) da (47), prion d tnion quivant è data da: { ( ) } max, r, + r + r (.49), i Fig.. I critrio di Couomb Mohr modificato..8

9 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin Confronto riauntivo tra i critri di ritnza Un confronto tra i critri di Navir, Trca, Von Mi, da tnion ottadrica di Mohr modificato, può r ffttuato orvando a taba. In tab. ono riportat, pr ciacun critrio, a grandzza mccanica ch porta aa crii i matria, drivant da mccanimo di rottura prvito da critrio, a forma aunta daa grandzza ta n cao monoaia, daa qua è poibi quantificar i vaor critico. Critrio Grandzza critica Cao gnra triaia o biaia Navir max[, r ] Trca U d Grandzza critica Cao monoaia,, max max,, max + ν + ν E U d E Von Mi ( ) + + h Ottadrica h ( ) ( ) ( ) { r r r } Mohr max,, ( ) modificato + +,, Tab.. Confronto tra i critri di ritnza: grandzz critich ni cai di tato di tnion puriaia monoaia. I 5 critri i baano ripttivamnt u ipoti ch n matria i vrifichi i cdimnto quando i vaor critico vin raggiunto da:. a maima tnion di trazion o a minima tnion di comprion,. a maima tnion tangnzia,. a ditorion di forma provocata da tnioni, 4. a tnion tangnzia agnt ui piani ottadrici, 5. a maima tnion di trazion o a minima tnion di comprion o una combinazion d n cao in cui a minima tnion di comprion upri in moduo a maima di trazion. L grandzz critich pr i 5 critri ono ripttivamnt:. a tnion ch giung pr prima a vaor di crii tra a tnion principa maima di trazion a tnion principa minima di comprion,. a maima tra tnioni tangnziai,. nrgia di dformazion, 4. a tnion tangnzia agnt ui piani ottadrici, 5. a tnion ch giung pr prima a vaor di crii tra a tnion principa maima di trazion, a tnion principa minima di comprion una combinazion d tnioni, n cao in cui a minima tnion di comprion upri in moduo a maima di trazion. I vaori critici d 5 grandzz poono r ottnuti introducndo i vaor di o r d matria a poto di n prioni d grandzz critich n cao monoaia. In ina torica ciacun critrio potrbb r appicato confrontando dtti vaori critici con i ripttivo vaor caoato n cao gnrico triaia o biaia. In gnra è più comodo confrontar a mpic tnion critica a trazion o r con a tnion quivant drivata da critrio. Con rifrimnto aa tab., prion da tnion quivant può r ottnuta con a procdura già utiizzata ni prcdnti paragrafi: i pon n prioni d grandzz critich n cao monoaia, i uguagia prion ottnuta aa grandzza rativa a cao gnrico, i mpificano i fattori comuni. L tnioni quivanti pr i cao triaia rativ ai vari critri ono riaunt in taba. E bn notar ch quando i matria raggiung o nrvamnto durant a prova di trazion, a tnion tangnzia maima è max /: quto potrbb indurr a ritnr ch ogni quavoa a tnion tangnzia raggiung dtto vaor i abbia o nrvamnto. Quto ragionamnto è rrato d quiva ad affrmar ch i mccanimo di nrvamnto di matriai coincid mpr con quo u cui i baa i critrio di Trca. S i acctta i critrio da tnion ottadrica, vicvra, i ipotizza ch a crii d matria avvnga a caua di qut uima, i cui vaor critico è Ovviamnt quando i vaor da tnion ottadrica h raggiung quto vaor durant a prova di trazion, a maima tnion tangnzia raggiung i vaor 0.5, ma.9

10 G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin i può orvar ch durant una prova di torion con max, quando h raggiung i vaor critico, a tnion tangnzia maima divnta max Anch n cao in cui i auma com mccanimo di nrvamnto i raggiungimnto d vaor critico d nrgia di ditorion i ottin o to riuato. I critri di Navir Mohr modificato portano aa concuion ch i vaor numrico da tnion puramnt tangnzia ch porta aa rottura i matria è pari a vaor r. Quta ipoti è raitica pr i matriai fragii pr i quai a caua di rottura riman a tnion norma. Supponndo vaido quto mccanimo di cdimnto, gundo una prova di torion, aa rottura i ha r d ndo max, n driva max r. I vaori di tnion puramnt tangnzia ch portano aa rottura condo i vari critri ono riportati in tab. motrati in fig.. In appndic ono riportat formu appicativ di critri di Von Mi, Trca Mohr modificato pr i principai cai di intr pratico. Critrio Tnion Equivant Navir max {, r } Va. critico Stato tang Trca max {,, } Von Mi Ottadrica ( + ) ( ) ( ) { } x y z x y y z z y yz zx Mohr max,, ( ) modificato r + r + r Tab.. Confronto tra i critri di ritnza: tnioni quivanti vaor da tnion tangnzia critica n cao di tato di tnion puramnt tangnzia (torion o tagio puro) O P P Fig.. Confronto tra i critri di ritnza u piano - n cao di matriai con proprità mccanich immtrich. Fig.. Empio di vrifica ffttuata in modo grafico utiizzando i critrio di Mohr modificato. Vrifica di ritnza ui diagrammi N cao di tato piano di tnion, o n cao in cui è poibi tracurar a tnion principa intrmdia, a vrifica di ritnza può r ffttuata in modo grafico utiizzando i diagrammi do tato di tnion imit di ciacun critrio (fig.,, 5, 0c, ). Gnramnt i ipotizza ch ntramb tnioni agnti n punto dipndano ao to modo dai carichi trni, riuando ntramb dirttamnt proporzionai ad i. In ta cao, con rifrimnto aa fig., rativa a cao d critrio di Mohr modificato, a procdura pr a dtrminazion d cofficint di icurzza può r riaunta ni gunti pai: ) rapprntazion d punto P rativo do tato tniona di progtto, cui coordinat ono tnioni provocat dai carichi di progtto; ) tracciamnto da rtta paant pr origin O dgi ai i punto P to, dfinita rtta di carico; ) dtrminazion d punto imit pr i matria P, da intrzion tra a rtta di carico i diagramma di punti imit d matria; 4) vautazion d cofficint di icurzza com rapporto tra unghzz di gmnti OP OP. I gmnto OP è dfinito rtta di carico in quanto rapprnta tutti i poibii tati tnionai d punto a variar di carichi trni a partir da vaor nuo (punto O), paando pr i vaor di progtto (punto P) fino a vaor ch provoca i cdimnto (punto P )..0

11 Appndic Taba riauntiva d formu appicativ di critri di ritnza G. Ptrucci Lzioni di Cotruzion di Macchin FORMULE APPLICATIVE DEI CRITERI DI RESISTENZA VON MISES TENSIONE OTTAEDRICA Ai Principai Triaia ( ) Ai Principai Biaia + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + Ai Cartiani Triaia Ai Cartiani Biaia ( ) ( ) x y z x y y z z y yz zx x y x y ( ) + ( ) + ( ) + ( + + ) ( ) x y y z z x yz zx x y y x Tangnzia puro Fion ( x) torion ( ) x Ai Principai Triaia TRESCA { } { } max max,, i j i, j Ai Principai Biaia max {,, } Ai Cartiani Biaia + + x y x y x y x y x y max +, + +, + Tangnzia puro Fion ( x) torion ( ) x + 4 { ( ) } MOHR MODIFICATO max, r, + r + r r rt rc Eprion vaida pr > > da confrontar con amm rt/n rt >0: tnion di rottura a trazion rc<0: tnion di rottura rc a comprion. (r<0).

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