Capacità ele+rica. Condensatori

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Tito Pasquali
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1 Capacità ele+ica Condensatoi

2 Condensatoi Il sistema più semplice pe immagazzinae enegia elettostatica è caicae un condensatoe. Genealmente il condensatoe è costituito da due piani metallici sepaati da un isolante. La elazione che lega le gandezze coinvolte in un condensatoe è C à C / [1F C/] 1faad coulomb/ volt ovveo la caica e il potenziale sono popozionali, e la popozionalità è la capacità C del condensatoe. Nella seconda pate della figue si mosta come si caica un condensatoe. Il pocesso di caica temina uando i mosetti della batteia e i piani del condensatoe sono uguali Simbolo del condensatoe

3 Calcolo della capacità ele+ica Supponiamo di conoscee la caica addensata sulle facce di un condensatoe Calcoliamo il campo E tamite il teoema di Gauss Calcoliamo il potenziale utilizzando f i - E. ds Quindi si calcola C dalla C / + - C ε A/d Pe il teoema di Gauss Pe il calcolo del potenziale La capacità dipende solo da fattoi geometici: Dalla costante dielettica ε 8,85 pf/m Dalla supeficie A Dalla distanza fa i piani d!! ε E da εea f + i E Eds d i f!! E ds ds Ed

ai pi di condensatoi: cilindico La figua mosta la sezione di un condensatoe cilindico la cui lunghezza sia L>>b tale da tascuae gli effetti ai bodi Pe il

4 ai pi di condensatoi: cilindico La figua mosta la sezione di un condensatoe cilindico la cui lunghezza sia L>>b tale da tascuae gli effetti ai bodi Pe il Teoema di Gauss ε EA ε E(πL) ovveo E πε L Che sostituita nell espessione che da il potenziale da: + a d b Eds ln πε L b πε L a C L πε ln( b / a ) ln b/a 1 b/a

5 ai pi di condensatoi: sfeico Se volessimo calcolae la capacità di un condensatoe sfeico (una sfea intena ad un guscio) la supeficie di Gauss saebbe una sfea uindi ε EA ε E (4π ) E 1 4πε Campo identico a uello geneato da una caica puntifome a d 1 1 Eds _ b 4πε 4πε a b 4 πε + b a ab C 4πε ab b a Pe calcolae la C di una sfea isolata si faccia tendee b à e R si sostituisce ad a C 4πε R

6 Capacità euivalen A seconda di come più condensatoi vengono collegati insieme si può ottenee una capacità euivalente. Più condensatoi sono collegati in paallelo uando ciascun condensatoe è soggetto alla stessa diffeenza di potenziale. La caica totale è la somma delle caiche di ciascun condensatoe n Ceu C 1 i Più condensatoi sono collegati in seie uando condividono la stessa caica. Il potenziale applicato si suddivide a seconda del valoe della capacità di ciascun condensatoe. La capacità euivalente è dato da: 1 n 1 1 Ceu C i

7 Enegia di un condensatoe Pe caicae condensatoe piano dovemo fonie delle caiche ai due piatti. Man mano che i piatti si caicano le nuove caiche dovanno vincee sempe più foza epulsiva dovuta alla pesenza delle caiche pecedenti. + _ Il Lavoo necessaio a vincee la foza epulsiva è fonito dalla enegia chimica di una batteia e si immagazzineà nel condensatoe sotto foma di enegia potenziale elettica U. In un ceto istante sia la caica accumulata dal condensatoe ed il suo potenziale saà /C. L incemento di una successiva uantità di caica d ichiedeà un lavoo elementae dw d (1/C) d 1 1 w dw ' d' C C C Questo lavoo viene immagazzinato come enegia potenziale U ½ C

8 Densità di enegia Supponendo un condensatoe piano senza effetti ai bodi, avemo un campo elettico unifome in tutti i punti fa inteni al condensatoe. Potemo alloa definie una densità di enegia u come il appoto fa l enegia potenziale U ed il volume fa le amatue del condensatoe. u u U Ad C Ad 1 ε d ( ε A d ) 1 ε E Ad In ualunue punto dello spazio dove ci sia un campo elettico E la sua densità di enegia è data da u ½ ε E

9 Diele+ici (1) A seconda di uale isolante è inteposto fa le amatue la capacità di un condensatoe cambia valoe. La pesenza di un dielettico compota l esistenza di una tensione massima soppotabile. Quando si supea uel valoe, la tensione disuptiva, si avà una scaica elettica che buca il dielettico. Sappiamo che C ε A/d. Faaday dimostò che c è una sensibile diffeenza fa la capacità di un condensatoe in vuoto e dello stesso condensatoe con un dielettico C ε C In pesenza di un dielettico la costante ε va sostituita con il podotto ε ε. La pesenza di un dielettico aumenta la uantità di caica di un fattoe ε Se si ha un condensatoe senza dielettico e successivamente si inseisce un dielettico ε alloa il potenziale si iduce di ε

10 Diele+ici () Se in una egione c è un dielettico di costante dielettica ε, alloa dove compae ε deve diventae ε ε E E 1 (campo di una caica puntifome) 4πε ε σ ε ε (campo in un condensatoe piano) Si vede che pe caiche fisse la pesenza di un dielettico indebolisce il campo elettico Se la tensione applicata ai capi del condensatoe imane la stessa, il dielettico ha l effetto di aumentae la caica delle piaste. Un condensatoe caico collegato ad un elettometo mosta che il dielettico fa diminuie il potenziale ta i piatti

Effe@ molecolai nei diele+ici Dielettici con dipolo pemanente: in uesto caso le molecole polai tendono ad allineasi con il campo, ma l agitazione temica inibisce uesto pocesso ed il campo che si

11 molecolai nei diele+ici Dielettici con dipolo pemanente: in uesto caso le molecole polai tendono ad allineasi con il campo, ma l agitazione temica inibisce uesto pocesso ed il campo che si oppone è minoe del campo del condensatoe. Se si aumenta il campo l allineamento aumenta. Se il dielettico è inizialmente neuto la pesenza del campo sposta il baicento delle caiche positive da uello delle caiche negative. Si cea un campo elettico opposto a uello delle piaste è la somma vettoiale è il campo isultante. Entambi i dielettici consideati iducono il campo e aumentano la capacità poichè la caica imane costante

12 Teoema di gauss nei diele+ici Se il condensatoe non ha dielettico il teoema di Gauss ci dice che il campo elettico è dato da:!! ε E da ε E A E /ε A Inseendo il dielettico ed utilizzando la stessa supeficie Gaussiana avemo che la caica acchiusa è data da e uindi: ε E da εe A!! ' E - /ε A Il dielettico agisce inibendo il campo è uindi ' E ε A E E ε ε ε A ' ε

13 ε Teoema di Gauss (geneale) Il teoema di Gauss si può scivee in modo più geneale secondo la fomula!! ε E da!! D da (*) In uesto modo il flusso è il flusso di un campo coetto da ε e viene chiamato spostamento dielettico D così che il teoema di Gauss si sciveà La caica che compae nella fomula è solo la caica libea pechè della caica indotta si è tenuto conto nell uso della costante dielettica elativa L euazione (*) diffeisce dall euazione classica solo pe la pesenza della costante dielettica elativa ε

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