1. Teorema di reciprocità

Transcript

1 1. Teorema di reciprocità Conideriamo un mezzo in cui ono preenti le orgenti (J 1, M 1 ) che producono un campo (E 1, H 1 ) e le orgenti (J 2, M 2 ) che producono un campo (E 2, H 2 ). Determineremo una relazione di tipo integrale tra i due campi. Il dominio di interee è lo teo, l unica coa che differenzia i campi ono le orgenti. Le equazioni di Maxwell in un mezzo lineare, omogeneo nel tempo, non diperivo nello pazio e iotropo (per emplicità) fornicono: E = jωµ H M H =+ jωε E+ J (1) Per formulare il teorema di reciprocità i conidera l epreione [ E H E H ] e i calcola la divergenza: [ E H E H ] ( E H ) ( E H ) = = = H E E H H E + E H (2) otituendo le equazioni di Maxwell (1) nella (2) i ottiene: [ E H E H ] = H ( jωµ H M ) E ( jωε E + J ) H ( jωµ H M ) + E ( jωε E + J ) (3) Poiché in un mezzo iotropo ε e µ ono calari H µ H = H µ H E ε E = E ε E e la (3) diventa: [ ] E H E H = H M E J + H M + E J (4) i oervi che la (4) può eere ricavata in modo analogo anche nell ipotei di mezzi aniotropi e reciproci, e cioè tali che: ε = ε T µ = µ T In queto cao i ha infatti

2 H µ H = H µ H E ε E = E ε E che conentono di emplificare la (3) per ottenere in modo analogo la (4). A queto punto i integra la (4) u un volume, limitato da una uperficie con normale ucente (Fig. 1) Fig. 1 [ E1 H2 E2 H1] d = ( H2 M1 E1 J2 + H1 M2 + E2 J1 ) d (5) Applicando il teorema della divergenza i ha: ( E1 H 2 E2 H1) in d = ( H 2 M1 E1 J2 + H1 M 2 + E2 J1 ) d (6) La (6) fornice la forma più generale del teorema di reciprocità. L integrale di volume a econdo membro è eteo a tutto il volume, anche e in realtà lo poo coniderare eteo olamente alla parte di che contiene le orgenti. Il teorema di reciprocità cotituice uno trumento molto potente della teoria dell elettromagnetimo. Può eere utilizzato per dedurre altri teoremi, ovvero per calcolare i campi generati da certe orgenti in una certa regione, partendo da altri campi già noti, prodottella tea regione da orgenti divere (i veda ad eempio G. Conciauro: Introduzione alle Onde Elettromagnetiche, Par. 4.5: immetria della matrice di ammettenza di una giunzione ). Nella (6) i può notare che, e l integrale di uperficie a primo membro è nullo, i ottiene la eguente epreione:

3 ( E1 J2 H1 M2) d = ( E2 J1 H2 M1 ) d (7) Ciacuno degli integrali in (7) prende il nome di integrale di reazione. Il teorema di reciprocità nella formulazione (7) afferma che le reazioni dei campi ulle orgenti ono uguali. A queto punto ha eno valutare l integrale a primo membro della (6) per verificare e, e otto quali condizioni, è nullo. L integrale a primo membro del teorema di reciprocità è nullo a) e la uperficie è un conduttore elettrico perfetto Infatti: ( in E1 ) ( i E ) E1 H2 in = H2 = 0 E H i = H = n n 2 1 perchè la componente tangente del campo elettrico è nulla ulla uperficie di un C.E.P. b) e la uperficie è un conduttore magnetico perfetto ( in H2 ) ( i H ) E1 H2 in = E1 = 0 E H i = E = n n 1 2 perchè la componente tangente del campo magnetico è nulla ulla uperficie di un C.M.P. c) e l integrale è eteo a tutto lo pazio, ovvero la uperficie è una uperficie all infinito (per emplicità i uppone una fera di raggio infinito) La funzione integranda a primo membro è: E H i E H i (8) 1 2 r 2 1 r u una fera all infinito vale la condizione di ommerfeld: 1 E = ζ H ir + o r (9)

4 1 otituendo la (9) nella (8) e ricordando che i campi ono O, i ha: r E H i E H i = E H i E H i = 1 2 r 2 1 r 1 2 r 2 1 r = E1 E2 + o E2 E1+ o = o 2 ζ r ζ r r 1 cioè l integrando a primo membro della (6) va a zero più rapidamente di 2 r e dunque l integrale è nullo perché la uperficie di integrazione (la uperficie della 2 fera all infinito) va all infinito come r : r 1 o = r 2 lim 0 r 2 d) e nel volume non ci ono orgenti e) e la uperficie racchiude tutte le orgenti i uppone di avere delle orgenti al finito e che quete iano racchiue entro un volume all interno del volume delimitato dalla uperficie chiua (fig. 2) ' ' Fig. 2 In c) è tato dimotrato che ( ) = 0, quindi ( ) = ( ) = 0 ma, poiché l integrale di volume dà contributo olamente nella zona dove ci ono le orgenti e le orgenti ono preenti olo all interno di, i ha:

5 . 0 = ( ) = ( ) ' In concluione tutte le orgenti. ( ) = ( ) = ( ) = 0, ovvero ( ) = 0 e contiene ' In altre parole, e i deforma la uperficie enza incontrare orgenti (a partire da una uperficie all infinito), l integrale eteo ad vale empre zero. Queto avviene perché la funzione integranda nella zona in cuon ci ono orgenti è una funzione olenoidale. f) e la uperficie è una uperficie di impedenza u vale una condizione di impedenza del tipo E E = Zin H in H = Z E H i E H i = E H i E H i = 1 2 n 2 1 n 1 2 n 2 1 n 1 1 = E1 E2 E2 E1 = 0 Z Z

6 1.1 Applicazione del teorema di reciprocità i conideri un conduttore elettrico perfetto di uperficie. e ulla uperficie i mettono delle correnti uperficiali impree J, il campo generato da quete correnti è identicamente nullo. C.E.P J Fig. 3 Per la dimotrazione di quanto detto opra i utilizza il teorema di reciprocità. Il volume è cotituito da tutto lo pazio ad eccezione del volume occupato dal C.E.P. La uperficie che racchiude il volume è la uperficie all infinito con normale ucente più la uperficie del C.E.P. con normale oppota ad. ia il campo 1 quello generato delle correnti uperficiali J e il campo 2 quello di un dipolo elementare arbitrario ( r 0 e i D qualunque): J = J J I z r r i 1 2 = δ ( 0) D L integrale di uperficie a primo membro del teorema di reciprocità (6) è nullo (è nullo ulla uperficie all infinito ed è nullo ulla uperficie del C.E.P.). i ha dunque: ( ) E J E J d = Ma E2 J1 = 0, infatti il campo del dipolo ulla uperficie del C.E.P. è ad eo normale, mentre J1 = J è tangente alla uperficie del C.E.P. Rimane pertanto E 0 1 J2 d = oia 0 In concluione E1 0 in tutto lo pazio. E ( ) 0 1 r i D = per qualunque valore di r 0 e di D i.

7 2. Teorema di equivalenza Il teorema di equivalenza conente di otituire, ai fini del calcolo del campo in una determinata regione, la ditribuzione di orgenti vera (J, M) con una ditribuzione uperficiale equivalente. i conideri una uperficie generica e regolare che racchiude, tipicamente ma non neceariamente, una ditribuzione generica di orgenti (J, M). ia (E, H) il campo generato da quete orgenti. (E, H) (, J M) Fig. 4 i vuole dimotrare che all eterno di (zona vero cui punta la normale ) i ottiene lo teo campo (E, H), e i eliminano le orgenti (J, M) all interno di e i otituicono con delle opportune correnti uperficiali J = i H = i H n M = i E = i E n n n tg tg (10) dove E ed H in (10) ono i campi di partenza ulla uperficie. Inoltre tali orgenti fornicono un campo nullo all interno di. (E, H) (0, 0) (, J M) ( J, M) Fig. 5

8 Dimotrazione i conideri la eguente funzione vettoriale (0, 0) all'interno di ( f, g) = ( E, H) all'eterno di (11) i deve dimotare che la (11) è il campo elettromagnetico prodotto dalle orgenti equivalenti. La dimotrazione egue due pai: 1) i dimotra che la (11) è un campo elettromagnetico; 2) i dimotra che queto campo elettromagnetico oddifa le condizioni del teorema di unicità ed è pertanto l unico campo elettromagnetico compatibile con le orgenti equivalenti. Una coppia di funzioni vettoriali è un campo elettromagnetico e oddifa le equazioni di Maxwell. All interno di la coppia (f, g)=(0, 0) oddifa le equazioni di Maxwell omogenee (in aenza di orgenti); all eterno di la coppia (f, g), per cotruzione, oddifa le equazioni di Maxwell, le eventuali condizioni al contorno e la condizione di ommerfeld. Rimane da verificare e (f, g) è un campo elettromagnetico anche ulla uperficie, cioè e oddifa le condizioni di raccordo u : in ( Het Hint ) = J i ( E E ) = M n et int (12) Poiché H int = 0 e E int = 0 per ipotei, le (12) ono oddifatte dalla definizione (10). In concluione la coppia (11) è effettivamente un campo elettromagnetico compatibile con le orgenti equivalenti (10). i deve ora dimotrare che queto campo elettromagnetico è anche l unico che le orgenti equivalenti producono. La dimotrazione è banale perché con le orgenti equivalenti i ha un problema eterno nel dominio della frequenza. Il campo in oggetto oddifa le equazioni di Maxwell e la condizione di irradiazione all infinito e quindi, per il teorema di unicità, è l unico campo che riolve il problema. 2.1 Applicazioni del teorema di equivalenza (a) Per il teorema di equivalenza, e i otituicono le orgenti vere (J, M) con una ditribuzione uperficiale equivalente (J, M ), all interno di il campo è nullo e all eterno è uguale al campo di partenza (E, H). e il campo all interno di è nullo, qualunque modifica del materiale dentro non modifica il campo: (0, 0) rimane la oluzione all interno di e il mezzo preente dentro la uperficie non modifica le condizioni di raccordo alla uperficie. Queto ignifica che qualunque coa faccia all interno di non perturba il campo all eterno.

9 Quello che viene alterato è invece, come i vedrà, il contributo al campo delle correnti uperficiali equivalenti impree (J, M ). i può penare, ad eempio, di mettere all interno di un C.E.P. Il campo al di fuori di non cambia e all interno rimane nullo. (E, H) (0, 0) C.E.P. ( J, M) Fig. 6 All eterno di dovrà eere pertanto, per il principio di ovrappoizione degli effetti: ( EH, ) + ( EH, ) = ( EH, ) + ( EH, ) ( vuoto) ( vuoto) ( C. EP..) ( C. E. P. ) J M J M D altra parte in 1.1 è tato dimotrato che il contributo delle J è nullo perché i tratta di correnti impree ulla uperficie di un C.E.P., e quindi la ola corrente magnetica M genera il campo all eterno purchè pota ulla uperficie di un C.E.P. (Fig. 7). In modo duale la ola corrente elettrica J dà contributo al campo all eterno e all interno di inerico un C.M.P. (E, H) C.E.P. M Fig. 7 Come detto, nella ituazione di Fig. 7, il campo all eterno di è rimato inalterato e il campo all interno è ancora nullo. Quindi attravero la uperficie del C.E.P. ono ancora dicontinui ia il campo elettrico ia quello magnetico tangenti (E tg, H tg ). Da ciò egue che ulla uperficie ci arà una corrente elettrica pari a H, indotta tg

10 ul conduttore dalla corrente magnetica M, e tale da garantire la corretta dicontinuità del campo magnetico all interfaccia. In otanza la corrente magnetica imprea M induce ulla uperficie del C.E.P. una corrente elettrica H tg che è uguale alla corrente elettrica equivalente imprea ed proprio quella necearia a produrre il campo corretto all eterno. Per quanto detto i hanno a dipoizione le eguenti celte: i mettono u ia la corrente elettrica che quella magnetica, oppure i mette la ola corrente magnetica e la i fa irradiare in preenza di un C.E.P., con la coneguenza che il C.E.P. fornice la corrente elettrica indotta necearia a garantire la dicontinuità del campo magnetico. A queto punto è poibile dare una interpretazione alternativa alla dimotrazione 1.1: una corrente elettrica imprea u un C.E.P. induce una corrente elettrica uperficiale eattamente uguale ed oppota in modo tale che il campo totale irradiato ia nullo. 2.2 Applicazioni del teorema di equivalenza (b) i oervi che nella applicazione del teorema di equivalenza i devono eliminare olamente le orgenti pote all interno di. Le eventuali orgenti pote all eterno devono eere conervate e i vuole mantenere lo teo campo all eterno. A tal propoito i conideri l eempio in Fig. 8. J (E, H) C.E.P. Fig. 8 La ituazione di partenza conite di una corrente J che irradia in preenza di un C.E.P. i applica dunque a queta ituazione il teorema di equivalenza e, a tal fine, i ceglie una uperficie che coincide con la uperficie del C.E.P. Occorre fare attenzione alla direzione della normale ad che ditingue tra volume interno ed eterno ad. La corrente J è dunque ituata all eterno di. L applicazione del teorema di equivalenza porta ad eliminare le eventuali orgenti pote all interno di e otituirle con delle correnti uperficiali equivalenti J = i H n

11 M = in E = 0 (perché il campo tangente ulla uperficie del C.E.P. è nullo). In queto cao non ono preenti orgenti all interno di. La ituazione equivalente è dunque la eguente J (E, H) C.E.P. J Fig. 9 Ovviamente le correnti J impree ul C.E.P. producono campo nullo all eterno. Dato che le J non producono campo i può penare di eliminarle e la dicontinuità del campo magnetico tangenziale arà garantita da correnti indotte ul C.E.P. eattamente uguali alle correnti impree che ho eliminato 1. A queto punto, come detto in precedenza, è poibile modificare il materiale all interno di enza alterare il campo all eterno. Di coneguenza, è poibile otituire al C.E.P. il vuoto enza che il campo all eterno cambi e con il campo all interno che i mantiene nullo (Fig. 10). In quet ultimo cao le correnti elettriche J impree producono campo all eterno, e aranno quete correnti a garantire la corretta dicontinuità del campo magnetico alla uperficie. J (E, H) (0, 0) J Fig Le correnti ono indotte ul C.E.P per la preenza della corrente eterna J.

12 Poiché le correnti impree J nella ituazione motrata in Fig. 10 ono uguali alle correnti indotte nella ituazione motrata in Fig. 9, i può concludere che è poibile otituire un C.E.P. con le correnti elettriche uperficiali indotte u di eo. 2.3 Applicazioni del teorema di equivalenza (c) Tenendo preente la definizione di (J, M ) (10) è evidente che, per determinare le orgenti equivalenti è neceario conocere il campo tangente ulla uperficie e cioè occorre aver già riolto il problema elettromagnetico. Quindi i potrebbe penare che il teorema di equivalenza ia inutilizzabile in quanto per poterlo utilizzare è neceario conocere il campo vero ulla uperficie. In realtà il teorema di equivalenza viene uato in elettromagnetimo per riolvere una notevole varietà di problemi e ad eempio può eere uato nei eguenti cai: (a) i conoce il campo ulla uperficie ma non al di fuori di. Ad eempio perché è poibile miurare il campo u oppure approimarne il valore. E il cao della approimazione di Kirchoff per fori di grandi dimenioni ripetto alla lunghezza d onda praticati in uno chermo C.E.P. L approimazione di Kirchoff conite nel valutare il campo elettrico ul foro come e lo chermo metallico non ci foe. Infatti, e il foro è grande l interazione del campo incidente con gli pigoli del foro è limitata ad una zona vicina al foro e di dimenioni piccole o confrontabili con la lunghezza d onda (Fig. 11). λ Fig. 11 A queto punto i può penare di tudiare il cao di un campo incidente u uno chermo metallico infinito ul quale è praticato un foro di grandi dimenioni ripetto alla lunghezza d onda. i applica dunque l approimazione di Kirchoff.

13 Una volta nota l approimazione di Kirchoff per il campo vero ul foro è poibile applicare il teorema di equivalenza per riolvere il problema relativo al calcolo del campo trameo oltre il foro (Fig. 12). J E inc J, M M J Fig. 12 (a) (b) A queto punto i applica il teorema di equivalenza alla uperficie che i appoggia ullo chermo conduttore e i chiude all infinito (Fig. 12a). i poono ditinguere due regioni ulla uperficie : - la regione del foro, dove ia il campo elettrico che il campo magnetico ono diveri da zero, e i ha: J = in H M = in E dove E ed H ono i campi in corripondenza del foro ma calcolati come e lo chermo C.E.P non ci foe.

14 - la regione al di fuori del foro che è C.E.P. ed è quindi caratterizzata da campo elettrico tangente nullo, e i ha: J = in H M = in E = 0 dove H è il campo magnetico vero (incognito) tangente allo chermo. Poiché dall approimazione di Kirchoff i conoce olamente il campo in corripondenza del foro, la oluzione più ragionevole è quella di metallizzare il foro (par. 2.1) ed eliminare le correnti elettriche uperficiali impree J che ora generano campo nullo all eterno di. In concluione, per il calcolo del campo trameo oltre il foro, è poibile tudiare il problema elettromagnetico motrato in Fig. 12b oia con le ole correnti magnetiche equivalenti M preenti olo in corripondenza del foro e che irradiano in preenza di uno chermo C.E.P infinito. (b) Ovviamente e il foro è confrontabile con la lunghezza d onda l approimazione di Kirchoff non è più valida. In queto cao è comunque poibile uare il teorema di equivalenza utilizzando una trada differente. Come detto, il foro è completamente caratterizzato dalla conocenza del campo tangente vero ul foro. In queto cao non conoco queto campo e non lo poo approimare. Come primo pao i applica il teorema di equivalenza alla uperficie che poggia ullo chermo metallico, ia nella regione a initra, ia nella regione a detra del foro, e i chiude all infinito (Fig. 13a). Analogamente a quanto fatto nel cao (a) i può coniderare la ituazione equivalente motrata in Fig. 13b. La corrente magnetica equivalente M = in Etg in corripondenza del foro, irradia in preenza di un C.E.P infinito ia nella regione A che nella regione B. M è oppota nelle due regioni perché la normale alla uperficie è oppota. Per determinare il campo elettrico in corripondenza del foro, e quindi la corrente magnetica equivalente che conente di calcolare il campo in tutto lo pazio, i poono applicare le condizioni di continuità del campo magnetico 2 tangente ul foro: ( A) ( A) inc m H = H + G ( M ) d ( B) ( B) m H = G M d i H = i H (Magnetic Field Integral Equation) n ( A) ( B) n 2 La continuità del campo elettrico tangente ul foro è garantita per cotruzione.

15 ( A) G e m ( B) G ono le funzioni di Green per il campo magnetico ripettivamente nelle m regioni A e B. In pratica ee fornicono il campo magnetico generato da un dipolo elementare magnetico poizionato in corripondenza del foro. A B A B J J E inc E inc J, M J, M M M J J Fig. 13 (a) (b)