Simmetrie Cristallografiche A.A Marco Nardini Dipartimento di Scienze Biomolecolari e Biotecnologie Università di Milano

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1 A.A Marco Nardini Dipartimento di Scienze Biomolecolari e Biotecnologie Università di Milano

2 Reticolo Cristallino: insieme di punti detti nodi separati da intervalli a, b, e c (reticolo di ripetizione) reticoli lineari (1D), piani (2D) o spaziali (3D) - baricentro di una molecola/gruppo molecole = nodo reticolo

3 Reticolo Cristallino: Proprietà fondamentali - ripetizione regolare di un motivo (molecola/gruppo di molecole) c - natura periodica operazioni di simmetria a b - periodicità traslazionale (a, b, c = 3 direzioni non complanari) Se l origine è posta in un nodo, la posizione di qualunque altro nodo è: r = ua +vb +wc u, v, w interi a, b, c definiscono un parallelepipedo detto cella elementare (tale definizione non è univoca)

4 Reticolo Cristallino: cella elementare primitiva contiene 1 solo nodo reticolare cella elementare multipla o centrata contiene più di 1 nodo reticolare (u, v, w razionali) Il reticolo cristallino è costituito dalla ripetizione delle celle elementari Esempi di celle elementari primitive, centrate e multiple a b

5 Indici di Miller: 3 nodi definiscono un piano cristallografico (o reticolare) famiglia di piani paralleli a ciascun piano cristallografico separati da una distanza d Esempio in 1D: i piani cristallografici tagliano gli assi (per esempio a) in parti uguali con lunghezza pari ad a/1, a/2, a/3, a/4 ecc i numeri 1, 2, 3, 4, sono chiamati indici

6 Indici di Miller: Esempio in 2D: (210)

7 Indici di Miller: Esempio in 3D: Un insieme di piani reticolari è definito dagli indici di Miller (h, k, l) con i piani reticolari che tagliano gli assi a, b, e c nei punti (a/h), (b/k) e (c/l)

8 Indici di Miller: Gli indici di Miller (h, k, l) sono 3 numeri interi che definiscono la giacitura della famiglia di piani reticolari. Essi sono definiti come il numero di volte in cui un asse della cella elementare (a, b, c) è tagliato dai piani reticolari - più gli indici di Miller crescono più la spaziatura tra i piani diventa piccola. - se un insieme di piani è parallelo ad un asse, l indice di Miller corrispondente a tale asse è uguale a zero - se un insieme di piani è ortogonale ad un asse, gli indici di Miller corrispondenti agli altri assi sono uguali a zero

9 Indici di Miller: Simmetrie Cristallografiche

10 Simmetrie Cristalline: 10 elementi di simmetria rotazionali (eds) compatibili con la morfologia cristallina nel continuo: assi di rotazione assi di inversione Le combinazioni dei 10 elementi di simmetria base nel continuo danno luogo a 32 CLASSI CRISTALLINE (o POINT GROUPS) Simmetria rotazionale di ordine n: - asse che definisce una rotazione di (360 /n) - applicato n volte porta all identità

11 Simmetrie Cristalline: 2-fold rotation axis 3-fold rotation axis

12 Simmetrie Cristalline: Simmetrie Cristallografiche

13 Simmetrie Cristalline: Simmetria di inversione di ordine n: prodotto di una rotazione di (360 /n) attorno ad un asse e di una inversione rispetto ad un punto (centro di inversione) sull asse stesso Esempio: 2 rot. 180 attorno ad asse z centro di inversione nell origine x, y, z x, y, z x, y, z 2 equivale ad una riflessione rispetto ad un piano (m = mirror) ortogonale all asse di ordine 2 m porta sempre all inversione della coordinata rispetto a cui è ortogonale.

14 Simmetrie Cristalline: 5 e 5 non sono compatibili con un reticolo continuo nonostante possano essere presenti come elementi di simmetria in un oggetto macroscopico isolato (simmetria icosaedrica dei virus: 5, 3, 2)

15 Reticoli di Bravais: 1D filare monodimensionale non ci sono vincoli su come traslare il filare N 1 a N 2 N 3 N 4 2D 5 reticoli (o maglie elementari) compatibili con le 10 combinazioni di eds 1) Maglia obliqua (Primitiva, g.p. 2) compatibile con asse rot. ordine 2 (e 1) al piano del reticolo

16 Reticoli di Bravais: 2) Maglia rettangolare (Primitiva, g.p. m e 2mm) - piano di riflessione m al piano del reticolo - 2 piani di riflessione fra loro (mm) - asse rot. ordine 2 definito dai 2 piani di riflessione m 3) Maglia a rombo (Primitiva, g.p. m e 2mm) maglia primitiva maglia primitiva m la maglia è anche compatibile con un sistema rettangolare maglia centrata: area doppia, 2 nodi reticolari

17 Reticoli di Bravais: 4) Maglia quadrata (Primitiva, g.p. 4 e 4mm) 5) Maglia esagonale (Primitiva, g.p. 3, 6, 3m e 6mm) la maglia elementare è a forma di rombo con angoli di 60 e 120 si potrebbe anche usare una maglia rettangolare centrata

18 Sistemi Cristallini: Nei cristalli possono coesistere diversi assi di simmetria. Se si considerano solo combinazioni di simmetria senza componenti traslazionali si ottengono 32 gruppi puntiformi (o classi cristalline). I 32 point groups vengono divisi in 7 sistemi cristallini (sistema di riferimento che descrive la simmetria di un cristallo) caratterizzati da 6 parametri della cella elementare (a, b, c, α, β, γ) Famiglia trimetrica (3 distinti a, b, c) 1) Sistema triclino: a b c α β γ ) Sistema monoclino: a b c α = γ = 90 β 90 3) Sistema ortorombico: a b c α = β = γ = 90

19 Sistemi Cristallini: Famiglia dimetrica (2 distinti a=b, c) 4) Sistema trigonale: a = b c α = β = 90 γ = 120 a = b = c α = β = γ 90 (romboedrico) 5) Sistema tetragonale: a = b c α = β = γ = 90 6) Sistema esagonale: a = b c α = β = 90 γ = 120 Famiglia monometrica (a=b=c) 7) Sistema cubico: a = b = c α = β = γ = 90

20 Celle non primitive in 3D: A, B, C: centrata la faccia normale al vettore indicato dalla lettera F: tutte le facce centrate I: nodo reticolare al centro della cella elementare Triclino (P) Monoclino (P, C) Ortorombico (P, C, I, F) Tetragonale (P, I) Cubico (P, I, F) Esagonale (P) Trigonale (P) La composizione dei 7 sistemi cristallini con i vari possibili tipi di celle (primitive e non) dà luogo a 14 reticoli di Bravais.

21 10 elementi di simmetria nel continuo Simmetrie Cristallografiche t 1, t 2, t 3 trasl. fond. 7 sistemi cristallini 32 classi cristalline (point groups) t n trasl. fraz. 14 reticoli di Bravais (3D) elicogire e slittopiani 230 gruppi spaziali

22 Cristalli Proteici: Non tutti i 230 Gruppi Spaziali sono permessi per i cristalli proteici. Infatti, l applicazione di piani di simmetria o di centri di inversione nei cristalli proteici porterebbe al cambiamento dell asimmetria degli amminoacidi (un a.a. di tipo L diventerebbe un a.a. di tipo D, cosa non permessa per le proteine). Gli unici Gruppi Spaziali ammessi per cristalli proteici sono quelli senza simmetrie (Triclini) o con esclusivamente assi di rotazioni o elicogire.

23 Operatori di Simmetria Traslazionale: E possibile applicare ai 10 eds delle componenti di simmetria traslazionale non intere, generando così altri eds all interno della cella elementare: Elicogire: Simmetria di tipo m n : rotazione di ordine m (360 /m) e traslazione di n/m 2 1 rotazione di ordine 2 (180 ) e traslazione di 1/2 lungo l asse 3 1 rotazione di 120 e traslazione di 1/3 lungo l asse (destrorsa) 3 2 rotazione di 120 e traslazione di 2/3 lungo l asse (sinistrorsa)

24 Operatori di Simmetria Traslazionale: Esempio: 2 1 rotazione di ordine 2 (180 ) e traslazione di 1/2 lungo l asse 2 1 //a x, y, z x + 1/2, y, z 2 1 //b x, y, z x, y+ 1/2, z 2 1 //c x, y, z x, y, z + 1/2 x y

25 Operatori di Simmetria Traslazionale: Esempio: 3 1 rotazione di 120 e traslazione di 1/3 lungo l asse (destrorsa) y x

26 Volume di Matthews: Stima del numero di molecole presenti nella Cella Elementare (Z). Per la maggior parte dei cristalli proteici: V M = V cella el. / Z x Mw 2.15 Å 3 /Da ( Å 3 /Da) V M V cella el. Mw Z = Volume di Matthews = Volume cella elementare (dimensioni cella el. determinate dal diagramma di diffrazione) = Peso Molecolare della proteina = Numero di molecole nell unità di cella

27 Volume di Matthews: Esempio: Gruppo Spaziale C2 (4 unità asimmetriche nella cella elementare) V M = V cella el. / Z x Mw 2.15 Å 3 /Da ( Å 3 /Da) V cella el. = Å 3 Mw = Da V M = V cella el. / Z x Mw Z V M molecole nella cella elementare, 1 molecola nell unità asimmetrica

28 Contenuto di Solvente nel Cristallo: V P = Volume frazionario di proteina nella cella elementare V S = Volume frazionario di solvente = 1 - V P V P = Volume proteina nella cella elementare / V cella el. V P = [ Z x M W x (Volume Specifico della Proteina) / N A ] / [ V M x Z x M W ] = Volume Specifico della Proteina (cm 3 /g) / V M (Å 3 /Da) N A (mol -1 ) Volume Specifico della Proteina 0.74 cm 3 /g N A = Num. Avogadro = mol -1 Quindi: V P = 1.23 / V M V S = / V M Esempio: V M = 2.5 Å 3 /Da V S = 0.51