Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov

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1 Intorduzone alla teora delle Catene d Markov Mchele Ganfelce a.a. 2014/2015 Defnzone 1 Sa ( Ω, F, {F n } n 0, P uno spazo d probabltà fltrato. Una successone d v.a. {ξ n } n 0 defnta su ( Ω, F, {F n } n 0, P ed adattata a {F n } n 0 è detta catena d Markov rspetto a P, se n m 0, B B ( P ({ω Ω : ξ n (ω B} F m = P ({ω Ω : ξ n (ω B} ξ m P-q.c., (1 ovvero, se per ogn funzone f B (-ms., lmtata La (1 è detta propretà d Markov. E [f (ξ n F m = E [f (ξ n ξ m P-q.c.. (2 Cò mplca che, se n m 0, dat due event F e P tal che: F appartene alla σalgebra rspetto alla quale sono msurabl le v.a. ξ, m; P F k, 0 k m; s ha P (F P F m = 1 P P (F F m = P (F F m P (P F m P-q.c. (3 Ovvero, nel caso n cu s nterpret {ξ n } n 0 come l evoluzone d un sstema reale, l evento F rappresenta un evento futurble rspetto allo stato attuale del sstema ξ m, mentre P rappresenta un evento passble d essere accaduto nel passato relatvamente allo stato presente del sstema. Pertanto, la relazone precedente mplca che per una catena d Markov, subordnatamente allo stato attuale del sstema l evoluzone futura d questo non è affltta da quanto è gà accaduto. Se s nterpreta l ndce che defnsce la sequenza n come ndce temporale, una sequenza stocastca può essere consderata come una modellzzazone dell evoluzone d un sstema dnamco fsco, bologco, ecc.. 1

2 Osservazone 2 Se {ξ n } n 0 defnta su ( Ω, F, {F n } n 0, P è una catena d Markov rspetto a P, nel caso n cu la fltrazone {F n } n 0 concde con la fltrazone generata dalla successone d v.a. {ξ n } n 0, ovvero tale che n 0, F n = F n (ξ := F ξ n coè la σalgebra generata dalla collezone d v.a. {ξ } n =0 1, s drà che {ξ n } n 0 su (Ω, F, P è una catena d Markov rspetto a P. 0.1 Probabltà d transzone Defnzone 3 Sa {ξ n } n 0 su (Ω, F, P una catena d Markov rspetto a P. n 0, La dstrbuzone probabltà condzonata della v.a. ξ n+1 rspetto alla v.a. ξ n, P (ξ n+1 ( ξ n, ovvero tale che, B B (, P ( ξ 1 n+1 (B ξ n = P ({ω Ω : ξn+1 (ω B} ξ n (4 è detta probabltà d transzone al passo n-esmo. Inoltre, un nucleo d probabltà 2 B ( (B, x P n+1 (x; B := P ξn+1 (B ξ n = x [0, 1 (5 da (, B ( n sé, che mappa la dstrbuzone d probabltà P 3 ξn n P ξn+1, coè tale che, B B (, dp ξn (x P n+1 (x; B = dp ξn (x P ξn+1 (B ξ n = x (6 = E [P (ξ n+1 (B ξ n = P ξn+1 (B, che sa una versone regolare d P (ξ n+1 ( ξ n, ovvero tale che, B B (, P ( ξn+1 1 (B ξ n = Pn+1 (ξ n ; B = P n+1 (ξ n ; dx P-q.c., (7 è detto funzone d transzone al passo n-esmo. Qund, n m 0 e per ogn f B (-ms. lmtata, la (2 s scrve E [f (ξ n ξ m = E [f (ξ n F m = E [ E [E [f (ξ n F n 1 F n 2 F m (8 = P m+1 (ξ m ; dx m+1 P n (x n 1 ; dx n f (x n P-q.c.. Defnzone 4 Sa {ξ n } n 0 su (Ω, F, P una catena d Markov rspetto a P. La msura d probabltà π := P ξ0 su (, B ( è detta dstrbuzone nzale della catena. 1 cf. dspense par. 1.1 Fn ξ = σ {ξ 0,.., ξ n } := n k=0 ξ 1 k (B (. 2 cf. Appunt del corso d Probabltà e Process Stocastc Defnzone 80 e Osservazone cf. Appunt del corso d Probabltà e Process Stocastc par B 2

3 Consderamo una Catena d Markov ξ := {ξ n } come applcazone msurable da (Ω, F a ( N, C 4. Proposzone 5 Sa ξ = {ξ n } n 0 su (Ω, F, P una catena d Markov rspetto a P. Se {P n+1 ( ; dx} n 0 e π (dx sono rspettvamente la famgla delle funzon d transzone assocate alla catena e la sua dstrbuzone nzale, la coppa ( π (ds, {P n+1 ( ; ds} n 0 determna completamente la dstrbuzone d probabltà delle traettore della catena, coè P ξ su ( N, C. Dmostrazone: E suffcente consderare l generco nseme clndrco C ( n 1 =0 B dove, n 0, B B (, = 0,.., n 1, poché C è generata dalla collezone d quest event. Allora, sccome {ω Ω : ξ 0 (ω B 0,.., ξ n 1 (ω B n 1 } = (9 {ω Ω : ξ 0 (ω B 0,.., ξ n 2 (ω B n 2 } {ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } e {ω Ω : ξ 0 (ω B 0,.., ξ n 2 (ω B n 2 } F n 2, ( ( P ξ C n 1 =0 B = P {ω Ω : ξ0 (ω B 0,.., ξ n 1 (ω B n 1 } (10 = E [ 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0,..,ξ n 2 (ω B n 2 }1 {ω Ω:ξn 1 (ω B n 1 } = E [ E [ 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0,..,ξ n 2 (ω B n 2 }1 {ω Ω:ξn 1 (ω B n 1 } F n 2 = E [ 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0,..,ξ n 2 (ω B n 2 }E [ 1 {ω Ω:ξn 1 (ω B n 1 } F n 2 = E [ 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0,..,ξ n 2 (ω B n 2 }P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 petendo la procedura scrvedo l ultma espressone dell equazone precedente come valore atteso dell attesa condzonata rspetto a F n 3, dato che P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 è ndpendente da ξ n 3, per la defnzone d catena d Markov, s ha E [ 1 {ω Ω:ξn 2 (ω B n 2 }P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 F n 3 (11 = E [ 1 {ω Ω:ξn 2 (ω B n 2 }P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 ξ n 3 = P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 E [ 1 {ω Ω:ξn 2 (ω B n 2 } ξ n 3 ovvero = P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 P ({ω Ω : ξ n 2 (ω B n 2 } ξ n 3, P {ω Ω : ξ 0 (ω B 0,.., ξ n 1 (ω B n 1 } (12 = E [ 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0,..,ξ n 3 (ω B n 3 }E [ 1 {ω Ω:ξn 2 (ω B n 2 } P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2 F n 3 = E [ 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0,..,ξ n 3 (ω B n 3 }P ({ω Ω : ξ n 2 (ω B n 2 } ξ n 3 P ({ω Ω : ξ n 1 (ω B n 1 } ξ n 2. 4 Per la defnzone dello spazo d msura ( N, C cf. Legg 0-1, successon d v.a. stazonare n senso stretto ed ntroduzone alla teora ergodca. 3

4 Iterando, s ha P {ω Ω : ξ 0 (ω B 0,.., ξ n 1 (ω B n 1 } (13 [ n = E P ({ω Ω : ξ n k+1 (ω B n k+1 } ξ n k = 1 {ω Ω:ξ0 (ω B 0 } {ω Ω : ξ 0 (ω B 0 } k=2 dp (ω n P ({ω Ω : ξ n k+1 (ω B n k+1 } ξ n k (ω, k=2 coè, per la (6 e per la defnzone d dstrbuzone nzale della catena, ( ( P ξ C n 1 =0 B = π (dx 0 P 1 (x 0 ; dx 1 P n (x n 1 ; B n (14 B 0 B 1 B n 1 e la tes segue dal teorema d Kolmogorov sull estensone d una msura su ( N, C. Vceversa, una dstrbuzone d probabltà P su ( N, C della forma 14 defnsce una catena d Markov ξ = {ξ n } n 0 sullo spazo d probabltà fltrato ( N, C, {F n } n 0, P tale che, n 0, ω N, ξ n (ω = ω n, F n := n k=0 ξ 1 k (B ( e, B B (, P ({ ω N : ξ n+1 (ω B } ξ n = P ({ ω N : ω n+1 B } ξ n = Pn+1 ( ; B P-q.c.. (15 Infatt, vale l seguente rsultato. Proposzone 6 Sa (Ω, F = ( N, C e P la msura d probabltà su ( N, C tale che, n 0, B B ( n+1, P (C (B = P { x N : (x 0,.., x n B } (16 = π (dx 0 P 1 (x 0 ; dx 1 P n (x n 1 ; dx n 1 B (x 0,.., x n. Allora, esste una catena d Markov {ξ n } n 0 su ( N, C, P d dstrbuzone nzale π (dx e famgla d funzon d transzone {P n+1 ( ; dx} n 0. Dmostrazone: Sa ξ = {ξ n } n 0 la successone d v.a. su ( N, C tale che, n 0, x N, ξ n (x := x n e sa F n := F ξ n. Allora, per potes, n 0, B B ( n+1 P { x N : (ξ 0 (x,.., ξ n (x B } = P { x N : (x 0,.., x n B } (17 = π (dx 0 P 1 (x 0 ; dx 1 P n (x n 1 ; dx n 1 B (x 0,.., x n. Inoltre, dato B B (, da (6 segue che P { x N : ξ n+1 (x B, (ξ 0 (x,.., ξ n (x B } = π (dx 0 P 1 (x 0 ; dx 1 P n (x n 1 ; dx n 1 B (x 0,.., x n P n+1 (x n ; dx n+1 B = E [ 1 {x N : (x 0,..,x n B} ((ξ 0,.., ξ n P n+1 (ξ n ; B, 4

5 ovvero, per la defnzone d probabltà condzonata, P ({ x N : ξ n+1 (x B } ξ n,..., ξ 0 = P ({ x N : ξ n+1 (x B } F n = P n+1 (ξ n ; B P-q.c.. (18 D altra parte però, B B (, P { x N : ξ n+1 (x B, ξ n (x B } = π (dx 0 P 1 (x 0 ; dx 1 P n (x n 1 ; dx n 1 B (x n P n+1 (x n ; dx n+1 B = E [ 1 {x N : x n B } (ξ n P n+1 (ξ n ; B, coè da cu segue la (1. P ({ x N : ξ n+1 (x B } ξ n = Pn+1 (ξ n ; B P-q.c.. (19 1 Catene d Markov omogenee Defnzone 7 Una catena d Markov che ammette una descrzone regolare della probabltà d transzone ad ogn passo s dce omogenea se esste una funzone d transzone P ( ; dx tale che n 0, P n+1 ( ; dx = P ( ; dx, ovvero la probabltà d transzone ad ogn passo è dentca a quella del prmo. Se s nterpreta una catena d Markov come l evoluzone d un sstema reale, la condzone d omogenetà della catena è equvalente ad affermare che l evoluzone del sstema da un dato stante d tempo a quello successvo non dpende esplctamente dal tempo n dstrbuzone. Infatt, se ξ = {ξ n } n 0, è una catena d Markov omogenea con funzone d transzone P, B B (, e n k m 0, dalla (14 s ha P ({ω Ω : ξ n (ω B} ξ m = P ({ω Ω : ξ n m (ω B} ξ 0 = P (n m (ξ 0 ; B = P (k m (ξ 0 ; dx P (n k (x; B (20 dove P (k è l nucleo della potenza k-sma dell operatore ntegrale assocato a P, ovvero P (k (x; dy := P (x; dx 1 P (x k 1 ; dy. (21 La (20 è detta equazone d Chapman-Kolmogorov. Questo è qund l analogo stocastco della condzone d autonoma, coè d non dpendenza dal tempo, dell endomorfsmo che determna l evoluzone d un sstema determnstco. 5

6 1.0.1 Convergenza Proposzone 8 Se esste una dstrbuzone d probabltà su ν su (, B ( tale che ν (dx P (x; dy = ν (dy, (22 allora la catena d Markov omogenea ξ = {ξ n } n 0 determnata dalla dstrbuzone nzale ν e dalla funzone d transzone P per cu vale la (22 è detta stazonara, ovvero è una successone d v.a. stazonara n senso stretto 5. Dmostrazone: Infatt, analogamente alla (20, n 0, B B (, = 1,.., n, s ha P ({ω Ω : ξ (ω C (( n =1B } ξ 0 (23 = P ({ω Ω : ξ n (ω B n,.., ξ 1 (ω B 1 } ξ 0 = P (ξ 0 ; dx 1 P (x n 1 ; B n B 1 B n 1 = P (ξ 1 ; dx 2 P (x n ; B n B 1 B n 1 = P ({ω Ω : ξ n+1 (ω B n,.., ξ 2 (ω B 1 } ξ 1 = P ({ω Ω : Sξ (ω C (( n =1B } ξ 1. Integrando la prma e l ultma espressone rspetto a ν su B 0 B ( s ha P {ω Ω : ξ (ω C (( n =0B } = P {ω Ω : Sξ (ω C (( n =0B } (24 la quale mplca che ξ è stazonara. Consderamo la catena d Markov omogenea ξ = {ξ n } n 0, descrtta dalla funzone d transzone P l cu valore nzale ξ 0 è fssato, ovvero consderamo su ( N, C la dstrbuzone d probabltà P ξ 0 tale che n 1, B B (, coè se ξ 0 è fssato uguale a x, P ξ 0 {ω Ω : ξ 0 (ω B} = 1 B (ξ 0, (25 P ξ 0 {ω Ω : ξ n (ω B} = P (n (ξ 0 ; B, (26 P x := P ξ 0 = E [ ξ 0 = x (27 Come dmostra l seguente rsultato, se {ξ n } n 0 converge n dstrbuzone ad una v.a. ξ percu P ξ è ndpendente dal valore assunto dalla condzone nzale ξ 0, e soddsfa la (22 e la successone {S n ξ} n 0 N tale che S 0 ξ := ξ converge n dstrbuzone alla catena d Markov stazonara η = {η n } descrtta dalla dstrbuzone nzale ν = P ξ e dalla funzone d transzone P. 5 cf. note Legg 0-1 par. 3 def

7 Proposzone 9 Se per ogn valore assunto dalla condzone nzale ξ 0 la catena d Markov omogenea ξ = {ξ n } n 0 descrtta dalla dstrbuzone d probabltà data dalle (25 e (26 assocata alla funzone d transzone P converge n dstrbuzone ad una v.a. ξ tale che ν := P ξ verfca la (22, allora B C, {S n ξ} n 0 converge n dstrbuzone alla catena d Markov stazonara avente ν come dstrbuzone nzale e P come funzone d transzone. Dmostrazone: Sa ν una dstrbuzone d probabltà su (, B ( che soddsfa la (22 e, x, B B ( sa Ponamo noltre A C lm n Px {ω Ω : ξ n (ω B} = lm P (n (x; B = ν (B. (28 n φ (x := P x {ω Ω : Sξ (ω A}. (29 Allora, se η = {η n } è la catena d Markov omogenea descrtta dalla dstrbuzone nzale ν e dalla funzone d transzone P, dalla Proposzone 5 s ha E [ P x { ω Ω : S n+1 ξ (ω A } ξ n = E [ P { ω Ω : S n+1 η (ω A } η n (30 qund Dunque, = E [P {ω Ω : Sη (ω A} η 0 E [P {ω Ω : Sη (ω A} η 0 = x = P x {ω Ω : Sξ (ω A} = φ (x ν-q.c.. (31 P { x ω Ω : S n+1 ξ (ω A } = E [ E [ P { x ω Ω : S n+1 ξ (ω A } ξ n (32 = P (n (x; dy E [ P { ξ 0 ω Ω : S n+1 ξ (ω A } ξ n = y = P (n (x; dy φ (y. (33 Poché φ [0, 1 ed è B (-ms. esste una successone {φ n } n 1 d funzon semplc che converge unformemente a φ. Allora, m 1, lm n P (n (x; dy φ m (y = ν (dy φ m (y qund, per la (30, lm { n Px ω Ω : S n+1 ξ (ω A } = ν (dy φ (y (34 = ν (dy E [P {ω Ω : Sη (ω A} η 0 = E [E [P {ω Ω : Sη (ω A} η 0 = P {ω Ω : η (ω A}, coè la tes. Pertanto l problema d determnare l comportamento asntotco d una catena d Markov omogenea ξ descrtta dalla funzone d transzone P è rdotto a determnare: 7

8 Se B B (, x, lm n P (n (x; B esste ed è ndpendente da x; Quante sono le dstrbuzon nzal stazonare per ξ, coè le dstrbuzon d probabltà ν su (, B ( che soddsfano la (22 che non sono a.c. l una rspetto all altra; nfatt, qualora ce ne fosse pù d una, una qualsas combnazone convessa sarebbe ancora soluzone della (22. Defnzone 10 Sa ξ = {ξ n } n 0 una catena d Markov omogenea descrtta da una funzone d transzone P. Un evento A B ( è detto chuso per ξ se x A, P (x; A = 1. Defnzone 11 Una catena d Markov omogenea ξ = {ξ n } n 0 descrtta da una funzone d transzone P, è detta ndecomponble se non esstono due event dsgunt chus per ξ. E charo che qualora esstessero A 1, A 2 chus per ξ, allora, n 1, P (n (x; A = 1 A (x, = 1, 2, (35 coè { P (n (x; A } non convergerebbe. Tuttava potrebbe esstere una dstrbuzone d n 0 probabltà ν che soddsfa (22. Qualora la catena d Markov stazonara η = {η n } n 0 descrtta dalla dstrbuzone nzale ν e dalla funzone d transzone P sa ergodca, allora, B B (, per { l teorema ergodco per successon d v.a. stazonare, la successone delle mede emprche 1 n n =1 1 B (η } converge a ν (B ν-q.c., da cu segue, per l teorema d Lebesgue della n 1 convergenza monotona, che, x, 1 lm n n n =1 P (n 1 (x; B = lm n n = lm = E n E [ lm n n E [1 B (η η 0 = x (36 =1 [ 1 n 1 n n 1 B (η η 0 = x n 1 B (η η 0 = x = ν (B ν-q.c.. =1 =1 Teorema 12 Se la catena d Markov omogenea ξ = {ξ n } n 0 descrtta da una funzone d transzone P è ndecomponble e ammette una dstrbuzone nzale stazonara ν, allora questa è unca e la catena d Markov stazonara η = {η n } n 0 descrtta dalla dstrbuzone nzale ν e dalla funzone d transzone P è ergodca. Dmostrazone: Sa ν una dstrbuzone nzale stazonara per ξ, η = {η n } n 0 la catena d Markov stazonara descrtta dalla dstrbuzone nzale ν e dalla funzone d transzone P e P la dstrbuzone d probabltà su (Ω, F assocata a ν e P. Sa noltre A un evento 8

9 nvarante relatvamente a η, ovvero tale che B C tale che n 0, A = A S n B 6. Posto φ (η 0 := E (1 A η 0, poché P (A η 0 = E [P (A F 1 (η η 0, (37 per la propretà d Markov, sccome n 0, A F n (η (la σalgebra generata dalla successone S n η 7, P (A F 1 (η = P (A η 1 P-q.c., (38 ma, per la Proposzone 8, e per l nvaranza d A, P (A η 0 = x = P (A S 1 B η 1 = x ν (dx -q.c. (39 Percò, φ (x = E [P (A η 1 η 0 = x = E η [φ η 0 = x = Allo stesso modo s ha e P (A S 1 B η 1 = P (A η 1 = φ. (40 P (x; dy φ (y, ν (dx -q.c.. (41 P (A F n (η = P (A η n = P (A S n B η n = P (A η 0 = φ, P-q.c. (42 E [φ (η n F n 1 (η = E [φ (η n η n 1 = E [P (A η n η n 1 (43 = P (A η n 1 = φ (η n 1 = E [1 A F n 1 (η, P-q.c., coè, essendo φ [0, 1, la successone {φ (η n } n 0 è una martngala regolare che qund, converge a 1 A P-q.c. Qund, poché, n 0, la dstrbuzone d η n è ν, ε (0, 1 qund ν-q.c. φ {0, 1}. Ponamo ν {x : φ (x [ε, 1 ε} = 0 (44 C 0 := {x : φ (x = 0} ; C 1 := {x : φ (x = 1}. (45 Allora, eccetto eventualmente sull evento D B ( tale che ν (D = 0, 0 = P (x; dy φ (y, x C 0 (46 1 = P (x; dy φ (y, x C 1 (47 6 cf. Note Legg 0-1 sezone 3 Defnzone 9. Ponamo S 0 uguale all applcazone denttà su N. 7 cf. Note Legg 0-1 sezone 3 Proposzone 13 9

10 Pertanto, Defnamo = 0, 1 P (x; C = 1, x C \D, = 0, 1. (48 ( Se P A := x; C (n n 0 C (0 := C (49 C (1 := C (0 C (n+1 := C (n = 1 allora, x C (n \D (50 { ( } x : P x; C (n = 1. (51 ( ν-q.c., qund ν C (n \C (n+1 = 0. Pertanto, ponendo C (n, s ha ν (A = ν (C, ma gl event C 0, C 1 sono chus e dsgunt, dunque, per l potes d ndecomponbltà: uno de due è vuoto, φ vale uno o zero ν-q.c., P (A è uguale a zero o uno e η è ergodca. L unctà segue dal fatto che se esstessero ν 1, ν 2 tal che valga per cascuna quanto appena affermato, s avrebbe necessaramente che se ν 1 (A = 1 allora ν (A = 0. Allora, consderando la msura d probabltà Q su (Ω, F assocata catena d Markov descrtta dalla funzone d transzone P e dalla dstrbuzone 1 2 ν ν 2, che è stazonara n quanto verfca la (22, così come ogn combnazone convessa d due dstrbuzon d probabltà stazonare e qund, per quanto appena mostrato, ergodca, s avrebbe Q (A = 1 2 nvece che 0 o 1. 10

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