Il metodo degli Stati Limite

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1 Il metodo degli Stati Limite Giorgio Monti Ordinario di Tecnica delle Costruzioni Università di Roma La Sapienza

2 Contenuti Fondamenti teorici Base probabilistica Progetto agli Stati Limite Ultimi Flessione semplice e composta Taglio Gli Stati Limite di Esercizio 2/217

3 Obiettivo della progettazione Conseguire una protezione adeguata nei confronti di due condizioni limite Uno stato di danno strutturale accentuato che prelude al collasso si preferisce che la struttura subisca deformazioni anelastiche Uno stato di danno agli elementi non strutturali si richiede che la struttura rimanga elastica 3/217

4 Strumenti L utilizzo di metodi di analisi lineare o non lineare, statica o dinamica, nella progettazione L utilizzo della gerarchia delle resistenze nella concezione strutturale L utilizzo del metodo degli Stati Limite nella verifica 4/217

5 Il metodo degli Stati Limite Il problema fondamentale dell affidabilità strutturale. L equazione di sicurezza. Aleatorietà delle grandezze L approccio semiprobabilistico Valori caratteristici e valori di progetto I coefficienti parziali di sicurezza. 5/217

6 Il metodo degli Stati Limite Principali caratteristiche Si basa sul concetto di aleatorietà delle grandezze (azioni, resistenze) Si considerano vari aspetti del comportamento (esercizio, collasso) nei confronti dei quali si differenzia il livello di rischio. 6/217

7 Il metodo SPSL Definizioni Stato limite La struttura o una sua parte non può più svolgere le funzioni per cui è stata progettata Stato limite ultimo Si verificano il collasso della struttura e la possibilità di perdita di vite umane Stati limite di esercizio (analogo a TA) Si verifica la perdita di funzionalità della struttura in relazione alle esigenze di impiego 7/217

8 Il problema fondamentale Si studia la relazione fra due grandezze S : Azione, Domanda R : Resistenza, Capacità S R 8/217

9 Il problema fondamentale Ad esempio S : momento flettente M S (Q) R : momento resistente M R Q R 9/217

10 Il problema fondamentale Ad esempio S : tensione σ dovuta a M S (Q) R : tensione limite σ adm Q R 10/217

11 Il problema fondamentale Deve risultare Si ha sicurezza se, Si ha collasso se R S R S 0 R S < 0 Graficamente 11/217

12 Il problema fondamentale R R = S R = 10 S = 5 sicurezza R S > 0 collasso R S < 0 R = 5 S = 10 S 12/217

13 Aleatorietà In realtà R è aleatoria f R (r) Caratterizzata (se normale) da una densità di probabilità f R (r) funzione di due parametri: σ R µ R r media: µ R dispersione: σ R 13/217

14 Aleatorietà In realtà S è aleatoria f S (s) Caratterizzata (se normale) da una densità di probabilità f S (s) funzione di due parametri: media: µ S σ S µ S s dispersione: σ S 14/217

15 Aleatorietà Derivano dalle incertezze relative: alle resistenze dei materiali impiegati rispetto ai valori assunti dal progettista all'intensità delle azioni dirette, indirette e di natura chimico-fisica ed alla probabilità della loro coesistenza alla geometria della costruzione alla divergenza tra gli effetti realmente indotti dai carichi e quelli calcolati. 15/217

16 Probabilità di collasso r sicurezza R = S bassa alta bassa I diversi eventi hanno diversa probabilità di occorrenza: f R (r) f S (s) dr ds collasso s Qual è la probabilità che ci sia collasso? 16/217

17 Probabilità di collasso E data da: p = f = Pr f R R S< 0 ( ) R S < ( r) f ( s) S 0 = dr ds sicurezza collasso 17/217

18 Nel caso di v.a. normali la p f si calcola semplicemente come: p f = Pr Si noti che: ( R S < 0) = Φ + σ Se σ R e σ S diminuiscono, p f diminuisce Se (µ R µ S ) aumenta, p f diminuisce µ σ R 2 R µ S 2 S 18/217

19 Esempio Trave appoggiata con carico concentrato Q R 5.0 m Carico: Capacità: Q R N ( µ = 3 kn, σ = 1kN) = Q Q N ( µ = 10 knm, σ = 1.5 knm) = R R 19/217

20 Esempio Il momento agente è: S = Q L/4 E anch esso una v.a. con Media: µ S = µ Q L/4 = 3.75 Dispersione: σ S = σ Q L/4 = 1.25 La probabilità di collasso è: p f = Φ µ R µ S 2 2 σ R + σ S = Φ = /217

21 Esempio La probabilità di collasso p f trovata andrebbe confrontata con un valore ritenuto accettabile, p f,amm Questo metodo, detto di Livello 2, è adatto per strutture di una certa rilevanza Un metodo che tenga conto delle aleatorietà in modo più semplice 21/217

22 Un approccio semiprobabilistico R d r sicurezza collasso R = S grande Si cerca una coppia di valori: R d ed S d per cui se si ha: R d > S d allora: p f < p f,amm s S d 22/217

23 Un approccio semiprobabilistico R d r sicurezza R = S piccola collasso Si cerca una coppia di valori: R d ed S d per cui se si ha: R d > S d allora: p f < p f,amm s S d 23/217

24 I valori di calcolo I valori di calcolo R d ed S d consentono di trasformare un problema aleatorio: Pr[R S] p f,amm in uno deterministico: R d S d Cioè: se R d S d p f p f,amm 24/217

25 I valori di calcolo I valori di calcolo R d ed S d vengono espressi in funzione dei valori caratteristici R k ed S k I valori caratteristici R k ed S k sono i frattili di ordine 0,05 e 0,95 delle distribuzioni di R ed S I rapporti γ R = R k /R d e γ S = S d /S k sono detti coefficienti di sicurezza 25/217

26 R d, R k e γ R f R (r) R d σ R Il valore caratteristico è: R k = µ R 1.64 σ R Pr[R<R k ] = 0,05 Il valore di calcolo è: R d = R k / γ R γ R si ottiene da studi di calibrazione R k µ R r 26/217

27 S d, S k e γ S f S (s) Il valore caratteristico è: S k = µ S σ S Pr[S<S k ] = 0,95 Il valore di calcolo è: S d = S k γ S σ S S d γ S si ottiene da studi di calibrazione µ S S k s 27/217

28 L equazione di sicurezza E dunque: R k / γ R S k γ S Nella forma più generale si ha: R(f k / γ m ) S(F k γ f ) 28/217

29 Esempio Trave appoggiata con carico concentrato Q R 5.0 m Carico: Capacità: Q R N ( µ = 3 kn, σ = 1kN) = Q Q N ( µ = 10 knm, σ = 1.5 knm) = R R 29/217

30 Esempio I valori caratteristici di S ed R sono: S k = µ S σ S = = 5.8 knm R k = µ R 1.64 σ R = = 7.5 knm Si ha dunque: 7.5 / γ R 5.8 γ S Che sarebbe verificata per, ad es.: γ R = 1.10 e γ S = 1.17 Questo assicurerebbe una p f = /217

31 Il quadro normativo D.M. LL.PP. del 09/01/1996 Norme tecniche per il calcolo, l'esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche Circolare M. LL.PP. del 15/10/96, n. 252 Istruzioni per l'applicazione del DM 09/01/1996 D.M. LL.PP. del 16/01/1996 Norme tecniche relative ai Criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi Circolare M. LL.PP. del 04/07/96, n. 156 Istruzioni per l'applicazione del DM 16/01/ /217

32 Il DM del 9 gennaio1996 Parte Generale Parte I - Cemento armato normale e precompresso Sezione I - Prescrizioni generali e comuni Sezione II - Metodo agli stati limite: progetto ed esecuzione Sezione III - Eurocodice 2 (DAN) (Documento di Applicazione Nazionale) UNI ENV : criteri e prescrizioni. 32/217

33 Il quadro normativo Il progettista può adottare il metodo SL: Nella versione "nazionale dovrà seguire la Sezione II della Parte I Nella versione Eurocodice 2 (DAN) dovrà seguire la Sezione III della Parte I. 33/217

34 Azioni di calcolo Le verifiche debbono essere condotte nei riguardi degli stati limite di esercizio (SLE) e degli stati limite ultimi (SLU) Le combinazioni delle azioni da considerare per tutti le verifiche agli SL (versione nazionale ed Eurocodici) sono specificate nel paragrafo 7. 34/217

35 Vita utile di progetto Categorie Strutture temporanee Parti sostituibili (es. appoggi) Strutture agricole et similia Edifici Ponti, edifici monumentali Anni (indicativo) /217

36 Gli Stati Limite Definizione di Stato Limite La struttura o una sua parte non può più svolgere le funzioni per cui è stata progettata Due categorie: Stati Limite Ultimi (SLU) Corrispondenti al valore estremo della capacità portante o comunque al raggiungimento di condizioni estreme Stati Limite di Esercizio (SLE) Legati alle esigenze di impiego normale e di durata. 36/217

37 Gli Stati Limite Ultimi Sono gli Stati Limite che riguardano: La sicurezza delle persone La sicurezza della struttura La sicurezza del contenuto (in alcuni casi) Gli SL da verificare riguardano: Perdita di equilibrio della struttura o di parte di essa, come corpo rigido Rottura, deformazione eccessiva, trasformazione in meccanismo, perdita di stabilità Rottura per fatica. 37/217

38 Gli Stati Limite di Esercizio Sono gli Stati Limite che riguardano: Il funzionamento della struttura Il comfort delle persone L apparenza del costruito (deformazioni, fessure) Gli SL da verificare riguardano: Deformazioni eccessive Fessurazioni premature o eccessive Degrado o corrosione Vibrazioni eccessive. 38/217

39 Progetto agli SL Il progetto si basa sull uso di modelli della struttura dei carichi Nessuno SL è superato quando si usano in questi modelli i valori opportuni di: Azioni Proprietà dei materiali e dei prodotti Dati geometrici 39/217

40 Soddisfacimento dei requisiti I requisiti vengono soddisfatti attraverso l uso del metodo dei coefficienti parziali γ Il metodo prevede L introduzione dei «valori caratteristici» La trasformazione dei valori caratteristici in «valori di calcolo» adeguati allo SL considerato, mediante l'applicazione di coefficienti parziali γ m o γ f 40/217

41 I coefficienti parziali Le resistenze di calcolo dei materiali si ottengono dividendo le resistenze caratteristiche per i coefficienti γ m (>1) Le azioni di calcolo si ottengono moltiplicando le azioni caratteristiche per i coefficienti γ f >1 o 1 a seconda che il contributo dell'azione diminuisca o aumenti la sicurezza 41/217

42 Variabili di base Azioni Classificazione Valori caratteristici Altri valori rappresentativi delle azioni variabili Proprietà dei materiali e dei prodotti Dati geometrici 42/217

43 Classificazione delle azioni In base alla variazione nel tempo, si definiscono azioni: Permanenti (G) Pesi propri, macchinari fissi, azioni indirette causate da ritiro e cedimenti differenziali Variabili (Q) Carichi ai piani degli edifici, vento, neve Eccezionali (Q ex ) Uragani, urti di veicoli, esplosioni 43/217

44 Azioni (F) e Sollecitazioni (S) Azione F ogni causa (carichi permanenti, carichi variabili, deformazioni impresse, agenti chimico-fisici...) capaci di indurre stati limite in una struttura Sollecitazione S ogni effetto interno (forza normale, momento flettente, forza di taglio, ecc.) che, a causa delle azioni, si determina nella struttura più in generale si potranno indicare con «S» anche deformazioni, aperture di fessure, ecc. 44/217

45 Tipi di azioni Per determinare S, si considerano le F : Dirette (forze) Carichi permanenti (peso proprio e carichi fissi) Carichi variabili (carichi di servizio, neve, vento, sisma, spinta delle terre, forze dinamiche, ecc.) Indirette (deformazioni impresse) variazioni termiche, ritiro, pre-tensione, spostamenti di vincoli, difetti di montaggio, ecc. Chimico-fisiche Agenti aggressivi, umidità, gelo, materiali nocivi 45/217

46 Carichi variabili per edifici TIPO DI LOCALE Ambienti non suscettibili di affollamento Ambienti suscettibili di affollamento Ambienti suscettibili di grande affollamento Sale da ballo, palestre, tribune libere, aree di vendita con esposizione diffusa Balconi, ballatoi e scale comuni Sottotetti accessibili Coperture non accessibili Rimesse e parcheggi (fino 30 kn/vettura) Archivi, biblioteche, magazzini, depositi, laboratori, officine e simili kn/m 2 2,00 3,00 4,00 5,00 4,00 1,00 0,50 2,50 6,00 46/217

47 Altri valori rappresentativi delle azioni variabili Valore di combinazione: Ψ 0 Q k Per la verifica SLU o SLE irreversibili Valore frequente: Ψ 1 Q k Per la verifica di SLE reversibili Valore quasi permanente: Ψ 2 Q k Per la verifica di SLE reversibili 47/217

48 I coefficienti Ψ Azione Y 0 Y 1 Y 2 Carichi variabili nei fabbricati per: abitazioni 0,7 0,5 0,2 uffici, negozi, scuole, ecc. 0,7 0,6 0,3 autorimesse 0,7 0,7 0,6 Vento, neve 0,7 0,2 0 48/217

49 Valore di calcolo delle azioni Il valore di calcolo è dato da: Con: F rep = Ψ F k Dove: F d = γ f F rep F k = valore caratteristico dell azione F rep = valore rappresentativo dell azione γ f = fattore parziale per l azione che considera la possibilità di deviazioni sfavorevoli dell azione dai valori rappresentativi Ψ = 1,00 oppure Ψ0, Ψ1 o Ψ2 49/217

50 Combinazioni (SLU) Per gli SLU si adottano le combinazioni: F d = γ g G k + γ p P k + γ q [ Q i= n 1k + i= 2 ( Ψ 0i essendo: G k il valore caratteristico delle azioni permanenti P k il valore caratteristico della forza di precompressione Q 1k il valore caratteristico dell'azione di base di ogni combinazione Q ik i valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendenti γ g = 1,4 (1,0 se il suo contributo aumenta la sicurezza) γ p = 0,9 (1,2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza) γ q = 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza) Ψ 0i = coefficiente di combinazione allo SLU. Q ik )] 50/217

51 51/217 Combinazioni (SLE) Per gli SLE si adottano le combinazioni: Rare Frequenti Quasi permanenti = = Ψ = n i i ik i k k k d Q Q P G F ) ( Ψ 1 = definisce i frattili 95% delle distribuzioni dei valori istantanei Ψ 2 = definisce i frattili 50% delle distribuzioni dei valori istantanei = = Ψ + Ψ + + = n i i ik i k k k d Q Q P G F ) ( = = Ψ + + = n i i ik i k k d Q P G F 1 2 ) (

52 Azioni eccezionali Si combinano solo con i carichi di carattere permanente F d = G k + Q dk + γ ex Q ex in cui: Q dk la frazione dei carichi variabili caratteristici con durata di applicazione >30 giorni all'anno Q ex il valore nominale dell'azione eccezionale considerata γ ex = 1,0 1,5 in relazione all importanza dei danni cui potrebbe dar luogo il superamento dello SL considerato 52/217