Esercizi per il corso Matematica clea matricole dispari

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1 Esercizi per il corso Matematica clea matricole dispari Daniele Ritelli anno accademico 5/6 Precorso. Eseguire le seguenti divisioni tra polinomi: (e) (g) Scomporre in fattori i seguenti polinomi di terzo grado p() sapendo che per uno specificato valore di si ha p( ) =. =, p() = =, p() = =, p() = + + =, p() = 5 +. Risolvere le seguenti equazioni = = = 6 = (e) 4 = + 4 = (g) = (h) ( + ) ( ) = (i) 4 + = (j) + = (k) + = + (l) = (m) + + = (n) = 9 (o) = (p) = (q) + = 5 (r) + + = 5 (s) + = + (t) e = (u) e = (v) ln = (w) ln = () ln ( + ) ln = (y) ln ( + ) ln = 4. Risolvere le seguenti disequazioni:

2 < (e) (g) ( 6) ( + 6) < (h) ( 6) ( + 8) ( ) (i) ( ) ( 5 + ) (j) ( ) ( 5 + ) (k) < (l) < 9 (m) > (n) > (o) e (p) e > (q) 5 ln < (r) ln ( + ) ln (s) ln (ln ) > 5. In un sistema di coordinate cartesiane, rappresentare i punti A(, ), B( 5, 4), C(, ), D(, ). 6. Trovare l equazione della retta che unisce le coppie di punti: ( ) ( ) (4, ) e (, ) ; (e), e 4, ; (5, ) e (, ) ; (, ) e il punto medio del segmento di (, ) e (, ) ; retta da ( 5, 8) a (5, ). (, ) e (, 7) ; 7. Dati coefficiente angolare m e un punto di passaggio (a, b), trovare l equazione della linea retta così individuata: m =, (, ) ; m = ( ), 4, ; m =, (, ) ; m =, (, ). 8. Quale dei seguenti punti : (4, ); (, 4); y 6 =? ( ), 5 ; (, ) appartiene alla retta r) di equazione Scrivere poi l equazione di una delle infinite rette parallele r) e di una delle perpendicolari ad r). 9. Trovare l equazione della retta che: è parallela all asse y e passa per il punto (, ) ; è parallela all asse e passa per il punto (5, 4) ; è parallela alla retta di equazione y + 4 = e passa per il punto (, ) ; è perpendicolare all asse y e passa per il punto (4, ) ; (e) è perpendicolare alla retta di equazione 5y + 8 = e passa per il punto (, 5).. Risolvere algebricamente e graficamente i seguenti sistemi di equazioni lineari in due incognite: + y = y = 4 y = 4 8 6y = 5 4 y = 4 9y = + y = + y = 4 + 5y =

3 + y = (e) y = 4 + 5y =. Trovare le equazioni delle seguenti circonferenze: Centro (, ) e raggio Centro (, ) e passante per il punto (, ). Trovare centro e raggio delle seguenti circonferenze: + y + 6y + = + y + + y = + y 6y = + y 6y + =. Le equazioni: + y + y + y = + y 6y = + y 6y + = rappresentano circonferenze?motivare le risposte. 4. In quanti e quali punti la retta di equazione y = + interseca la circonferenza di equazione + y =? 5. Risolvere graficamente i seguenti sistemi di disequazioni: + y <, y < + y >, y < + y, y + y >, y (e) + y, y > 4 y < 4, + y 6, (g) +y <, y <, y <, >, y > (h) y,, y (i) ( ) (y ) >, y (j) y, ( + y ) (k) + y y <, y < (l) 4 + y 9 (m) < y, + y 4 6. Se f() = 4, calcolare f(4), f(8), f( ) ed f(). 7. Classificare le seguenti funzioni e trovarne il dominio naturale: f() = f() = f() = + + f() = + 4 (e) f() = f() = + + (g) f() = ln ( + ) (h) f() = + ln (9 ) 8. Rapprsentare le seguenti funzioni in un sistema di riferimento cartesiano: f() = + f() = 5 f() = + 5 f() = 4 (e) f() = f() = 5 (g) f() = +

4 (h) f() = 4 + (i) f() = + (j) f() = (k) f() = e (l) f() = e (m) f() = e (n) f() = e (o) f() = ln (p) f() = ln (q) f() = ln ( ), se (r) f() =, se < (s) f() = (t) f() = +, se, se > e, se >, se Funzioni iperboliche È sinh = e e, cosh = e + e. Sapendo che tanh = 5 determinare, senza calcolare il valore di, sinh e cosh. Risolvere l equazione sinh + 4 cosh =. Dimostrare che per ogni, t R vale: sinh( + t) = sinh cosh t + cosh sinh t 4. Provare che per ogni R valgono: ( sinh cosh arcsinh = +, arcsinh cosh = ln e + e + ) + + arcsinh = ) + + = ( sinh arcsinh + (e + e ) 4 + +, + +, essendo arcsinh la funzione inversa di sinh. Si suggerisce di determinare esplicitamente l espressione di arcsinh risolvendo, rispetto a u l equazione sinh u =. Numeri reali. Dimostrare per induzione su n N, che n + 4 è divisibile per 5. n. Provare, per induzione n N che (k ) = n ( 6n n ). Provare, per induzione n N che k= n (4k ) = n ( 6n + n ) k= 4. Si consideri la successione definita per ricorrenza: = n = n, n > + n, Mostrare per induzione su n R che n = n 5. Provare, per induzione su n N le seguenti affermazioni: 4

5 n k= n k= k 6 + 4n + n = 6 k n k k = + n + n n n k k! = (n + )! k= n k= k(k + )! (n + )! k = n 6. Posto H n := n k= k provare che n k= ( + k 6 + k + 6 ) = 6 + k n + + H n+ 7. Sia m N. Provare, per induzione su, n N che il numero m +n + ( + m) +n è divisibile per + m ( + m) 8. Provare che, per ogni n N si ha (n + )! n 9. Motivare quali fra i seguenti numeri reali sono irrazionali + log (e) + 5 Numeri complessi. Determinare le radici z e z dell equazione complessa z ( i) + 5 i =. Determinare le radici z e z dell equazione complessa ( i) (6 i) z + z =. Determinare le radici z, z, z dell equazione in C : 6 5 i ( i) z (6 + 5 i) z + z = sapendo che z =. 4. Determinare le radici z, z, z dell equazione in C : 5 4 i + (7 + 6 i) z ( + i) z + z = sapendo che z =. 5. Scomporre in fattori di primo e secondo grado nel campo reale il polinomio Scomporre in fattori di primo e secondo grado nel campo reale il polinomio 8 z + > z + i 7. Determinare gli z C per cui Im z > Re z 8. Risolvere l equazione ( ) z i = i, z i z i 9. Determinare per quali n N vale l uguaglianza ( + i) n = ( i ) n Calcolo combinatorio. Giocando al lotto, quale è la probabilità che esca una cinquina costituita solo da numeri divisibili per?. Giocando al lotto, quale è la probabilità che esca una cinquina costituita solo da numeri divisibili per 5?. Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato della parola zanna? 4. Quale è la probabilità che una estrazione del lotto (nb 5 numeri estratti) sulla ruota di Venezia non contenga il numero 5? 5

6 5. Quale è la probabilità che una estrazione del lotto (nb 5 numeri estratti) sulla ruota di Firenze non contenga il numero 5 e il numero 54? 6. Giocando al lotto quale è la probabilità che esca una cinquina costituita solo da numeri divisibili per 7? 7. Nel gioco del tresette (quaranta carte, quattro giocatori con dieci carte ciascuno) in quanti modi possono essere servite le carte? 8. Considerata la attuale enumeraione delle targhe automobilistiche italiane, esempio AB CD quale è la probabilità di incontrare un auto con targa palindroma? Algebra lineare. Risolvere i seguenti sistemi lineari: = = = = = = = = (e) = = + 4 = = = + 4 = = = = =. Date le matrici: M = a 5 4 a N = determinare, se possibile, a R in modo che sia M = N. Studiare, in dipendenza dal parametro reale il rango della matrice 4 4. Risolvere, se possibile, il sistema: = = + + = + = a 5. Per quali valori di a R il determinante della matrice 4 a 5 vale? 6. Date le matrici: M = a 6a 6a, N = a a a a a 5a dopo aver provato che M è invertibile, se determini, se possibile, a R in modo che N sia l inversa di M. 6

7 7. È data la matrice A = 6 7 individuare un vettore colonna non nullo B R 4 per cui il sistema A X = B abbia soluzione. 8. Determinare per quali valori di a R il sistema omogeneo (a + ) + a = + (a + ) = a + 8 = ha soluzioni diverse da quella banale 9. Indicare per quali valori del parametro a R il sistema: + a = = + a + 6 = a Serie ha infinite soluzioni, una soluzione, nessuna soluzione.. Dimostrare che la serie. Dimostrare che la serie. Dimostrare che la serie 4. Dimostrare che la serie n= n= n= n(n ) (n + )(n + )(n + ) è divergente n + sin n + n è convergente n + n n a converge per a > ( n + n ) diverge positivamente n= 5. Dimostare che la serie geometrica n= 6. Dire per quali valori del parametro a R l equazione nell intevallo [, π] 7. Dimostrare che la serie n= ( e e ) n converge per ln + 5 < < ln + (sin + cos ) n = a ammette soluzione n= ( + ) n cos n + cos n + 7 n n+ è convergente ( 8. Esiste un valore di a R per cui + an + n n) n ( ) n n Dimostrare che = e 6 n n + = 4? [Risposta a = 8] 7

8 . Dimostrare che la serie ( ) n converge n! n=. Dimostrare che la successione n =. Dimostrare che la serie geometrica. Dimostrare che n= ( ) n + n è decrescente n= (n + )(n + ) = 5 4. Dimostrare che la serie geometrica n= ( ) n 7 + converge per 4 < < 9 8 ( ) n converge per > 5. Determinare l insieme delle R per cui sono convergenti le seguenti serie ( ) n ( + ( + 6 ) n n= n= ) n ln ln ( + n= n= 6. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini positivi: n ) n n + n n= n= n= n= 5 n n! ( n + n ) n n(n ) (n + )(n + )(n + ) ( + ) n sin n + sin n + 7 n n+ (e) (g) (h) ( n + n ) n= cos n n n= n= n= ( n ln + ) sin ( cos ) n n n (n)!! (n + )! Limiti e continuità. Si calcolino i seguenti iti: ( + ) ( + 5 ) Si calcolino i seguenti iti: (e) (g) e + e+ (h) + (i) ln () + (j) 8 + (k) (l)

9 (e) h ( + h) h (g) (h) Si calcolino i seguenti iti: (e) (g) (h) ( + 4 ) ( ) (i) (j) (k) (l) 5 (m) (n) 4 8 (o) 7 (p) 4 6 (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) ( ) (q) (r) (s) (t) (u) 8 (q) h + (r) h h + h (s) h h + (t) (u) ( + ) (v) + (w) ( ) () ln e (e + ) + e + ln + e (v) (w) () + + ln 4. Dire se è possibile scegliere a R in modo che risulti: [ [ + a + ] = 4 ] 4 + a = 7 5. Siano f e g due funzioni: f() = per per > g() = per + 6 per > f è continua per =? g è continua per =? 6. Determinare i valori di per cui ognuna delle seguenti funzioni è continua: f() = f() = f() = f() = + 9

10 (e) f() = f() = + 7. Per quali valori di a è f continua per ogni? a per f() = + per > f() = a + 5 per + per > 8. Dimostrare che ognuna delle seguenti equazioni ha almeno una radice nell intervallo indicato: + 8 = in ], [ 6 + = in ], [ = in ], [ + = in ], [ (e) + = 4 in [, ]. 9. Spiegare perché la funzione f definita per ogni [, 5] da: f() = è dotata di massimo e di minimo. (Non tentare di calcolare questi valori). Sia f : [, ] R: f() = per < < per = ± Disegnare il diagramma di f(). f() assume massimo e minimo valore in [, ]? f() è continua in [, ]?. Sia f : ], [ R: f() = + per < per > Disegnare il diagramma di f() Dimostrare che f() raggiunge il massimo e il minimo valore in ], [.. Per ciascuna delle funzioni f() seguenti riportate dimostrare che esiste l inversa f (y), e trovare una formola per f (y). Studiare la continuità di f (y). f() = + f() = 5 + f() = f() = + 4 (e) f() = e e. Sia f : [, ] R definita da f() = 4. Dimostrare che esiste l inversa f, trovare una formola per f (y) e dire se tale funzione sia, o meno, continua. Calcolo differenziale. Calcolate la derivata prima delle funzioni seguenti: f() = + f() = f() = + f() = e + ln (e) f() = + f() = ln (g) f() = e ln (h) f() = 8 + 8

11 (i) f() = e (j) f() = ln (k) f() = e (l) f() = (m) f() = (n) f() = e (o) f() = e + (p) f() = e + (q) f() = ln ( + ) (r) f() = e e + 5 (s) f() = + (t) f() = e ln (u) f() =. Per ognuna delle seguenti funzioni stabilire se f() è continua e differenziabile in = : se ln ( + ) se f() = se < f() = se < 8 + se f() = ln + 4 se >. Per ognuna delle seguenti funzioni trovare i punti stazionari e determinare per quali valori di essa è crescente o decrescente: f() = + + f() = f() = e f() = + ln. 4. Trovare imassimi e minimi per ognuna delle seguenti funzioni di nell intervallo specificato: f() = + 8, [, ]. f() = 7, [, 5] 6 f() = 4, [ 4, 4] + 7 f() = ( ), [, ] (e) f() = 4 4, [, ] f() = 4, ], [ + 5. Decidere per quali valori di le seguenti funzioni sono convesse e determinare gli eventuali punti di flesso: f() = 4 f() = + f() = + f() = e (e) f() = 9 6 f() = (g) f() = e + e (h) f() = + 4 ln (i) f() = + e 6. È data la funzione f() = ( ), [, ]. Mostrare che esiste un unico punto p ], [ in cui f (p) = e che questo punto divide l intervallo [, ] in due segmenti, tali che il rapporto fra le loro lunghezze sia / 7. Trovare i valori dei parametri a, b R in modo che la funzione f() = a + b soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell intervallo [, ] indicando in quale punto dell intervallo si annulli f () 8. Si consideri la funzione f() = arctan a +, R con a R parametro. Si indichi un valore di a per cui la funzione f() risulta non derivabile in =. Dopo aver sostituito ad a il valore trovato si tracci il grafico della funzione così ottenuta. 9. Provare che, per ogni R + vale < ln( + ) < +. Studiare al variare del parametro a R il numero di radici dell equazione trascendente e / = a. Determinare i punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni:

12 f () = ln ( + ) + f () = 4 f () = ln + f 4 () = 5 + (e) f 5 () = + 5 f 6 () = ( ) (ln( )). Determinare i valori del parametro reale a per cui la funzione f() = a+ln ( + ) è strettamente crescente in R. Si deve recintare un terreno in forma rettangolare di area preassegnata A m. Un lato del terreno è posto di fronte ad una stada, si sa che il costo al metro per recintare insonorizzando è di 5 per metro, mentre gli altri tre lati possono essere recintati al costo di per metro. Scegliere il modo per recintare l area A al minimo costo. 4. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione f() = ( + ) 5. Data la funzione f() = + e : determinare i suoi punti di massimi e minimo relativo dimostrare che essa ha un solo punto di flesso ϕ usare il metodo di Newton per far vedere che ϕ, Calcolare la derivata prima f (y ) = f (f( )) se f() = ln( + ), = 7. Usando il teorema della derivata nulla far vedere che per ogni vale: + arcsin = arccos 8. Dire se esistono valori del parametro reale a R per cui la funzione f() = ( a + (a ) + ) e è sia strettamente convessa che strettamente decrescente. 9. Dire per quali valori di a R la funzione f() = a + a è strettamante crescente. Studiare poi, sempre in dipendenza dal parametro a R, il numero delle radici dell equazione f() =. Determinare il valore del parametro a R in modo che la funzione f() = + a in = abbia un flesso. Determinare i valori di a, b, c R per cui la funzione f() = + a + b + c abbia un punto stazionario in (; 5) e un flesso in (; ). Determinare gli intervalli di convessità della funzione f() = Grafico della seguenti funzioni nel loro dominio naturale f() = + f() = f() = ln ln f() = ( ) 4 (e) f() = 5 ( ) f() = + (g) f() = ln (h) f() = ln + (i) f() = (j) f() = ++7 (k) f() = (l) f() = ln arctan 4. Per quali valori di a R la funzione f() = ln( + ) a è convessa in R? 5. Studiare in dipendenza da a R, il numero delle radici delle equazioni

13 4a ( ) = a 4a + 6 = + + = a f() = 5a + a + 6. Data l equazione + (a ) (a + ) =, a R è un parametro, dopo aver dimostrato essa ha, sempre e comunque radici reali, indipendentemente dalla scelta di a R, indicare per quale valore di a R è minima la somma dei quadrati delle radici ( ) 7. Sia f() =, [, ]. Dire quanti e quali sono i punti in cui f() verifica la tesi del + Teorema di Rolle 8. Dire per quali valori di a R il dominio naturale della funzione f() = 9. È data la funzione: sin f() =, se se = ln + a è ], [ è continua in =? è derivabile in =? verifica il teorema di Darbou?. Tramite l opportuno teorema di De L Hospital calcolare i iti delle seguenti forme indeterminate + e e 4 (e) e e (g) ( + ) m (h) ( + ) m m (i) ln( + ) (j) + h (k) h h (l) 4 (m) (n) ln ( + ) (o) ln ( + ) (p) (e ) (q) (e ) ln + (r) e (s) e (t) e + e (u) ln (v) ± e (w) p ln, p > ( () ) ln (y) (z) e. Tramite l opportuno teorema di De L Hospital calcolare i iti delle seguenti forme indeterminate ln ln 8 ln p, p > (e) e e 7 e p, p > (g) (h) ln + e ln ( + e ). Calcolare n n ( π arctan n4) arccos sin n

14 . Sia a. Si consideri la funzione f() = e a, R. Si dimostri che esiste M = sup f() R e si calcoli M a + 4. Determinare a R in modo che la retta y = + si tangente alla funzione f() = punto di ascissa = 5. Per quali valori di a R la funzione f() = ln 6. Dimostrare che per ogni > vale è crescente su [, [? + 7. Dire quante sono le soluzioni dell equazione + = Sia f() = a 4 + a + a + a + a 4. Determinare a,..., a 4 sapendo che: a + a + a nel f() = f () = f () = f () = Nel punto di ascissa = il grafico di y = f() ha tangente parallela alla retta di equazione y 9. Per quali valori di a R la funzione f() = ( a) 4 + 4a + ( + a) + è convessa in R? u + 4. Dimostrare che, per ogni [, ] vale arccos u = arccos 4. Tracciare il grafico della funzione f() = + +,. f() è invertibile in ], [? f() è invertibile in ], [? + 4. Grafico della funzione f() = ln, >. ( ) 4. Grafico della funzione f() =, Determinare a, b R in modo che la funzione: + ( + ), se < f() = + a + b, se sia continua e derivabile in =. Si tracci poi il grafico della funzione così ottenuta. 45. Studiare la funzione f() = sin(π), [, ] 46. Per quali valori di a R la funzione f() = sin e a è: crescente? convessa? 47. Sudiare la funzione f() = ma +, } +, R. 4

15 f() è continua in =? f() è derivabile in =? 48. Sia f C (R) tale che f () () =. Provare che [f( + ) f() + f( )] = ( 49. Studiare la funzione f() = ma t [,] t ) t + t, > 5. Dimostrare che per ogni, y R, < y risulta: y y < arctan y arctan < + y +. Suggerimento: posto f(t) = arctan t si applichi il teorema del valor medio a f(t) nell intervallo [, y] 5. Dimostrare che se f C ([a, b]) si ha che: sup f () 4 [a,b] b a sup f() + b a [a,b] 5. Provare che per ogni R, > vale arccosh = arccosh Calcolo integrale. Calcolare i seguenti integrali definiti sup f () [a,b] + e e 5 d d + d (e) d d d (g) (h) (i) d 5e +6 d + d. Trovare tutte le funzioni primitive F () tali che: F () = ( ) F () = F () = 4 e F () =. F () = ( ) e F () = (e) F () = e + e F () = F () = e + e F () =. Se F () = + e F () =, quanto vale F ()? 4. Calcolare l area sottesa al diagramma di f() su [a, b]: f() = +, [a, b] = [, ] f() = ( + ), [a, b] = [ 4, ] f() =, [a, b] = [, 8] f() = +, [a, b] = [, 4] (e) f() =, [a, b] = [, 4] f() = 7, [a, b] = [, ] 5. Si consideri la regione chiusa S deitata dalle curve assegnate, e dalle indicate parallele = a, = b all asse y. Fare prima un disegno di S e poi calcolarne l area: 5

16 y =, y = ; [, ] y = ; y = ; [, ] y = ; y = ; [, ] y = [ ] ; y = ; [, ] (e) y =, y = ; [, ] y = + ; y = ; [, ] + (g) y = e, y = ln ; [, ] 6. Calcolare i iti seguenti: e t dt ln(t + )e t dt t e t dt t dt ln (e) 5 t 8 ln(t + )dt t dt 7. Mediante integrazione per parti calcolare: e d (g) ln d e d (h) ln d e d (i) ln d e d (j) ln d ln (e) e d (k) d ln e d (l) d (m) (n) (o) (p) (q) (r) ln d e d d e e d ln( + )d ln( + )d (s) (t) (u) (v) (w) ( ) d 5 ( ) d ( + ) 4 d sin(π) d arctan d 8. Calcolare mediante opportuno combio di variabili: (e) e d e d e 4 d e d ( + ) 5 d (g) (h) (i) (j) 4 d + d ( + ) d + d + d (k) (l) (m) (n) (o) (p) e e e e e e e e ln d (ln ) d (ln ) d ln d (ln ) d ( + ) d (q) (r) (s) (t) (u) ln / e d e d 8 + 5d 5 ( + ) d (4 ) d 9. Calcolare gli integrali: e ln d e d + d 4 + d 6

17 (e) d + d (g) (h) e e ln d 5 e d (i) (j) + d e e + d (k) (l) ( + 6) 7 d 4 ln d. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali fratte usando la scomposizione in frazioni parziali: ( ) ( ) d + ( ) d 4 (e) 7 + d (g) d 4 d 4 d 4 d (h) 4 d. Calcolare una primitiva della funzione y = ( + 4 ). Calcolare l integrale generalizzato ln d. Calcolare una primitiva della funzione y = 4 ( + ) 4. Calcolare l integrale definito + d Determinare un numero reale k ed una funzione f : R R tali per cui risulti: f(u)du = ln ( + ) + k 6. Calcolare una primitiva della funzione y = sinh (ln ) 7. Determinare tutti i valori di λ R per i quali è crescente su [, 5] la funzione: f() = (u λ) (u ) du 8. Calcolare l = ( e u ) du ln u du 9. Si indichi con A(m) l area della parte di piano deitata dalle curve di equazioni y =, y = m, = e =. Determinare per quali valori di m R si ha A(m) =.. Si consideri la funzione f : [, ] [, ], f() = +. Dopo aver provato che f è invertibile calcolare: f (y)dy. Calcolare l integrale definito π cos d. Si indichi con M(t) il valor medio integrale della funzione f() = Calcolare M(t) t + +4 nell intervallo [, t], t >.. Determinare l insieme A di tutti i valori del parametro reale positivo a per i quali vale 6 l area della figura deitata dall asse e dal grafico della parabola di equazione y = (a ) (a ) 7

18 4. Sia f() = + t + t dt.si calcolino f () e f (). 5. Sia f() = 6. Sia f() = 7. Calcolare 4 8. Sapendo che t 4 + cos dt. Si trovino e si classifichino i massimi ed i minimi relativi di f. t t + dt. Si calcoli f (). 4 d f()d =, 6 9. Risolvere e discutere l equazione. Provare che. Provare che. Provare che. Provare che 4. Provare che 5. Provare che 6. Provare che 7. Provare che 8. Provare che: 9. Calcolare 4. Calcolare 4. Calcolare 4. Calcolare 4. Calcolare 9 4 π 4 π π ( ) d = 5 f()d = 4, si calcoli t dt = 5 sin () cos 4 ()d = 5 sin cos d = ln + 6 d = ln + 7 e sin d = 5 + d = ( + e π/) + 5 d = d = 4 9 ( + ) d = 4 + d + d d + d + 9d 8 6 (f() ) d

19 t n 44. Si ponga I n () =, essendo a R un fissato reale. Si dimostri che per n vale: t + a Si usi ( ) per dimostrare che: n I n () = n + a (n )a I n (). ( ) 45. Dalla relazione ln := 46. Dimostrare che, per ogni > vale 47. Sia F(; m, n) = Si usi ( ) per calcolare F(;, ) 48. Studiare i seguenti integrali impropri: d = dt, dedurre, mediante opportune sostituzioni l identità: t ln(a b) = ln a + ln b dt + t = dt + t t m ( + t) n dt, m, n N. Dimostrare che: (m + )F(; m, n) + nf(; m +, n ) = m+ ( + ) n ( ) (e) d d d d d e d (g) (h) (i) (j) (k) e d e d e d e d ln d (l) (m) (n) (o) (p) ln d ln d (ln ) d e 7 d e d (q) (r) (s) (t) (u) ln d + d e d ( 5 + ) 4 d e 4 d 49. Studiare la funzione f() := 5. Calcolare dt + t ln t π n n e n d 5. Sia α > fissato: calcolare arcsin α α per [, [, tracciandone un grafico approssimativo α d 5. Si consideri la successione ( n ) definita per ricorrenza: =, n = n n n π e t dt, n sin e n d Provare che n n =. (Far vedere che n n e che n > per ogni n N 9

20 t 5. Trovare delle costanti a, b R tali che dt = b sin a + t 54. Sia f C(R) per cui risulti, per ogni 55. Calcolare gli integrali: f(t)dt = + +. Calcolare f () π cos cos 4 + sin 4 d ln 5 e e e d Sia f C(R) per cui risulti, per ogni 57. Se < a < b si calcoli b 58. Calcolare la derivata prima della funzione f() = 59. Calcolare gli integrali: a ( π ) f(t)dt = sin + cos. Calcolare f d. È suggerita la sostituzione = t cos( t) + sin ( t) dt 9 + d + + ( + ) d 6. Sia < <. Calcolare 6. Determinare il dominio naturale della funzione 6. Si consideri la scrittura 6. Calcolare π b t ln tdt e successivamente si calcoli ds s t ln tdt a t + b = ln( + ) + 5. Per quali valori di a, b R può essere vera? ( + cos ) sin() + 8 sin cos ( + cos sin ) d

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