Quartili. Esempio Q 3. Me Q 1. Distribuzione unitaria degli affitti settimanali in euro pagati da 19 studenti U.S. A G I F B D L H E M C

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1 Quartili Primo quartile Q 1 : modalità che ella graduatoria (crescete o decrescete) bipartisce il 50% delle osservazioi co modalità più piccole o al più uguali alla Me Terzo quartile Q 3 : modalità che ella graduatoria (crescete o decrescete) bipartisce il 50% delle osservazioi co modalità più gradi o al più uguali alla Me U.S. A G I F B D L H E M C x j Me Q 1 Q 3 Pagia 60 Esempio Distribuzioe uitaria degli affitti settimaali i euro pagati da 19 studeti Seza ordie U.S. Affitto U1 40 U 43 U3 35 U4 33 U5 45 U6 40 U7 36 U8 36 U9 4 U10 38 U11 48 U1 51 U13 39 U14 4 U15 46 U16 59 U17 53 U18 55 U19 4 Ordie crescete Posto U.S. Affitto 1 U4 33 U U U U U U U U U U U U U U U U U U16 59 Affitto Primo Quartile è 38 La mediaa è 4 Terzo Quartile è 48 Pagia 61

2 Esempio: mediaa e quartili Calcolo di mediaa e quartili MEDIANA Me x x QUARTILI Q x x Q x x Pagia 6 Medie Aalitiche Media aritmetica Si possoo calcolare solo per caratteri quatitativi (variabili cotiue o discrete) Soo fuzioi matematiche di tutti i dati osservati Cambiao se si cambia ache u solo dato Sfruttao completamete l iformazioe statistica dispoibile Pagia 63

3 Media Aritmetica: il calcolo 1) Distribuzioe uitaria semplice del carattere X x 1, x,, x i, x = = = U.S. Voto Maturità Ammotare del carattere 10 = = = M Pagia 64 Media Aritmetica: il calcolo ) Distribuzioe semplice di frequeze assolute del carattere X Car. X FREQUENZE ASSOLUTE FREQUENZE RELATIVE x 1 1 f 1 x f = = = = = x i i f i x K K f K Totale 1 MEDIA ARITMETICA PONDERATA Pagia 65

4 Esempio: distribuzioe di frequeze = Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequetati 83 K 7 = = Num. Corsi Freq. i Totale 83 x i i 1*15=15 *43=86 3*103=309 4*80=30 5*3=160 6*8=48 7*=14 95 (115) ( 43) (3103) (480) (53) (68) (7 ) 95 M = = 7 = =. Pagia 66 Esempio Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Voto di Maturità 40 K 4 = = = = = =. Voto Maturità i Totale 40 x i i Pagia 67

5 Media Aritmetica: il calcolo 3) Distribuzioe semplice di frequeze assolute del carattere X raggruppato i classi Car. X i (x 0, x 1 ] 1 (x 1, x ] (x i-1, x i ] i (x K-1, x K ] K Totale Valori cetrali c 1 c c i c K = + = = = = = Pagia 68 Esempio Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Voto di Maturità 83 K 5 Voto Maturità i [60-70] 7 (70-80] 78 (80-90] 65 (90-95] 18 (95-100] 50 Totale 83 c i c i i = + = = = i 1 = c =. 65 = = Pagia 69

6 Proprietà della media aritmetica h = = h + = = =. h = 9 = =.1 =. +. Maschi Voto Maturità i Totale 16 x i i =. = = = h h + Femmie Voto Maturità i Totale 3 = + = x i i =80.08 Pagia 70 =.08 segue proprietà della media aritmetica La media di u collettivo è la media aritmetica delle medie dei sottogruppi i cui si può ripartire il collettivo stesso poderata per le umerosità dei sottogruppi Gruppo 1 3 h L Medie M 1 M M 3 M h M L Numerosità 1 3 h L L M hh L h M 1 co h1 h Pagia 71

7 Puti deboli della media aritmetica Robustezza: sesibilità ai valori estremi Rappresetatività ei cofroti di distribuzioi asimmetriche. La media aritmetica è u valore rappresetativo ei cofroti di distribuzioi simmetriche Pagia 7 Variabilità o Dispersioe Defiizioe Attitudie di u feomeo ad assumere diverse modalità Pagia 73

8 Le medie o bastao Esempio: caratteri quatitativi Codomiio A u.s. Numero televisori u1 8 u 8 u3 8 u4 8 u5 8 Me=M=8 Codomiio B u.s. Numero televisori u1 3 u 5 u3 8 u4 10 u5 14 Me=M=8 Misure di sitesi Medie Idici di variabilità/dispersioe (Car. Quatitativi) Idici di mutabilità (Car. Qualitativi) Pagia 74 Requisiti degli idici di variabilità e dispersioe Assume valore miimo se e sole se tutte le u.s. presetao la stessa modalità Positivo se c è variabilità o dispersioe Aumeta all aumetare della diversità tra le modalità assute dalle u.s. No cambia se le frequeze vegoo moltiplicate per ua costate positiva Pagia 75

9 Idici di variabilità e dispersioe Idici di variabilità La variabilità si misura cosiderado tutte le differeze tra le modalità della distribuzioe presetate dalle u.s. prese due a due Differeze Medie Idici di dispersioe La dispersioe si misura co gli scarti tra le modalità presetate dalle u.s. e u idice di dimesioe della distribuzioe (M o Me) Variaza Scostameto (scarto) quadratico medio Pagia 76 Esempio: calcolo della variaza U.S. Temperatura Miima A 9 (x i -M) 6.9 (x i -M) B C 4 D -3 E - F = = = =. G H I J = = =. =. ( X ) Var( X ) Pagia 77

10 Esempio: calcolo della variaza Distribuzioe degli studeti di SDC frequetati la facoltà ell a.a. 001/00 per Num. Corsi Frequetati Num. Corsi i Freq Totale 83 x i i (x i -M ) (x i -M ) i = K = 7 = =. = = 7 =. =1.33 ( X ) Var( X ) Pagia 78 Scarto quadratico medio e variaza Distribuzioe uitaria Scostameto quadratico medio (deviazioe stadard) Variaza (o ha la stessa uità di misura del carattere) Deviaza Var( X ) x M x M x M 1 x M x M x M 1 x M x M x Dev( X ) M 1 Distribuzioe semplice di frequeze Scostameto quadratico medio (deviazioe stadard) Variaza (o ha la stessa uità di misura del carattere) Deviaza Var( X ) x M x M x M 1 1 i i K x M x M x M 1 1 i x1 M 1 xi M i xk M K Dev( X ) i K Pagia 79 K K

11 Idici di variabilità relativa Cosetoo di effettuare cofroti sulla variabilità di feomei che presetao uità di misura differeti pur avedo la stessa uità di misura hao valori medi differeti e quidi distribuzioi differeti I alcue situazioi è fuorviate utilizzare la deviazioe stadard per il cofroto: della variabilità di ua variabile osservata su due collettivi differeti di u.s. della variabilità di due o più variabili osservate sul medesimo collettivo di u.s. Pagia 80 Idici di variabilità relativa Ci permettoo di misurare la variabilità idipedetemete dalla gradezza e dalla scala di misura del carattere Idici percetuali di variabilità o dispersioe Idici di variabilità o dispersioe relativa Soo umeri puri o hao uità di misura Pagia 81

12 Idici di variabilità relativa Idici percetuali di variabilità o dispersioe otteuti dividedo l idice di variabilità (dispersioe) assoluto per la media rispetto alla quale è stato calcolato Coefficiete di variazioe CV 100 M Idici di variabilità o dispersioe relativa otteuti dividedo l idice di variabilità (dispersioe) assoluto per il valore massimo che esso può assumere i ua situazioe ipotetica Deviazioe stadard relativa Numero compreso tra 0 e 1 max( ) Pagia 8 Esempio: due variabili diverse I u collettivo di 91 ragazze la media del peso è pari a 55.1 Kg e la deviazioe stadard è pari a 5.7 Kg La media della statura è pari a cm e la deviazioe stadard è pari a 6.1 cm E maggiore la variabilità del peso o la variabilità della statura? Le variabili misurate soo diverse perché espresse i diverse uità di misura Pagia 83

13 Esempio: due gruppi co valori molto distati Tre eoati pesao rispettivamete 3, 4 e 5 Kg (media=4 Kg e =1 Kg) Tre bambii di 1 ao pesao 10, 11 e 1 Kg (media=11 Kg e =1 Kg) La variabile misurata è la stessa ma i valori medi delle osservazioi ei due gruppi soo molto distati (le osservazioi ei due gruppi soo su diversi ordii di gradezza) La deviazioe stadard è uguale ei due gruppi ma il buo seso suggerisce che la variabilità del peso sia maggiore ei eoati!! Pagia 84 Soluzioe Media Dev. Stadard CV Peso 55.1 Kg 5.7 Kg Statura cm 6.1 cm La variabilità del è maggiore della variabilità del Media Dev. Stadard CV Neoati 4 Kg 1 Kg Bambii di 1 ao 11 Kg 1 Kg La variabilità del è maggiore el collettivo dei Pagia 85

14 Altri idici di variabilità Campo di Variazioe Differeza Iterquartilica = oppure = W Q 3 Q 1 R 0 R=0 o c è variabilità W rappreseta il campo di variazioe per il 50% delle uità cetrali Pagia 86 Mutabilità Sioimo di eterogeeità Le misure di mutabilità si basao sull aalisi delle frequeze Mutabilità ulla = tutte le u.s. presetao la stessa modalità Massima omogeeità Tutte le i soo uguali a zero trae ua che è pari a Mutabilità massima = le frequeze delle varie modalità soo tutte uguali Miima omogeeità 1 = = = i = = K =/K Pagia 87

15 Idici di mutabilità o eterogeeità Devoo esser ulli tutte le u.s. presetao la stessa modalità Crescere all aumetare della mutabilità o eterogeeità Idice di Gii Pagia 88 Idici di mutabilità o eterogeeità Idice di Gii Idice di Gii Relativo G 1 K j1 j G G max( G) 1 1 K Assume valori tra 0 e 1-(1/K) Assume valori tra 0 e 1 Pagia 89