esercizi, Introduzione alla geometria descrittiva, 2. Monge e la doppia proiezione ortogonale, 4. Le proiezioni ortogonali di un oggetto,

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1 Indice Introduzione, 1 Disegnare significa dare forma, 1 Capitolo 1 Materiali, strumenti e attrezzature per il disegno geometrico, 3 1. La carta, 4 Quale carta usare, 4 I formati della carta, 4 2. Mine, matite, penne e strumenti per cancellare, 5 Mine e matite, 5 Penne a inchiostro, 6 Strumenti per cancellare, 7 3. Strumenti per tracciare linee e an go - li, 8 Strumenti per tracciare linee rette, 8 Strumenti per tracciare angoli, 8 Strumenti per tracciare linee curve, 9 Altre attrezzature di diffuso utilizzo, 10 Strumenti per il disegno di precisio - ne, 11 Il disegno al computer, 12 Il CAD, Tracciamenti e scritte, 13 Tipi di linee, 13 Le scritte sui disegni, 13 La squadratura del foglio, 14 esercizi, 16 Capitolo 2 Costruzioni geometriche, Le origini della geometria, Perpendicolari, Parallele, Angoli e bisettrici, Triangoli, Quadrilateri, Poligoni regolari, Suddivisione della circonferenza, Tangenti, Raccordi e archi, Policentriche chiuse: ovali, Policentriche chiuse: ovoli, Policentriche aperte: spirali, Spirale ionica, Curve per punti: coniche, Ellissi, Iperboli, Parabole, Curve cicliche, 47 Scheda 1 Definizioni fondamentali del - la geometria, 49 Scheda 2 Angoli, 51 Scheda 3 Poligoni, 52 Scheda 4 Triangoli e quadrangoli, 53 Scheda 5 Circonferenza e cerchio, 55 Scheda 6 Tipi di curve, 56 Scheda 7 Poliedri, 57 Scheda 8 Solidi di rotazione, 59 Scheda 9 Perpendicolari e angoli, 60 Scheda 10 Triangoli, 61 Scheda 11 Quadrilateri I, 62 Scheda 12 Quadrilateri II, 63 Scheda 13 Divisione di circonferenze, 64 Scheda 14 Poligoni stellati, 65 Scheda 15 Tangenti e circonferenze, 66 Scheda 16 Circonferenze e raccordi, 67 Scheda 17 Raccordi e spirali, 68 Scheda 18 Spirali, ellissi, curve cicli - che, 69 esercizi, 70 Capitolo 3 Proiezioni ortogonali, Introduzione alla geometria descrittiva, 82 I metodi della geometria descrittiva, 82 Sistemi di rappresentazione, Monge e la doppia proiezione ortogonale, 84 Pianta, prospetto frontale, prospetto laterale, Principi generali delle proiezioni or - to gonali, 86 Che cosa si intende per proiezione ortogonale, 86 Individuazione di un punto nello spa zio, 86 Piani di riferimento fondamentali, 87 Piani di riferimento ausiliari, Le proiezioni ortogonali di un oggetto, 88 La rappresentazione spaziale del sistema delle proiezioni ortogonali, La rappresentazione dell oggetto, 90 Convenzioni, Proiezioni ortogonali di punti e di ret te, 92 Proiezione di punti, 92 Proiezione di rette, Proiezioni ortogonali di segmenti, 94 Determinazione della lunghezza reale di un segmento obliquo rispetto ai tre piani di proiezione, Proiezioni ortogonali di piani, 96

2 IV Indice 9. Condizioni di appartenenza, di pa - ral lelismo, di perpendicolarità, Uso dei piani ausiliari e loro ribaltamento, Esempi di ribaltamento di piani proiet - tanti, Proiezioni ortogonali di figure piane, Proiezioni di figure su piani inclina - ti, 106 Figura geometrica comunque inclinata contenuta nel piano proiettante, Proiezioni ortogonali di solidi, 110 Utilizzo del triedro trirettangolo, 112 Esempi di proiezioni di solidi variamente disposti ma con una faccia o una base paralleli a un piano di proiezione, Proiezioni ortogonali di solidi inclinati, 114 Solidi inclinati rispetto a due piani di proiezione ma con l asse parallelo a un quadro, 114 Solidi inclinati rispetto ai tre piani di proiezione ma con una faccia, uno spigolo o un asse parallelo a un piano proiettante, 116 Metodo delle rotazioni successive, 118 So lidi comunque inclinati rispetto ai quadri, Proiezioni ortogonali di gruppi di solidi, Esempi di proiezione di gruppi di so - lidi, La sezione, Sezioni di prismi, parallelepipedi e pi ramidi, 130 La forma reale della sezione, Sezioni di cilindri e di sfere, Sezioni coniche, 134 La forma reale della sezione, Esempi di sezioni coniche, 136 La vera forma dell intersezione di un cono con un piano inclinato perpendicolare al P.V. e parallelo a una generatrice, 136 La vera forma dell intersezione di un cono con un piano perpendicolare al P.V. e al P.O. e parallelo all asse del cono, Intersezioni e compenetrazioni di solidi, 138 Intersezione di un cilindro orizzontale con un prisma a sezione triangolare con assi ortogonali fra loro, 140 In ter sezione di un cono con un cilindro orizzontale, 141 Compenetrazione tra due cilindri di diametro diverso e assi inclinati fra loro, 142 Scheda 1 Figure su piani comunque in - clinati, 143 Scheda 2 Solidi su piani comunque inclinati, 144 esercizi 145 Capitolo 4 Sviluppo dei solidi, Lo sviluppo dei solidi, Poliedri, 172 Tetraedro, 172 Cubo (esaedro), 172 Ottaedro, 172 Dodecaedro, 173 Icosaedro, 173 Icosaedro tronco, Prismi e piramidi, 174 Parallelepipedo rettangolo, 174 Prisma regolare triangolare, 174 Prisma regolare pentagonale, 174 Prisma regolare esagonale, 175 Piramide a base quadrata, 175 Tronco di piramide a base quadrata, Coni, cilindri e sfere, 176 Sviluppo del cono, 176 Sviluppo del tronco di cono, 176 Sviluppo del cilindro, 176 Sviluppo della sfera, Sviluppo di solidi sezionati, 178 Sviluppo di una piramide a base esagonale se - zionata, 178 Sviluppo di un tronco di cono, Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni, 180 Sviluppo delle superfici di intersezione tra un cono e un prisma a base quadrata con assi ortogonali e incidenti, 180 Sviluppo delle superfici di due cilindri di ugual diametro compenetrati tra loro con assi ortogonali e incidenti, 182 Sviluppo delle superfici di due cilindri di ugual diametro compenetrati tra loro con assi incidenti ma non ortogonali, 182 esercizi 183 Capitolo 5 Assonometria, La rappresentazione assonometri ca, Gli elementi fondamentali della rappresentazione assonometrica, 194 La proiezione degli assi sul quadro, Assonometrie oblique, 196 Assonometria cavaliera isometrica, 196 Asso - nometria cavaliera dimetrica, 198 Assonome - tria cavaliera planometrica (o militare aerea), 198

3 Indice V 4. Realizzazione grafica del disegno assonometrico, 200 Esempio 1: rappresentazione in assonometria cavaliera isometrica di un parallelepipedo, 200 Esempio 2: rappresentazione in assonometria cavaliera isometrica di un solido composto, 201 Il parallelepipedo contenente l oggetto, 202 Rappresentazione di circonferenze e poligoni in assonometria cavaliera dimetrica, 203 As sonometria isometrica di un edificio, 204 Reticoli assonometrici, Assonometrie ortogonali, 206 Assonometria ortogonale isometrica, 206 As - so no me tria ortogonale dimetrica, 206 As so - no me tria ortogonale trimetrica, 207 Le assonometrie consigliate dalle norme UNI, 207 Il rapporto di riduzione, 208 Uso dei reticoli assonometrici, 208 Rappresentazione di solidi a base circolare o poligonale in assonometria ortogonale, Le varie forme di rappresentazione assonometrica, 210 Lo spaccato assonometrico, 211 L assonometria trasparente, 213 L esploso assonometrico, 214 L assonometria sequenziale nel linguaggio delle istruzioni, 215 Scheda 1 Il rapporto di riduzione, 216 Scheda 2 Assonometria di una sfera, 218 esercizi 219 Capitolo 6 Prospettiva, Elementi base della prospettiva, La rappresentazione prospettica, 233 Le intuizioni prospettiche nell età antica e nel Medioevo, 233 La teorizzazione della prospettiva nel Rinascimento, Tipi di rappresentazioni prospetti - che, Campo visivo e punto di vista, 240 Il campo visivo, 240 La scelta del punto di vista, La rappresentazione grafica della prospettiva centrale, 244 Metodo dei punti di distanza, 244 Uso del ribaltamento per la rappresentazione sul piano, 244 Rappresentazione in prospettiva di un triangolo isoscele, Regole della prospettiva, 246 Le regole fondamentali, Prospettiva centrale di figure pia ne, 248 Prospettiva centrale di un esagono regolare, 248 Prospettiva centrale di un esagono regolare con la figura preparatoria, 248 La rappresentazione di cerchi in prospettiva centrale, 250 La rappresentazione di figure irregolari in prospettiva centrale, Prospettiva centrale di solidi, 251 Il parallelepipedo contenente l oggetto, 252 La pianta ausiliaria, Prospettiva centrale di un portica to, La prospettiva d angolo o accidentale, 256 La figura preparatoria, 256 Come valutare le posizioni dei punti di fuga rispetto alle dimensioni del foglio, Metodi della prospettiva acciden - tale, 257 Metodo del taglio dei raggi visuali, 257 Metodo dei punti di fuga, 258 Metodo delle perpendicolari al quadro, 258 Metodo dei punti misuratori, 259 Procedimento semplificatore: uso del punto di fuga delle diagonali, Solidi in prospettiva accidentale, 261 La definizione delle altezze in prospettiva accidentale, 261 Prospettiva accidentale di un parallelepipedo a base rettangolare, 261 Pro spettiva accidentale di solidi con forme circolari o irregolari, 261 Procedimento semplificatore: punto di fuga dei piani inclinati, La prospettiva accidentale di una scala, La prospettiva accidentale di un edificio, 264 Esempi di prospettive accidentali, La prospettiva accidentale di un sedile, La prospettiva a quadro inclinato, 268 Prospettiva di un solido con vista dal basso, 268 Prospettiva di un solido con vista dall alto, Reticoli prospettici, 270 esercizi 271

4 VI Indice Capitolo 7 Teoria delle ombre, L ombra crea il volume, 282 Studiare le ombre per valorizzare una for - ma, La rappresentazione geometrica dell ombra, 285 Ombra propria, ombra portata e autoportata, 285 L inclinazione dei raggi luminosi, L ombra nelle proiezioni ortogonali: ombra di punti e segmenti, 286 Ombra di punti, 286 Ombre portate di segmenti di retta, Ombre portate di figure piane, 288 Figure piane definite da lati e vertici, 288 Ombra portata di un cerchio, Ombre propria e portata di solidi, 290 Solidi poliedrici, 290 Ombra propria e portata di un cilindro, 291 Ombra propria e portata di un cono, Ombre propria e portata della sfe - ra, Ombre propria e portata di gruppi di solidi, 293 Solidi fra loro sovrapposti, 293 Solidi fra loro interposti, 293 Solidi sovrapposti e inter - po sti, Ombre autoportate, 294 Ombra della sfera cava, 294 Ombra autoportata della nicchia costituita da un semicilindro e un quarto di sfera cava, La planivolumetria, Le ombre in assonometria, Le ombre in prospettiva, 298 esercizi 300 Glossario, 304 Referenze, 306

5 282 Capitolo 7 L ombra crea il volume 1 Un oggetto per quanto minuziosamente rappresentato in proiezioni ortogonali, in assonometria o in prospettiva può risultare piatto, privo cioè di quelle connotazioni volumetriche che solo i contrasti tra la luce e l ombra sanno dare ( 1 ). Gli architetti del Quattrocento, nell intento di rendere più comprensibili e piacevoli i propri progetti, presero a fare ricorso all ombreggiatura in modo da mettere in risalto i volumi e le emergenze importanti ( 2 ). Da quel momento l ombra ha cominciato a diventare parte integrante delle arti visive. La tecnica geometrica di rappresentazione delle om - bre è anch essa figlia della geometria descrittiva e si è sviluppata in parallelo con i suoi progressi. Le ombre rappresentate con sistemi geometrici sono un astrazione: esse sono il frutto di scelte convenzionali ne - cessarie a renderne possibile la realizzazione con criteri geometrici, ma non sempre rispondenti a ciò che avviene nella realtà, dove molte superfici curve passano dalla luce all ombra mediante una serie di sfumature (chiaroscuro) ( 3 ). Tuttavia la loro rappresentazione sui disegni risponde bene all esigenza di evidenziare i volumi e le forme: il suo uso è perciò piuttosto frequente nel disegno architettonico e in quello relativo alla comunicazione visiva in genere. 1 Le ombre definiscono il volume di immagini che altrimenti apparirebbero piatte. A destra, particolare di Paolina Bonaparte scolpita da Antonio Canova (Roma, Villa Borghese, 1811). 3 Sulle superfici curve il passaggio da luce a ombra non è netto ma sfumato. 2 Studio prospettico con ombre di Prospero Zanichelli ( ). Nel disegno architettonico l uso dell ombreggiatura consente di creare effetti di volume e di profondità.

6 Teoria delle ombre Prospetto con ombre, della facoltà di Architettura di Milano (arch. Vittoriano Viganò). 5 Un significativo effetto di tridimensionalità ottenuto con l applicazione delle ombre su di un particolare architettonico. 6 Due realizzazioni grafiche di Marcello Morandini realizzate con l utilizzo delle sole ombre.

7 284 Capitolo 7 1 L ombra crea il volume Studiare le ombre per valorizzare una forma La definizione delle fonti luminose e delle ombre richiede specifiche abilità professionali specie nel campo cinematografico, televisivo, teatrale, museale, espositivo e musicale, dove il gioco delle luci e delle ombre può esaltare l azione o l oggetto ( 7 ). Il tecnico che assolve a questo compito, chiamato datore di luci, svolge un attività molto interessante che richiede sensibilità artistica e ampie conoscenze tecniche: sempre più spesso, infatti, le luci sono azionate da programmi computerizzati che ne variano l intensità, il colore, il fascio luminoso e la direzione in relazione agli effetti voluti. Nell ambito del disegno, la definizione geometrica delle ombre riguarda in particolare il disegno architettonico, dove spesso è importante evidenziare i volumi, le sporgenze, le cavità, sia in pianta sia in prospetto. È sempre più diffuso l utilizzo di programmi di disegno per il computer che danno la possibilità di ottenere in modo automatico le ombre propria e portata di un oggetto ( 8 ). 7 L illuminazione di questa scultura di Antonio Canova ( ) evidenzia molto bene le ombre proprie, quelle autoportate e portate, la linea separatrice d ombra lungo gli spigoli vivi e lo sfumato sulle superfici curve della guancia. 8 Ombre proprie e ombre portate nel modello virtuale del nuovo Museo di Arte Contemporanea di Stoccarda, inserito nel contesto urbano (arch. Arata Isozaki).

8 2 L ombra di un oggetto illuminato da una lampadina posta alla distanza di qualche metro è prodotta dal cono dei raggi luminosi che incontra il perimetro dell oggetto e ne proietta l ombra sul piano ( 1 ). Se la sorgente luminosa è invece posta a distanza infinita dall oggetto (immaginiamo la luce del Sole), il perimetro dell oggetto sarà intercettato da un fascio di raggi luminosi paralleli che proiettano un ombra diversa da quella della sorgente luminosa vicina all oggetto ( 2 ). Per individuare graficamente l ombra di un oggetto si immagina che la sorgente luminosa sia posta a distanza infinita, di conseguenza i raggi saranno sempre paralleli fra loro e individuati da una direzione e da un verso. Teoria delle ombre La rappresentazione geometrica dell ombra L ombra autoportata è invece quella che il corpo proietta su se stesso, in qualche sua nicchia o rientranza ( 3 ). L inclinazione dei raggi luminosi La realizzazione grafica delle ombre avviene, per convenzione, immaginando che le proiezioni dei raggi sui piani verticale e orizzontale siano inclinate di 45. L in cli na zione così determinata corrisponde alla diagonale di un cubo e ha rispetto ai piani ortogonali un inclinazione di circa ( 4 ). 285 Ombra propria, ombra portata e autoportata 3 Quando i raggi luminosi incontrano un oggetto, determinano su questo un ombra nella zona opposta alla provenienza dei raggi, che prende il nome di ombra propria. L ombra propria è idealmente delimitata dai raggi tangenti il solido secondo una linea separatrice d ombra ( 3 ). L ombra dell oggetto proiettato su uno o più piani viene invece chiamata ombra portata ( 3 ): essa avrà una intensità più marcata rispetto all ombra propria

9 286 Capitolo 7 3 L ombra nelle proiezioni ortogonali: ombra Ombra di punti La definizione dell ombra di uno o più punti in proiezioni ortogonali è determinata dalla proiezione del punto con i raggi luminosi inclinati (per convenzione) di 45 rispetto ai piani ortogonali. L ombra del punto si forma sul piano (orizzontale o verticale) più vicino e la proiezione del raggio passante per il punto che incontra per primo la L.T. prosegue verticalmente fino a incontrare l altra proiezione del raggio luminoso nel punto corrispondente all ombra del punto ( 1 ). In molti casi, per la costruzione dell ombra di una fi - gura o di un solido, è utile poter disporre del punto d ombra che finisce sul P.O. e sul P.V. oltre il piano che il raggio luminoso incontra per primo, immaginato trasparente. Que sto punto d ombra, che chiamiamo ombra virtuale OV di P, viene ribaltato sul P.V. o sul P.O. (in base alla distanza di P dai rispettivi piani) come esemplificato dalle figure 2a e 2b. 1 2 a L ombra di P si forma nel punto OP sul P.V., più vicino a P. b L ombra di P si forma nel punto OP sul P.O. più vicino a P. c Se il punto P è equidistante dal P.V. e dal P.O. l ombra OP si forma sulla L.T.

10 di punti e segmenti Teoria delle ombre 287 Ombre portate di segmenti di retta Per disegnare le ombre portate di segmenti di rette, si individua l ombra dei punti alle estremità del segmento come a pagina precedente, congiungendole. Il procedimento consiste nel tracciare, dagli estremi del segmento in proiezioni ortogonali, partendo dai punti più vicini alla L.T., una linea inclinata di 45 fino alla L.T. Dalla L.T. e perpendicolarmente alla medesima si traccia poi una linea fino a intersecare i corrispondenti raggi definiti dalla proiezione sull altro piano ( 3a e 3b ). Nel caso delle figure 3c, 3d, 3e e 3f l ombra si forma sul P.V. e sul P.O.; in tal caso per definire l ombra occorre utilizzare il punto di ombra virtuale OV B ribaltato in (OV B) che, congiunto con OA, individua sulla L.T. il punto C, che consente di definire la direzione dei tratti d ombra compresi tra OA e OB. 3 a b c d e f

11 288 Capitolo 7 4 Ombre portate di figure piane Figure piane definite da lati e vertici Per individuare l ombra portata di figure geometriche regolari (o irregolari) piane si individua l ombra di ogni vertice: la congiungente questi punti definisce l ombra della figura. In base alla posizione della figura rispetto ai due piani di proiezione, l ombra portata può risultare proiettata su un solo piano di proiezione ( 1 e 2 ) o su entrambi ( 3 ); in questo ultimo caso, se il segmento che produce l ombra è inclinato rispetto a uno o a tutti e due i piani di proiezione, si utilizza il punto di ombra virtuale ribaltato relativo alla estremità del segmento che cade sull altro piano ( 3, 4 e 5 )

12 Teoria delle ombre 289 Ombra portata di un cerchio Si possono verificare i seguenti casi. a) L ombra è tutta proiettata sul P.V. ( 6 ): basta trovare l ombra del centro del cerchio e tracciare il cerchio dell ombra con lo stesso raggio OA. b) L ombra è tutta proiettata sul P.O. ( 7 ): si individua per punti, raccordando con una curva ellittica (tracciata anche con il curvilinee) l ombra sul P.O. dei punti definiti sulla circonferenza dagli assi e dalle diagonali del cerchio. c) L ombra è proiettata su entrambi i piani ( 8 ): si determina l ombra che cade sul P.V. (piano parallelo al cerchio) trovando il centro virtuale del cerchio (OV O), da cui si traccia il segmento circolare che incontra sulla L.T. l ombra ellittica giacente sul P.O. tracciata per punti, come esemplificato nella figura

13 290 Capitolo 7 5 Ombre propria e portata di solidi Solidi poliedrici I raggi luminosi, incontrando gli spigoli del solido, proiettano un ombra portata dalla parte opposta rispetto alla direzione dei raggi; la delimitazione è data dalla linea separatrice, così chiamata perché se - para la parte illuminata del solido da quella in ombra ( 1, 2 e 3 ). La linea separatrice è individuata agevolmente nel caso di figure poliedriche, dove la separazione è data dalla tangenza dei raggi luminosi con i vertici esterni del - la figura in pianta e con i suoi spigoli esterni in alzato

14 Teoria delle ombre 291 Ombra propria e portata di un cilindro a) Cilindro retto poggiante sul P.O. La linea separatrice, in questo caso, è determinata dai punti di tangenza dei raggi luminosi con la base del cerchio e innalzando da qui le generatrici ne troviamo l andamento complessivo ( 4 ). L ombra del ci - lindro è poi determinata dall ombra del cerchio su - periore raccordata con l ombra della parete verticale. Ombra propria e portata di un cono a) Cono retto posato con la base sul P.O. Per prima cosa occorre determinare il punto virtuale (OV V) ombra del vertice V; da questo, mandando le tangenti alla base del cono nei punti A e B e congiungendo tali punti con il vertice V, troviamo la linea separatrice dell ombra sulla superficie del cono ( 5 ). 4 5

15 292 Capitolo 7 6 Ombre propria e portata della sfera Date le proiezioni ortogonali della sfera, si procede con il seguente ordine delle operazioni ( 1 ). 1. Si trova l ombra reale OO e virtuale OV O del centro della sfera. 2. Si ricerca poi la linea separatrice dell ombra sulla sfera in pianta e in prospetto; essa appare come una ellisse per il tracciamento della quale occorre conoscere l asse maggiore e quello minore. Sul P.O. l asse maggiore A B è dato dal diametro della sfera e la stessa cosa vale sul P.V. per l asse E F. Per trovare l altro asse C D sul P.O., occorre ribaltare il piano verticale passante per O che ha come traccia r sul P.O. ( 2 ). Per fare questo portiamo una perpendicolare a r passante per O e riportiamo su questa la distanza d 2 (altezza di O dalla L.T.): tro- viamo così il punto (O ) che congiunto con (OV O) determina (r ); disegnata la circonferenza con centro in (O ), mandiamo la perpendicolare a (r ) in (O ) trovando sulla circonferenza (C) e (D) che, portati su r, determinano l asse minore dell ellisse C D. 3. Determinata l ellisse (dati gli assi), si possono disegnare la separatrice d ombra ( 3 ) e l ombra portata di questa proiettandone gli assi che consentono di tracciare l ellisse del contorno dell ombra. 4. Procedendo nello stesso modo si determinano la separatrice e l ombra di questa per la proiezione della sfera sul P.V. 5. L incontro sulla L.T. delle ellissi delle ombre determinate dalle rispettive separatrici d ombra individua il contorno dell ombra sulla sfera 1. 2 Determinazione degli assi della separatrice d ombra. b 1 Costruzione dell ombra di una sfera. a 3 Costruzione semplificata dell ellisse dati gli assi. c

16 7 La definizione delle ombre nel caso di gruppi di solidi è determinata dal tipo e dalla posizione reciproca dei solidi rispetto ai raggi luminosi. Per semplicità di ragionamento si possono individuare le seguenti tipologie caratterizzanti i gruppi di solidi: solidi fra loro sovrapposti, solidi fra loro interposti, solidi sovrapposti e interposti. Solidi fra loro sovrapposti Si considera un solido per volta partendo dal basso e si determina l ombra relativa. Il solido superiore proiet ta la sua ombra anche su quello inferiore (si può considerare il piano di appoggio come un P.O. ausiliario). Nella definizione finale le ombre dei solidi si sovrappongono; si considera pertanto l estensione complessiva dell ombra definita dalle rispettive linee separatrici. Nell esempio ( 1 ), per determinare l ombra della piramide sul prisma sottostante, si è considerato un Teoria delle ombre 293 Ombre propria e portata di gruppi di solidi piano orizzontale ausiliario α 2 corrispondente al pia - no di appoggio della piramide. Solidi fra loro interposti In questo caso l ombra portata di un solido si adagia in tutto o in parte sulla superficie del solido retrostante rispetto alla provenienza dei raggi luminosi. Se le facce del solido retrostante sono contenute in piani, si possono considerare tali facce come piani ausiliari variamente inclinati sui quali ricavare l ombra portata ( 2 ). Se le superfici sono curve il procedimento diventa più complesso trattandosi di ombre portate su superfici curve. Solidi sovrapposti e interposti In questi casi si procede sommando le tipologie di intervento specifiche dei due gruppi precedenti. 1 2

17 294 Capitolo 7 8 Ombre autoportate Si definiscono ombre autoportate le ombre prodotte da elementi di un piano sporgenti o rientranti. Fanno parte di questa categoria i frontespizi delle costruzioni con i loro componenti architettonici: lesene, colonne, balconi, nicchie, cornicioni ecc. ( 1 ). La definizione delle ombre aiuta molto la percezione volumetrica dell andamento superficiale della facciata ( 2 ). La possibilità di combinazione degli elementi che generano ombre autoportate sono, come si può immaginare, moltissime e vanno risolte caso per caso. Per tutte le situazioni si applicano le regole generali delle ombre dei solidi viste nelle pagine precedenti. Ombra della sfera cava I raggi luminosi incontrano la superficie cava sferica a diverse profondità; occorre pertanto utilizzare alcune sezioni della sfera: siano queste ottenute con i piani secanti α, β, γ ( 3 ). Per individuare i punti di intersezione si effettua un ribaltamento delle sezioni e dei raggi luminosi ( 4 ) con le stesse modalità usate per ribaltare i centri della sfera a pagina 292. Dove i raggi incontrano le sezioni si trovano i punti dell ellisse che determinano il contorno dell ombra autoportata. 1 Disegno delle ombre autoportate sulla facciata principale dell Hotel Il Palazzo, a Fukuoka in Giappone, progettato da Aldo Rossi e Morris Adjmi

18 Teoria delle ombre 295 Ombra autoportata della nicchia costituita da un semicilindro e un quarto di sfera cava 6 L ombra della calotta costituita da un quarto di sfera cava è assimilabile all esempio precedente (punti 3 e 4 di figura 6 ). L ombra all interno della parte cilindrica invece si ricava direttamente dalla pianta verticale fino al punto 1. La parte di raccordo tra i due tratti d ombra si ricava per punti partendo dalla pianta e dal bordo curvo della nicchia (punto 2); il raccordo si effettua con un curvilinee. In figura 7 sono rappresentate le ombre autoportate di altri tipi di nicchia. 5 Ombra autoportata di una nicchia. 7 a Ombra della nicchia semicilindrica chiusa. b Ombra della nicchia semicilindrica aperta superiormente. c Ombra della nicchia a pianta rettangolare chiusa superiormente da un arco.

19 296 Capitolo 7 La planivolumetria 9 Nel caso di progetti di edifici il cui volume è particolarmente articolato, risulta utile ricorrere a planimetrie nelle quali l edificio è disegnato con ombre che mettono in evidenza le variazioni delle altezze, consentendo la percezione del volume. In questo caso la planimetria prende il nome di planivolumetria. La rappresentazione planivolumetrica è molto semplice: la costruzione delle ombre avviene tracciando raggi convenzionalmente inclinati di 45 lungo i lati del perimetro di ogni elemento dell edificio e determinando l ombra propria e portata di ciascun elemento in base all altezza relativa. La scelta della direzione dei raggi luminosi nelle planivolumetrie è in relazione alla disposizione dei volumi; essa può variare in base alle esigenze di rappresentazione come evidenziato dalle illustrazioni 1 e 2. 1 Planivolumetria di una scuola elementare (arch. Aldo Rossi). 2 Planivolumetria del Biocenter di Francoforte (arch. Peter Eisenman).

20 10 Le ombre in assonometria La rappresentazione delle ombre in assonometria ( 1 ) utilizza gli stessi princìpi visti per il disegno delle stesse in proiezioni ortogonali. In genere la sorgente lu - mi nosa è considerata all infinito e i raggi luminosi risultano pertanto paralleli. Per disegnare l ombra di solidi in assonometria occorre predeterminare l inclinazione i e la direzione d dei raggi luminosi ( 2 ), tenendo conto che più i raggi sono inclinati più l ombra si allunga sul piano orizzontale. L ombra propria si ottiene tracciando le parallele alla direzione prescelta d tangenti alla pianta del solido, individuando così la linea separatrice d ombra. L ombra portata è definita per punti dalle intersezioni dei raggi inclinati (paralleli a i) passanti per i punti superiori della separatrice d ombra con quelli (paralleli a d) passanti per i punti inferiori della medesima. Teoria delle ombre

21 298 Capitolo 7 Le ombre in prospettiva 11 La rappresentazione delle ombre in prospettiva avviene in modo analogo alla rappresentazione delle ombre in assonometria. Anche in questo caso l ombra è individuata dall intersezione di due fasci di raggi luminosi: quello tangente la pianta e quello tangente l alzato. Per fonte luminosa si intende la luce solare, i raggi pertanto sono paralleli fra loro e concorrono in un punto di fuga. I due fasci luminosi, in prospettiva, si dipartono da due punti di fuga: uno che chiamiamo S, collo cato al di sopra o al di sotto della linea di orizzonte, l altro che chiamiamo S, collocato sulla linea di orizzonte sulla verticale condotta da S ( 1 ). In S concorrono i raggi reali, in S le proiezioni orizzontali degli stessi. I punti S e S si individuano in pratica direttamente sul disegno prospettico, essi infatti sono posizionabili a piacere a seconda dell effetto prospettico delle om - bre che si vuole ottenere. Consideriamo, come esempio, le ombre in prospettiva di un parallelepipedo in tre situazioni tipo: a) fonte luminosa posta dietro all oggetto ( 1 ); b) fonte luminosa posta di fronte all oggetto ( 2 ); c) fonte luminosa posta a fianco dell oggetto ( 3 ). 1 Fonte luminosa posta dietro l oggetto.

22 Teoria delle ombre Fonte luminosa posta di fronte all oggetto. 3 Fonte luminosa posta a fianco dell oggetto.

23 300 Capitolo 7 e s e r c i z i 1 Ombra portata di un tavolo Il tavolo è vicino a un muro verticale (il P.V. delle proiezioni ortogonali). Disegna, dopo aver individuato la linea separatrice d ombra con apposite lettere, l ombra portata sul pavimento e sul muro. 2 Ombra portata e autoportata di un sedile Disegna, dopo aver individuato la linea separatrice d ombra con apposite lettere, l ombra portata del sedile in proiezioni ortogonali nelle due posizioni indicate; nel secondo caso trova anche l ombra autoportata. 3 Ombre autoportate di rientranze e nicchie Dopo aver disegnato queste figure, raddoppiando le misure, ricava l ombra autoportata delle rientranze e delle nicchie.

24 e s e r c i z i Teoria delle ombre Ombra portata di un parallelepipedo sovrapposto a un prisma esagonale Esercizio guidato Lo spigolo di un parallelepipedo individuato dalle lettere A, B, C proietta la sua ombra sulla superficie del prisma. Per individuare il tracciato occorre procedere a ritroso dal punto 1 con una linea inclinata di 45 e definire i punti D e D sullo spigolo del parallelepipedo e nello spesso modo dal punto 2 per trovare i punti E e E che consentono di tracciare i punti OD e OE e la loro congiungente. OB, ombra del punto B, si ottiene con la costruzione normale; OF, ombra del punto F, si ottiene con il procedimento a ritroso dal punto 3. La congiungente OD, OE, OB, OF delimita l ombra portata sul prisma. 5 Ombra portata di due parallelepipedi e di un parallelepipedo sovrapposto a un prisma irregolare Per eseguire questo esercizio procedi come indicato nell esercizio guidato precedente.

25 302 Capitolo 7 e s e r c i z i 6 Le ombre sulla facciata La facciata dell edificio presenta sporgenze (i bal coni) e rientranze (le logge dietro i balconi e le zone rientranti al pia no terra di uguale pro fondità). Con l inclinazione dei raggi luminosi a 45, determina le ombre dei vari elementi dopo aver disegnato il prospetto e lo stralcio di pianta con dimensioni doppie rispetto a quelle qui riportate. 7 Ombra propria e portata in assonometria di una cabina sulla spiaggia Disegna in assonometria cavaliera isometrica la cabina stabilendo tu le dimensioni. Individua a piacere l inclinazione e la direzione dei raggi luminosi. 8 Ombre propria e portata di una scala in assonometria Disegna la scala con dimensioni sufficientemente grandi (almeno come nell esempio) utilizzando l assonometria ca valiera planometrica. Stabilisci poi a piacere l inclinazione e la direzione dei raggi luminosi e prova a individuare l ombra propria e portata della scala. Se l inclinazione e la direzione scelte non danno l effetto desiderato, cambiale fino a trovare un risultato soddisfacente.

26 e s e r c i z i Teoria delle ombre Planivolumetria di un gruppo di solidi Disegnata la pianta del gruppo di solidi, puoi ricavare la planivolumetria utilizzando raggi luminosi provenienti secondo la direzione indicata; il prospetto ti dà le altezze dei vari solidi. 10 Ombre di grattacieli in assonometria I grattacieli sono immaginati isolati in un deserto; disegnali in assonometria uno per volta e, stabilite a piacere inclinazione e direzione dei raggi luminosi, ricavane l ombra propria e quella portata.

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