Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio.

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1 1 Funzione Continua Una definizione intuitiva di funzione continua è la seguente. Una funzione è continua se si può tracciarne il grafico senza mai staccare la matita dal foglio. Seppure questa non è una definizione matematicamente rigorosa, la adottiamo per semplicità in questo corso. Vediamo alcuni esempi. 1. La figura mostra la funzione: F(x)= n+1 per n x<n+1 Dove n sono numeri interi, disegnata tra 0 e 4 Chiaramente la funzione è continua nei tratti compresi tra n ed n+1, ma non lo è ogni volta che x=n, dove mostra un salto (discontinuità).. La seguente funzione è continua ovunque tranne che in x 0.

2 3. Questo grafico rappresenta la funzione: f(x)= sen (x) E una funzione continua ovunque. Però presenta una discontinuità nella sua derivata in corrispondenza di π e multipli di π. Discontinuità nella derivata hanno l aspetto di spigoli.

3 3 Massimi e Minimi Data una funzione f(x), si dice che essa ha un massimo assoluto in corrispondenza di un certo valore x M se f(x M ) f(x) per ogni valore x per cui la funzione è definita. Si dice invece che essa ha un massimo relativo in corrispondenza di un certo valore x m se la relazione f(x m ) f(x) vale per tutti gli x contenuti in un intorno di x m Possiamo definire intorno di x m un segmento (anche molto piccolo) di valori x che circonda x m. Esempio 1. F(x 1 ), F(x ), F(x 3 ) ed F(x 4 ) sono massimi della funzione F(x). F(x 1 ) è un massimo assoluto, F(x ), F(x 3 ) ed F(x 4 ) sono massimi relativi. F(x 5 ) non è un massimo. Esempio. F(x 1 ), F(x ), F(x 3 ) ed F(x 4 ) sono tutti massimi relativi. F(x ) è anche massimo assoluto.

4 4 Analogamente, si dice che f(x) ha un minimo assoluto in corrispondenza di un certo valore x M se per ogni valore x per cui la funzione è definita. f(x M ) f(x) Si dice che f(x) ha un minimo relativo in corrispondenza di un certo valore x m se la relazione vale per tutti gli x contenuti in un intorno di x m. f(x m ) f(x) Come possiamo identificare massimi e minimi di una funzione? Gli esempi sembrano suggerire che un massimo od un minimo relativo sia associato ad una derivata pari a zero (la pendenza della curva appare piatta nei massimi o nei minimi relativi). Ma questa non è una condizione né necessaria, né sufficiente. Se infatti la derivata della funzione non è continua, potremo avere un massimo relativo con uno spigolo che non si associa ad una derivata uguale a zero. Oppure potremmo avere un punto di flesso, cioè un punto dove la derivata è nulla senza che vi sia un massimo relativo. Nella figura seguente la derivata è positiva per valori x<x 0, diminuisce avvicinandosi ad x 0 fino a divenire piatta (derivata=0). Ma quando x supera x 0 la derivata diviene nuovamente positiva e la funzione continua a crescere. Il punto x 0 è un flesso.

5 5 Per definire un criterio che individui massimi e minimi relativi di una funzione, dovremmo allora considerare solo funzioni continue assieme alla loro derivata. Inoltre non ci basterà considerare la derivata della funzione (o derivata prima), ma dovremo tenere conto anche della derivata della funzione derivata (o derivata seconda), come illustrato dal seguente schema. I tre grafici nella prima colonna mostrano (dall alto in basso) una funzione F(x) con un massimo relativo in x 0, la sua derivata (o derivata prima, F (x)) e la derivata della funzione derivata (o derivata seconda, F (x)). Chiaramente la derivata prima è positiva fino ad x 0, dove F(x) raggiunge il massimo relativo: qui F (x 0 )=0. Per x>x 0 la funzione F(x) inizia a decrescere, e la derivata diviene negativa. Quindi la funzione derivata è una funzione decrescente che intercetta l asse X nel punto x 0. Pertanto la derivata seconda (cioè la derivata della derivata) sarà negativa nel punto di massimo: F (x 0 )<0. Il discorso opposto vale per il minimo relativo (pannelli nella seconda colonna). In questo caso la derivata è negativa fino ad x 0 : qui F (x 0 )=0. Per x>x 0 la funzione cresce, e la derivata diviene positiva. Quindi F(x) è una funzione crescente che intercetta l asse X nel punto di minimo relativo. Pertanto la derivata seconda sarà positiva nel punto di minimo: F (x 0 )<0. Nel caso dei flessi (crescente o decrescente) abbiamo una situazione differente. La derivata vale zero nel punto di flesso, ma è sempre positiva (o uguale a zero) nell intorno del flesso crescente; sempre negativa (o uguale a zero) nell intorno del flesso decrescente. La derivata seconda cambia segno nel punto di flesso, ed è quindi pari a zero.

6 6 In conclusione: Se una funzione f(x) è continua, e lo sono anche la derivata prima e seconda, f (x) ed f (x) allora un punto in cui f (x)=0 è: un massimo relativo se f (x)<0; un minimo relativo se f (x)>0. Problemi di Massimi e Minimi Problema 1). E un problema storicamente importante in quanto è stato risolto applicando per la prima volta il criterio dei punti stazionari (cioè i punti in cui la derivata di una funzione è zero) prima ancora che si sviluppasse la teoria del calcolo delle derivate. Autore del problema e della sua elegante soluzione è stato Pierre de Fermat ( ). Dato un segmento di lunghezza L, a quale distanza x da un estremità lo dobbiamo dividere se vogliamo che il rettangolo formato dai due sotto-segmenti risultanti abbia la massima area? Se spezziamo il segmento in x, i due segmenti risultanti hanno lunghezza x ed L-x. Dobbiamo scegliere x in modo da massimizzare l area A= x(l-x) Quindi il problema diviene quello di trovare il massimo della funzione A(x)= xl-x. La derivata prima è A (x)= L-x A (x)=0 in L-x =0 x=l/ La derivata seconda A (x)=- è sempre <0, quindi x=l/ è un massimo.

7 7 Problema ). Per risparmiare alluminio, un produttore di carne in scatola vuole ridurre al massimo la superficie della scatoletta, a parità di volume. Le scatolette sono cilindriche. Quale sarà il rapporto ottimale tra altezza h del cilindro e raggio r della base del cilindro per usare la quantità minima di alluminio? La superficie S del cilindro è data da: S= S Base +S lato La superficie della base, S Base, è πr La superficie laterale, S lato, è πrh Quindi S=πr +πrh Dobbiamo trovare il minimo di S, che però, apparentemente, è funzione di variabili: r ed h. Bisogna però considerare che r ed h non possono variare liberamente, perché il volume della scatoletta è fisso, ed è una costante del problema. Il volume di un cilindro di altezza h e base di raggio r è: V = π r h V da cui ricaviamo che: h = π r Sostituendo questa espressione di h otteniamo: ( ) S r ( ) π = r + π rv π r 1 S r = π r + V r Dato che V è costante, S è funzione solo di r. Per minimizzare S, troviamo il punto a derivata nulla e derivata seconda negativa. ( 1) S '( r) = 4π r + V r S (r)=0 implica: V 4π r = r 3 4π r = V 3 V r = π Ma V = π r h e quindi 3 π r h r = π h r = La scatoletta deve essere alta quanto il diametro della base.

8 8 Esercizio. 1) Verificare che nel problema precedente r=h/ è un punto di minimo e non di massimo Esercizio. ) Un produttore di casseruole ne vuole minimizzare il peso a parità di capacità (volume V). Quale rapporto dovrà scegliere tra raggio della base r ed altezza della casseruola h? Nota. I problemi di questo paragrafo sono stati ispirati da: G. Bessiere Il calcolo integrale e differenziale reso facile ed attraente Ulrico Hoepli, Milano, Funzioni Polinomiali Consideriamo la seguente famiglia di funzioni f(x): f(x) = a n x n + a n-1 x n a 0 dove n è un numero intero maggiore o uguale a zero e dove si assume a n 0. Vediamo alcuni esempi. 1) Se n=0 otteniamo la funzione f(x) = a 0 (polinomio di ordine 0). E una funzione continua e costante, pari ad a 0 qualsiasi sia il valore della variabile x. L equazione f(x)=0 non ha soluzioni (ricordate che si assume a 0 0). Nel piano cartesiano y=a 0 è una linea retta orizzontale. y a 0 x

9 9 ) Se n=1 otteniamo la funzione f(x) = a 1 x+ a 0 (polinomio del primo ordine). E una funzione continua con derivata prima anch essa continua e pari a f (x)=a 1. Poiché a 1 0, questa funzione non ha massimi o minimi relativi. L equazione a 1 x +a 0 =0 ha una sola radice: x 1 =- a 0 / a 1. Nel piano cartesiano, y= a 1 x+a 0 è una retta di pendenza a 1. 3) Se n= otteniamo la funzione f(x) = a x + a 1 x+ a 0 (polinomio del secondo ordine, o funzione quadratica) E una funzione continua con derivata: f (x)= a x+ a 1 La derivata è un polinomio del primo ordine, e quindi ammette una sola radice dell equazione a1 f (x 1 )=0 in x1 = a la derivata seconda è: f (x)= a Quindi il punto x 1 sarà un massimo se la derivata seconda è minore di zero, se cioè: Sarà invece un minimo se: a <0 a >0 Esercizio 3. Perché nel punto x 1 =- a 1 /(a ) NON può esserci un flesso? L equazione a x +a 1 x+a 0 =0 ha al più due radici reali: x 1, x. Le radici possono coincidere (una sola soluzione doppia ). Nel caso non abbia radici reali, l equazione avrà comunque due radici complesse coniugate, e cioè con la stessa parte reale ma con parte immaginaria opposta. Nel piano cartesiano y= a x +a 1 x+ a 0 rappresenta una parabola la cui concavità sarà verso l alto o verso il basso a seconda del segno della derivata seconda, cioè del segno di a.

10 10 4) Se n=3 otteniamo la funzione f(x) = a 3 x 3 +a x + a 1 x+ a 0 (polinomio del terzo ordine o funzione cubica). E una funzione continua. La derivata f (x) è un polinomio del secondo ordine: f (x) = 3a 3 x +a x+ a 1 Pertanto ci potranno essere al massimo due punti con derivata nulla: f (x) =0 Non è detto però che siano un massimo ed un minimo. Potrebbero infatti esserci flessi, come nell esempio f(x) = x 3-1 In questo caso: f (x) = 6 x e f (x) = 1 x f (x) =0 in x 1 =0 e questo punto non è né massimo né minimo perché f (x 1 ) =0. 5) In generale: f(x) = a n x n + a n-1 x n a 0 è una funzione continua, con derivate prima e seconda continue. Ha al più n radici reali, ed ammette sempre n radici complesse. Essa ha al più n-1 minimi o massimi. Inoltre: Se F n (x) è un polinomio di grado n, e G m (x) è un polinomio di grado m (con m n) allora: H(x) = F n (x) G m (x) è un polinomio di grado m + n. H(x) = F n (x) + G m (x) è un polinomio di grado m.

11 11 Esercizio 4. Calcolare valore e pendenza delle seguenti funzioni f(x) nel punto x= f(x)=4; f(x)=-3x+6 f(x)=x -x-1 Esercizio 5. Quanti massimi ha la funzione f(x)= x 3 + x x 1? Esercizio 6. Date le funzioni f 1 (x)= x 3 + x x 1 f (x)=x -x-1 quante soluzioni (reali o complesse) avrà l equazione: f 1 (x) f (x)=0?