FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

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1 FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim specie per f qundo esistono e pprtengono R i due limiti lim f(t), lim f(t). Nturlmente, lmeno uno di questi limiti deve essere diverso d f(c). Non è escluso che i due limiti unilteri sino uguli. Se c è un estremo di I (e pprtiene d I, ltrimenti non potrebbe essere un punto di discontinuità di f), llor può esistere solo uno dei limiti unilteri indicti prim, in qunto l ltro non h senso. Ebbene in tl cso diremo che c è un punto di discontinuità di prim specie per f se il limite uniltero di cui si può prlre esiste (e nturlmente è diverso d f(c)). Formlizzimo l definizione in ogni cso. Definizione 1. Sino I un intervllo di R e f : I R un funzione. Si poi c I un punto in cui f è discontinu. 1. Se c non è un estremo di I, dicimo che esso è un punto di discontinuità di prim specie per f qundo esistono e pprtengono R i due limiti lim f(t), lim f(t).. Se c = min I, dicimo che esso è un punto di discontinuità di prim specie per f qundo esiste e pprtiene R il limite lim f(t). 3. Se c = mx I, dicimo che esso è un punto di discontinuità di prim specie per f qundo esiste e pprtiene R il limite lim f(t). 1

2 Esempio 1. definit d L funzione di Heviside, dett nche grdino unitrio, { 0, se t 0, H(t) = 1, se t > 0. h in 0 un punto di discontinuità di prim specie, perché: lim t 0 H(t) = lim t 0 0 = 0; lim t 0+ H(t) = lim t 0+ 1 = 1. Esempio. L funzione definit d { 0, se t 0, g(t) = 1, se t = 0. h in 0 un punto di discontinuità di prim specie, perché: lim t 0 g(t) = lim t 0 0 = 0; lim t 0+ g(t) = lim t 0+ 0 = 0; g(0) = 1. Pertnto, i due limiti unilteri esistono entrmbi e sono uguli (e quindi esiste nche il limite di g), m questo è diverso d g(0). Esempio 3. Un funzione monoton è continu oppure possiede solo punti di discontinuità di prim specie (il numero di tli punti può essere nche infinito). Questo segue dl fondmentle teorem sui limiti delle funzioni monotone, che qui ricordimo senz dimostrzione. Teorem sui limiti delle funzioni monotone. Sino I un intervllo di R, f : I R un funzione monoton, c [inf I, sup I]. Allor esistono tutti i limiti unilteri di f per t c che bbino senso. Più specifictmente, supponendo f crescente, si h: 1. se c è un punto interno I, llor lim f(t) = sup f (I (, c)) ( f(c)), lim f(t) = inf f (I (c, + )) ( f(c)) ;

3 . se c = inf I (non è richiesto che c si il minimo di I), llor lim f(t) = inf f (I (c, + )) ; 3. se c = sup I (non è richiesto che c si il mssimo di I), llor lim f(t) = sup f (I (, c)), Se invece l funzione f fosse decrescente, l enuncito rimne vlido, purché si scmbino gli inf con i sup. Nturlmente esistono punti di discontinuità di un funzione che non sono di prim specie. Esempio 4. L funzione { sin 1 v(t) =, se t 0, t 0, se t = 0. è discontinu in 0, m non esistono né il limite destro, né quello sinistro per t 0. Nel seguito, useremo sistemticmente le seguenti notzioni per indicre i limiti unilteri: f(c ) = lim f(t), f(c+) = lim f(t). Dimo or un definizione molto importnte. Definizione. Sino, b R, < b e f : [, b] R. Dicimo che f è continu trtti se ess è continu in tutti i punti del suo dominio trnne l più in un numero finito di punti che sono discontinuità di prim specie per f. Osservzione 1. L definizione precedente implic l seguente proprietà. Se f : [, b] R è continu trtti, esiste un suddivisione di [, b], formt di punti t 0, t 1,..., t p, tli che = t 0 < t 1 <... < t p = b, per cui: 1. L funzione f è continu in ciscun intervllo perto (t k 1, t k ), k = 1,..., p;. L funzione f possiede i limiti unilteri lim f(t), t t k 1 + e tli limiti sono tutti reli. lim f(t), k = 1,..., p, t t k 3

4 Conseguentemente, l restrizione di f ll intervllo perto (t k 1, t k ) può essere prolungt in un funzione continu nell intervllo chiuso [t k 1, t k ], che indicheremo con f [k]. Questo si ottiene ssegnndo come vlore gli estremi i limiti unilteri corrispondenti, cioè Si h quindi: f [k] (t k 1 ) = f (t k 1 +), f [k] (t k ) = f (t k ). f(t), se t (t k 1, t k ), f [k] (t) = f (t k 1 +), se t = t k 1, f (t k ), se t = t k. Nturlmente, nel punto t k, comune due sottointervlli dicenti, i prolungmenti continui di f /(tk 1,t k ) e di f /(tk,t k+1 ) possono vere vlori diversi. Dlle considerzioni precedenti, segue che un funzione f : [, b] R continu trtti è sicurmente limitt. Nel seguito dovremo spesso considerre funzioni definite su intervlli non comptti. In tl cso, l definizione deve essere così modifict. Definizione 3 Sino I un intervllo non comptto di R e f : I R. Dicimo che f è continu trtti qundo, b I, < b, l restrizione f /[,b] è continu trtti secondo l precedente definizione. Si noti che, in questo cso, un funzione continu trtti può essere discontinu nche in infiniti punti e può essere nche non limitt. Si pensi, d esempio, ll funzione prte inter, definit d [x] = mx {k Z : k x}. Tle funzione è discontinu in tutti i numeri interi (che sono punti di discontinuità di prim specie); inoltre ess tende per t e + per t +. Il motivo principle per cui bbimo introdotto le funzioni continue trtti risiede nel ftto che esse sono bbstnz generli per contenere grn prte delle funzioni di interesse nell ingegneri dell informzione e hnno il vntggio di possedere un clcolo integrle semplice ed efficce qusi come quello per le funzioni continue. Vle inftti il seguente importnte teorem. Teorem 1. Si f : [, b] R un funzione continu trtti. Allor le somme di Cuchy-Riemnn di f q f (c i ) (s i s i 1 ) i=1 4

5 convergono, ll infittirsi dell scomposizione {s 0, s 1,..., s q }, un numero rele, che non dipende dll scelt di punti (c 1,..., c q ), subordint ll scomposizione scelt. Il limite delle somme di Cuchy-Riemnn di f verrà ncor detto l integrle di f e srà indicto col solito simbolo f(t) dt. È nturle chiedersi quli proprietà dell integrle per funzioni continue continuino vlere nche per le funzioni continue trtti. Sicurmente continuernno vlere le tre proprietà fondmentli di linerità, dditività e monotoni, in qunto derivno solmente dll definizione di integrle. Enuncimole nell situzione ttule. Teorem (di linerità). Sino f, g : [, b] R funzioni continue trtti e si k R. Allor: 1. (f + g) (t) dt =. (kf) (t) dt = k f(t) dt + f(t) dt. g(t) dt ; Teorem 3 (di dditività). Si f : [, b] R un funzione continu trtti e si d (, b). Allor: f(t) dt = d f(t) dt + d f(t) dt. Teorem 4 (di monotoni). Sino f, g : [, b] R funzioni continue trtti, tli che t [, b], f(t) g(t). Allor: f(t) dt g(t) dt. Dll proprietà di monotoni segue poi subito l disuguglinz tringolre per integrli: b f(t) dt f(t) dt. 5

6 Prim di procedere ulteriormente, è importnte fre l seguente osservzione. Osservzione. Se f, g : [, b] R sono funzioni continue trtti, i cui vlori differiscono solo in un numero finito di punti, llor f(t) dt = g(t) dt. Per convincersene, limitimoci considerre il cso in cui le due funzioni differiscono in un solo punto c (, b). Si h, se ε è un numero positivo bbstnz piccolo perché [c ε, c + ε] [, b]: f(t) dt g(t) dt = c ε c+ε = (f(t) g(t)) dt + (f(t) g(t)) dt + (f(t) g(t)) dt = c ε c+ε c+ε c+ε = (f(t) g(t)) dt f(t) g(t) dt c ε c+ε c ε ( f(t) + g(t) ) dt c ε c+ε c ε = ε (sup f + sup g ) = Kε, (sup f + sup g ) dt = dove K R non dipende d ε. L rbitrrietà di ε prov che gli integrli di f e di g sono uguli. Ne consegue che, se modifichimo (in modo rbitrrio) il vlore di un funzione continu trtti in un numero finito di punti, l integrle dell funzione modifict (che è ncor continu trtti!) è ugule ll integrle dell funzione di prtenz. Quest ultim osservzione ci consente di scrivere l integrle di un funzione continu trtti come l somm di un numero finito di integrli di funzioni continue. Inftti, si f : [, b] R un funzione continu trtti e sino t 0,..., t p i suoi punti di discontinuità (necessrimente di prim specie). Convenimo che t 0 < t 1 <... < t p. Allor, indicndo, come ftto in precedenz, con f [k] il prolungmento continuo [t k 1, t k ] di f /(tk 1,t k ), utilizzndo l dditività dell integrle e modificndo il vlore dell funzione integrnd in l più due punti in ogni intervllo, si ottiene: p tk p tk f(t) dt = f(t) dt = f [k] (t) dt. t k 1 t k 1 k=1 6 k=1

7 È nturle cercre di estendere il teorem fondmentle del clcolo integrle, m questo si scontr col ftto che un funzione continu trtti non può vere primitive. Per rrivre formulrne un estensione corrett, dimo l seguente definizione, modellt su quell di punto di discontinuità di prim specie. Definizione 3. Sino I un intervllo di R e f : I R un funzione continu trtti. Si poi c I un punto in cui f non è derivbile. 1. Se c non è un estremo di I, dicimo che esso è un punto di non derivbilità di prim specie per f qundo esistono e pprtengono R i due limiti lim f (t), lim f (t).. Se c = min I, dicimo che esso è un punto di non derivbilità di prim specie per f qundo esiste e pprtiene R il limite lim f (t). 3. Se c = mx I, dicimo che esso è un punto di non derivbilità di prim specie per f qundo esiste e pprtiene R il limite lim f (t). Osservzione 3. In un punto c di non derivbilità di prim specie, l funzione può essere si continu si discontinu. Se l funzione è continu in c, llor nell definizione precedente i limiti, di cui si richiede l esistenz e l pprtenenz R, non sono ltro che l derivt sinistr e destr di f, rispettivmente. Esempio 5. Considerimo l funzione vlore ssoluto. È ben noto che ess è continu, e che è derivbile in tutti i punti trnne in 0. Or, poiché, t R, f (t) = sgn(t), si h: lim sgn(t) = lim ( 1) = 1, lim t 0 t 0 sgn(t) = lim 1 = 1. t 0+ t 0+ Pertnto, l funzione vlore ssoluto è continu in 0 e questo è un punto di non derivbilità di prim specie. Esempio 6. L funzione di Heviside H, introdott nell Esempio 1, è continu trtti e possiede 0 come unico punto di discontinuità. Ess, 7

8 inoltre, è derivbile in R \ {0} (si trtt di un utile esercizio di Anlisi A) e si h H (t) = 0, t R \ {0}. Poiché H è discontinu in 0, non può ivi essere derivbile. L verific che 0 è punto di non derivbilità di prim specie è immedit, perché H (t) = 0, t R \ {0} e quindi lim t 0 H (t) = 0 = lim H (t). t 0+ Si noti che l esistenz e l uguglinz dei due limiti sinistro e destro non implic che l funzione si derivbile. si noti che stimo eseguendo i limiti unilteri dell funzione derivt e non del rpporto incrementle. Esempio 7. L funzione { ( t sin 1 ) w(t) = t, se t 0, 0, se t = 0. è continu in R e derivbile in R \ {0}. Poiché ( ) w(t) w(0) 1 = sin, t t che non h limite per t 0, w non è derivbile in 0. Però 0 non è un punto di non derivbilità di prim specie. Inftti, si h, t R \ {0}, ( ) 1 w (t) = sin 1 ( ) 1 t t cos, t che non h limite né per t 0+, né per t 0. Per verificre l prim ffermzione, possimo, d esempio, considerre le due successioni di numeri reli positivi { π} e { π}, convergenti entrmbe 0. Si h: 4n+1 n N 4n+3 n N ( ) w = (4n + 1) π (( = sin n + 1 ) ) ( π n + 1 ) (( π cos n + 1 ) ) π = 1 1, ( ) w = (( = sin n + 3 ) ) ( π n + 3 (4n + 3) π ) π cos (( n + 3 ) ) π = 1 1, 8

9 il che mostr l non esistenz del limite di w per t 0+. Poiché l funzione w è dispri, non esiste il suo limite nemmeno per t 0. Definizione 4. Sino, b R, < b e f : [, b] R un funzione continu trtti. Dicimo che f è C (1) trtti se ess è derivbile in tutti i punti del suo dominio trnne l più in un numero finito di punti che sono di non derivbilità di prim specie per f. Inoltre, l funzione derivt di f è continu in tutti i punti di derivbilità di f. Osservzione 4. L definizione precedente implic l seguente proprietà. Se f : [, b] R è C (1) trtti, esiste un suddivisione di [, b], formt di punti t 0, t 1,..., t p, tli che = t 0 < t 1 <... < t p = b, per cui: 1. L funzione f è C (1) in ciscun intervllo perto (t k 1, t k ), k = 1,..., p;. L funzione f possiede i limiti unilteri lim f(t), t t k 1 + lim f(t), k = 1,..., p, t t k e tli limiti sono tutti reli; 3. L funzione f possiede i limiti unilteri lim f (t), t t k 1 + lim f (t), k = 1,..., p, t t k e tli limiti sono tutti reli. Conseguentemente, le funzioni f [k] sono C (1) e si h ( f[k] ) (tk 1 ) = f (t k 1 +), ( f [k] ) (tk ) = f (t k ), k = 1,..., p. Nturlmente, nel punto t k, comune due sottointervlli dicenti, le derivte ( ) f [k] (tk ) e ( ) f [k+1] (tk ) possono vere vlori diversi. Cerchimo or di estendere il teorem fondmentle del clcolo integrle funzioni C (1) trtti. Comincimo con l osservre che, se f è C (1) trtti in un intervllo comptto [, b], h senso scrivere l integrle f (t) dt. Inftti, l funzione f non è definit in un numero finito di punti, m, se l definimo in questi nostro rbitrio, ottenimo un funzione continu trtti e quindi dott di integrle. Quello che è importnte è che, qulunque sino i vlori che noi ssegnimo dove f non esiste, l integrle non cmbi. Supponimo dpprim 9

10 f continu in [, b] e derivbile dppertutto, trnne che nel punto c (, b). Per dditività, si h: = f (t) dt = c c f (t) dt + c f (t) dt = ( ) b ( ) f[1] (t) dt + f[] (t) dt, dove f [1] e f [] sono le funzioni C (1), ottenute prolungndo le restrizioni di f d (, c) e (c, b), rispettivmente. Poiché queste funzioni sono C (1), per il teorem fondmentle del clcolo integrle, si ottiene: f (t) dt = ( f [1] (c) f [1] () ) + ( f [] (b) f [] (c) ) = f(b) f(), in qunto, poiché f è continu, si h f [1] (c) = f [] (c), f [1] () = f(), f [] (b) = f(b). Abbimo quindi ottenuto che f (t) dt = f(b) f(), come nel cso delle funzioni continue. Nturlmente il risultto continu vlere per tutte le funzioni continue e C (1) trtti, nche se risultno non derivbili in più di un punto. Cos succede se f è discontinu? Supponimo che f si C (1) trtti e possied un unico punto di discontinuità (e quindi nche di non derivbilità) c (, b). Rgionndo come prim, si h: f (t) dt = c c ( ) b f[1] (t) dt + f ( []) (t) dt = = ( f [1] (c) f [1] () ) + ( f [] (b) f [] (c) ). M quest volt, f [1] (c) = f(c ) e f [] (c) = f(c+). Pertnto, ottenimo c f (t) dt = (f(b) f()) (f(c+) f(c )). 10

11 In definitiv, l integrle di f risult ugule ll incremento di f, diminuito del slto che f compie nel punto c. In generle, vle il teorem seguente. Teorem 5 (fondmentle del clcolo integrle). Si f : [, b] R, f C (1) trtti. 1. Se, di più, f è continu, llor f (t) dt = f(b) f().. In generle, se f h come punti di discontinuità interni d [, b] i punti t 1,..., t p, llor f (t) dt = f(b ) f(+) p (f (t k +) f (t k )). k=1 Si noti che, nell ultimo cso, bbimo scritto l incremento dell funzione come f(b ) f(+), evitndo di scriverlo come f(b) f() e sottrendo poi i slti in e in b, se f è discontinu in questi punti. Possimo or enuncire il teorem di integrzione per prti. Teorem 6 (di integrzione per prti). Sino f, g : [, b] R due funzioni C (1) trtti. Allor: 1. Se, di più, f e g sono continue, llor f (t)g(t) dt = f(b)g(b) f()g() f(t)g (t) dt ;. In generle, se f e g hnno come punti di discontinuità interni d [, b] i punti t 1,..., t p, llor f (t)g(t) dt = f(b )g(b ) f(+)g(+) p (f (t k +) g (t k +) f (t k ) g (t k )). k=1 f(t)g (t) dt 11

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