INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

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1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf

2 Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo non necessrimente limitto e f non necessrimente limitt. Def. Un integrle f()d si dice improprio se I è illimitto I oppure se I è limitto, m f non è limitt su I. I = [,+ ) è illimitto, y I = (,] è limitto, f è illimitt su I. y f() f() c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 2

3 Integrle su intervlli illimitti Def. Si I = [,+ ) R, si f loclmente integrbile su I secondo Riemnn e si F () l funzione integrle di f(t) t.c. F () =. Definimo f(t)dt = lim + f(t)dt }{{} F () = lim + F () e l integrle sinistr è detto integrle improprio di f su [,+ ). Se il limite esiste finito, dicimo che f è integrbile in senso improprio su I o che il suo integrle improprio converge 2 se il limite esiste infinito, dicimo che l integrle improprio di f è divergente 3 se il limite NON esiste, dicimo che l integrle improprio di f è oscillnte c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 3

4 Esempi e d d è convergente è divergente cos()d è oscillnte c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 4

5 Teorem Se f è un funzione positiv e loclmente integrbile, llor il suo integrle improprio o converge o diverge (non può oscillre). Dim. Ricordimo che se f : [,+ ) R è loclmente integrbile e positiv, llor l su funzione integrle F () = f(t)dt è crescente. Inoltre (per il teorem del limite di funzioni monotone [si ved cp3.pdf, pg. 3]) se un funzione F () definit in un intorno di + è monoton crescente, llor il lim F () esiste e + può essere finito o infinito. Oss. Se f è positiv e lim llor + f()d è divergente. f() = l > o lim f() = +, + c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 5

6 Teorem Dimostrzione αd = = lim + { converge se α > αd diverge se α [log(t)] se α = [ + t α ] se α α log() se α = = lim + α ( α ) se α + se α = se α > α tαdt = lim Oss. Il comportmento è nlogo quello dell serie rmonic generlizzt n α. n= c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 6

7 L funzione f() = / α per > α = α = 2 α = c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 7

8 Criterio del confronto A volte non è possibile clcolre esplicitmente l funzione integrle di un funzione f dt (d es. f() = e 2 non è integrbile elementrmente), però si riesce comunque stbilire se l integrle improprio un criterio del confronto f()d converge o diverge. Si utilizz Teorem (Criterio del confronto nlogo quello delle serie). Sino f e g due funzioni loclmente integrbili su I = [,+ ), t.c. f() g(), I. Allor e: se se + f()d f()d diverge, llor g()d converge, llor + g()d g()d diverge f()d converge. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 8

9 Es. Esminre il comportmento dell integrle improprio e 2 d. Per > si h 2 >, quindi 2 < e e 2 < e (ricordimo che l esponenzile è un funzione crescente e che l composizione tr un funzione crescente ed un funzione decrescente è un funzione decrescente). Per il criterio del confronto si h llor + e 2 d < e d. Studimo e d = lim e t dt + = lim + [ e t ] = lim + (e e ) = e Quindi e d è convergente e, per il criterio del confronto lo è nche e 2 d. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 9

10 Criterio di convergenz ssolut Teorem. Si f un funzione loclmente integrbile su I = [,+ ) segno vribile e tle che Allor nche f()d converge e si h: f()d f() d. Es. Esminre il comportmento dell integrle L funzione integrnd f() = cos 2 f() d converg. cos 2 d. è segno vribile, ne considero il vlore ssoluto. f() = cos 2 2, I = [,+ ). Poiché l integrle improprio di su 2 + [, + ) è convergente, per il criterio del confronto, nche cos d 2 converge e, per il criterio di convergenz ssolut, converge nche + cos d. 2 c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf

11 Criterio del confronto sintotico Si α R e f() =. α Se α >, f() è infinitesim qundo, se α =, f() = costnte se α <, f() è infinit qundo, Teorem. Si f loclmente integrbile su I = [,+ ) e t.c. lim + Allor f() ( ) α = l, l R, cioè f() l per +. α f()d converge f()d diverge αd converge α > αd diverge α Oss. Dire f() l per + vuol dire che f si comport α come l/ α per +, cioè è infinit o infinitesim dello stesso ordine di / α. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf

12 Es. Esminre il comportmento dell integrle improprio + +cos 3 +sin d. L funzione integrnd f() = +cos 3 +sin è f() 2 per +, quindi bbimo α = 2 e, per il criterio del confronto sintotico, l integrle dto converge. Es. Esminre il comportmento degli integrli impropri rctn 2 d, rctn d. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 2

13 Teorem di McLurin Si f : [,+ ) R monoton. Allor + n= f(n) e f()d sono entrmbi convergenti o divergenti. Es. Lo bbimo già osservto con l serie rmonic generlizzt: + n= converge nα αd converge Es. Esminre il comportmento dell integrle sin 5( ) log( 2 +) 2log() d c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 3

14 α (log) βd con > e α, β R Il comportmento dell integrle dipende d α e β. { converge se (α > e β) o se (α = e β > ) α (log) β diverge in tutti gli ltri csi β α c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 4

15 Oss. Se f è loclmente integrbile su I = (,b], l integrle improprio di f su I è definito come f()d = lim f(t)dt.. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 5

16 Integrli di funzioni non limitte Si I = [,b), si f un funzione loclmente integrbile su I, non definit in = b (d es. con lim b f() = ) e si F () l funzione integrle di f(). Def. Definimo f()d = lim b f(t)dt }{{} F () = lim b F () e l integrle sinistr è detto integrle improprio di f su [,b). Se il limite esiste finito, dicimo che f è integrbile in senso improprio su I o che il suo integrle improprio converge 2 se il limite esiste infinito, dicimo che l integrle improprio di f è divergente 3 se il limite NON esiste, dicimo che l integrle improprio di f è oscillnte c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 6

17 Osservzione Se I = (,b] e f è un funzione loclmente integrbile su (,b], m non necessrimente definit in = (d es. con lim f() = ), si definisce in mnier nlog + f()d = lim f(t)dt + e l integrle sinistr è detto integrle improprio di f su (,b].. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 7

18 Teorem Dimostrzione { converge se α < αd diverge se α αd = = lim + tαdt = lim + [log(t)] se α = [ t α ] se α α log() se α = = lim + α ( α ) se α + se α = = se α < α + se α > c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 8

19 L funzione f() = / α per < < 9 α = α = 2 α = c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 9

20 L funzione f() = / α per > 9 α = α = 2 α = c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 2

21 ( ) αd Con l sostituzione s = ϕ() = (per cui ds = ϕ ()d = d) si h ( ) αd = Quindi s αds = ( ) αd si comport come αd { CONV se α < s αds = DIV se α c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 2

22 L funzione f() = /( ) α per < 9 α = α = 2 α = c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 22

23 ( ) αd si comport come sαds, cioè CONVERGE se α < e DIVERGE se α. (b ) αd si comport come ( s) αds, che su volt si comport come zαdz cioè CONVERGE se α < e DIVERGE se α. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 23

24 /2 α (log) βd con α, β R Il comportmento dell integrle dipende d α e β. /2 { converge se (α < e β) o se (α = e β > ) α (log) β diverge in tutti gli ltri csi β α c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 24

25 Criterio del confronto (su intervlli limitti) Teorem. Sino f e g due funzioni loclmente integrbili su I = [,b), t.c. f() g(), I = [,b). Allor e: se se b f(t)dt diverge, llor g(t)dt converge, llor f(t)dt b g(t)dt g(t)dt diverge f(t)dt converge. Es. Esminre il comportmento dell integrle improprio d. 2 c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 25

26 Criterio del confronto sintotico Teorem. Si f loclmente integrbile su I = [,b) e t.c. f() ) α = l, l R, cioè f() lim b Allor ( b f()d converge f()d diverge l (b ) α per b. (b ) αd converge α < (b ) αd diverge α c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 26

27 nlogmente: Teorem. Si f loclmente integrbile su I = (,b] e t.c. f() ) α = l, l R, cioè f() lim + Allor ( f()d converge f()d diverge Es. Esminre il comportmento dell integrle log( ) d l ( ) α per +. ( ) αd converge α < ( ) αd diverge α Riferimenti bibliogrfici. Cnuto Tbcco, cp.. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf 27

28 Integrle su R = (, ) Considerimo f : R R loclmente integrbile secondo Riemnn e voglimo clcolre Si c R, definimo f()d = lim b + = lim c f()d. () f()d = f()d + lim f()d b + c e dicimo che l integrle improprio () è convergente (o esiste finito) SE esistono finiti i due integrli impropri che compiono in (2). Le due vribili e b per i limiti sono priori diverse, i due limiti devono essere indipendenti l uno dll ltro. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Vlore principle di Cuchy cp.pdf 28 (2)

29 Considerimo d esempio l funzione f() = l = 2 + 2d = lim b = lim log +b2 + 2 b + [ 2d = lim log(+ 2 ) ] b b + c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Vlore principle di Cuchy cp.pdf 29

30 Or, se = b si h +b2 l = lim log b + +b 2 = f() f()d 5 = b c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Vlore principle di Cuchy cp.pdf 3

31 m se se = b 2 si h +b2 l = lim log b + +b 4 = Il vlore del limite dipende d qunto veloci e b vnno ll infinito. f() f()d c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Vlore principle di Cuchy cp.pdf 3

32 Vlore Principle di Cuchy Il Vlore Principle di Cuchy di un integrle improprio è l integrle improprio clcolto con = b, e si scrive come V.P. f()d = lim f()d. (3) b + b Quindi 2 +2d è un form indetermint, dipende dll velocità con cui e b vnno ll infinito, mentre V.P. 2 +2d =. c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Vlore principle di Cuchy cp.pdf 32