LA MODERNA TEORIA DI PORTAFOGLIO

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1 LA MODERNA TEORIA DI PORTAFOGLIO Dal concetto di rischio e rendimento, ai dettami dell APT Gino Gandolfi

2 La diversificazione di Markowitz

3 IL RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO Poiché un portafoglio è un insieme di titoli, il rendimento dello stesso dipende dal risultato fatto segnare da ogni singola attività finanziaria R portafoglio = media ponderata dei risultati singoli

4 IL RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO Supponendo di investire il 50% in ognuna delle azioni prese in considerazione R portafoglio = 50% * 10% + 50% *10% = 10%

5 IL RISCHIO DEL PORTAFOGLIO Il livello di rischio del portafoglio dipende dall andamento congiunto delle diverse attività finanziarie inserite In altri termini, occorre guardare alla covarianza e alla correlazione

6 LA VELA DEI RENDIMENTI Si ipotizzi la seguente situazione: Titolo A r = 10% sigma = 10% Titolo B r = 20% sigma = 20% Portafoglio in essere: 50% A, 50% B

7 LA VELA DEI RENDIMENTI Il rendimento atteso del portafoglio è pari alla media ponderata dei rendimenti, cioè 15% Il rischio dipende dal coefficiente di correlazione esistente tra i rendimenti

8 LA VELA DEI RENDIMENTI In particolare, applicando la formula vista in precedenza: = -1 sigma port = 5% = 0 sigma port = 11.18% = +1 sigma port = 15% sempre a parità di rendimento atteso

9 RENDIMENTO LA VELA DEI RENDIMENTI L'EFFETTO CORRELAZIONE 25.00% 20.00% ATTIVITA' "B" 15.00% coeff. correlazione pari a -1 coeff. correlazione pari a 1 correlazione pari a % ATTIVITA' "A" 5.00% 0.00% VOLATILITA'

10 I BENEFICI DELLA DIVERSIFICAZIONE Per minimizzare il rischio di un investimento è sufficiente detenere due titoli con rendimenti fra loro indipendenti o correlati negativamente

11 I BENEFICI DELLA DIVERSIFICAZIONE Aumentando il numero di titoli, il rischio complessivo diminuisce, ma tale effetto tende a decrescere al crescere del numero dei titoli inclusi nel portafoglio Però, avere molti titoli in portafoglio non significa necessariamente annullare il rischio nell investimento, perché si deve guardare il

12 I BENEFICI DELLA DIVERSIFICAZIONE Il rischio di un portafoglio titoli può al massimo essere uguale alla media dei rischi delle singole attività inserite Poiché sul mercato non si notano correlazioni pari a +1, diversificare conviene sempre. Purtroppo non si notano nemmeno pari a -1, ossia non si può eliminare completamente il rischio dagli investimenti

13 LA FRONTIERA EFFICIENTE Si tratta di un modello di ottimizzazione che permette di individuare i migliori portafogli ottenibili dato un particolare universo di attività finanziarie E il modello ipotizzato da Markowitz per la soluzione al problema della selezione dei portafogli (Portfolio Selection)

14 IL MODELLO DI MARKOWITZ IPOTESI ESSENZIALI: MASSIMIZZAZIONE DEL RISULTATO FINALE: ogni investitore effettua le scelte per massimizzare il risultato dell investimento PRINCIPIO DI AVVERSIONE AL RISCHIO NON ESISTONO COSTI, IMPOSTE, LOTTI MINIMI O ALTRE RESTRIZIONI IL MERCATO E CONCORRENZIALE: un singolo investitore non può influire sui prezzi

15 IL MODELLO DI MARKOWITZ IPOTESI ESSENZIALI: TUTTE LE ATTIVITA SONO RICHIOSE NON TUTTE LE ATTIVITA HANNO IL MEDESIMO RENDIMENTO NON ESISTONO ATTIVITA CORRELATE IN MODO PERFETTAMENTE NEGATIVO

16 LA FRONTIERA EFFICIENTE Prende in considerazione: RENDIMENTO RISCHIO CORRELAZIONE.di ogni singola attività finanziaria in esame

17 LA FRONTIERA EFFICIENTE Fasi di costruzione: STIMA DEI RENDIMENTO, RISCHIO, CORRELAZIONE DI OGNI ATTIVITA FINANZIARIA DETERMINAZIONE DI TUTTI I POSSIBILI PORTAFOGLI SCELTA DEI MIGLIORI PORTAFOGLI (ossia quelli che massimizzano il rapporto tra rendimento e rischio)

18 LA FRONTIERA EFFICIENTE Rendimento Siano A, B, C, tre titoli che si caratterizzano per livelli di rischio e di rendimento C B A Rischio

19 LA FRONTIERA EFFICIENTE Rendimento Tutti i portafogli possibili (teoricamente, sono infiniti) che si possono costruire con A, B, C: C B A Rischio

20 LA FRONTIERA EFFICIENTE Rendimento I portafogli migliori sono quelli più alti A B C I portafogli che stanno sotto la frontiera sono dominati in termini di rischio e rendimento Rischio

21 IL MODELLO DI MARKOWITZ IL LIMITE PIU EVIDENTE RIGUARDA L INCAPACITA DEL MODELLO NEL DEFINIRE UN PORTAFOGLIO MIGLIORE DEGLI ALTRI Tutti i portafogli che stanno sulla frontiera sono efficiente e, perciò, migliori

22 Il CAPM (Capital Asset Pricing Model)

23 LE IPOTESI DEL CAPM Alcune sono riprese dal modello di Markowitz: TUTTI GLI INVESTITORI SONO AVVERSI AL RISCHIO TUTTI GLI INVESTITORI MASSIMIZZANO IL RISULTATO DELLE OPERAZIONI (in base al rendimento e al rischio) L ORIZZONTE TEMPORALE E UNIPERIODALE LE ATTIVITA FINANZIARIE DISPONIBILI SONO PERFETTAMENTE DIVISIBILI

24 LE IPOTESI DEL CAPM Altre sono tipiche dello sviluppo in esame: L ORIZZONTE TEMPORALE (oltre ad essere uniperiodale) E LO STESSO PER TUTTI OGNI INVESTITORE PUO INVESTIRE O PRENDERE A PRESTITO SENZA LIMITAZIONI AL TASSO PRIVO DI RISCHIO LE ASPETTATIVE SONO OMOGENEE NON ESISTONO TASSE O ALTRI COSTI CONNESSI AGLI INVESTIMENTI O AI MERCATI FINANZIARI

25 CAPM: LE NOVITA APPORTATE POSSIBILITA DI INVESTIMENTO / INDEBITAMENTO AL RISK-FREE OMOGENEITA DI ASPETTATIVE E DI ORIZZONTE TEMPORALE PER TUTTI ESISTE UNA SOLA FRONTIERA EFFICIENTE SUL MERCATO E TUTTI I RISPARMIATORI SI MUOVONO NELLA STESSA DIREZIONE

26 COMBINAZIONE RISK-FREE E TITOLO RISCHIOSO Sia R i = rendimento titolo rischioso R risk-free = rendimento titolo privo rischio i = rischio del titolo i il titolo privo di rischio ha pari a zero w = peso assunto dal titolo privo di rischio nel portafoglio

27 COMBINAZIONE RISK-FREE E TITOLO RISCHIOSO Rendimento del portafoglio: R port = w * R risk-free + (1-w) * R i Indipendentemente da ogni altra considerazione, il rendimento atteso del portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti delle singole attività finanziarie inserite!!!

28 COMBINAZIONE RISK-FREE E TITOLO RISCHIOSO Rischio del portafoglio: port = w 2 * 2 risk-free + (1-w) 2 * 2 i + 2*w*(1-w)* risk-free * i * risk-free, i Poiché risk-free è pari a zero: port = 0 + (1-w) 2 * 2 i + 0 ossia port = (1-w)* i

29 COMBINAZIONE RISK-FREE E TITOLO RISCHIOSO Il rischio ed il rendimento del portafoglio crescono linearmente al crescere della quota investita nel titolo rischioso R port R k R i R risk-free i k port

30 COMBINAZIONE RISK-FREE E TITOLO RISCHIOSO La pendenza della retta dei possibili portafogli dipende dalla differenza tra R risk-free e R i, rapportata al livello di rischio del singolo titolo In termini analitici, la retta presenta la funzione: R port = R risk-free + [(R i - R risk-free )/ i ] * port Pendenza della retta / coefficiente angolare

31 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE Nasce dall unione di portafogli (insieme di titoli rischiosi) ed investimenti privi di rischio In particolare, si prendono i portafogli che giacciono sulla frontiera efficiente ipotizzata da Markowitz

32 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE Rendimento CAPITAL MARKET LINE R MKT M R risk-free K FRONTIERA EFFICIENTE E IL PORTAFOGLIO DI MERCATO MKT Rischio

33 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE CML: insieme di portafogli in grado di offrire il più alto rendimento per ogni unità di rischio assunto CML: vale per tutti gli investitori CML: il solo portafoglio della frontiera da prendere in considerazione è quello di mercato

34 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE CML: il portafoglio di ogni investitore è formato da un mix tra titolo privo di rischio e portafoglio M CML: il portafoglio M può essere determinato anche senza conoscere le preferenze dell investitore, perché:» comprende tutte le attività rischiose» tiene in considerazione i valori delle stesse e le relazioni che le legano

35 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE Rendimento CAPITAL MARKET LINE R MKT M R risk-free A B MKT Rischio

36 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE CML: per ottenere maggiore rendimento occorre assumere maggiore rischio (da A a B) L equazione della CML è sempre la stessa ed è pari a: R port = R risk-free + [(R MKT - R risk-free )/ MKT ] * port Pendenza della retta / coefficiente angolare (prezzo del rischio)

37 LA CML: LA CAPITAL VANTAGGI: MARKET LINE identifica un unico portafoglio di riferimento vale per tutti gli investitori e per i mercati finanziari nel loro complesso SVANTAGGI: vale solo per i portafogli efficienti, ossia perfettamente diversificati. E gli altri? utilizza il concetto di rischio totale

38 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE Non bisogna calcolare il rischio come fenomeno singolo, bensì come fattore che interagisce con l andamento del mercato Il mercato riconosce e ricompensa solamente il rischio che non può essere eliminato con la diversificazione

39 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE Calcolo della covarianza dei rendimenti dei titoli con i rendimenti del portafoglio di mercato La varianza ( 2 ) del portafoglio è pari alla media delle covarianze dei rendimenti tra titoli e mercato

40 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE R tit = R risk-free + [(R MKT - R risk-free )] * (Cov tit/mkt / 2 MKT) tit = Cov tit/mkt / 2 MKT Beta ( ) misura solamente la parte di rischio sistematico associato al titolo Per definizione il mercato presenta un Beta pari a 1

41 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE Come per i titoli singoli, si possono utilizzare i portafogli: R port = R risk-free + [(R MKT - R risk-free )] * (Cov port/mkt / MKT ) port = Cov port/mkt / 2 MKT

42 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE Rendimento SECURITY MARKET LINE R MKT R risk-free MKT = 1 Rischio

43 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE Con il, sia per i titoli, sia per i portafogli non efficienti, il mercato remunera solo il rischio sistematico

44 LA SML: LA SECURITY EXCESS-RETURN: MARKET LINE o premio al rischio, consiste nel differenziale di rendimento rispetto al tasso privo di rischio rappresenta la ricompensa che l investitore vuole ottenere per investire in un titolo (o in un portafoglio) rischioso dipende, ovviamente, dal livello di rischio sistematico ( )

45 LA SML: LA SECURITY EXCESS-RETURN: MARKET LINE R port - R risk-free = [(R MKT - R risk-free )] * port l EXCESS-RETURN del portafoglio dipende dal «premio» che il mercato riconosce rispetto all investimento privo di rischio, commisurato al rischio non eliminabile della posizione assunta

46 LE EVOLUZIONI DEL CAPM Il CAPM, nella versione base, contiene semplificazioni della realtà che non possono realizzarsi nel mondo operativo. In particolare: POSSIBILITA DI INDEBITAMENTO SENZA LIMITI TASSO DI INDEBITAMENTO PARI AL TASSO DEGLI INVESTIMENTI PRIVI DI RISCHIO

47 LA CML: LA CAPITAL MARKET LINE Rendimento CAPITAL MARKET LINE R MKT M Indebitamento al tasso privo di rischio R risk-free Investimento al tasso privo di rischio MKT Rischio

48 IL MODELLO ZERO-BETA Le ipotesi che non funzionano: rendimento nominale rendimento reale (il problema dell inflazione) il business del mondo creditizio è proprio di concedere prestiti a tassi superiori rispetto a quelli ottenibili con gli investimenti esiste il problema della solvibilità che non è la medesima per tutti i soggetti

49 IL MODELLO ZERO-BETA Le conseguenze: OLTRE IL PUNTO DI TANGENZA M LA CML NON VALE PIU NASCONO DUE SEMIRETTE:» UNA PER I PORTAFOGLI DI SOLI INVESTIMENTI» UNA PER I PORTAFOGLI DI INVESTIMENTI ED INDEBITAMENTI (quest ultima ha intercetta superiore perché i tassi cui è possibile ottenere un finanziamento sono più elevati rispetto a quelli presenti sui mercati)

50 IL MODELLO ZERO-BETA Rendimento R MKT R finanziam T M Z R risk-free MKT Rischio

51 IL MODELLO ZERO-BETA L insieme dei portafogli efficienti si trova lungo 3 segmenti: LUNGO LA RETTA R risk-free, T LUNGO LA CURVA T, Z (la cui ampiezza dipende dallo spread esistente tra tassi di finanziamento e di investimento) LUNGO LA RETTA CHE VA OLTRE IL PUNTO Z

52 IL MODELLO ZERO-BETA LE CONSEGUENZE: NON ESISTE UN SOLO PORTAFOGLIO OTTIMO (infatti, ci sono almeno 2 punti di tangenza) LE SCELTE DI POSIZIONAMENTO RICADONO SUI SINGOLI RISPARMIATORI:» gli avversi al rischio si posizionano lungo la prima semiretta» i propensi al rischio si indebitano per investire e stanno oltre il punto Z

53 IL MODELLO ZERO-BETA LE CONSEGUENZE SULLA SML: LA RELAZIONE ORIGINARIA NON SI MODIFICA: il rischio sistematico ed il mercato nel suo complesso sono ancora determinanti OCCORRE COSTRUIRE UN PORTAFOGLIO ZERO-BETA, ossia un portafoglio i cui rendimenti abbiano correlazione nulla rispetto al rendimento del mercato (il di questo portafoglio è pari a zero)

54 LA SML: LA SECURITY MARKET LINE Rendimento L inclinazione è inferiore perché l intercetta è più elevata SECURITY MARKET LINE (CAPM originale) R zero-beta SECURITY MARKET LINE (zero-beta CAPM ) R risk-free L intercetta è più alta perché il titolo privo di rischio non esiste Rischio ( )

55 APT (Arbitrage Pricing Theory)

56 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY Modello che si pone l obiettivo di spiegare i RENDIMENTI di un titolo/portafoglio Parte dalla constatazione del fatto che la validità teorica del CAPM non può essere traslata nel mondo operativo

57 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY Le ipotesi ed i concetti non realizzabili nel CAPM: ESISTENZA DI UN TASSO PRIVO DI RISCHIO CUI E POSSIBILE EFFETTUARE INVESTIMENTI O INDEBITAMENTI TUTTI GLI INVESTITORI ADOTTANO LO STESSO MODELLO DI VALUTAZIONE DELLE ATTIVITA FINANZIARIE (REND.,, )

58 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY Le ipotesi ed i concetti non realizzabili nel CAPM: IMPOSSIBILITA DI COSTRUZIONE DEL PORTAFOGLIO DI MERCATO (infatti, nella realtà operativa, spesso è approssimato con l indice di un mercato azionario)

59 APT: ASSUNZIONI Efficienza del mercato: gli operatori tendono a minimizzare costi e massimizzare ricavi Omogeneità delle aspettative degli operatori Gli operatori sono orientati alla massimizzazione della ricchezza finale È possibile vendere titoli allo scoperto Non esistono opportunità di arbitraggio

60 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY L APT è un modello fattoriale, cioè lega i rendimenti di un titolo (o portafoglio) rischioso ad un particolare fattore che è comune a tutte le attività finanziarie rischiose (ad esempio, il PIL) e ad un fattore specifico del singolo emittente

61 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY In particolare, il rendimento del titolo si spiega: R tit = E(R tit ) + tit * F + tit R tit = rendimento del titolo E(R tit ) = rendimento atteso del titolo tit = sensibilità rispetto al fattore F F = variazioni del fattore comune (che spiegano l allontanamento dal valore atteso) tit = componente non sistematica del rendimento

62 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY Le deviazioni dal rendimento atteso sono motivate da: VARIAZIONI INATTESE DEL FATTORE COMUNE (espresse con F) VARIAZIONI INATTESE DEL FATTORE SPECIFICO (espresse con )

63 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY IL RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO GENERICO: E PARI ALLA MEDIA PONDERATA DEI SINGOLI TITOLI PRESENTI R port = w tit * R tit dove w tit è il peso di ogni titolo nel portafoglio

64 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY R port = w tit * R tit R port = w tit * [E(R tit ) + tit * F + tit ] R port = E(R port ) + port * F + port

65 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY SE IL PORTAFOGLIO E BEN DIVERSIFICATO: LE COMPONENTI NON SISTEMATICHE TENDONO AD ANNULLARSI, OSSIA port TENDE A ZERO R port = E(R port ) + port * F» I rendimenti del portafoglio sono riconducibili solamente all andamento avuto dal fattore comune

66 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY SE IL PORTAFOGLIO, INOLTRE, E BEN DIVERSIFICATO:» I rendimenti del portafoglio dipendono quasi esclusivamente dalla componente sistematica poiché tutta la parte non sistematica è stata diversificata e quindi annullata. In altre parole, 2 (port) può essere assunto pari a zero 2 (R port ) = 2 port * 2 F

67 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY LA RELAZIONE E(R port ) E port : In condizioni di equilibrio: E(R port ) = 0 + port * 1 Ipotizzando che valga R risk-free Sensibilità al fattore comune F Premio al rischio che il portafoglio deve fornire per ogni unità di Beta

68 L APT: ARBITRAGE PRICING THEORY La relazione vale perché: Se il portafoglio è esente da rischio (cioè ha Beta pari a 0) il rendimento è pari a R risk-free Se il portafoglio assume Beta pari a 1, il rendimento deve essere pari a quello di mercato 1, dunque, deve valere [E(R MKT ) - R risk-free ]

69 APT vs. CAPM Quando l APT ipotizza che: i rendimenti dei titoli dipendano da un solo fattore questo fattore è l indice di mercato esiste un attività priva di rischio. Si trovano molte analogie con il modello del CAPM

70 APT vs. CAPM TUTTAVIA ESISTONO ALCUNE DIFFERENZE: L APT OFFRE LE STESSE CONCLUSIONI SOLAMENTE IN UN CASO PARTICOLARE L APT PUO UTILIZZARE UN INDICE DI MERCATO E NON L ENTITA SPESSO NON MISURABILE DEL PORTAFOGLIO DI MERCATO NELL APT I SINGOLI INVESTITORI POSSONO EFFETTUARE LE SCELTE COME MEGLIO CREDONO, PERCHE ESISTONO GLI ARBITRAGGISTI CHE RIPORATANO IL MERCATO IN EQUILIBRIO

71 APT vs. CAPM TUTTAVIA ESISTONO ALCUNE DIFFERENZE: IL CAPM, PER DEFINIZIONE, VALE PER TUTTI I PORTAFOGLI E PER TUTTI I TITOLI ESISTENTI; L APT VALE PER PORTAFOGLI DIVERSIFICATI, SENZA RAGGIUNGERE CONCLUSIONI CERTE PER GLI ALTRI L APT PUO ESSERE UTILIZZATO CON PIU FATTORI, MENTRE IL CAPM NECESSITA CHE IL FATTORE PREPONDERANTE SIA IL PORTAFOGLIO DI MERCATO

72 L APT a più fattori

73 L APT A PIU FATTORI È utilizzato per spiegare al meglio la relazione che porta alla definizione del rendimento atteso E(R port ) Migliora l approccio utilizzato dal CAPM che prevede un solo fattore di riferimento

74 L APT A PIU FATTORI PER I SINGOLI TITOLI: E(R tit ) = R risk-free + tit,1 * 1 + tit,2 * tit,n * n dove i vari Beta rappresentano la sensibilità rispetto ad ognuno degli n fattori i vari sono i premi al rischio associati ad ogni fattore

75 L APT A PIU FATTORI L APT a più fattori può essere trasformato, in un caso particolare, in CAPM La logica che segue, tuttavia, è la stessa: il rendimento di un titolo è spiegato dall andamento di alcuni fattori

76 L APT A PIU FATTORI LIMITI: NON SI CONOSCE IL NUMERO OTTIMALE DI FATTORI DA UTILIZZARE NON SI CONOSCE LA TIPOLOGIA E LA QUALITA DEI FENOMENI DA PRENDERE IN CONSIDERAZIONE (ad esempio, fattori macroeconomici, legati ai mercati, legati all impresa)

77 L APT A PIU FATTORI CONSEGUENZE: L APT non può essere dimostrato in modo standardizzato come il CAPM L incertezza operativa ne rende difficile la diffusione Anche il mondo accademico ha difficoltà nel proporre e condurre le esemplificazioni per l elevato numero di dati che, spesso, si rendono necessari