Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani

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1 Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani

2 FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione f di A in B una legge che associa ad ogni elemento di x di A un unico elemento y di B che denoteremo con f(x). L elemento f(x) si dice valore di f in x o immagine di f in x. La funzione si indica: f : A B L insieme A si chiama insieme di definizione o di partenza o dominio, mentre l insieme B si chiama insieme di arrivo. L insieme dei valori di una funzione é detto codominio o immagine e si denota con f(a): f(a) = {y B : x A t.c. y = f(x)} Appunti Mat. per l Econ L-Z - Villani Giovanni 1

3 Ovviamente f(a) B. Se A R e B R, allora f é una funzione reale di variabile reale. Definizione 2 Una funzione si dice surgettiva o suriettiva o su B se il codominio coincide con l insieme di arrivo, ossia f(a) = B: y B x A t.c. y = f(x) Definizione 3 Una funzione si dice ingettiva o iniettiva o biunivoca se: x 1, x 2 A : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Definizione 4 Una funzione si dice bigettiva o biettiva o invertibile se é sia iniettiva che surgettiva: y B x A t.c. y = f(x)

4 Definizione 5 Se una funzione f é invertibile si definisce funzione inversa di f e si denota con f 1, la funzione: f 1 : B A y B f 1 (y) = x t.c. f(x) = y Definizione 6 Sia f : A B. Si definisce restrizione di f ad A A e si denota con f /A la funzione: f /A : x A f(x) B Definizione 7 Sia f : A B. Si chiama ridotta di f e si denota con f, la funzione che: f : x A f(x) f(a)

5 Funzione Composta Supponiamo di avere tre insiemi A, B, C e le funzioni: f : A B; g : B C Definizione 8 Si definisce funzione composta di g e di f e si denota con g f (g cerchietto f oppure g composta di f), la funzione che ad ogni x appartenente ad A associa il valore di g in f(x): g f : x A (g f)(x) = g(f(x)) C Osservazione 1 Per poter considerare la funzione composta occorre che f(a) B Teorema 1 Siano f : A B e g : B C. Si dimostra che: f e g ingettive g f ingettiva;

6 f e g surgettive g f surgettiva; f e g bigettive g f bigettiva; (g f) 1 = f 1 g 1 Funzioni limitate e illimitate Sia X R e f : X R una funzione reale di variabile reale. Definizione 9 Diremo che k é un maggiorante di f se é un maggiorante di f(x), quindi: x X : f(x) k. Definizione 10 Diremo che h é un minorante di f se é un minorante di f(x), quindi: x X : h f(x).

7 Definizione 11 Si definisce estremo superiore di f l estremo superiore di f(x) e si denota con sup f: sup f = k x X : f(x) k ε > 0 x X k ε < f( x). Definizione 12 Si definisce estremo inferiore di f l estremo inferiore di f(x) e si denota con inf f: inf f = h x X : h f(x) ε > 0 x X f( x) < h + ε. Definizione 13 Si dice che M é il massimo (glabale) di f se M é il massimo di f(x) e si denota con max f: max f = M x X : f(x) M M f(x) x X f( x) = M.

8 Definizione 14 Si dice che m é il minimo (globale) di f se m é il minimo di f(x) e si denota con min f: min f = m x X : m f(x) m f(x) x X f( x) = m. Definizione 15 Si dice che f é limitata superiormente (inferiormente) se esiste un maggiorante (minorante) per f. Definizione 16 Si dice che f é limitata se é limitata sia inferiormente che superiormente. Definizione 17 Si dice che f é illimitata superiormente se non é limitata superiormente e si pone sup f = + : k R x X k < f(x).

9 Definizione 18 Si dice che f é illimitata inferiormente se non é limitata inferiormente si pone inf f = : h R x X f(x) < h. Successioni Una successione é una funzione f definita in N e a valori in R: f : N R Per indicare una successione si utilizza la notazione (x n ) n N. Il codominio della successione é {x 1, x 2,, x n, } e si chiama insieme dei termini della successione. Definizione 19 Una successione (x n ) n N si dice monotona crescente (strettamente crescente) se: x n x n+1, n N (x n < x n+1, n N)

10 Si dirá monotona decrescente (strettamente descrescente se: x n x n+1, n N (x n > x n+1, n N) Definizione 20 La successione (x n ) n N é limitata superiormente {x 1, x 2,, x n, } é limitato superioriormente: k R t.c. x n k, n N La successione (x n ) n N é limitata inferiormente {x 1, x 2,, x n, } é limitato inferiormente: h R t.c. h x n n N Definizione 21 Si definisce estremo inferiore di una successione (x n ) n N limitata inferiormente il piú grande dei minoranti e si denota con inf n N x n, h = inf n N x n n N : h x n ɛ > 0 n N t.c. h + ɛ > x n

11 Definizione 22 Si definisce estremo superiore di una successione (x n ) n N limitata superiormente il piú piccolo dei maggioranti e si denota con sup n N x n, k = sup x n n N n N : k x n ɛ > 0 n N t.c. k ɛ < x n Definizione 23 Si definisce massimo di una successione (x n ) n N il piú grande termine della successione. Il massimo, se esiste, gode delle seguenti proprietá: M = max n N x n n N : M x n n N t.c. M = x n Definizione 24 Si definisce minimo di una successione (x n ) n N il piú piccolo termine della successione. Il minimo, se esiste, gode delle seguenti proprietá: m = min n N x n n N : m x n n N t.c. m = x n

12 Il numero di Nepero Il numero di Nepero é un numero irrazionale compreso tra 2 e 3 e si denota con la lettera e. Esso equivale a e = 2, ( La successione di termine generale x n = ) n n con n N é limitata superiormente ed é monotona crescente. Si definisce: ( e = sup n ) n La successione di termine generale y n = ( ) n+1 n con n N é limitata inferiormente ed é monotona decrescente. Si definisce: ( e = inf ) n+1 n Si ha che: ( n) n < e < ( ) n+1 n

13 Insiemi Numerabili Definizione 25 Due insiemi S e T si dicono equipotenti quando esiste una funzione bigettiva f : S T. Definizione 26 Sia X R. L insieme X é detto finito se esiste n N tale che X sia equipotente all insieme {1, 2,, n}. Definizione 27 Sia X R. L insieme X é detto infinito se non é finito. Definizione 28 Sia X R. L insieme X é detto numerabilie se é equipotente all insieme dei numeri naturali N.

14 Proprietá delle funzioni reali Funzioni Monotone Definizione 29 Sia f : X R, X R; f si dice crescente in X se x 1, x 2 X : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f si dice strettamente crescente in X se x 1, x 2 X : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) f si dice decrescente in X se x 1, x 2 X : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f si dice strettamente decrescente in X se x 1, x 2 X : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )

15 Se f é crescente o decrescente in X, allora f si dice che é monotona in X; Se f é strettamente crescente o strettamente decrescente in X, allora f si dice che é strettamente monotona in X; Teorema 2 Sia f : X f(x), f strettamente monotona, allora f é invertibile e l inversa é strettamente monotona e se f é strettamente crescente (strettamente descrescente), l inversa f 1 é strettamente crescente (strettamente decrescente). Teorema 3 Siano f, g : X R, a R Se f è crescente (decrescente) in X, allora a + f è crescente (decrescente);

16 Se f è crescente (decrescente) in X, e a > 0 allora af è crescente (decrescente); Se f è crescente (decrescente) in X, e a < 0 allora af è decrescente (crescente); Se f e g sono crescenti (decrescenti) in X, allora f + g è crescente (decrescente) in X; Se f e g sono crescenti (decrescenti) in X e f(x) 0, g(x) 0 x X, allora fg è crescente (decrescente) in X. Se f e g sono crescenti (decrescenti) in X e f(x) 0, g(x) 0 x X, allora fg è decrescente (crescente) in X.

17 Siano f : X Y e g : Y R, se f e g sono crescenti (decrescenti), allora g f é crescente (crescente); Siano f : X Y e g : Y R, se f é decrescente (crescente) e g é crescente (decrescente), allora g f é decrescente; Funzioni Concave e Convesse Definizione 30 Sia f : X R; X intervallo. Diremo che il grafico di f è convesso in X, o che volge la concavità verso l alto in X se e solo se a, b X con a b risulta: f(ta+(1 t)b) tf(a)+(1 t)f(b) t [0, 1] Nel caso di strettamente convesso o che volge la concavitá strettamente verso l alto la disuguaglianza vale in senso stretto <.

18 Definizione 31 Sia f : X R; X intervallo. Diremo che il grafico di f è concavo in X, o che volge la concavità verso il basso in X se e solo se a, b X con a b risulta: f(ta+(1 t)b) tf(a)+(1 t)f(b) t [0, 1] Nel caso di strettamente concavo o che volge la concavitá strettamente verso il basso la disuguaglianza vale in senso stretto >. Teorema 4 Sia f : X f(x); f(x) intervallo, f strettamente crescente. f strettamente convessa (strett. concava) f 1 strettamente concava (strett. convessa) Teorema 5 Sia f : X f(x); f(x) intervallo, f strettamente decrescente. f strettamente convessa (strett. concava) f 1 strettamente convessa (strett. concava) I punti (x 0, f(x 0 ) del grafico di una funzione si dicono di flesso se f é strettamente convessa (strettamente concava) in ], x 0 [ ed

19 é strettamente concava (strettamente convessa) in ]x 0, + [. Funzioni Simmetriche Definizione 32 Sia f : X R. Diremo che la funzione f è pari se: x X x X e f(x) = f( x) Diremo che la funzione f è dispari se: x X x X e f(x) = f( x)