Sistemi dinamici lineari del 1 ordine

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1 Appuni di onrolli Auomaici Simi dinamici linari dl ordin Inroduzion... ipoa al gradino uniario... ipoa alla rampa... Empio...3 Empio...4 INTODUZIONE Si dfinic ima (lmnar) dl primo ordin un ima (linar mpo-invarian) ch ia cararizzao da una funzion di rafrimno ch, a mno di un faor coan, i può porr nlla forma gun: H( ) Si raa cioè di una funzion razional ramn propria avn il dnominaor di grado. La coan di mpo è qulla, com i vdrà in guio, ch cararizza il comporamno dinamico dl ima. Ea drmina anch l unico polo dlla funzion H(), ch è -/. ISPOSTA AL GADINO UNITAIO Pr udiar il comporamno di un imil ima, lo i ccia mdian uno di gnali canonici (gradino, impulo, rampa rampa parabolica). Pr mpio, upponiamo di porr in ingro al ima il gradino uniario x()h(): la ua raformaa di Laplac è / pr cui, nll ipoi di condizioni iniziali null, l ucia (forzaa) aum l prion Y( ) H( )X( ) ( ) Aniraformando qua funzion, oniamo l andamno dll ucia (forzaa) nl mpo: Y( ) A B ( ) y( ) da cui i comprnd quano do prima a propoio dlla coan. L andamno nl mpo di y() è dl ipo raffigurao nlla figura gun, dov la cala di mpi (in aci) è aa normalizzaa in rapporo alla coan di mpo :

2 Appuni di onrolli Auomaici y() Quando, la ripoa aum un valor pari al 63.% dl valor final di rgim, ch i raggiung approimaivamn dopo ; pr, il valor è pari all 86.% dl valor final, mnr pr 3 i paa al 9%. Si dfinic mpo di aamno dl ima il mpo ncario prché y() riman nro il % dl valor final. Analiicamn, il mpo di aamno corripond all ian S ch vrifica la condizion y( ) y( S ) Nl noro cao, oiundo l prion di y(), abbiamo quano gu: y( ) lim S S y( S ) S 3 Abbiamo dunqu rovao ch il mpo di aamno di un ima dl ordin è pari a circa 3. Pr, com do, l ucia raggiung il 99.3% dl valor di rgim, mnr, pr 7, i arriva al 99.9%. E inran orvar ch, calcoliamo la quanià y (), oniamo la vlocià con cui par la ripoa (corripondn alla angn ad y() nll origin): d y' ) d Quindi, la vlocià con cui par la ripoa dl ima ad un gradino uniario è il rciproco dlla coan di mpo ( corripond dunqu al valor aoluo dl polo dlla funzion di rafrimno): ciò ignifica ch la ripoa par ano più vlocmn quano minor è. ISPOSTA ALLA AMPA Vdiamo ado coa uccd applicando in ingro al ima non più il gradino uniario, bnì la rampa uniaria x()h()r(): la ua raformaa di Laplac è / pr cui, mpr nll ipoi di condizioni iniziali null, l ucia (forzaa) aum l prion Auor: Sandro Prizzlli

3 Simi dinamici linari dl ordin Y( ) H( ) X( ) ( ) Aniraformando qua funzion, oniamo l andamno dll ucia (forzaa) nl mpo. Pr ffuar l aniraformazion poiamo procdr ia mdian l panion in frai mplici ia mdian l applicazion dlla proprià di ingrazion nl mpo dlla raformaa di Laplac (vio ch r() non è alro ch l ingral dl gradino uniario): gundo qu ulima rada, baa ricordar ch la ripoa al gradino ra pr crivr ch la ripoa alla rampa è T T y( ) dt dt dt y( ) T ESEMPIO onidriamo un mplic circuio ri: () - Applicando la LK la LKT al circuio, oniamo l quazion ingro-diffrnzial () i() S facciamo inolr l ipoi di condizioni iniziali null (cioè upponiamo ch il condnaor ia carico all ian - ), l rmo infrior dll ingral divna quindi l quazion divna () i() Applicando l opraor raformaa di Laplac, oniamo dunqu E() I() I() I() E() onidrando E() com ingro la nion V() ul condnaor com ucia, oniamo V() I() E() E() 3 Auor: Sandro Prizzlli

4 Appuni di onrolli Auomaici dal ch dduciamo ch la funzion di rafrimno dl ima è H() V() E() La coan di mpo è dunqu quindi il polo dlla funzion di rafrimno è -/. Applicando in ingro al ima il gradino uniario, oniamo l ucia A B L I( ) y( ) ( ) ESEMPIO onidriamo nuovamn il circuio ri dll mpio prcdn: () - Vogliamo calcolar la nion v() ul rior provocaa dal gnal () fao nl modo gun: () a Nll ipoi di condizioni iniziali null, abbiamo vio nll mpio prcdn ch val la rlazion () i() Applicando l opraor raformaa di Laplac, oniamo dunqu ch E() I() I() I() E() V() I() E() E() Auor: Sandro Prizzlli 4

5 Simi dinamici linari dl ordin Ado dobbiamo oiuir l prion di E(): conidrando ch la il gnal in ingro è primibil, nl dominio dl mpo, nlla forma dduciamo ch E( ) ( a ) ( ) a r( ) a r( a), pr cui la raformaa dll ucia (forzaa) è a V() a a ( ) a a ( ) Aniraformar qua funzion non è mplic, pr cui applichiamo il orma di ovrappoizion dgli ffi, calcolando prima la ripoa al gnal a r ( ) ( ) poi qulla al gnal a r a ( ) ( ), ch corripond ad () ralao di a moliplicao pr -. La ripoa ad () ha chiaramn prion () a V a A B ( ) a ( ) a ( ) quindi la ua aniraformaa è ( L ( ) La ripoa ad (), invc, arà nin alro ch v () ralaa di a moliplicaa pr -, pr cui arà v H a a ( ) ( ) a La ripoa (forzaa) compliva è dunqu la gun: v v v H a a ( ) ( ) ( ) ( ) a a Auor: SANDO PETIZZELLI -mail: andry@iol.i io pronal: uccural: ur.iol.i/andry Auor: Sandro Prizzlli