Numeri e tecniche di calcolo nella Terra fra i due fiumi

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1 Numeri e tecniche di calcolo nella Terra fra i due fiumi La terra fra i due fiumi Linea di costa nel III millennio Area di influenza delle prime città stato sumere (IV-III millennio a. C.) Area di influenza degli Accadi all epoca di Sargon I (0 a. C.) Confini del regno di Hammurabi (9-0 a. C.) Tavola cronologica L arte sumerica non ha come fine la ricerca estetica del bello, ma nasce come manifestazione dello spirito religioso che permea ogni realtà. Staticità Ripetizione Stendardo di Ur (metà III millennio a.c., BM) mosaico di conchiglie, lapislazzuli e calcare rosso che rappresenta scene di guerra La statua di Gudea (Lagash, Mesopotamia, 0 a.c.) Sulla tavoletta in grembo a Gudea è incisa la rappresentazione planimetrica di un edificio. Posti a fianco del disegno vi sono un regolo graduato e un asta arcuata, forse un compasso a corda. Louvre In base alla ricostruzione del progetto di Gudea, a partire dal disegno e prendendo come riferimento la larghezza delle porte di accesso valutata in due o tre metri, l intero edificio avrebbe dovuto avere una lunghezza di circa 00 metri e una larghezza di 0. (Manzone, Navale 988)

2 L elemento architettonico più caratteristico dell architettura mesopotamica è la Ziggurat, torre a terrazze. P. Bruegel il Vecchio (6) [80] [9] Ziggurat di Ur sulla cui sommità era costruito il tempio dedicato al dio della luna Nanna (L. Woolley) La Ziggurat di Babilonia, la Torre di Babele, constava di terrazze. Era alta 90 metri e all ultimo piano c era la cella del Dio Marduk. Torre di Babele Tavoletta (9 a. C) con la pianta e le misure, Ricostruzione di Wiseman Gilgamesh, V re della I dinastia di Uruk Ercole sumerico Gilgamesh, VIII sec a. C. Parigi, Louvre I giorni dell uomo sono contati: qualunque cosa egli faccia non è altro che vento L epopea di Gilgamesh affronta i grandi temi dell umanità: angoscia davanti alla morte, desiderio dell immortalità e la vana ricerca della felicità. Gilgamesh contro il toro celeste (sigillo cilindrico accadico) Fonti per la matematica mesopotamica circa 00 tavolette di argilla scritte in caratteri cuneiformi risalenti a tre periodi: a.c. Epoca paleobabilonese a. C. Epoca Seleucide (0- a. C.) Tavole di calcolo Tavole di problemi Tavole di moltiplicazione, tavole di inversi, elenchi di misure con passaggi da un unità di ordine inferiore a una di ordine superiore e viceversa, tavole di potenze, tavole di radici quadrate,ecc. con o senza soluzione ricette di calcolo niente simbolismo nessuna dimostrazione I contributi decisivi allo studio delle tavolette matematiche risalgono però solo agli anni Neugebauer, Thureau-Dangin, Bruins Roccia di Behistun con iscrizione trilingue Lettera di Pietro della Valle (6), uno dei primi esempi di caratteri cuneiformi pervenuti in Europa. G.F. Grotefend H.C. Rawlinson J. Oppert, F. Thureau-Dangin contribuirono alla decifrazione della la scrittura cuneiforme (80-90) H.C. Rawlinson Caratteri delle matematiche mesopotamiche La matematica non è intesa come un attività speculativa astratta, ma un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continua espansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento per l amministrazione della città (costruzione di edifici e canali, computo dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro, divisione di eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, ) I problemi hanno perlopiù una veste concreta e sono classificati a seconda del tipo di soluzione. Questo è dovuto alla funzione didattica dei testi e mostra una certa consapevolezza della generalità, anche se non c è alcuna esigenza dimostrativa. sistema di numerazione sessagesimale posizionale calcolo algebrico : soluzione di problemi riconducibili a equazioni di e grado, particolari equazioni di grado superiore al, particolari sistemi

3 Scribi, VIII sec. a.c. La casa delle tavolette la scuola Gli scribi costituivano una categoria di specialisti di alto livello con competenze linguistiche, matematiche e metrologiche Erano potenti funzionari dello stato con varie specializzazioni. È documentata l esistenza di scribi donne Scuole paleobabilonesi ( a.c.): Nippur, Uruk, Ur, Mari, Ebla Materie di studio: lingua, grammatica e letteratura sumerica, matematiche, legislazione, musica Metodo: copiare liste di parole (alberi, animali, oggetti, località, divinità, stelle, ), copiare vocabolari bilingui sumero-accadico, risolvere problemi basandosi su quelli risolti dal maestro [Sjöberg 96] Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma di studi delle scuole paleobabilonesi ( a.c.). Molti testi contenevano elenchi e tabelle... Eseguendo questi compiti di ricopiatura, lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e al tempo stesso accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette [Friberg 98] - testi didattici, dizionari bilingui - esercizi di scolari su piccole tavolette ovali che su un lato riportano lo scritto del maestro e dall altro il compito dello studente - testi letterari sulla scuola - testo d esame Fine III millennio a.c., Louvre Bulla con gettoni, Susa, ca 00 a.c., Louvre mucche 0 montoni L origine dei segni numerici e le bullae di argilla con gettoni Le bullae molto probabilmente servivano nelle transazioni commerciali. I gettoni contenuti descrivevano la merce inviata. Rompendo la bulla l acquirente poteva verificare se la merce corrispondeva. Successivamente si iniziò ad imprimere sulla superficie della bulla i vari gettoni Alcuni tipi di gettoni Bassa Mesopotamia, 00 a. C Passaggio dai gettoni ai simboli numerici Sistema di numerazione sumerico (0 a. C.) Sistema di numerazione additivo, sessagesimale basato sull uso congiunto della base e 0 uomo Colonna montoni capretti Esisteva anche il termine šar-gal ( grande šar) per indicare ( ), ma non il simbolo Tavoletta sumerica, 00 a. C.

4 La più antica divisione, 60 a. C. granaio d orzo silà Ogni uomo riceve I suoi uomini? granaio d orzo 000 silà 00 silà 00 : silà d orzo rimasti Il problema è il seguente: Il contenuto di un granaio d orzo ( 00 silà) è distribuito fra gli operai. Ciascuno riceve silà e ne rimangono. Quanti sono gli operai? Come ha trovato la soluzione lo scriba? Probabilmente con una serie di divisioni successive con opportune conversioni da un unità a quella immediatamente inferiore. [Guitel 96] 00 resto 00 resto 0 resto 0 resto 6 resto 0 resto La risposta è 6 Origine della base Teone di Alessandria (IV sec.), J. Wallis (69): ha divisori:,,,,, 6, 0,,, 0, 0, M. Cantor (880): il numero dei giorni dell anno arrotondato a avrebbe suggerito la divisione del cerchio in parti e il fatto che il lato dell esagono regolare inscritto è uguale al raggio avrebbe portato alla base G. Kewitsch (90): è la combinazione naturale di due sistemi più antichi uno in base 0 e uno in base 6 O. Neugebauer (9): il sistema metrologico è all origine della base, infatti una grandezza di unità può essere suddivisa senza difficoltà in dieci modi: in,,,, 6, 0,,, 0, 0 parti uguali Conteggio sulle dita Così si arriva a 9 e il contare le decine sulla seconda mano spiegherebbe la base ausiliaria 0 Evoluzione della scrittura Verso il si assiste a un processo di astrazione che porta ad utilizzare i due soli segni da cui il nome cuneiforme. uccello pesce spiga di orzo La scrittura si ottiene per impressione a. C. Sistema di numerazione sessagesimale posizionale babilonese Fa la sua comparsa nell ambiente colto all inizio del II millennio a.c. come strumento per la matematica e poi (in epoca Seleucide) per l astronomia matematica. Nel nostro sistema di numerazione decimale Nel sistema di numerazione sessagesimale posizionale , 0, 8 ; 0 I numeri da a 9 sono scritti in modo additivo con la base ausiliaria 0, per i numeri superiori a è utilizzato il principio di posizione (il valore del simbolo dipende dal posto che occupa)

5 , 0, 8 ; 0 8, 0, 0 ; Manca lo zero sia in posizione mediale che finale. Comparirà solo in epoca Seleucide Testo V di Susa ,... Ci troviamo davanti a due tipi di ambiguità: - una derivante dalla mancanza dello zero - l altra derivante dalla difficoltà di sapere come devono essere raggruppati i segni Lo zero è la cifra più importante. È un colpo di genio fare di un nulla qualcosa, attribuendogli un nome e creando un simbolo per esso [Van der Waerden 9] La tavola di moltiplicazione di un sistema di numerazione in base n ha (n-) prodotti Fronte Retro La tavola di moltiplicazione del sistema in base comporta 8 prodotti. In realtà i matematici Babilonesi non costruirono sistematicamente tutte queste tavole, ma ne costruirono altre Tavola di moltiplicazione per (ca 0 a.c.) [TMS, ] Ci sono pervenute numerose tavole di moltiplicazione, di quadrati (n a-rá n), di radici quadrate (n -e n íb-si 8 ), di radici cubiche (n -e n ba-si 8 ), di somme di quadrati e di cubi, di inversi (igi n gál-bi /n), La divisione La divisione viene effettuata moltiplicando il dividendo per l inverso del divisore. 0;0 0;0 0; ; 0;0 0;0 L inverso di ogni numero regolare, cioè contenente cioè solo i fattori,, ( i fattori primi di ) è esprimibile con una frazione sessagesimale finita : 8 0 0, , /000 /8 0;,0 : 8 0 0;,

6 Gli inversi dei numeri irregolari come,,, danno luogo a frazioni sessagesimali infinite periodiche 0;, Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso piano degli interi. Questo è notevole se si pensa che il sistema di numerazione indiano (che diviene il nostro) concerneva solo l espressione degli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazioni decimali che cominciarono a diffondersi in Europa solo alla fine del 00 [S. Stevin, De Thiende, 8] Nella più antica tavola di inversi (800 a.c. circa) ci sono gli inversi dei numeri da a. Quando si tratta di calcolare gli inversi di,,, 9 lo scriba scrive che tali numeri non hanno inverso. In YBC 09 (Yale) c è il calcolo approssimato degli inversi di numeri irregolari, per es. /9 0;,, [MCT, 6] : 0 0, : 6 0; 8,,, Tabella di inversi di numeri compresi fra e [MKT, I, -] Louvre AO 66 Igi gál-bi 0 Approssimazione di, circa 800 a.c. 0 ;, 0 ;,, 0 YBC 89 MCT,- B AC 0 ;,, 0, A C 0 approssimazione molto buona di Sul lato del quadrato è scritto 0 e sulla diagonale sono segnati i numeri ;,, 0 e ;,. La diagonale è ottenuta così: ;, 0 ;,, 0 Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesi conoscessero il teorema di Pitagora nella sua generalità, ma esistono altre tavolette in cui questo teorema viene usato in modo palese [p. e. MCT,] 6

7 Plimpton (800 a.c., MCT, 8-9) a + b c b d ordine Numeri c a La tavoletta mostra un elenco ordinato di numeri relativi a terne pitagoriche, cioè terne di numeri interi che soddisfano la relazione a + b c La I colonna della tavoletta presenta i valori corrispondenti al rapporto b a mentre la II e la III i valori di b e di c, rispettivamente. L ultima colonna indica invece semplicemente i numeri d ordine, da a, delle terne. È possibile che i Babilonesi conoscessero il meccanismo di formazione della terne pitagoriche : a uv b u v c u + v u e v interi u > v Euclide, Elementi, X,8. Tavoletta AO 68 (epoca Seleucide) Somma dei quadrati dei naturali da a 0 (MKT, I, 99) Quadrati da volte fino a 0 volte 0, 00 Qual è il numero? Tu moltiplichi per /, trovi / Tu moltiplichi 0 per /, trovi 0/. / + 0/, trovi. Tu moltiplichi per, trovi 8. Il numero è n n( n + ) + n 0 S n n( n + )(n + ) 6 n Lurje 98 n Assemblando tre di questi solidi ottengo un parallelepipedo di dimensioni (+) più una scala formata da (++++) cubetti unitari. n( n + ) S n( n + ) n + n( n + ) (n + ) cubetto unitario cubetti unitari 9 cubetti unitari 6 cubetti unitari cubetti unitari n La somma dei cubetti unitari del solido a scalini rappresenta la somma dei quadrati dei numeri da a. n+ n Bibliografia essenziale BOYER C., 980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap.. CARDONA G.R., 986, Storia universale della scrittura, Mondadori, Milano. FRIBERG J., 98, Numeri e misure nei primi documenti scritti, Le Scienze 88, pp. 8-. GIACARDI L., 98, Sistema di numerazione e calcolo algebrico nella Terra tra i due fiumi, in AA.VV., L alba dei numeri, Dedalo, Bari. GIACARDI L., ROERO C.S., 99, La matematica delle civiltà arcaiche. Egitto, Mesopotamia, Grecia, Stampatori, Torino, Cap.. KLINE M., 99, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, I, Cap. LIVERANI M., 988, Antico oriente. Storia, società, economia, Laterza, Bari MOSCATI S., 98, Antichi Imperi d Oriente, Newton Compton, Roma NEUGEBAUER O., 9, Le scienze esatte nell'antichità, Feltrinelli, Milano. PETTINATO G., 988, Babilonia, centro dell Universo, Rusconi, Milano. PICHOT A., 99, La nascita della scienza. Mesopotamia, Egitto, Grecia antica, Dedalo, Bari, Cap. I. SCHMANDT-BESSERAT D., 98, Gli antecedenti della scrittura, Le Scienze 0, pp. 6-. I testi cuneiformi BRUINS E.M., RUTTEN M., 96, Mémoires de la Mission Archéologique en Iran, Tome XXXIV, Textes matbématiques de Suse, Librairie orientaliste Paul Geuthner, Paris. NEUGEBAUER O., 9, Mathematische Keilschrift-Texte, I, II, III, Reprint, Springer Verlag, Berlin. NEUGEBAUER O., SACHS A., 9, Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Society, New Haven. THUREAU-DANGIN, F., 98, Textes mathématiques babyloniens, E.J. Brill, Leiden.