Considerazioni sulla costante di normalizzazione della distribuzione normale ridotta.

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1 Considerzioni sull costnte di normlizzzione dell distribuzione normle ridott + () e d π Autore : Antonio Irlori, docente di Mt e Fis presso il Liceo Scientifico G Glilei di Lncino Abstrct Si present un dimostrzione elementre (perltro già not ) reltiv l vlore dell costnte di normlizzzione dell distribuzione normle ridott, ttrverso il clcolo dell integrle () Nell mbito citto si trovno spesso ( vedi per es De Finetti ) riferimenti d ess; questi, però, ne rinvino il clcolo effettivo metodi più vnzti ( integrli doppi) Sembr inoltre che si possno cogliere, nel percorso seguito, lcuni dei suoi significti geometrici ( oltre che probbilistici) e interpretzioni geometrico-intuitive dell medi rmonic e ritmetic Si generlizzno poi i metodi seguiti un clsse prticolre di gussine, ritrovndo il significto combintorio dell costnte stess Abstrct We present n elementry ( however just known ) proof referred to the vlue of normlistion constnt of the reduced norml distribution, by the clcultion of the integrl () In the bove mentioned rnge we often find (see eg De Finetti) references to the constnt; but they put its clculus bck to hedmost methods ( double integrls ) Moreover it seems tht we cn pick, in the steps followed, some of its geometric ( s well s probbilistic ) menings nd intuitive-geometric interprettions of the hrmonic nd rithmetic men The followed methods re then generlized to prticulr clss of Gussins, finding the costnt combintory mening gin Prole chive: costnte di normlizzzione, modello geometrico, medi rmonic e ritmetic ) Clcolo pprossimto Figur L fig rppresent l re dell regione individut dll curv di equzione y e e dll sse Osservimo che, con metodi elementri, si può clcolre con un errore piccolo qunto si vuole Nelle due figure seguenti sono rppresentte due pprossimzioni molto grossolne, per difetto e per eccesso, rispettivmente, che tuttvi ci ssicurno che < <, 4 Questo ci permette, tr l ltro, di stbilire l relzione < < che ci riuscirà utile in seguito

2 Figur Figur Approssimzione per difetto dell superficie individut dll curv ( grigio) con trpezio e del tringolo (rncio) l unione del Figur 3 Figur 3 Approssimzione per eccesso dell superficie individut dll curv con l unione di: ) Trpezio rettngolo ( escluso tringolo in grigio) vente come lto obliquo il segmento di tngente ll curv nel punto di sciss ) Trpezio rettngolo vente come lto obliquo il segmento di estremi i punti di sciss e 3) Rettngolo di bse e ltezz f ( ) h(), essendo f ( e, h( e, + f h ( f ( ( ), e d () ) Clcolo elementre con interpretzioni geometriche nello spzio e nel pino Dimo un procedimento elementre, (ovvimente già noto, dt l su semplicità e immeditezz), per il clcolo di () Figur 4 Le figur 4 si ottiene per rotzione complet dell fig ttorno ll sse y ( ttulmente sse z, non rppresentto)

3 L superficie di rotzione, di equzione z dà su questo l curv di equzione ( + y ) e, intersect col pino k, k y z e e che individu l regione di re k y k ( k) e e dy e A questo punto, il volume v () individuto dll superficie di rotzione si può trovre integrndo (k) Si h v ( ) ( k) dk 4 Figur 5 D ltr prte, considerndo l superficie lterle s ( del generico cilindro in fig 5 di rggio di bse e ltezz f ( ) e, si h s( π e e lo stesso volume può essere ottenuto integrndo rispetto l funzione nell intervllo [, ), v ( ) s( d π In definitiv, () 4 π π L relzione () può essere vrimente interprett: Figur 6 Figur 7 Nello spzio euclideo, per esempio, possimo pensre π come misur in sterdinti dell ngolo solido individuto dll superficie dell semisfer di re 4 e rggio (fig 6); lterntivmente, 4 può rppresentre il vlore dell re dell superficie lterle del cilindro vente rggio di bse e ltezz e, quindi, volume (fig 7) π

4 Figur 8 Figur 9 Sul pino l () può essere interprett pensndo 4 come re del cerchio di rggio (fig 8), m nche come lunghezz dell circonferenz di rggio (fig 9) Possimo, in prticolre, ffermre è ugule in vlore ll misur dell lunghezz di un rco di circonferenz di rggio / e mpiezz π / 3) Interpretzione di () come medi Dimo or un rppresentzione geometric dell integrle (), utile indgre lcune relzioni tr medie Ponimo f ( e, F( e d, df ( e d, F ( +) F () in mnier tle che l integrle poss essere interpretto nche come lunghezz di un segmento oppure, se si vuole, come rettngolo di ltezz e bse Figur In figur sono rppresentti: - Il grfico di f( e in [, +) - Il rettngolo di ltezz e bse equivlente ll superficie individut dll curv e dll sse Un interpretzione più intuitiv si h considerndo f ( ln( ( < ) e il rettngolo come un ppliczione del primo teorem dell medi

5 Figur In figur può essere interpretto come medi ritmetic pondert dei vlori) y f ( con pesi d df (y) 4) Modello geometrico dell medi ritmetic e dell medi rmonic Abbimo visto come l integrle (), interpretto come segmento di lunghezz, bbi un significto di medi Voglimo dre un modello geometrico dell medi ritmetic e dell medi rmonic dei vlori con pesi df (, pensti entrmbi come lunghezze di segmenti + d 4) Medi ritmetic: e + Considerimo l funzione h( e e l integrle e d df( In mnier intuitiv e imprecis, per il momento, possimo dre ll sciss bricentric + df( + df( il significto di medi ritmetic dei vlori con pesi df ( +

6 In figur sono rppresentti: h( e - Il grfico di in[, +) Figur - Il rettngolo di ltezz e bse con superficie equivlente quell compres tr l curv e l sse -, sciss del bricentro di f ( e e medi ritmetic in [,+) dei vlori, ciscuno con peso df ( Come sppimo, possimo sempre trsformre il rettngolo di ltezz e bse in un settore circolre, equivlente ll metà di esso, di rco e rggio, mpiezz dell ngolo l centro rd Possimo clcolre, inftti, limn tn n n Figur 3 Osservzione: l figur rppresent l trsformzione per un generico vlore di

7 Quest trsformzione non è l sol possibile, ovvimente; m è pres in considerzione, perché conserv l medi, con l differenz che gli elementi df( sono or equidistnti d un punto, l origine del Sdi R, invece che dll sse y Osservimo ncor che il rpporto, che nel rettngolo h il significto di tngente goniometric di un ngolo, nel settore circolre h il significto di misur in rdinti dell ngolo l centro Il nostro problem, il clcolo di (), trdotto in termini geometrici, si risolve se riuscimo clcolre il rpporto tr e, le dimensioni del rettngolo o, rispettivmente, l rco e il rggio del settore circolre corrispondente Nel nostro cso, già sppimo, per l precedente dimostrzione, che + d 4) Medi rmonic: e π rd Possimo pensre di prendere in considerzione l medi rmonic dei vlori con gli stessi pesi df ( + + df( df( +, dto che df( + + Per cogliere correttmente il significto geometrico-intuitivo di entrmbe conviene fre qulche ltr considerzione Intnto, possimo gevolmente trccire un grfico qulittivo dell F ( (monoton crescente, concv con sintoto orizzontle y ) Fig 3: grfico di F( Figur 4 Decomponimo, per esempio, l intervllo [,) in intervlli uguli di mpiezz h e considerimo i rettngoli di bse k kh e ltezz df k F( kh + h) F( kh), k, come in figur

8 Ottenimo un plurirettngolo che, per D ltr prte pesi k k k k df df df ( ) In sintesi, k k h, h come re df( e d può essere interprett come medi ritmetic dei vlori k con df k che, per h, tende l vlore k df ( è equivlente un rettngolo di bse e ltezz ( come si può immeditmente vedere pplicndo il primo teorem dell medi ll funzione invers) oppure, lterntivmente, l doppio di un settore circolre di rco, rggio / e mpiezz π A questo punto, possimo dre un prim interpretzione di (3) + df( come limite dell somm (infinit) delle tngenti degli ngoli individuti di rettngoli di ltezz df ( e bse Un second interpretzione ( meno intuiv in questo cso ) si h considerndo l (3) come limite dell somm delle misure in rdinti degli ngoli individuti di settori circolri con rco df( e rggio ( bst considerre i tringoli isosceli di bse df( e ltezz ) Il significto geometrico dell medi rmonic, che in questo cso h vlore, è l distnz dll sse y, comune tutti i df (, tle che df( + + df( + Si trtt dell tngente goniometric di un ngolo l cui misur è π rd In ltre prole, nel nostro cso: L interpretzione geometric dell medi ritmetic dei vlori con pesi df( ci permette di costruire un settore circolre di re, mentre quell dell medi rmonic con gli stessi pesi ci restituisce il vlore dell tngente del suo ngolo l centro π In reltà possimo pensre di costruire un settore circolre di re ½ e ngolo l centro df ( rd interpretndo opportunmente il rpporto come elemento di tngente di un ngolo con vertice nell origine e pprtenente un tringolo di bse df (, ltezz e vertice in O +

9 Effettundo un trslzione verso l lto ( prllel ll sse y) dell elemento df( e mntenendo fisso il vertice nell origine O, si trsform il tringolo in un ltro equivlente, con l stess bse df( e ltezz, m con l ngolo di vertice O consecutivo quello che lo precede dl bsso verso l lto Figur 5 In fig sono rppresentti i tringoli e i segmenti df(/ sull rett L somm di tutti gli ngoli è π Ottenimo così un ngolo con vertice nell origine che contiene un regione di re settore circolre equivlente, per cui possimo trccire l rco di curv che delimit il + 43) Medi ritmetic e rmonic: e d Per illustrre le operzioni descritte è necessrio lvorre sul grfico dell F(, cos che non risult molto gevole, per il ftto che il rpporto df ( divent sempre più grnde per -> Aggirimo l ostcolo ll mnier seguente Insieme con le funzioni f ( e e h( e prendimo in considerzione g( e e 3 l( e D e d risult e 3 d, e d come si può clcolre fcilmente integrndo per prti Posto, inoltre, F e ( ) d, e d riesce

10 d d df ( Rgionndo come prim,clcolimo le medie ritmetic e rmonic dei vlori con pesi dg ( d d e d d Osservzioni: - prità di re sottes, l sciss bricentric di g( è doppi rispetto quell di f( Il vlore dell medi rmonic è < / Grfico dell funzione g( Figur 6 e e del rettngolo di ltezz e bse Grfico dell funzione l( Figur 7 3 e e del rettngolo di ltezz e bse / Anche desso, per precisre meglio i concetti, conviene fre riferimento l grfico qulittivo di che si costruisce gevolmente, dto che l stess funzione h derivte note, è monoton crescente con sintoto orizzontle y e h un cmbio di concvità in

11 Figur 8 Nell figur vedimo, oltre l grfico dell, i rettngoli di ltezz d e bse che individuno, per h ->, l regione che h come re d Osservimo nche il processo di trslzione verso l lto delle bsi dg ( dei tringoli di vertice O, in mnier che gli ngoli l vertice diventino consecutivi Notimo che quest trsformzione è un equivlenz che conserv l sciss bricentric Figur 9 Nell figur vedimo gli elementi dg (, distnz, che corrispondono, un volt effettut l trslzione verso l lto, in mnier biunivoc gli elementi dg ( sull rett di equzione d Questo ci permette di dre un significto geometrico ll integrle come tngente dell ngolo somm di tutti gli ngoli consecutivi con vertice in O, che or misur 4 π rd Un second interpretzione si h considerndo l (3) come limite dell somm delle misure in rdinti degli ngoli individuti di settori circolri con rco d e rggio

12 In effetti l medi rmonic ssume or il significto di distnz dll sse y, comune tutti i dg (, cui collocre il segmento, prllelo ll sse y e di lunghezz ugule ll somm dei pesi, dg (, in mnier tle che l tngente dell ngolo bbi vlore In formule d d Abbimo gli elementi necessri per pssre lle conclusioni Figur Dto il vlore : - l medi ritmetic port individure un tringolo che è l metà del rettngolo equivlente ll regione in colore di ltezz e bse, quindi di re, che si trsform in un settore circolre equivlente di rggio π e mpiezz 4 - l medi rmonic ci port individure un tringolo rettngolo isoscele con cteti di misur, quindi con tngente, e re ; oppure un settore circolre di mpiezz e re

13 , che si trsform, mntenendo costnte l lunghezz, in un settore di re e mpiezz Come nel cso precedente, possimo ffermre che L interpretzione geometric dell medi ritmetic dei vlori con pesi df ( ci permette di costruire un settore circolre di re, mentre quell dell medi rmonic con gli stessi pesi ci restituisce il vlore dell tngente del suo ngolo l centro Figur 5) Generlizzzione ll integrle di un gussin, n intero positivo Le osservzioni precedenti potrebbero fr pensre un generlizzzione delle relzioni evidenzite Possimo esminre che cos succede prendendo in considerzione gli integrli n e d, n,, di cui bbimo trttto i csi n e n Intnto, bbimo l relzione (4) G ( n + ) n n ), n,, che si dimostr immeditmente integrndo per prti Per l medi rmonic e ritmetic si h M h (, n ) l cui medi geometric è M g ( n M n + ) ( D (4) il rpporto n + ) n ) n ) n, n n

14 e è funzione crescente di n n ) Possimo ffermre, llor, che: - M h ( e M ( sono sintoticmente equivlenti n, n Sino : - Ah ( M h ( l re del tringolo di cteti e M h ( o del settore circolre corrispondente di rco e rggio M h ( - G ( n ) l tngente dell ngolo rpporto tr i due cteti nel primo cso, misur dell ngolo l centro nel secondo - A ( n + ) l re del settore circolre di rco G ( e rggio M ( - B( l misur dell mpiezz del suo ngolo l centro M ( G ( G ( Si può scrivere A ( e B ( e verificre che l uguglinz sussiste n ) n + ) A( solo per n In generle n B( n n-) 3 8 M h ( / / 3/ 8/3 5/8 M ( / / 3/ 8/3 5/8 48/5 A h ( / / / 9 /4 3/3 5 /6 A ( / / 3/ 4 5/ 4 B( / / 4/3 9 /8 64/5 5 /48 Tbell Osservndo l tbell si possono cogliere relzioni interessnti Per n4, d esempio, si h: - A (4) 4 e B(4 ) 9 /8, re e ngolo del settore circolre di rco 4) e rggio M (4) - A h (4 ) 9 /4 e n-), interpretbili come re e ngolo del settore di rco 4) e rggio M h (4) - Il settore ottenuto dl precedente scmbindo re e ngolo, mntenendo costnte 4), h re e ngolo 9 /4 - Possimo, sempre con 4) costnte, rddoppire l re e, conseguentemente, dimezzre l ngolo, ottenendo un settore di re 4 e ngolo 9 /8, ugule l primo 6) Significto combintorio Possimo ncor osservre che G ( 3 5 (n ), n + ) 4 6 ( n,, ' Nel cso n m, essendo M h ( m) m e ponendo G (m) m), ottenimo Quest ultim ffermzione, nche se del tutto evidente, dovrebbe essere rigorosmente dimostrt

15 5) m m m m G (m ) ' G (m) 4 ( m ) m 3 5 ( m ) ( m )! (m )! m m ( m)! (m)! Se invece n m +, con ( m + ) m +, si h 6) m+ M h m + ) 4 (m) ' m + G (m) m (m ) m ( m)! m + (m)! Le due successioni sono monotone e, per il ftto che compre l numertore dell medi rmonic nel cso pri e l denomintore nel cso dispri,, rispettivmente decrescente e crescente, seprte e contigue, venti come elemento di seprzione In effetti, il rpporto tr (5) e (6) vle Ritrovimo llor (7) m + m n(! n lim n lim n n n ( m)! n m con il significto combintorio del coefficiente di normlizzzione Osservzioni finli Non mi sembr il cso, dte le crtteristiche degli rgomenti proposti, di riportre un bibliogrfi Mi sento obbligto, tuttvi, fre riferimento l testo Teori dell probbilità di Bruno De Finetti d cui ho trtto ( nche indirettmente ) sempre idee e intuizioni per il mio lvoro