Elettronica dello Stato Solido Lezione 11: Statistica dei portatori. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano
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- Giuditta Lucrezia Di Giovanni
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1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 11: Statistica dei portatori Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano
2 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 2 Outline Densità di portatori in Metalli Semiconduttori/isolanti Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D) Statistica di particelle Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann Conclusioni
3 Introduzione Per calcolare la densità di corrente di elettroni = -qnv nei semiconduttori/metalli abbiamo bisogno di: Velocità v = mf Densità di portatori n che partecipano al trasporto banda di conduzione La densità di portatori si ottiene come prodotto di densità di stati per probabilità di occupazione, da integrare sull energia n g( E) f ( E) de E C D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 3
4 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 4 E E Metalli E E C E F k E V g(e) f(e) Il livello di Fermi (potenziale chimico degli elettroni nel solido, funge da confine tra stati occupati e vuoti) è allineato con una banda la banda è parzialmente piena alta conducibilità elettrica e termica
5 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 5 Semiconduttori/isolanti E E E E C E F k E V g(e) f(e) Il livello di Fermi (potenziale chimico degli elettroni nel solido, funge da confine tra stati occupati e vuoti) è allineato con un gap la banda è completamente piena (valenza) o vuota (conduzione) a T = 0 K, bassa conducibilità elettrica e termica
6 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 6 Outline Densità di portatori in Metalli Semiconduttori/isolanti Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D) Statistica di particelle Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann Conclusioni
7 Struttura a bande reale D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 7
8 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 8 Approssimazione parabolica Dato che i fenomeni di trasporto e ottici avvengono normalmente in corrispondenza del fondo/apice della banda di conduzione/valenza, è legittimo adottare l approssimazione parabolica E E k C per ricavare una formula analitica per la densità di stati g(e) 2 2m e 2
9 -p/a E Densità di stati 1D k +p/a Condizioni periodiche al contorno: ( Na) ( 0) ikna ikna 2p u( Na) e u( 0) e 1 k n Na n 0, 1, 2,..., N 2 2p k Na Due stati sull asse k distano pertanto e la densità è Lunghezza tra k e k+dk ( ) dk dk g k dk g 2 2 / s dk k p Na Na p Spin Volume cristallo D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 9
10 Densità di stati 1D E E -p/a k +p/a E C E V g(e) Densità in energia: Relazione E-k: g( E) de g( k) dk de E E k k C m e dk me Quindi g ( E ) g ( k dk me me D ) de p 2 k p E E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido C
11 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido E k 1 k 2 k 2 Densità di stati 2D dk k=(k 12 +k 22 ) 1/2 k 1 Condizioni periodiche al contorno: 2p 2p k n, k n N1a1 N2 a2 Volume associato allo stato k: 2 2p 2p k N a N a Quanti stati tra k e k+dk? g( k) dk Area tra k e k+dk 2p kdk / Spin p 2 k dk p Volume (area) del cristallo
12 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Densità di stati 2D E E E k 2 k 1 -p/a 1 Relazione E-k: Quindi: de E EC k k E k k 2m 2m dk m k 1 +p/a C e e e k m m g( E) de g( k) dk g ( E) p k p E C E V e e 2D 2 2 g(e)
13 k 1 k 3 k 1 k 2 k 3 Densità di stati 3D Condizioni periodiche al contorno: 2p 2p 2p k n, k n, k n N1a1 N2a2 N3a3 Volume associato allo stato k: 3 2p 2p k N a N a N a Quanti stati tra k e k+dk? k 2 g( k) dk Volume tra k e k+dk 4p k dk p / Spin Densità per area unitaria D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido k p dk
14 k 3 Densità di stati 3D E E k 1 k 2 -p/a 1 k 1 +p/a 1 E C E V g(e) Relazione E-k: Quindi: de E EC k k k E k k 2m 2m dk m C e e e 2 32 / me 2 k me g( E) de g( k) dk g3d( E) E E p k 2p D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido C
15 Massa efficace DOS Banda di conduzione: Banda di valenza: 2 32 / mn gc( E) E E 2 3 2p 2 32 / mp gv( E) E 2 3 V E 2p C E E C E V g(e) Le masse m* n e m* p sono chiamate masse efficaci DOS (density of states) Per minimi/massimi unici (G) e isotropi le masse DOS coincidono con la massa del portatore, e.g. m* n = m* e per la banda di conduzione del GaAs D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 15
16 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Casi degeneri/anisotropi k z k z k y k y k x k x Per casi degeneri (e.g. valli multiple in banda di conduzione) e/o anisotropi (e.g. masse trasversali e longitudinali), dobbiamo ricavare una massa DOS tale che la sfera di Fermi equivalente (m* n isotropa) contenga lo stesso numero di stati degli ellissoidi (m* t, m* l ) di Fermi reali stesso volume (k equidistribuiti)
17 Casi degeneri/anisotropi k z 2 2 k k k k E EC 1 2m k eff n 2m E E n keff C k x k y E EC p eff p2 n 2 vol k m 3 3 k z k k k k E EC k1 2 3 k ml mt 2m E E 2m E E, l C t C k x k y E EC vol g p g p mlmt D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido
18 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Massa DOS di Si e Ge Ponendo uguali i volumi (pari numero, e quindi densità, di stati per ogni energia) si ottiene: m g m m m g m m n l t n l t In banda di valenza, si deve tenere conto della degenerazione hh/lh: basta sommare le densità di stati (g V =g hh +g lh ), ottenendo: p hh lh m m m
19 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Masse DOS in Ge, Si, GaAs Masse DOS in banda di conduzione: Ge: m* n /m 0 = 4 2/ / /3 = Si: m* n /m 0 = 6 2/ / /3 = 1.06 GaAs: m* n /m 0 = m* e /m 0 = Masse DOS in banda di valenza Ge: m* p /m 0 = ( / /2 ) 2/3 = Si: m* p /m 0 = ( / /2 ) 2/3 = 0.59 GaAs: m* p /m 0 = (0.51 3/ /2 ) 2/3 = 0.532
20 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Massa di conduzione Si impiega ai fini del calcolo della mobilità Le diverse masse danno contributi in parallelo alla conduzione: dato che la conducibilità è inversamente proporzionale alla massa, la media deve effettuarsi sull inverso delle masse k x k z k y ml mt mt 3 m c m c m m m* c /m 0 =0.26 (Si) m* c /m 0 =0.12 (Ge) l t
21 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Outline Densità di portatori in Metalli Semiconduttori/isolanti Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D) Statistica di particelle Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann Conclusioni
22 E 3 E 2 E 1 g 4 E 4 g 3 g 2 g 1 N Statistica di particelle N 4 = 3 N 3 = 4 N 2 = 3 N 1 = 4 Problema: sistema con N particelle identiche e debolmente interagenti, volume costante Livelli in energia discreti che raggruppiamo in gruppi di g stati a energia E Occupazione (0/1) degli E equiprobabile g = degenerazione N = numero di particelle sul livello E (distribuite sui g stati) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 22
23 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Numero di configurazioni Quante sono le possibili configurazioni di un particolare stato del sistema? Numero di configurazioni = W Lo stato del sistema con il massimo numero di configurazioni rappresenta il più probabile stato di equilibrio Il massimo numero di configurazioni coincide con il massimo dell entropia: S k logw
24 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Statistica di Fermi-Dirac 1 Particelle indistinguibili: dalla meccanica quantistica, lo scambio di due particelle tra i rispettivi stati non è rilevabile da nessuna misura fisica In ogni stato è possibile collocare una sola particella (principio di esclusione di Pauli) Nota: gli stati sono sempre a coppie, spin Stato del sistema = N particelle sul livello E
25 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Statistica di Fermi-Dirac 2 In quanti modi posso collocare N palline in g stati? La prima in g modi, la seconda in g -1, la terza in g l ultima in g -N +1 Particelle indistinguibili il numero è da ridurre per le permutazioni di N particelle Estendendo alla sequenza di livelli energetici W FD E g N g g g! N! N! g N!! g! N! g N!
26 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Formula di Stirling Calcoliamo il logaritmo logw FD : logw log g! log N! log g N! FD Formula di Stirling logx!=xlogx-x logm! Stirling
27 Condizione di massimo vincolato D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Quindi: logw g logg g N logn N Massimizziamo logw FD : FD g N g N g N ( )log( ) ( ) g g N N g N g N log log ( )log( ) logw FD logw N FD N 0 Con i vincoli: N U E N N 0 0
28 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Moltiplicatori di Lagrange Se devo trovare il massimo di una funzione a 2 variabili f(x,y) sottoposto al vincolo g(x,y)=c, cerco le soluzioni tra i punti di stazionarietà della funzione f ( x, y ) g( x, y ) c Nel nostro caso quindi impongo: logw FD logwfd a N bu a be N N Ma data l indipendenza dei N, la soluzione è che ogni termine nella sommatoria si annulli: logw N FD a be 0 0
29 Metodo MDL Funzione f(x,y) valutata sulla curva g(x,y)=c Nel punto di massimo vincolato, il contour di f e la curva g(x,y)=c sono tangenti Equivalentemente, in quel punto il gradiente di f(x,y) e quello di g(x,y)-c sono paralleli, i.e. proporzionali, con coefficiente di proporzionalità D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 29
30 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Risultato Sostituendo logw g logg N log N ( g N )log( g N ) FD Trovo: E quindi logw N g FD logn 1 log( g N ) 1 a be N abe g e N abe N e 1 Ricavo una probabilità di occupazione: Significato di a, b? serve supporto dalla teoria termodinamica f N 1, FD abe g e 1
31 Prima legge della termodinamica L energia in un processo termodinamico si conserva (non può essere creata o distrutta, ma solo trasformata) du Q L Dove U = energia interna (energia immagazzinata nel sistema), Q = calore (trasferimento di energia da sorgente calda) e L = lavoro fatto dal sistema Tradotto in differenziali esatti: du TdS PdV mdn Dove si è incluso anche lo scambio di energia sotto forma di materia, con m = potenziale chimico delle particelle N La variazione di entropia a volume costante è quindi: ds du T m dn T D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 31
32 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Interpretazione termodinamica Confrontiamola con l espressione: dove logw a N bu 0 S k logw FD ds bkdu akdn,quindi du m ds dn m T T a kt e la distribuzione Fermi Dirac diventa: N 1 abe E e g e g m kt 1 b 1 kt m E F Energia di Fermi = potenziale chimico degli elettroni
33 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Argomento semplificato Dal risultato della massimizzazione con i moltiplicatori di Lagrange, posso adottare i seguenti argomenti: La distribuzione f deve essere pari a ½ in E F = m = potenziale chimico degli elettroni 1 1 f ( E ) a be 0 a be abef e 1 2 FD F F F La distribuzione deve tendere alla Maxwell- Boltzmann per E grande b=1/kt f 1 ( E) kt e FD E E F 1
34 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Fermioni e bosoni Entrambe le particelle sono indistinguibili tra loro, cioè: non è possibile etichettare le particelle, oppure lo stato con particella 1 in a e la particella 2 in b non è distinguibile dallo stato con particella 1 in b e la particella 2 in a) Funzione d onda: Simmetrizzazione: Bosoni Fermioni ( x1, x2) a ( x1) b ( x2) NO! 1 ( x1, x2) a( x1) b( x2) a( x2) b( x1) 2 1 ( x1, x2) a( x1) b( x2) a( x2) b( x1) 2
35 Fermioni e bosoni Conseguenza 1: funzione pari (bosone) o dispari (fermione) rispetto all operazione di scambio di particelle Conseguenza 2: la funzione d onda di due fermioni nello stesso stato è identicamente nulla 1 ( x1, x2) a( x1) a( x2) a( x2) a( x1) 0 2 impossibile per due fermioni condividere lo stesso stato principio di esclusione di Pauli Nessuna restrizione per bosoni condensazione di Bose (tutte le particelle nello stesso stato a 0 K) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 35
36 Statistica di Bose-Einstein Particelle indistinguibili (come FD) In ogni stato è possibile collocare un numero illimitato di particelle In quanti modi posso collocare N palline in g stati? g =12 N =16 Il problema equivale a permutare N palline e g -1 barriere tra stati Da ridurre per le permutazioni di N particelle e g -1 barriere N N N g 1! g 1! g 1!! Estendendo a tutti gli E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido W BE N N g 1! g 1!!
37 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Massimizzazione di W BE 1 Calcoliamo il logaritmo logw BE : 1 1 logw log N g! log N! log g! BE N g 1logN g 1 N logn g 1logg 1 Condizione di massimo vincolato: logw N BE U E N N logw 0 0 N BE N 0
38 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Massimizzazione di W BE 2 Moltiplicatori di Lagrange: logw BE logwbe a N bu a be 0 N N Che per l indipendenza dei N diventa: Quindi: N log logw N BE a be N g 1 logn a be g 1 g g e 1 e 1 kt e a be a be E m 0 1
39 Fermi-Dirac Passaggio al continuo N e E g m kt 1 g( E) de n( E) de E m kt e 1 Bose-Einstein N e E g m kt 1 g( E) de n( E) de E m kt e 1 Maxwell-Boltzmann N g e n( E) de g( E) dee La distribuzione FD si applica a fermioni (particelle a spin semi-intero, e.g. elettroni), quella di BE ai bosoni (particelle a spin intero) La distribuzione di MB/semiclassica si usa come limite di FD e BE per E>>m D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido E m kt E m kt
40 Applicazione: gas di fotoni/fononi D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L applicazione tipica della statistica di BE è ai gas atomici (elio) Più in generale si può applicare ad ogni particella (o quasi particella) dotata di spin intero fotone (quanto di radiazione elettromagnetica) e fonone (quanto di vibrazione reticolare in un cristallo) In entrambi i casi (fotone/fonone) è necessario introdurre una modifica: sia i fotoni sia i fononi non si conservano, ma possono essere creati o distrutti il vincolo N=0 viene meno, quindi m=akt=0
41 Densità di energia nella cavità Dalla trattazione di Rayleigh-Jeans, la densità di modi è [m -3 3 ]: L energia è legata alla frequenza da E h, 3 quindi scriviamo d p 2 2 Allora la densità di fotoni è: n( E) g( E) f ( E) La densità di energia è: 2 p c 2 g( ) d d g( E) g( ) 3 E de h c BE u( E) Eg( E) f ( E) BE 2 8p E E hc e kt 1 3 8p E E hc e kt 1 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 41
42 f [1] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Distribuzioni a confronto 2,5 2 1,5 FD BE MB 1 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Energia [ev]
43 f [1] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Distribuzione di Fermi 1,2 1 0, ,6 0,4 0,2 N e E g m kt ,2 0,4 0,6 0,8 1 Energia [ev] La curva impiega circa 5kT per andare dal 90% al 10% alle basse temperature è praticamente un gradino
44 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Conclusioni La densità di portatori in solidi (metalli o semiconduttori/isolanti) all equilibrio richiede di conoscere: Densità di stati. In approssimazione parabolica, la densità in 3D cresce con la radice dell energia. Si adotta un opportuna massa (DOS). Probabilità di occupazione degli stati distribuzione statistica di Fermi Dirac
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