Esercitazioni del corso: RELAZIONI TRA VARIABILI

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1 A. A Esercitazioni del corso: RELAZIONI TRA VARIABILI Isabella Romeo: ommario Esercitazione 1: Tabelle a doppia entrata Distribuzioni marginali e condizionate Indipendenza statistica Connessione

2 Relazioni tra Variabili a. a RICHIAMI MATEMATICI 1) Approssimazione Quando si ha a che are con dei numeri non interi, ovvero con una parte decimale, è necessario decidere con che grado di approssimazione è opportuno proseguire. In generale negli esercizi proposti durante il corso e nelle prove d esame vi sarà consigliato di approssimare alla seconda cira decimale, tuttavia in presenza di valori molto piccoli sarà necessario approssimare anche alla quarta od alla quinta cira decimale. In generale la regola da seguire per approssimare alla seconda cira decimale è la seguente: se la terza cira decimale è compresa tra 0 e 4 si tronca il numero alla seconda cira decimale; se la terza cira decimale è compresa tra 5 e 9 si aggiunge un unità alla seconda cira decimale; Un esempio: E, similarmente, quando si approssima alla quarta o quinta cira: ) ommatoria Il simbolo di sommatoria Σ (lettera greca maiuscola sigma) viene utilizzato per esprimere in orma sintetica e compatta la somma di un certo numero di addendi. Nel caso più generale si ha una scrittura del tipo: n i m a a a i m n si legge: somma per i che va da m ad n di a con i. Con questa notazione si indica la somma di tutti gli addendi (generiche espressioni algebriche) che si ottengono sostituendo all indice i di a i tutti i valori interi che vanno dal numero m al numero n. m rappresenta il valore iniziale dell indice della sommatoria i ed n il valore inale. Nel caso particolare in cui m 1 si ha: n i 1 a a + a a i 1 Tra le proprietà dell operatore sommatoria ricordiamo: n n k a k a + k a k a k a i 1 n i i 1 i 1 n

3 Relazioni tra Variabili a. a EERCIZIO 1 i supponga di aver intervistato 10 studenti immatricolati nell a. a alla acoltà di scienze. Tra le diverse inormazioni ornite dallo studente vi è il sesso e il corso di laurea. Per quanto riguarda il corso di laurea si considerano il corso di laurea in cienze Naturali (N) e cienze Biologiche (B). I dati raccolti riguardo i due enomeni sono riportati nella tabella successiva M F F M F M F M M F N B B B B N 1. ornire una rappresentazione sintetica dei dati;. mettere in evidenza le distribuzioni marginali; 3. costruire le distribuzioni condizionate; 4. dire se i due enomeni sono in relazione tra loro; 5. misurare opportunamente, se esiste, tale relazione. volgimento 1. Ai ini dell analisi statistica bivariata il risultato della rilevazione congiunta viene organizzato in una tabella a doppia entrata. Identiicando con il enomeno sesso con k due modalità e con il enomeno corso di laurea con h due modalità si ottiene la seguente tabella ( x ): M F In tale tabella si possono riconoscere: le requenze congiunte, ovvero che riguardano entrambi i enomeni, che mettiamo in evidenza con il colore rosso; le requenze marginali, che riguardano i enomeni considerati singolarmente, che mettiamo in evidenza con il colore blu e verde. Le requenze marginali di riga si ottengono sommando le requenze congiunte che stanno sulla stessa riga (blu), mentre le requenze marginali di colonna si ottengono sommando le requenze congiunte che stanno sulla stessa colonna (verde). 3. Le inormazioni circa il comportamento di un enomeno condizionatamente all altro si ottengono considerando le righe o le colonne della tabella a doppia entrata separatamente, mediante la costruzione delle requenze condizionate. La distribuzione del enomeno corso di laurea rispetto al enomeno sesso ovvero la distribuzione condizionata di rispetto è: 3

4 Relazioni tra Variabili a. a M 1/5 4/5 5/5 F 3/5 /5 5/5 M F Mentre la distribuzione del enomeno sesso rispetto al enomeno corso di laurea ovvero la distribuzione condizionata di rispetto è: M 1/4 4/6 F 3/4 /6 4/4 6/6 M F Il primo passo nell analisi statistica dell eventuale relazione tra i due enomeni considerati consiste nello stabilire se esiste una qualche relazione tra essi. e non esiste alcuna relazione statistica si dice che ed sono statisticamente indipendenti. Il metodo per stabilire se sono statisticamente indipendenti consiste nel conrontare le requenze condizionate. e al variare delle modalità del enomeno condizionante la distribuzioni condizionate non variano, allora i due enomeni sono statisticamente indipendenti. Nel nostro esercizio è diverso da M F quindi esiste una relazione tra i due enomeni che non sono statisticamente indipendenti. 5. e due enomeni non sono statisticamente indipendenti allora esiste una qualche relazione e si dice che i enomeni sono connessi. Il passo successivo nell analisi bivariata consiste nello stabilire se la relazione è orte o debole, ovvero è necessario misurare il grado di connessione. Il metodo più utilizzato consiste nel considerare la dierenza ra le requenze congiunte osservate e le requenze teoriche ovvero le requenze che si avrebbero in condizione di indipendenza statistica. e queste dierenze sono vicine a zero si conclude che la connessione è bassa ed all aumentare del valore di tali dierenze si ha connessione sempre più alta. 4

5 Relazioni tra Variabili a. a L indice utilizzato per misurare la connessione è il Chi quadro: k h * ( ) * i 1 j 1 È a disposizione una ormula alternativa che non richiede il calcolo delle requenze teoriche e che è quindi più conveniente quando si devono are i conti a mano: k h N 1 i 1 j 1 i.. j Costruendo le requenza teoriche otteniamo: M F ed utilizzando la prima ormula otteniamo: k k * ( ) ( 1 ) ( 4 3) ( 3 3) ( 3) * i 1 i ( 1) ( 1) Mentre utilizzando la ormula alternativa otteniamo: N k k i 1 i 1 i j ( ) 10( 0.16) 1. 6 Abbiamo ottenuto un 1. 6, ma cosa signiica? I enomeni considerati sono poco o molto connessi? Il valore assoluto dell indice di Pearson non è interpretabile, è necessario ricorrere alla normalizzazione: ~ N min 1.6 ( k 1; h 1) 10 min( 1;1 ) Ovvero considerando che l indice normalizzato varia da zero, assenza di connessione, ad 1, massima connessione, i enomeni sesso e corso di laurea considerati nell esercizio sono scarsamente connessi. 5

6 Relazioni tra Variabili a. a EERCIZIO i hanno i dati sulla supericie delle province lombarde () e sul numero di abitazioni amiliari (). La supericie territoriale è espressa in ettari e il numero di abitazioni in migliaia. Tali inormazioni sono riassunte nella matrice di dati seguente. Provincia Provincia Bergamo Milano Brescia Mantova Como Pavia Cremona ondrio Lecco Varese Lodi Costruire la tabella a doppia entrata per i enomeni ed, utilizzando per le seguenti classi: minore o uguale a 50.00, , , ; e per le seguenti classi: , ;. Nella tabella costruita al punto 1. si possono individuare le distribuzioni univariate dei enomeni considerati; 3. Determinare la distribuzione di condizionata alla classe di numero abitazioni amiliari ; 4. Veriicare se le due variabili sono statisticamente indipendenti. volgimento 1. La variabile deve essere sintetizzata in k 4 classi e la variabile in h classi < le distribuzioni univariate dei enomeni coincidono con le distribuzioni marginali delle tabelle a doppia entrata quindi nel nostro caso: < Rappresenta la distribuzione univariata o marginale della variabile numero abitazioni amiliari ; Rappresenta la distribuzione univariata o marginale della variabile supericie. 3. La distribuzione di condizionata alla classe di supericie è rappresentata dalla seconda colonna della tabella a doppia entrata: <

7 E se si considerano le requenze relative è: UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI MILANO BICOCCA Relazioni tra Variabili a. a < /50 1/5 0. 3/ / già osservando la tabella a doppia entrata si può capire che i due enomeni non sono statisticamente indipendenti perché sono presenti degli zeri, ma anche considerando le requenze condizionate, che risultano tra loro dierenti, si evince che le due variabili non sono statisticamente indipendenti. < / / /5 0. 3/ /5 0. EERCIZIO 3 Per un gruppo di 50 studenti si hanno le distribuzioni univariate riguardo a due enomeni: classe di età (< 0, 0-5, >5) ed tipo di laurea. Per enomeno tipo di laurea si considerano le modalità Economia (E) e tatistica () <0 0-5 > E Costruire una tabella a doppia entrata per i due enomeni ed ipotizzando una situazione di indipendenza statistica.. Costruire una tabella a doppia entrata per i due enomeni ed ipotizzando una situazione di massima connessione. volgimento 1. In caso di indipendenza statistica le requenze congiunte coincidono con le requenze teoriche ovvero con le requenze ottenute utilizzando le requenze marginali o univariate nel seguente modo: N * i.. j 7

8 Relazioni tra Variabili a. a Ottenendo: < 0 4 E > Volendo, per veriica, calcolare le requenze condizionate si otterrebbe: E < 0 4/ / / / > 5 4/ / / / Indipendentemente dall età i 50 studenti si distribuiscono nei due corsi di laurea nella percentuale, rispettivamente, del 40 % e del 60 %.. Ci troviamo nel caso in cui h k, k > h: nell ipotesi di massima connessione, issata una modalità della variabile, a questa corrisponde una ed una sola modalità della variabile. Ad esempio si ottiene: E < > oppure: E < >

9 Relazioni tra Variabili a. a EERCIZIO 4 Nella tabella sono riportati i dati inerenti il numero esami sostenuti () in un anno ed il sesso () di 6 studenti della acoltà di Matematica M F Calcolare media aritmetica e varianza del enomeno.. Fornire un adeguata rappresentazione graica del enomeno. 3. Calcolare ed interpretare le contingenze. 4. Calcolare e darne un adeguata interpretazione. volgimento NOR 1. è una variabile quantitativa discreta. La media aritmetica è: 1 3 y y j N j 1 ovvero circa 5 esami. La varianza è: j ( ) ( ) ( ) h ( y j y ) j N j σ 3.09 o utilizzando la ormula operativa: σ h y j j y N j 1. è una mutabile sconnessa o variabile categoriale, quindi una rappresentazione graica adeguata è il graico a barre o a rettangoli. 9

10 Relazioni tra Variabili a. a Le dierenze tra le requenze osservate e quelle teoriche sono dette contingenze e * sono date dalle quantità: C. In condizioni di indipendenza le contingenze sono nulle. * i j Calcolare le requenze teoriche date da: N M F E successivamente calcolare le contingenze: M F Non essendo nulle si può dire che i enomeni ed non sono statisticamente indipendenti. k h C 4. Il Chi quadrato di Pearson è dato da: ( ) ( ) ( ) [ ] C 3 * * i 1 j 1 i 1 j Per normalizzare tale indice è necessario dividerlo per il suo massimo, ovvero per: N min ( k 1 );( h 1) N min [ 1;] NOR NOR In generale 0 1: l indice vale 0 in presenza di indipendenza ra i caratteri e vale 1 quando c è massima dipendenza; quindi in questo caso i due enomeni sono praticamente indipendenti. 10