Metodi & Modelli per le Scelte Economiche

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1 Metodi & Modelli per le Scelte Economiche [domande di teoria utilizzate in passato per la prova scritta le soluzioni NON vengono fornite, occorrerà quindi verificare la esattezza delle diverse possibili risposte analizzando opportunamente i diversi quesiti e utilizzando quanto riportato sui libri di testo] Per le domande di teoria (quelle contrassegnate da un pallino -, con cinque possibili risposte), si indichi la risposta esatta apponendo una crocetta sulla lettera corrispondente (in presenza di più risposte valide indicare quella più significativa, ad esempio, se per la domanda quali valori numerici possono essere assegnati ad una probabilità? fossero presenti le risposte: A: valori non negativi; B: valori compresi tra zero ad uno; occorrerà indicare la seconda risposta). Ogni risposta esatta otterrà un certo punteggio, ogni risposta sbagliata ridurrà il punteggio di una valore pari ad un terzo del punteggio assegnabile per la risposta giusta. Le domande senza risposta non attribuiranno, né toglieranno punteggio. A seconda del livello di difficoltà della domanda, e/o della gravità degli errori, potranno essere apportate lievi modifiche al criterio sopra indicato per l assegnazione del punteggio. 13/01/10) Rispondere alle seguenti domande (M&M per le Scelte Economiche Nuovo Ordinamento): Un insieme K si dice convesso se, dati x e x entrambi appartenenti a K: A: ogni combinazione lineare di qualsiasi coppia di x e x appartiene a K B: ogni combinazione lineare convessa di qualsiasi coppia di x e x appartiene a K C: esiste almeno una coppia di x e x la cui combinazione lineare appartiene a K D: esiste almeno una coppia di x e x la cui combinazione lineare convessa appartiene a K E: esiste almeno una coppia di x e x la cui combinazione lineare appartiene a K giace sulla frontiera di K. Un problema duale di tipo dissimmetrico è caratterizzato da: A: vincoli funzionali espressi in forma standard, variabili tutte non negative B: vincoli funzionali espressi in forma mista, variabili tutte non negative C: vincoli funzionali espressi solamente da equazioni, variabili tutte non negative D: vincoli funzionali espressi solo da disequazioni (di qualsiasi tipo), variabili qualsiasi E: vincoli funzionali espressi anche in forma mista, variabili non necessariamente tutte non negative Con riferimento alle tecniche reticolari (PERT e CPM), il digramma di Gantt serve per: A: analizzare l andamento dei costi B: analizzare l andamento dei carichi di lavoro C: analizzare la presenza di eventuali dati aleatori D: analizzare la durata complessiva del progetto E: analizzare l entità dei ritardi ammissibili Con riferimento alla relazione ricorrente utilizzata per risolvere il problema di Bellman svolto a lezione (programmazione dinamica, discreta, deterministica, con orizzonte finito), la grandezza f 1 (x N-1 ): A: rappresenta la funzione obiettivo (già ottimizzata) associata alla ultima fase B: rappresenta la funzione obiettivo (già ottimizzata) associata alla prima fase C: rappresenta la funzione obiettivo (già ottimizzata) associata alla generica s-esima fase D: rappresenta la funzione obiettivo da ottimizzare relativa a tutto il processo E: rappresenta la funzione obiettivo da ottimizzare relativa alla ultima fase Valendo le probabilità: p(a)=0,2; p(b)=0,6; p(a B)=0,1 A: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(b)=0,2 + 0,6=0,8 B: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(a B)= 0,2 + 0,1=0,3 C: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(b) + p(a B) = 0,2 + 0,6 + 0,1 = 0,9 D: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 0,2 + 0,6-0,1 = 0,7 E: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) - p(b) + p(a B) = 0,2-0,6 + 0,1= -0,3 [Soluzioni: 1) B ; 2) E ; 3) B ; 4) A ; 5) D ] 03/02/10) Rispondere alle seguenti domande (M&M per le Scelte Economiche Nuovo Ordinamento): La soluzione ottima di un problema matematico che simula un problema economico A: può essere immediatamente e operativamente utilizzata B: può essere utilizzata solo dopo che sono stati verificati i conteggi eseguiti C: può essere utilizzata solo con cautela in quanto il modello matematico approssima il reale problema economico D: può essere utilizzata immediatamente se il problema è di tipo statico E: può essere utilizzata immediatamente se il problema è di tipo deterministico

2 In un problema di programmazione lineare, se vi sono più punti di ottimo: A: allora ve ne sono in numero non superiore al numero dei vincoli B: allora ve ne sono in numero non inferiore al numero dei vincoli C: allora ve ne sono in numero pari al numero delle variabili D: allora ve ne sono in numero infinito E: allora l insieme ammissibile non è delimitato La funzione (cumulativa) di ripartizione F(x) di una variabile casuale continua X: A: assumerà, per x -, un valore negativo, e assumerà, per x +, il valore nullo B: assumerà, per x -, un valore negativo, e assumerà, per x +, un valore positivo C: assumerà, per x -, il valore nullo, e assumerà, per x +, un valore positivo D: assumerà, per x -, il valore nullo, e assumerà, per x +, il valore uno E: assumerà, per x -, il valore nullo, e assumerà, per x +, un valore infinito La equazione di Eulero: I x( t) I = 0 x'( t), viene utilizzata per risolvere: A: problemi di programmazione lineare stocastica B: problemi sequenziali discreti ad ordinamento rigido C: problemi dinamici discreti ad orizzonte infinito D: problemi dinamici continui, affrontati col metodo del calcolo delle variazioni E: problemi dinamici continui, affrontati col metodo del massimo di Pontryagin. Con riferimento ad un problema di programmazione dinamica, utilizzando il metodi di Bellman, si ottengono: A: delle condizioni di ottimalità che permettono poi di calcolare i valori ottimi numerici B: solamente delle condizioni di ottimalità espresse in forma algebrica C: solamente le soluzioni numeriche (da attribuire alle variabili di scelta) D. solamente delle indicazioni per poi determinare le condizioni di ottimalità E: delle condizioni di ottimalità ottenibili anche utilizzando il metodo del simplesso [Soluzioni: 1) C ; 2) D ; 3) D ; 4) D ; 5) A ] d d t 16/06/10) Rispondere alle seguenti domande (M&M per le Scelte Economiche Nuovo ordinamento): L indice del tasso implicito (TI), utilizzato nei problemi di scelta tra progetti alternativi: A: è un indice di tipo assoluto, sempre utilizzabile B: è un indice di tipo assoluto, utilizzabile solo per progetti alternativi omogenei C: è un indice di tipo relativo, sempre utilizzabile D: è un indice di tipo relativo, utilizzabile solo per progetti alternativi omogenei E: è un indice di tipo relativo, utilizzabile solo in particolari situazioni Al generico elemento zr,s =(x r +y s ) della variabile casuale somma: Z=X+Y sarà associata: A: la probabilità [p(xr ) + p(y s )] se le variabili casuali X e Y sono tra loro dipendenti B: la probabilità [p(xr ) + p(y s )] se le variabili casuali X e Y sono tra loro indipendenti C: la probabilità [p(xr ) p(y s )] se le variabili casuali X e Y sono tra loro dipendenti D: la probabilità [p(xr ) p(y s )] se le variabili casuali X e Y sono tra loro indipendenti E: la probabilità [p(xr ) p(y s )] se le variabili casuali X e Y sono tra loro correlate Volendo risolvere un problema di programmazione lineare multi-obiettivo formalizzandolo in altro modo e minimizzando la somma delle nuove variabili S 1, S 2,, S n, tali nuove variabili S k sono date da: A: S k = differenza tra la funzione obiettivo del problema primale e la funzione obiettivo del duale B: S k = differenza tra l obiettivo k-esimo ottimizzato e il termine noto del k-esimo vincolo C: S k = (c k,1 x c k,n x n ), con (c k,1 ; c k,2 ;.. ; c k,n ) coefficienti del k-esimo obiettivo D: S k = b k (c k,1 x c k,n x n ), con b k termine noto del k-esimo vincolo E: S k = α k (c k,1 x c k,n x n ), con α k obiettivo prefissato per il k-esimo obiettivo Il funzionale J = x 2 x1 ds x = x 1 dy 2 1, compare: A: nel problema del calcolo della curva di lunghezza maggiore tra quelle che ottimizzano il PERT B: nel problema del calcolo della curva di lunghezza minore tra tutte quelle che uniscono due punti C: nel problema del calcolo della curva che ottimizza un problema dinamico a orizzonte infinito D: nel problema del massimo rendimento totale dato dalla somma di due diversi processi E: nel problema della massimizzazione del Tasso Interno, in presenza di variabili casuali. / 2

3 Ad ogni grafo (anche con collegamenti, tra i nodi, di tipo aleatorio), può essere associata una matrice. Tale matrice: A: sarà quadrata, e ogni suo elemento varrà o zero, o uno B: sarà quadrata, e ogni suo elemento sarà necessariamente dato da un numero non negativo C: sarà quadrata, e ogni suo elemento sarà necessariamente dato da un numero intero non negativo D: sarà quadrata, o rettangolare, e ogni suo elemento varrà o zero, o uno E: sarà quadrata, o rettangolare, e ogni suo elemento sarà necessariamente un numero non negativo [Soluzioni: 1) E ; 2) D ; 3) E ; 4) B ; 5) B ] 07/07/10) Rispondere alle seguenti domande (M&M per le Scelte Economiche - Nuovo Ordinamento 6 CFU): Il valore x, relativo alla funzione obiettivo f(x) definita in T e delimitata dall insieme ammissibile K, che soddisfa la condizione, ( x) f ( x) f, x Κ Τ, con x Κ Τ, x x A: è un massimo assoluto libero B: è un massimo relativo libero C: è un massimo assoluto vincolato D: è un massimo relativo vincolato E: è un massimo relativo di frontiera Il valore numerico del moltiplicare di Lagrange, valutato in corrispondenza del punto di ottimo: A: non serve a niente, se non a individuare i valori ottimi da assegnare alle variabili del problema B: indica, se positivo, che si ha un massimo; se negativo, che si ha un minimo C: indica di quanto aumenta la funzione obiettivo, al crescere della variabile x 1 D: indica di quanto varia la funzione obiettivo, al crescere del termine noto del vincolo E: indica di quanto varia la funzione obiettivo, al crescere del rapporto incrementale Le tecniche risolutive del tipo Branch and Bound servono per: A: eliminare le variabili casuali sostituendole con opportuni valori utilizzati come certi B: visualizzare tutte le possibili strategie ed eliminare (il più possibile) quelle non ottimali C: applicare il metodo di ottimo di Bellman D: visualizzare, utilizzando dei grafi, i percorsi critici e i ritardi ammissibili E: applicare il metodo di Gantt Una equazione funzionale è: A: una legge matematica che fa corrispondere un valore numerico ad un altro valore numerico B: una uguaglianza tra due espressioni matematiche che risulta sempre verificata C: una uguaglianza che risulta verificata solamente per opportuni valori delle variabili D: una funzione che utilizza come argomento non una variabile, ma una funzione E: una equazione ove l'incognita (una, o più di una) non è una variabile, ma una funzione Il valore della probabilità, secondo la definizione classica, è data da: A: il rapporto tra il numero degli esperimenti riusciti e quelli fatti B: il rapporto tra il numero degli esperimenti riusciti e quelli fatti, purché equiprobabili C: il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili D: il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili, purché equiprobabili E: il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili, purché indipendenti [Soluzioni: 1) C ; 2) D ; 3) B ; 4) E ; 5) D ] 08/09/10) Rispondere alle seguenti domande (M&M per le Scelte Economiche Nuovo Ordinamento): Un insieme K si dice convesso se, dati x e x entrambi appartenenti a K: A: ogni combinazione lineare di qualsiasi coppia di x e x appartiene a K B: ogni combinazione lineare convessa di qualsiasi coppia di x e x appartiene a K C: esiste almeno una coppia di x e x la cui combinazione lineare appartiene a K D: esiste almeno una coppia di x e x la cui combinazione lineare convessa appartiene a K E: esiste almeno una coppia di x e x la cui combinazione lineare appartiene a K e giace sulla frontiera di K. Un problema duale di tipo dissimmetrico è caratterizzato da: A: vincoli funzionali espressi in forma standard, variabili tutte non negative B: vincoli funzionali espressi in forma mista, variabili tutte non negative C: vincoli funzionali espressi solamente da equazioni, variabili tutte non negative D: vincoli funzionali espressi solo da disequazioni (di qualsiasi tipo), variabili qualsiasi

4 E: vincoli funzionali espressi anche in forma mista, variabili non necessariamente tutte non negative Con riferimento alle tecniche reticolari (PERT e CPM), il digramma di Gantt serve per: A: analizzare l andamento dei costi B: analizzare l andamento dei carichi di lavoro C: analizzare la presenza di eventuali dati aleatori D: analizzare la durata complessiva del progetto E: analizzare l entità dei ritardi ammissibili Con riferimento alla relazione ricorrente utilizzata per risolvere il problema di Bellman svolto a lezione (programmazione dinamica, discreta, deterministica, con orizzonte finito), la grandezza f 1 (x N-1 ) : A: rappresenta la funzione obiettivo (già ottimizzata) associata alla ultima fase B: rappresenta la funzione obiettivo (già ottimizzata) associata alla prima fase C: rappresenta la funzione obiettivo (già ottimizzata) associata alla generica s-esima fase D: rappresenta la funzione obiettivo da ottimizzare relativa a tutto il processo E: rappresenta la funzione obiettivo da ottimizzare relativa alla ultima fase Valendo le probabilità: p(a)=0,2; p(b)=0,6; p(a B)=0,1 A: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(b)=0,2 + 0,6=0,8 B: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(a B)= 0,2 + 0,1=0,3 C: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(b) + p(a B) = 0,2 + 0,6 + 0,1 = 0,9 D: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 0,2 + 0,6-0,1 = 0,7 E: per l evento unione (A B) vale: p(a B) = p(a) - p(b) + p(a B) = 0,2-0,6 + 0,1= -0,3 [Soluzioni: 1) B ; 2) E ; 3) B ; 4) A ; 5) D ] 22/09/10) Rispondere alle seguenti domande (M&M per le Scelte Economiche Nuovo Ordinamento): Il valore x, relativo alla funzione obiettivo f(x) definita in T, che soddisfa la condizione: f x f x, x intorno di x Τ, con x Τ, x x ( ) ( ) [( ) ] A: è un massimo assoluto libero B: è un massimo relativo libero C: è un massimo assoluto vincolato D: è un massimo relativo vincolato E: è un massimo relativo di frontiera In un problema di programmazione lineare di massimo, scritto in forma standard: A: i vincoli sono espressi con disequazioni del tipo minore o uguale B: i vincoli possono essere espressi sia con disequazioni, sia con equazioni C: i vincoli sono tutti delle equazioni D: i vincoli sono espressi con disequazioni del tipo maggiore o uguale E: i vincoli sono espressi solo da condizioni di non negatività. Con riferimento ad una funzione obiettivo di tipo non lineare con n variabili, si avrà un punto x* di massimo assoluto debole quando: A: il gradiente è nullo e la matrice Hessiana è definita positiva in corrispondenza del punto x* B: il gradiente è nullo e la forma quadratica (valutata nel punto x*) è maggiore o uguale a zero C: il gradiente è nullo e la matrice Hessiana è definita negativa per qualsiasi valore di x D: il gradiente è nullo e la matrice Hessiana è semi-definita positiva per qualsiasi valore di x E: il gradiente è nullo e la matrice Hessiana è semi-definita negativa per qualsiasi valore di x Il principio di ottimo di Bellman prevede: A: che ogni strategia, dalla prima fase alla k-esima fase, sia ottima B: che ogni strategia, dalla k-esima fase all ultima, sia ottima C: che ogni strategia, dalla k-esima fase all h-esima fase, sia ottima D: che ogni strategia, dalla k-esima fase all h-esima fase, sia non ottima E: che ogni strategia, dalla prima fase alla k-esima fase, sia ottima solo per variabili intere In un problema di programmazione lineare multi-obiettivo, le curve di livello associate alle diverse funzioni obiettivo valutate in corrispondenza della soluzione ottima: A: sono tutte sovrapposte B: sono tra loro perpendicolari C: passano tutte per uno stesso punto genericamente collocato sulla frontiera ammissibile

5 D: passano tutte per uno stesso punto di vertice E: passano tutte per il punto di vertice che ha le coordinate di valore più elevato [Soluzioni: 1) B ; 2) A ; 3) E ; 4) B ; 5) D ]

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