Definizione. Si chiama similitudine una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che,

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1 CAPITOLO 6 LE SIMILITUDINI 6 Rihimi i teori Definizione Si him similituine un orrisponenz iunivo l pino in sé tle he presi ue punti qulunque A B el pino e etti A B i loro orrisponenti si h he esiste un numero > tle he: 6 A B AB D quest efinizione segue in prtiolre he ogni omoteti i rpporto > è un similituine Il numero > he ompre nell 6 si him rpporto i similituine Si osservi he le similituini i rpporto non sono ltro he le isometrie Si può imostrre he un similituine è l omposizione (non import on qule orine) i unisometri e i unomoteti i rpporto > Dunque per ottenere un stess similituine si può effetture prim unisometri e suessivmente unomoteti oppure si può effetture prim unomoteti e suessivmente unisometri (in generle ifferenti lle prime) Definizione Due figure el pino he si orrisponono in un similituine sono ette figure simili Dunque ue figure F e F sono simili se esiste unisometri e unomoteti tli he:

2 F = ( o )(F) Figur Si noti he un stess similituine può essere ottenut in ifferenti moi ome omposizione i unisometri e i unomoteti; in ltri termini possono esistere unisometri e unomoteti tli he: F = ( o )(F) = ( o )(F); tuttvi nhe se o = o in generle si h he le isometrie e sono ifferenti osì ome sono ifferenti le omotetie e Figur

3 Dlle proprietà elle isometrie e elle omotetie si ottengono inoltre le seguenti proprietà elle similituini: ) un similituine trsform rette in rette; ) un similituine trsform semirette in semirette; ) un similituine onserv lmpiezz egli ngoli; 4) un similituine trsform un rettngolo in un rettngolo un romo in un romo un qurto in un qurto; 5) un similituine trsform un ironferenz in un ironferenz; 6) un similituine trsform rette prllele in rette prllele Vle per le similituini il seguente risultto: linsieme elle similituini el pino formno un gruppo rispetto lloperzione i omposizione E stto provto nel pitolo 5 he t unomoteti i rpporto l su invers h rpporto ; questo ftto segue he t un similituine i rpporto il rpporto i similituine ell su invers è Si or riferito il pino un sistem i oorinte rtesine ortogonli O Dt un similituine llor si imostr he preso un punto el pino P = ( ) le oorinte el punto orrisponente P = ( ) sono te lle seguenti equzioni: 6 on e non entrmi nulli

4 oppure 6 on non entrmi nulli Le ui mtrii ssoite sono rispettivmente: e Le equzioni preeenti si himno le equzioni elle similituini Notimo he se fossero entrmi nulli llor le equzioni 6 e 6 rppresentereero l funzione ostnte he ssoi ogni punto el pino il punto ( ) Le similituini i equzioni 6 si himno irette le similituini i equzioni 6 si himno inirette In entrmi i si il rpporto i similituine è: 64 Per imostrre he l omposizione i un omoteti e un isometri è un similituine possimo onsierre le mtrii ssoite un omoteti e un isometri e eseguire il prootto fr mtrii: n m = n m Poneno si ottiene l mtrie i un similituine irett Per le similituini inverse il proeimento è nlogo

5 Notimo he se fossero entrmi nulli llor le equzioni 6 e 6 rppresentereero l funzione ostnte he ssoi ogni punto el pino il punto ( ) Rivno l e l lle equzioni 6 e 6 si ottengono rispettivmente le equzioni elle inverse elle similituini irette e inirette: Si noti he queste equzioni segue suito he linvers i un similituine è un similituine ello stesso tipo (irett o inirett) Inoltre on semplii loli si vee he il rpporto i similituine ell similituine invers è Allo stesso risultto si rriv onsierno le inverse elle mtrii ssoite e Usno le equzioni ell similituine si può imostrre he un similituine irett he non si un trslzione h sempre uno e un solo punto unito e he un similituine inirett he non si unisometri h sempre uno e un solo punto unito 6 Eserizi svolti

6 Si t l similituine i equzioni Trovre il orrisponente el tringolo i vertii A = ( ) B = ( ) C = ( ) ire se l similituine è irett oppure inirett e trovre il rpporto i similituine Si h: A B C A 5 B 4 C 7 Le equzioni ell similituine sono ell form 6 on = - e = -; periò l similituine è inirett e il suo rpporto è Si t l similituine i equzioni Si P = ( ) il orrisponente el punto P Trovre le oorinte el punto P ire se l similituine è irett o inirett e trovre il rpporto i similituine Le oorinte el punto P = ( ) sono te ll soluzione el seguente sistem: ui si h: 7 5 ; periò P

7 Le equzioni ell similituine sono ell form 6 on = e = -; periò l similituine è irett e il suo rpporto è 5 Dimostrre he l omposizione i ue similituini è un similituine il ui rpporto è to l prootto ei rpporti elle ue similituini Sino s e s ue similituini i rpporto e rispettivmente Supponimo he le similituini sino entrme inirette (gli ltri si si trttno in mnier nlog); onsierimo le rispettive mtrii ssoite: e i ui rpporti i similituine sono rispettivmente: e L mtrie ssoit ll omposizione è t l prootto elle ue mtrii = Il rpporto i similituine ell mtrie prootto è to ) ( ) ( = = = ioè il prootto ei rpporti i similituine elle ue similituini 4 Dimostrre he ogni similituine si può esprimere ome l omposizione i unomoteti i rpporto iverso e i unisometri Si t un similituine s i rpporto ; si unomoteti i rpporto

8 E stto osì imostrto he l similituine s è l omposizione i unomoteti e i unisometri 5 Dt l similituine i equzioni trovre l rett r orrisponente ell rett r i equzione = + Per ottenere le equzioni ell rett r oorre rivre lle equzioni ell similituine l e l in funzione i e ; si h: ; sostitueno tli vlori nellequzione ell rett r ottenimo lequzione ell rett orrisponente r: ui si h: = 6 Dimostrre he l omposizione i ue similituini irette è un similituine irett Sino te ue similituini irette s e s rispettivmente i equzioni: Per ogni punto P = ( ) el pino si h s s P P

9 Periò le equzioni ell similituine s o s sono le seguenti: ; i oeffiienti elle vriili e i queste equzioni si eue immeitmente he si trtt i un similituine irett Usno le mtrii ssoite si h: = il loro prootto è l mtrie ssoit ll omposizione elle ue similituini e si vee immeitmente he è l mtrie ssoit un similituune irett 7 Determinre le equzioni ell similituine s ottenut omponeno lomoteti i entro lorigine O egli ssi oorinti e rpporto e l simmetri entrle i entro O Verifire he si h: o = o Le equzioni ellomoteti e ell simmetri sono rispettivmente: e Si h: P P P"

10 " " P P P P Periò si h s = o = o ; inoltre le equzioni i s sono le seguenti: Allo stesso risultto si potev rrivre usno le mtrii ssoite: = 8 Dte unomoteti i entro C = ( ) e un simmetri ssile vente per sse lsse elle sisse eterminre le equzioni ell similituine s = o Le equzioni ellomoteti e ell simmetri ssile sono rispettivmente: e Si ottiene periò: " P P P Periò le equzioni ell similituine sono:

11 Possimo notre he si trtt i un similituine invers i rpporto Usno le mtrii ssoite si rriv llo stesso risultto: = 6 Eserizi proposti Dt l similituine i equzioni 4 4 trovre il orrisponente A el punto A = ( -) Dire se si trtt i un similituine irett o inirett e trovre il rpporto i similituine R A = ( -4); inirett; = 5 Determinre le equzioni ell similituine ottenut omponeno lomoteti i entro C = ( ) e rpporto - on l trslzione i vettore v = -i - j É un similituine irett o inirett? L omposizione ellomoteti e ell trslzione è in questo so ommuttiv? R 7 E irett No Si t l similituine s i equzioni + Determinre le equzioni elle rette r = s(r) e r" =s(r) Si t l rett r i equzione =

12 Che relzione sussiste tr r e r"? R r: = ; r e r" sono perpeniolri 4 Dimostrre he l omposizione i un similituine irett e i un similituine inirett è un similituine inirett 5 Dimostrre he l omposizione i ue similituini inirette è un similituine irett 6 Dimostrre he l omposizione i ue similituini inirette è l omposizione i unomoteti e i un trslzione 7 Determinre le rette unite nell similituine i equzioni R Dimostrre nlitimente he l omposizione i ue similituini è nor un similituine 9 Dt un similituine i rpporto verifire he il rpporto elle ree i ue tringoli orrisponenti in quest similituine è Dimostrre he i tringoli ABC e ABC i vertii A = (- ) B = ( ) C = ( ) e A = (-7 ) B = (-8 7) C = (- ) si orrisponono in un similituine si eterminno le equzioni ell similituine si usno il seono riterio i similituine R Equzioni ell similituine: Determinre tr tutte le similituini irette quelle he lsino fiss l rett R Sono tutte e sole le omotetie i entro lorigine oppure le trslzioni i vettore v = hi + hj on h numero rele

13 Determinre il punto unito e linvers ell similituine irett he port i punti A = ( ) B = (- ) nei punti A = ( 5) B = (4 6) R ; 5 5 Determinre il orrisponente el qurto i vertii O = ( ) A = ( ) B = ( ) C = ( ) nell similituine t ll omposizione ellomoteti i entro lorigine e rpporto - on l trslzione i vettore v = -i + j R O = ( -) A = (- -) B = (- -5) C = ( -5) 4 Determinre se esiste un similituine inirett he trsform l prol se stess R E l simmetri ssile i sse lsse elle sisse in 5 Determinre le similituini irette e inirette he trsformno il tringolo AOB nel tringolo AOB ove A = ( ) O = ( ) B = ( ) A = (- -) O = (- -4) B = ( 5) R 4; 4 6 Dt un similituine irett i equzioni eterminre i oeffiienti i queste equzioni ffinhé quest risulti: ) l omposizione i un omoteti on un simmetri i sse ) l omposizione i un omoteti on un simmetri i sse ) l omposizione i un omoteti on un simmetri i entro lorigine ) l omposizione i un omoteti on un trslzione e) l omposizione i un omoteti on un rotzione orri i entro lorigine e i mpiezz 45

14 R ) nessun soluzione; ) nessun soluzione; ) per ogni = = = ; ) = per ogni on ; per ogni = - = = 7 Svolgere i punti ) e e) elleserizio preeente nel so i un similituine inirett [R] ) nessun soluzione; e) nessun soluzione 8 L omposizione i similituini goe ell proprietà ommuttiv? R No 9 Dimostrre he un rett r è un rett unit i un similituine se e soltnto se r è un rett unit ell similituine invers