Teoria della Programmazione Lineare. Teoria della Programmazione Lineare p. 1/8

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1 Teoria della Programmazione Lineare Teoria della Programmazione Lineare p. 1/8

2 I problemi di PL in forma canonica In forma scalare: max n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b i x j 0 i = 1,...,m j = 1,...,n Teoria della Programmazione Lineare p. 2/8

3 Prodotto scalare tra vettori Vettore di dimensione n p = (p 1 p n ) Dato un altro vettore di dimensione n q = (q 1 q n ) Il prodotto scalare tra i due vettori è un valore scalare: pq = n j=1 p j q j Esempio: p = (2 3 6) q = (3 8 7) pq = = 72 Teoria della Programmazione Lineare p. 3/8

4 Proprietà Siano p,q 1,q 2 R n e α,β R. Allora: p(αq 1 + βq 2 ) = α(pq 1 ) + β(pq 2 ) Esempio: p = (2 3 6) q 1 = (1 2 5) q 2 = (6 0 3) α = 2 β = 3 p(αq 1 + βq 2 ) = = 166 α(pq 1 ) + β(pq 2 ) = = 166 Teoria della Programmazione Lineare p. 4/8

5 Generalizzazione della proprietà Dati i vettori p,q 1,q 2,...,q t R n e gli scalari α 1,α 2,...,α t R, si ha che p[α 1 q 1 + α 2 q α t q t ] = p [ t α i q i ] = t α i (pq i ) i=1 i=1 Teoria della Programmazione Lineare p. 5/8

6 Prodotto matrice-vettore Data una matrice A di ordine m n (m righe e n colonne) a a 1n.. a m1... a mn ed un vettore p di dimensione n p = (p 1 p n ) Il prodotto matrice-vettore è un vettore di dimensione m la cui componente i è il prodotto scalare tra la i-esima riga di A e il vettore p: n j=1 a ij p j Teoria della Programmazione Lineare p. 6/8

7 Prodotto vettore-matrice Data una matrice A di ordine m n (m righe e n colonne) a a 1n.. a m1... a mn ed un vettore q di dimensione m q = (q 1 q m ) Il prodotto vettore-matrice è un vettore di dimensione n la cui componente j è il prodotto scalare tra la j-esima colonna di A e il vettore q: m a ij q i Teoria della Programmazione Lineare p. 7/8 i=1

8 Esempi A = [ ] p = (3 8 7) q = (4 5) Ap = ( ) = (90 94) qa = ( ) = ( ) Teoria della Programmazione Lineare p. 8/8

9 PL in forma canonica Introduciamo i seguenti vettori: c R n : vettore di dimensione n con componenti c j, j = 1,...,n, ovvero: c = (c 1 c 2 c n ); x R n : vettore di variabili di dimensione n con componenti x j, j = 1,...,n, ovvero: x = (x 1 x 2 x n ); a i R n, i = 1,...,m: m vettori di dimensione n con componenti a ij, j = 1,...,n, ovvero: a i = (a i1 a i2 a in ). Teoria della Programmazione Lineare p. 9/8

10 PL in forma canonica Osservando che e cx = a i x = n c j x j j=1 n a ij x j j=1 abbiamo la seguente rappresentazione vettoriale per un problema di PL in forma canonica: max cx a i x b i x 0 i = 1,...,m Teoria della Programmazione Lineare p. 10/8

11 PL in forma canonica Si consideri la matrice A R m n che ha tante righe quanti sono i vincoli del problema (m) e la cui i-esima riga è il vettore a i e del vettore b = (b 1 b m ) R m di dimensione m con componenti b i, i = 1,...,m. Osservando che Ax = (a 1 x... a m x) possiamo scrivere la rappresentazione matriciale del problema di PL in forma canonica: max cx Ax b x 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 11/8

12 Esempio degli aiuti umanitari Il vettore c = (14 5 4) Il vettore di variabili x = (x 1 x 2 x 3 ) I vettori a i, i = 1, 2, 3 a 1 = ( ) a 2 = ( ) a 3 = ( ) Il vettore b = ( ) La matrice A Teoria della Programmazione Lineare p. 12/8

13 PL canonici PL generici Osservazione Ogni problema di PL in forma generica può essere trasformato in uno equivalente in forma canonica. Trasformazione da min a max min cx = max cx Trasformazione vincolo in vincolo a i x b i a i x b i Trasformazione vincolo = in due vincoli a i x = b i a i x b i, a i x b i a i x b i, a i x b i Teoria della Programmazione Lineare p. 13/8

14 PL canonici PL generici Sostituzione variabile 0 con variabile 0 Data x i 0, effettuare il cambio di variabile x i = x i, dove x i 0 Sostituzione variabile libera in segno con due variabili 0 Data x i libera in segno, effettuare il cambio di variabile x i = x i x i, dove x i,x i 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 14/8

15 Un esempio Si trasformi il seguente problema di PL in forma generica in un problema di PL in forma canonica min x 1 + x 2 + x 3 x 1 + 2x 2 x 3 3 x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 5 x 1 2x 2 + x 3 3 x 1 0 x 2 0 x 3 libera in segno Teoria della Programmazione Lineare p. 15/8

16 Insiemi convessi Un insieme C R n si dice convesso se x 1,x 2 C λ [0, 1] : λx 1 + (1 λ)x 2 C, ovvero se dati due punti qualsiasi in C, il segmento che li congiunge è anch esso completamente contenuto in C. Teoria della Programmazione Lineare p. 16/8

17 Insiemi limitati e chiusi Un insieme C si dice limitato se esiste una sfera di raggio finito R che lo contiene. Un insieme C si dice chiuso se contiene la sua frontiera. Teoria della Programmazione Lineare p. 17/8

18 Semispazi e iperpiani Si definisce semispazio in R n l insieme di punti che soddisfa una disequazione lineare in R n : n j=1 w j x j v (in forma vettoriale: wx v). Si definisce iperpiano in R n l insieme di punti che soddisfa un equazione lineare in R n : n j=1 w j x j = v (in forma vettoriale: wx = v). Teoria della Programmazione Lineare p. 18/8

19 Poliedri e politopi Si definisce poliedro l intersezione di un numero finito di semispazi e/o iperpiani. Se il poliedro è limitato esso viene chiamato politopo. Teoria della Programmazione Lineare p. 19/8

20 La regione ammissibile S a La regione ammissibile S a di un problema di PL in forma canonica è un poliedro. S a = {x R n : a i x b i, i = 1,...,m, x 0}. Semispazi e iperpiani sono insiemi chiusi L intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso I poliedri (e quindi S a ) sono insiemi chiusi Teoria della Programmazione Lineare p. 20/8

21 Convessità Siano x,y S a, ovvero a i x b i i = 1,...,m x 0, e a i y b i i = 1,...,m y 0. Per ogni λ (0, 1) e per ogni i {1,...,m} avremo: a i [λx + (1 λ)y] = = λ }{{} >0 a i x +(1 λ) }{{}}{{} b i >0 a i y }{{} b i λb i + (1 λ)b i = b i. Teoria della Programmazione Lineare p. 21/8

22 Continua Inoltre: Quindi: λ }{{} >0 }{{} x +(1 λ) }{{} 0 >0 y }{{} 0 λx + (1 λ)y S a. 0. La regione ammissibile S a è un insieme convesso. Teoria della Programmazione Lineare p. 22/8

23 Limitatezza e illimitatezza La regione ammissibile S a può essere: = max x 1 + x 2 x 1 1 un poliedro limitato (politopo) x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 max x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 23/8

24 Continua un poliedro illimitato max x 1 + x 2 x 1 x 2 0 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 24/8

25 Ricapitolando la regione ammissibile S a di un problema di PL è un poliedro e come tale è un insieme chiuso e convesso. Inoltre, può essere un insieme vuoto, un insieme limitato (politopo) oppure un insieme illimitato. Teoria della Programmazione Lineare p. 25/8

26 Vertici di S a Si definisce vertice di S a un punto x S a tale che non esistono due punti distinti x 1,x 2 S a, x 1 x 2, tali che x = 1 2 x x 2. ovvero x è il punto medio del segmento che congiunge x 1 e x 2. Teoria della Programmazione Lineare p. 26/8

27 Alcuni risultati Teorema Dato un problema di PL in forma canonica, se S a, allora S a contiene almeno un vertice. Osservazione S a ha sempre un numero finito di vertici. Teoria della Programmazione Lineare p. 27/8

28 Raggi Nel caso S a sia un poliedro illimitato possiamo anche introdurre le definizioni di raggio e raggio estremo. Si definisce raggio di S a un vettore r tale che x 0 S a λ 0 : x 0 + λr S a, cioè la semiretta con origine in x 0 e direzione r è completamente contenuta in S a per qualsiasi punto x 0 S a. Teoria della Programmazione Lineare p. 28/8

29 Raggi estremi Un raggio r di S a si definisce raggio estremo di S a se non esistono altri due raggi r 1 e r 2 di S a con direzioni distinte, ovvero r 1 µr 2 µ R, tali che r = 1 2 r r 2. Osservazione S a ha sempre un numero finito di raggi estremi. Teoria della Programmazione Lineare p. 29/8

30 Teorema di rappresentazione di S a Teorema Sia dato un problema di PL in forma canonica con S a. Siano v 1,...,v k i vertici di S a e, nel caso in cui S a sia un poliedro illimitato, siano r 1,...,r h i raggi estremi di S a. Allora x S a se e solo se λ 1,...,λ k 0, k i=1 λ i = 1, µ 1,...,µ h 0 tali che x = k λ i v i + h µ j r j. i=1 j=1 Teoria della Programmazione Lineare p. 30/8

31 Ovvero i punti in S a sono tutti e soli i punti ottenibili come somma di una combinazione convessa dei vertici di S a una combinazione lineare con coefficienti non negativi dei raggi estremi di S a Quindi un numero finito di oggetti (vertici e raggi estremi) mi permettono di rappresentare tutto l insieme S a. Teoria della Programmazione Lineare p. 31/8

32 L insieme delle soluzioni ottime S ott Insieme soluzioni ottime S ott = {x S a : cx cx x S a }, S ott S a, quindi S a = S ott =. Teoria della Programmazione Lineare p. 32/8

33 Una, nessuna, infinite Osservazione Se S ott è un insieme finito e non vuoto, S ott contiene un solo punto. Dimostrazione Per assurdo sia S ott un insieme finito e contenga più di un punto. Siano x 1,x 2 S ott, x 1 x 2, due punti distinti di S ott. Teoria della Programmazione Lineare p. 33/8

34 Continua Per l ottimalità di x 1 e x 2 si deve avere cx 1 = cx 2. Per la convessità di S a e x 1,x 2 S a : λx 1 + (1 λ)x 2 S a λ (0, 1), Per la linearità della funzione obiettivo λ (0, 1): c[λx 1 +(1 λ)x 2 ] = λcx 1 +(1 λ)cx 2 = λcx 1 +(1 λ)cx 1 = cx 1. Quindi: λx 1 + (1 λ)x 2 S ott λ (0, 1) cioè tutto il segmento che congiunge x 1 e x 2 è contenuto in S ott, il che contraddice la finitezza dell insieme S ott. Teoria della Programmazione Lineare p. 34/8

35 Le diverse forme possibili di S ott Caso 1 S a = S ott =. Caso 2 S a e politopo. Politopo è insieme chiuso e limitato, funzione obiettivo è lineare e quindi continua (Teorema di Weierstrass) S ott. Sono possibili due sottocasi. Caso 2.1 S ott è costituito da un solo punto. max 2x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 35/8

36 Continua Caso 2.2 S ott è costituito da un insieme infinito e limitato di punti. max x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 36/8

37 Continua Caso 3 S a e poliedro illimitato. Sono possibili quattro sottocasi. Caso 3.1 S ott = in quanto l obiettivo è illimitato, ovvero esiste una sequenza infinita di punti {x k } di S a lungo cui la funzione obiettivo cresce a +. Formalmente: {x k } : x k S a k e cx k + k +. max x 1 + x 2 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 37/8

38 Continua Caso 3.2 S ott è costituito da un solo punto. max x 1 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 38/8

39 Continua Caso 3.3 S ott è costituito da un insieme infinito e limitato di punti. max x 2 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 39/8

40 Continua Caso 3.4 S ott è costituito da un insieme infinito e illimitato di punti. max x 1 x 2 x 1 + x 2 0 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1,x 2 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 40/8

41 Un lemma Lemma Dato un problema di PL in forma canonica, se S ott, allora per ogni raggio estremo r di S a si ha: cr 0. Teoria della Programmazione Lineare p. 41/8

42 Dimostrazione Per assurdo supponiamo esista un raggio estremo r tale che cr > 0 S ott S a. Sia x 0 S a. Per definizione di raggio avremo che λ 0 : x 0 + λr S a. Valore funzione obiettivo in punti x 0 + λr: c(x 0 + λr) = cx 0 + λ cr }{{} >0 }{{} + λ + Allora S ott = in quanto l obiettivo è illimitato sulla regione ammissibile, il che contraddice S ott. Teoria della Programmazione Lineare p. 42/8

43 Teorema fondamentale della PL Teorema Dato un problema di PL in forma canonica, se S ott, allora S ott contiene almeno un vertice di S a. Teoria della Programmazione Lineare p. 43/8

44 Dimostrazione Siano v 1,...,v k i vertici di S a e, nel caso in cui S a sia un poliedro illimitato, indichiamo con r 1,...,r h i raggi estremi di S a. Se S ott, sia x S ott. Per assurdo supponiamo che v 1,...,v k S ott da cui: cv i < cx i = 1,...,k Teoria della Programmazione Lineare p. 44/8

45 Continua Per il teorema di rappresentazione di S a, x S a implica che λ 1,...,λ k 0, k i=1 λ i = 1, µ 1,...,µ h 0 tali che Quindi: x = cx = c k h λ iv i + µ jr j. i=1 j=1 k h λ iv i + µ jr j i=1 j=1 Teoria della Programmazione Lineare p. 45/8

46 Continua Per la linearità della funzione obiettivo cx = k λ i(cv i ) + h µ j(cr j ). i=1 j=1 Dal lemma precedente: cr j 0 j = 1,...,h. Teoria della Programmazione Lineare p. 46/8

47 Continua Quindi: da cui: cx = k λ i(cv i ) + i=1 cx h j=1 µ j }{{} 0 k λ i(cv i ). i=1 (cr j ). }{{} 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 47/8

48 Continua Da cv i < cx, i segue che: cx k i=1 λ i (cv i ) < }{{} <cx k i=1 λ i(cx ). NB: lo strettamente minore vale perchè almeno uno dei λ i è strettamente positivo in quanto la loro somma deve essere pari a 1. Quindi: cx < (cx ) k λ i = cx. i=1 il che è assurdo. Teoria della Programmazione Lineare p. 48/8

49 Un commento Il teorema fondamentale della PL è alla base della procedura di risoluzione che descriveremo, l algoritmo del simplesso. Infatti, tale algoritmo ricerca la soluzione ottima cercando di spostarsi ad ogni iterazione in modo intelligente da un vertice all altro di S a. Per modo intelligente si intende che l algoritmo tenta di spostarsi ad una data iterazione da un vertice a uno con valore della funzione obiettivo maggiore. Teoria della Programmazione Lineare p. 49/8

50 I problemi di PL in forma standard I problemi di PL in forma standard hanno la seguente formulazione: max cx a i x = b i x 0 i = 1,...,m o, equivalentemente, in forma matriciale: max cx Ax = b x 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 50/8

51 Un osservazione Osservazione Ogni problema di PL in forma canonica può essere trasformato in uno equivalente in forma standard. Teoria della Programmazione Lineare p. 51/8

52 Dimostrazione Problema di PL in forma canonica max cx a i x b i x 0 i = 1,...,m a i x b i a i x + y i = b i, y i 0. Quindi, il problema di PL in forma canonica è equivalente al seguente: max cx a i x + y i = b i x 0 y i 0 i = 1,...,m i = 1,...,m che è in forma standard. Teoria della Programmazione Lineare p. 52/8

53 Continua Ogni problema di PL può essere ricondotto ad uno equivalente in forma canonica. Ogni problema in forma canonica può essere ricondotto ad uno equivalente in forma standard. Quindi: ogni problema di PL può essere ricondotto ad uno equivalente in forma standard. NB: nella pratica si passa direttamente da un problema di PL in forma generica ad uno equivalente in forma standard, senza passare necessariamente attraverso un problema in forma canonica. Teoria della Programmazione Lineare p. 53/8

54 Un esempio Si trasformi il seguente problema di PL in forma generica in un problema di PL in forma standard min x 1 + x 2 + x 3 x 1 + 2x 2 x 3 3 x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 5 x 1 2x 2 + x 3 3 x 1 0 x 2 0 x 3 libera in segno Teoria della Programmazione Lineare p. 54/8

55 Ipotesi aggiuntiva Si richiede che la matrice dei vincoli A R m n abbia rango (= numero di righe linearmente indipendenti = numero di colonne linearmente indipendenti) pari a m, il numero delle sue righe, il che equivale a richiedere che: non ci sono righe di A ottenibili come combinazioni lineari di altre righe di A; esistono m colonne della matrice A che formano una matrice quadrata invertibile. NB: Si può dimostrare che anche questa non è una condizione restrittiva e che ci si può sempre ricondurre ad essa. Teoria della Programmazione Lineare p. 55/8

56 Esempi A 1 = Rango di A 1 < m = 3 A 2 = [ ] Rango di A 2 = m = 2 Teoria della Programmazione Lineare p. 56/8

57 Base di un problema di PL Si definisce base di un problema di PL in forma standard un sottinsieme: B = {x i1,...,x im } di m delle n variabili del problema di PL con la proprietà che la matrice A B R m m ottenuta considerando le sole colonne di A relative alle variabili x ik, k = 1,...,m, sia invertibile. Le variabili dell insieme B verranno dette variabili in base, quelle al di fuori di B verranno raggruppate nell insieme: N = {x im+1,...,x in } e verranno dette variabili fuori base. Teoria della Programmazione Lineare p. 57/8

58 Un esempio Dato max 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 x 5 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 2x 5 = 2 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 0 Matrice dei vincoli A = [ ] Teoria della Programmazione Lineare p. 58/8

59 Continua B 1 = {x 1,x 2 } non è una base. Infatti [ ] 1 2 A B1 = non è invertibile 1 2 Invece, B 2 = {x 1,x 3 } è una base in quanto: [ ] 1 2 A B2 = è invertibile 1 1 Allo stesso modo si verifichi che B 3 = {x 3,x 4 } e B 4 = {x 4,x 5 } sono basi. Teoria della Programmazione Lineare p. 59/8

60 Riformulazione rispetto alla base B Data una base B, indichiamo con: x B R m il vettore delle variabili in base x N R n m il vettore delle variabili fuori base c B R m il vettore dei costi relativi alle variabili in base c N R n m il vettore dei costi relativi alle variabili fuori base A N R m (n m) la matrice ottenuta da A considerando le sole colonne relative alle variabili fuori base. Teoria della Programmazione Lineare p. 60/8

61 Nell esempio Con la base B = {x 1,x 3 } abbiamo: x B = (x 1 x 3 ) x N = (x 2 x 4 x 5 ) c B = (3 2) c N = (4 2 1) A N = [ ] Teoria della Programmazione Lineare p. 61/8

62 Riscrittura della riformulazione Possiamo ora riscrivere il problema di PL in forma standard nella seguente forma equivalente: max c B x B + c N x N A B x B + A N x N = b x B,x N 0 e quindi anche in questo modo: max c B x B + c N x N A B x B = b A N x N x B,x N 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 62/8

63 Nell esempio max c B x B {}}{ 3x 1 + 2x 3 + c N x N {}}{ 4x 2 + 2x 4 + x 5 A B x B {}}{ x 1 + 2x 3 + A N x N {}}{ 2x 2 + x 4 x 5 = 2 x 1 + x 3 + 2x 2 + 4x 4 2x 5 = 2 x 1,x }{{} 3,x 2,x 4,x 5 0 }{{} x B x N Teoria della Programmazione Lineare p. 63/8

64 E quindi... max c B x B {}}{ 3x 1 + 2x 3 + A B x B {}}{ x 1 + 2x 3 = c N x N {}}{ 4x 2 + 2x 4 + x 5 b A N x N {}}{ 2 2x 2 x 4 + x 5 x 1 + x 3 = 2 2x 2 4x 4 + 2x 5 x 1,x }{{} 3,x 2,x 4,x 5 0 }{{} x B x N Teoria della Programmazione Lineare p. 64/8

65 Continua Moltiplichiamo ora i vincoli di uguaglianza per A 1 B : max c B x B + c N x N A 1 B A Bx B = A 1 B b A 1 B A Nx N x B,x N 0 e quindi da A 1 B A Bx B = Ix B = x B max c B x B + c N x N x B = A 1 B b A 1 B A Nx N x B,x N 0 Questo equivale a risolvere il sistema dato dai vincoli di uguaglianza considerando la variabili in base come incognite del sistema e quelle fuori base come parametri. Teoria della Programmazione Lineare p. 65/8

66 Nell esempio max 3x 1 + 2x 3 + 4x 2 + 2x 4 + x 5 x 1 = 2 2x 2 7x 4 + 3x 5 x 3 = 0 + 3x 4 x 5 x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 66/8

67 Riformulazione rispetto alla base B Infine, sostituendo x B nell obiettivo: da cui: c B x B + c N x N = c B ( A 1 B b A 1 B A Nx N ) + cn x N max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N)x N x B = A 1 B b A 1 B A Nx N x B,x N 0 Questa riformulazione viene detta riformulazione del problema di PL rispetto alla base B. NB: tale riformulazione è del tutto equivalente al problema originario di PL. Teoria della Programmazione Lineare p. 67/8

68 Nell esempio Riformulazione rispetto alla base B = {x 1,x 3 }: max 6 2x 2 13x 4 + 8x 5 x 1 = 2 2x 2 7x 4 + 3x 5 x 3 = 0 + 3x 4 x 5 x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 68/8

69 Soluzioni di base Si definisce soluzione di base associata alla base B, la seguente soluzione del sistema di vincoli di uguaglianza ottenuta ponendo x N = 0: Nell esempio: x B = A 1 B b x N = 0. x 1 = 2 x 3 = 0 x 2 = x 4 = x 5 = 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 69/8

70 Ammissibilità e non degenerazione Se A 1 B b 0 la soluzione di base si dice ammissibile. Questo vuol dire che appartiene alla regione ammissibile del problema di PL in quanto, oltre a soddisfare i vincoli di uguaglianza del problema, soddisfa anche quelli di non negatività delle variabili. Se inoltre si ha A 1 B b > 0 si parla di soluzione di base non degenere, altrimenti si parla di soluzione di base degenere. Teoria della Programmazione Lineare p. 70/8

71 Nell esempio B 2 = {x 1,x 3 } soluzione di base ammissibile e degenere B 3 = {x 3,x 4 }: la soluzione di base è x 3 = 6/7 x 4 = 2/7 x 1 = x 2 = x 5 = 0, che è ammissibile e non degenere B 4 = {x 4,x 5 }: la soluzione di base è x 4 = 1 x 5 = 3 x 1 = x 2 = x 3 = 0, che è non ammissibile. Teoria della Programmazione Lineare p. 71/8

72 Osservazione Data una soluzione di base ammissibile e non degenere esiste un unica base che la rappresenta, mentre una soluzione di base ammissibile e degenere è rappresentata da più basi. Si verifichi, ad esempio, che la base B 5 = {x 1,x 4 } ha come soluzione di base associata: x 1 = 2 x 4 = 0 x 2 = x 3 = x 5 = 0, che è la stessa associata alla base B 2. Teoria della Programmazione Lineare p. 72/8

73 Ma cosa hanno a che fare le basi e le soluzioni di base con il teorema fondamentale della PL? La risposta ci viene dalla seguente osservazione. Osservazione L insieme dei vertici di S a coincide con l insieme delle soluzioni di base ammissibili del problema di PL. In pratica, vertici e di soluzioni di base ammissibili sono la stessa cosa vista da due punti di vista diversi: quello geometrico (i vertici) e quello algebrico (le soluzioni di base ammissibili). Teoria della Programmazione Lineare p. 73/8

74 Basi adiacenti Due basi B e B si definiscono adiacenti se hanno m 1 variabili uguali e differiscono per una sola variabile. Nell esempio le basi B 3 = {x 3,x 4 } e B 4 = {x 4,x 5 } sono adiacenti, mentre non lo sono B 2 = {x 1,x 3 } e B 4. Teoria della Programmazione Lineare p. 74/8

75 Soluzioni di base adiacenti Due soluzioni di base distinte si definiscono adiacenti se esistono due basi B e B che le rappresentano e che sono tra loro adiacenti. Si noti che due basi adiacenti non corrispondono necessariamente a due soluzioni di base adiacenti. Esse infatti possono corrispondere alla stessa soluzione di base come accade, ad esempio, con le basi B 2 = {x 1,x 3 } e B 5 = {x 1,x 4 }. Teoria della Programmazione Lineare p. 75/8

76 Riformulazione rispetto alla base B Sia data la base: con B = {x i1,...,x im }. N = {x im+1,...,x in } l insieme delle variabili fuori base. Abbiamo visto che, data la base B, la riformulazione del problema di PL rispetto alla base B è data da max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N)x N x B = A 1 B b A 1 B A Nx N x B,x N 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 76/8

77 Continua Indichiamo con: γ 0 il valore c B A 1 B b; γ j, j = 1,...,n m, le componenti del vettore c N c B A 1 B A N; β r, r = 1,...,m, le componenti del vettore A 1 B b; α rj, r = 1,...,m, j = 1,...,n m, le componenti della matrice A 1 B A N Teoria della Programmazione Lineare p. 77/8

78 Continua In forma scalare possiamo riscrivere la riformulazione rispetto alla base B nel seguente modo: max γ 0 + n m j=1 γ jx im+j x i1 = β 1 + n m j=1 α 1jx im+j x ik = β k + n m j=1 α kjx im+j x im = β m + n m j=1 α mjx im+j x 1,...,x n 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 78/8

79 Nell esempio Riformulazione rispetto alla base B 2 = {x 1,x 3 }: max 6 2x 2 13x 4 + 8x 5 x 1 = 2 2x 2 7x 4 + 3x 5 x 3 = 0 + 3x 4 x 5 x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 79/8

80 Passaggio ad una base adiacente Supponiamo ora di voler passare dalla base B alla base adiacente B ottenuta rimuovendo da B la variabile x ik, 1 k m, e sostituendola con la variabile fuori base x im+h, 1 h n m, ovvero: B = {x i1,...,x ik 1,x im+h,x ik+1,...,x im }. La prima domanda che ci dobbiamo porre è : quando B è effettivamente una base. Perché lo sia si deve avere che A B è invertibile. Teoria della Programmazione Lineare p. 80/8

81 Continua Si ha che A B è invertibile e quindi B è una base se e solo se nella riformulazione associata alla base B il coefficiente di x im+h nell equazione relativa a x ik è diverso da 0, ovvero se e solo se: α kh 0. Nell esempio: {x 1,x 2 } non è una base {x 1,x 5 } è una base Teoria della Programmazione Lineare p. 81/8

82 L operazione di cardine Tale operazione consente di passare dalla riformulazione rispetto alla base B a quella rispetto alla base adiacente B. Per fare questo dovremo compiere le seguenti operazioni. Ricavare x im+h dall equazione relativa a x ik, cioè: x im+h = β k α kh + 1 α kh x ik n m j=1, j h α kj α kh x im+j. sostituire ogni occorrenza della variabile x im+h nelle restanti equazioni e nell obiettivo con la parte destra di tale equazione Teoria della Programmazione Lineare p. 82/8

83 Esempio Dalla riformulazione rispetto a B 2 = {x 1,x 3 } a quella rispetto a B 6 = {x 1,x 5 } Ricavo x 5 dall equazione relativa a x 3 x 5 = 0 x 3 + 3x 4 Sostituisco la parte destra dell equazione nei restanti vincoli e nell obiettivo max 6 2x 2 13x 4 + 8(0 x 3 + 3x 4 ) x 1 = 2 2x 2 7x 4 + 3(0 x 3 + 3x 4 ) x 5 = 0 x 3 + 3x 4 x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 83/8

84 Riformulazione rispetto a B 6 = {x 1, x 5 } max 6 2x 2 8x x 4 x 1 = 2 2x 2 + 2x 4 3x 3 x 5 = 0 x 3 + 3x 4 x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 84/8

85 Nota bene Per poter recuperare dalle riformulazioni alcune informazioni (nel seguito vedremo, ad esempio, come sfruttare la riformulazione rispetto a una base B per poter ottenere la matrice A 1 B ) è necessario mantenere un ordine tra le variabili in una base. Quindi se nella base B la variabile x im+h sostituisce la variabile x ik a cui corrisponde la k-esima equazione della riformulazione rispetto a B, nella riformulazione rispetto a B l equazione relativa alla variabile x im+h dovrà ancora essere la k-esima, mentre la posizione delle equazioni relative a tutte le altre variabili deve rimanere invariata rispetto alla precedente riformulazione. Teoria della Programmazione Lineare p. 85/8

86 Nell esempio la variabile x 5 ha preso il posto della x 3 e l equazione relativa alla x 5 è stata messa nella stessa posizione (la seconda) in cui si trovava quella della x 3, mentre la restante equazione ha mantenuto la posizione originaria. Teoria della Programmazione Lineare p. 86/8

87 Un altro esempio Passaggio da B 6 = {x 1,x 5 } a B 4 = {x 4,x 5 } Ricavo x 4 dall equazione relativa a x 1 x 4 = 1 + 1/2x 1 + x 2 + 3/2x 3 Sostituisco la parte destra dell equazione nei restanti vincoli e nell obiettivo max 6 2x 2 8x ( 1 + 1/2x 1 + x 2 + 3/2x 3 ) x 4 = 1 + 1/2x 1 + x 2 + 3/2x 3 x 5 = 0 x 3 + 3( 1 + 1/2x 1 + x 2 + 3/2x 3 ) x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 87/8

88 Continua Riformulazione rispetto a B 4 = {x 4,x 5 }: max /2x 1 + 9x /2x 3 x 4 = 1 + 1/2x 1 + x 2 + 3/2x 3 x 5 = 3 + 3/2x 1 + 3x 2 + 7/2x 3 x 1,x 3,x 2,x 4,x 5 0 Teoria della Programmazione Lineare p. 88/8

89 Nota bene Le operazioni di cardine che abbiamo eseguito sugli esempi ci hanno consentito di passare da una base ad una adiacente e, nel secondo esempio, anche da una soluzione di base ad una adiacente. Tuttavia, nel secondo caso siamo passati da una soluzione di base ammissibile (quella associata a B 6 ) ad una non ammissibile (quella associata a B 4 ). Nell algoritmo di risoluzione che ci apprestiamo a discutere la scelta della base adiacente verso cui muoversi non verrà fatta a caso come abbiamo fatto nei precedenti esempi, ma sarà guidata da regole precise che fondamentalmente ci consentiranno di spostarsi tra vertici della regione ammissibile migliorando il valore della funzione obiettivo. Teoria della Programmazione Lineare p. 89/8