Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

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1 Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Prodotto scalare. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Segnatura. Coniche....someday, everyone will know LINEARALGEBRA (trademark, copyright, patentpending), and ignorance and superstition will be banished forever. R. Bryant a a From 1 Prodotto scalare Siano v, w e siano x = B [ v ] e y = B [ w ] le sue colonne di coordinate rispetto alla base B. Come si calcola il prodotto scalare v. w con le colonne x, y? Se v e w sono le colonne rispetto alla base canonica allora il prodotto scalare e v w. Se P e la matrice di cambiamento di base, cioe P = C C B, allora v. w = v w = (Px) (Py) = x (P P)y. Dunque per calcolare il prodotto scalare v. w con le colonne delle coordinate x, y rispetto alla base B bisogna procurarsi la matrice G = P P e fare x G y = v. w. Si dice che la matrice 1 G rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base B. 1 Nota come matrice di Gram: Forme quadratiche 1 Geometria

2 Osservare che la matrice G e simmetrica, cioe G = G. Infatti, la matrice G raccoglie di modo ordinato i prodotti scalari tra i vettori della base B: nella riga i, colonnaj della G troviamo il prodotto scalare tra il i-esimo e il j -esimo vettore della base B. Esempio 1.1. Sia ( B = )((1, 2), (3, 7)) una base di R 2. La matrice di cambiamento di 1 3 base P = C C B =. Ecco la matrice G: 2 7 ( ) 11 G = P P = 11 8 che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base B. Notare che l ordine del prodotto P P e molto importante, cioe se si fa PP si ottiene la matrice ( 10 ) che e diversa dalla G. ( ) ( ) 1 1 Esercizio 1.2. Siano e le colonne delle coordinate di v e w rispetto alla 1 1 base B dell esempio precedente. Calcolare: v. w, v, w. Sono v e w ortogonali?. Data una matrice A possiamo chiederci se rappresenta il prodotto scalare rispetto ad una base B, cioe se A = G per una base B che dobbiamo eventualmente trovare. Una condizione necessaria ovvia e ( che A sia) simmetrica. Ma questa condizione non 1 0 e sufficiente. Infatti la matrice A = e simmetrica ma non rappresenta il 0 1 prodotto scalare rispetto a nessuna base. Questo perche se A fosse la G rispetto ad una base B e se x = B [ v ] con v 0 risulterebbe v. v = x Ax = x x < 0 ma il prodotto scalare di un vettore non nullo con se stesso e un numero positivo! Dunque A non rappresenta il prodotto scalare rispetto a nessuna base B. La matrice simmetrica A si dice definita positiva se x Ax > 0 per x 0. Piu avanti vedremo una dimostrazione del seguente teorema: Forme quadratiche 2 Geometria

3 Teorema 1.3. Se una matrice simmetrica A R n,n e definita positiva allora esiste una base B di R n tale che A = G = P P dove P = C C B. La base B non e unica. La non unicita della base B e chiara se pensiamo alla matrice identica 1. La matrice identica rappresenta il prodotto scalare non soltanto rispetto alla base canonica. Qualsiasi base formata da versori ortogonali ha come matrice G la matrice identica 1. 2 Matrici simmetriche e forme quadratiche. Una matrice simmetrica A definisce una funzione detta forma quadratica via la formula q : R n R q(x) := x Ax (1) dove x e la colonna delle coordinate di un punto di R n i.e. x = ( x 1 x 2 ) x n. Si dice che q e la forma quadratica definita da A o associata ad A. La funzione q(x) e un polinomio omogeneo di grado 2, cioe e un polinomio e inoltre soddisfa q(mx) = m 2 q(x) per qualsiasi multiplo m. Osservare che dalla funzione q(x) e facile ricavare la matrice A calcolando le derivate seconde di q(x): A ij = 1 2 q 2 x i x j Esercizio 2.1. Data q trovare la matrice simmetrica A: 1) q(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2, 2) q(x, y, z) = x 2 + 2y 2, 3) q(x, y) = x 2 + 2y 2, 4) q(x, y) = 2y 2 + 2xz, ) q(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2, Forme quadratiche 3 Geometria

4 2.1 Cambiamento di coordinate. Politecnico di Torino. 6) q(x, y, z) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dxz + 2eyz + fz 2, Esercizio 2.2. Scrivere la q data A: a) ( ) ( ) 3 0 b), 0 6 c) ( ) ( ) d), λ λ e) 0 β 0 f) 0 λ 2 0, λ λ Cambiamento di coordinate. La matrice simmetrica A rappresenta la funzione q rispetto al sistema di riferimento dato delle coordinate dove e scritta la colonna x e la equazione (1) ci dice il modo di calcolare q. Spesso A e la matrice di q rispetto alla base canonica di R n. Cambiando le coordinate x di R n il modo di calcolare q cambia. Supponiamo che u sono nuove coordinate e P e la matrice di cambiamento di coordinate 2 x = Pu. In coordinate u la matrice di q (cioe, la matrice che rappresenta q) e P AP (2) infatti per calcolare il valore di q in un punto di coordinate u si deve fare (Pu) A(Pu) = (u P )A(Pu) = u ( P AP ) u Osservare che la formula (2) del cambiamento di coordinate e diversa da quella P 1 AP che cambia la matrice di una applicazione lineare nella pagina 1 di http: //calvino.polito.it/~adiscala/didattica/geometria/applineari.pdf. La spiegazione di questo e che qui la matrice A non rappresenta un applicazione lineare e quindi cambia di un modo diverso al cambiare i sistemi di coordinate. 2 Le colonne di P sono i vettori della base nuova, cioe P = V C N dove N e la nuova base e V quella vecchia di coordinate x. Forme quadratiche 4 Geometria

5 2.1 Cambiamento di coordinate. Politecnico di Torino. ( ) 1 2 Esempio 2.3. Sia A = e sia q(x) = x 2 8 Ax la forma quadratica associata ( ) x ad A. Se x = allora q(x, y) = x y 2 4xy + 8y 2. Osserviamo che possiamo fare il completamento del quadrato 3 : x 2 4xy + 8y 2 = (x 2y) 2 (2y) 2 + 8y 2 = (x 2y) 2 + 4y 2. Usando le coordinate u, v definite da { u = x 2y v = 2y (3) risulta che la forma quadratica in coordinate u, v e q(u, v) = u 2 + v 2. Se x, y sono le coordinate rispetto alla base canonica e u, v sono le coordinate rispetto alla base B allora ( ) 1 2 BC C = 0 2 ( ) 1 1 e P = C C B =, cioe la base B = ((1, 0), (1, 1)) Esercizio 2.4. a) Verificare che nell esempio precedente: ( ) 1 0 P AP = 0 1 b) Calcolare P P. c) la matrice A e definita positiva? Il metodo di completamento del quadrato e stato usato nel criterio per decidere se i punti critici di una funzione f(x, y) sono minimi, massimi o punti di sella. Vedi pagina 7 in Forme quadratiche Geometria

6 2.2 Matrici ortogonali. Politecnico di Torino. 2.2 Matrici ortogonali. Le formule di cambiamento di coordinate per la matrice di un applicazione lineare e una forma quadratica coincidono se la matrice di cambiamento di base e ortogonale, cioe P 1 = P. Questo succede se i vettori della nuova base sono versori perpendicolari tra di loro. Infatti, i vettori della base nuova sono le colonne della matrice P e dire che sono versori ortogonali equivale a dire cioe P 1 = P. P P = G = 1 Esercizio 2.. Verificare che la matrice ( ) cos(θ) sin(θ) P θ := sin(θ) cos(θ) e ortogonale per tutti i valori di θ. Calcolare il determinante det(p θ ). Vero o falso: Se R e una matrice ortogonale 2 2 allora esiste θ tale che R = P θ. 3 Diagonalizazzione di matrici simmetriche. Qui vogliamo discutere il seguente (classico) teorema. Teorema 3.1. Una matrice simmetrica A R n,n e diagonalizzabile. Inoltre esiste una matrice ortogonale P che diagonalizza A, cioe P AP e diagonale. La dimostrazione di questo teorema si appoggia sulla seguente osservazione: Se W R n e un sottospazio invariante per A allora il complemento ortogonale W e un sottospazio invariante per A. Infatti se x W e y W allora quindi Ax W. 0 = (Ay) x = (y A )x = y (A x) = y (Ax) Dunque per dimostrare il teorema basta dimostrare il seguente lemma. Lemma 3.2. Una matrice simmetrica A R n,n ha un autovalore reale. Forme quadratiche 6 Geometria

7 Supponiamo che il lemma sia vero e vediamo come si dimostra il teorema. La matrice A definsce un applicazione lineare f : R n R n rispetto alla base canonica. Dal lemma otteniamo un autovettore v (che supponiamo unitario) e definiamo W = Rv. Allora dall osservazione segue che W e un sottospazio invariante per f. Dunque f e una applicazione lineare di W. Osservare che la matrice di f rispetto una base ortogonale di W e simmetrica (n 1) (n 1) poiche dim(w ) = n 1. Quindi possiamo applicare nuovamente il lemma a questa matrice simmetrica (n 1) (n 1) per trovare un nuovo autovettore di A, cioe il teorema segue per il principio d induzione. La base di autovettori unitari costruita induttivamente e ortogonale e le colonne della matrici P sono questi autovettori unitari. Ecco una dimostrazione del Lemma 3.2. La (iper)sfera S n 1 R n e l insieme di tutti i versori. Sia q : S n 1 R la funzione definita usando q(x) = x Ax. Siccome S n 1 e un sottoinsieme compatto la funzione q ha un massimo assoluto v S n 1. In particolare v e un punto critico di q : S n 1 R. Questo implica che il gradiente di q in v e perpendicolare allo spazio tangente alla (iper)sfera S n 1 in v (altrimenti muovendosi nella direzione della proiezione del gradiente si migliora il valore di q). Ma il gradiente di q in v e 2Av e lo spazio tangente alla (iper)sfera S n 1 in v e il complemento ortogonale di Rv. Dunque Av e un multiplo di v, cioe v e un autovettore di A e il corrispondente autovalore e il valore massimo di q. Un altra dimostrazione del Lemma 3.2 si ottiene usando il teorema fondamentale dell algebra 4. Infatti, dal teorema fondamentale dell algebra si ottiene λ C e una colonna x 0 C n tale che Ax = λ x. Moltiplicando per x si ottiene x Ax = λx x. Ma usando la simmetria di A: λx x = (Ax) x = x Ax = λx x. Siccome x x 0 risulta λ = λ, cioe λ e un numero reale. Proof. Dimostrazione del Teorema 1.3. Sia P la matrice nel Teorema 3.1. Allora P AP = D 4 La barra su una lettera indica coniugazione coniugato Forme quadratiche 7 Geometria

8 3.1 Ortogonalita degli autovettori di A. Politecnico di Torino. dove D e la matrice diagonale con λ 1,, λ n lungo la diagonale. Siccome A e definita positiva allora tutti i suoi autovalori λ 1,, λ n sono > 0. Infatti, questi autovalori sono i massimi di q in una (iper)sfera, dunque > 0. Sia D la matrice diagonale ottenuta prendendo la radice quadrata ai λ s. Dalla equazione precedente otteniamo A = (P D)(P D) questa equazione fa vedere che A rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base B di R n la cui matrice di cambiamento di base C C B = (P D). Esercizio 3.3. Esiste una base B di R 2 tale che ( 18 G = ) e la matrice del prodotto scalare rispetto a B?. Se sí, trovare B e P tale che G = P P. 3.1 Ortogonalita degli autovettori di A. Due autovettori v e w corrispondenti ad autovalori diversi λ e β di una matrice simmetrica A sono ortogonali. Infatti, β (v.w) = v.(aw) = (Av).w = λ (v.w) = (λ β)(v.w) = 0 siccome λ β segue che v.w = 0, cioe v e w sono ortogonali. Ma non e vero senza ammettere che i due autovettori appartengono ad autospazi diversi. Infatti, bisogna osservare che qualsiasi vettore non nullo e autovettore della matrice identica 1. Dunque dire due autovettori (eventualmente linearmente indipendenti) di una matrice simmetrica sono ortogonali e sbagliato. 4 Segnatura Data una forma quadratica q : R n R abbiamo visto che esistono basi B dove la forma quadratica e diagonale: La forma diagonale non e unica. q(x) = λ 1 x λ 2 x λ n x 2 n Forme quadratiche 8 Geometria

9 Esempio 4.1. Nel esempio 2.3 abbiamo visto che la forma quadratica q(x, y) = x 2 4xy + 8y 2 ( ) 1 2 si puo diagonalizzare q(u, v) = u 2 + v 2. Siccome gli autovalori di A = 2 8 sono approssimativamente 9.13 e 7.11, rispetto alla base di autovettori unitari abbiamo approssimativamente q(a, b) = 9.13a b 2 dove a, b sono le coordinate nella base di autovettori. Si puo dimostrare che i numeri p di λ s positivi e q di λ s negativi non cambiano 6. La segnatura di q e la coppia (p, q). A volte si parla della segnatura della matrice simmetrica A faccendo riferimento alla segnatura della forma quadratica x Ax. E possibile calcolare (p, q) tramite la regola di Cartesio applicata al polinomio caratteristico χ A (x) = det(a x1). Per la regola di Cartesio vedere polito.it/~adiscala/didattica/alenia/cartesio.pdf Ecco qualche esempi Esempio 4.2. Se A = 2 4 allora χ A (x) = x + x 2 x Siccome la sequenza 110, 30,, 1 ha due variazioni, segue che il numero di radici positive e 2, cioe p = 2. Siccome 0 non e radice di χ A (x) otteniamo che q = 1. Dunque la segnatura di A e (2, 1) Esempio 4.3. Se A = allora χ A (x) = 1260x + 104x 2 x Siccome la sequenza 1260, 104, 1 ha due variazioni, segue che p = 2. Siccome 0 e radice di χ A (x) otteniamo che q = 0. Dunque la segnatura di A e (2, 0) Esempio 4.4. Se A = allora χ A (x) = 1260x 76x 2 x 3. Siccome la sequenza 1260, 76, 1 ha una variazioni, segue che p = 1. Siccome 0 e radice di χ A (x), otteniamo che q = 1. Dunque la segnatura di A e (1, 1). 6 Forme quadratiche 9 Geometria

10 Esempio 4.. Se A = allora χ A (x) = x 91x 2 x 3. Siccome la sequenza , 91, 1 non ha variazioni, segue che p = 0. Siccome 0 non e radice di χ A (x), otteniamo che q = 3. Dunque la segnatura di A e (0, 3). 0 0 a Esercizio 4.6. Se A = 0 0 b allora χ A (x) = (a 2 + b 2 )x + cx 2 x 3. La a b c sequenza a 2 + b 2, c, 1 ha al massimo una variazione, dunque le possibili segnature sono (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1). Esercizio 4.7. Vero o falso: Sia A una matrice simmetrica n n e sia χ A (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n il suo polinomio caratteristico. Allora A e definita positiva se e soltanto se la sequenza a 0, a 1,, a n ha esattamente n variazioni. Coniche z Una sezione conica 7 e l intersezione del cono e un piano. Come si legge su Internet, gia 200 anni avanti Cristo, Apollonio di Perga studia le sezioni coniche e dá ai tre tipi fondamentali i nomi: x y ellisse, parabola e iperbole. Con il metodo di Cartesio, utilizzando quindi le coordinate, e piu facile studiare le sezioni coniche. L equazione del cono che vediamo nel disegno e x 2 + y 2 z 2 = 0. (4) Supponiamo che il piano sia dato parametricamente 8 come P + s v + t w I parametri (s, t) sono coordinate del piano e (x, y, z) appartiene al piano se e soltanto se esistono s, t tali che Vedere pagina 2 in VettoriCoordinateSpazio.pdf Forme quadratiche 10 Geometria

11 x = p 1 + sv 1 + tw 1, y = p 2 + sv 2 + tw 2, z = p 3 + sv 3 + tw 3, dove P = (p 1, p 2, p 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ). Dunque i punti (s, t) del piano che appartengono al cono sono quelli che soddisfano l equazione: (p 1 + sv 1 + tw 1 ) 2 + (p 2 + sv 2 + tw 2 ) 2 (p 3 + sv 3 + tw 3 ) 2 = 0. Sviluppando i quadrati, mettendo in evidenza le incognite s, t risulta un equazione as 2 + 2bst + ct 2 + 2ds + 2et + f = 0, () dove i numeri in rosso si ottengo usando p 1, p 2, p 3, v 1, v 2, v 3, w 1, w 2, w 3, e.g. a = v1 2 + v2 2 v3 2 b = v 1 w 1 + v 2 w 2 v 3 w 3 c = w1 2 + w2 2 w3 2 Esercizio.1. Calcolare d, e, f in funzione di p 1, p 2, p 3, v 1, v 2, v 3, w 1, w 2, w 3. Esercizio.2. Calcolare a, b, c, d, e, f se P = (0, 0, 1), v = (, 0, 0) e w = (0, 3, 4). Esercizio.3. Trovare un piano Π tale che l intersezione col cono x 2 + y 2 z 2 = 0 sia rispettivamente: a) Un ellisse. b) Un iperbole. c) Una parabola. Esercizio.4. Trovare un piano Π tale che l intersezione col cono x 2 + y 2 z 2 = 0 sia rispettivamente: a) Un punto. b) Una retta. c) Due rette incidenti. Esercizio.. Dimostrare che i numeri a, b, c non possono essere tutti zero. (Hint: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Forme quadratiche 11 Geometria

12 Esercizio.6. Dimostrare che i numeri a, b, c non possono essere tutti zero. (Hint: La segnatura della forma quadratica q = x 2 +y 2 z 2 e (2, 1). Supponendo che a = b = c = 0 in una base di R 3, dove v, w sono i primi due vettori, la matrice che rappresenta q e come nel esercizio 4.6.) Forme quadratiche 12 Geometria

13 6 Le coniche Per capire meglio le sezioni coniche anziché usare le lettere s, t si usano le lettere x, y. x y2 3 2 = 1 Una conica C e un sottoinsieme del piano R 2 definito da una equazione di secondo grado: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (6) dove a, b, c,..., f sono numeri reali e a, b, c non tutti nulli. Osservare che le parabole y = ax 2 + bx + c sono di questo tipo. Le coniche x2 + y2 a 2 b 2 Le coniche x2 y2 a 2 b 2 = 1 sono ellissi. = 1 sono iperboli. Oltre alle ellissi, parabole e iperbole, possono capitare altri casi chiamati coniche degeneri. Ad esempio, quando il piano passa per il vertice del cono, oppure il piano e tangente al cono, ecc. Per capire il tipo della conica e meglio usare la notazione matriciale. ( ) ( ) ( ) a b d x Sia A = e siano v = e x =. Allora l equazione precedente si b c e y scrive come: x Ax + 2v x + f = 0 (7) Prendiamo P una matrice che diagonalizza A e cambiamo le coordinate x = Pu: u Du + 2v Pu + f = 0 (8) Ora proviamo a spostare il centro di coordinate a u 0, cioe (u u 0 ) D(u u 0 ) + 2v P(u u 0 ) + f = 0 se u 0 soddisfa Du 0 + P v = 0 allora otteniamo dove f = u 0 Du 0 + f. Se u = ( ) u v u Du + f = 0 ( ) α 0 e D = l equazione precedente e 0 β αu 2 + βv 2 + f = 0 Forme quadratiche 13 Geometria

14 6.1 Un esempio. Politecnico di Torino. da dove e facile stabilire se la conica e un elisse, un iperbole, due rette incidenti, una retta, un punto o l insieme vuoto. Se invece non fosse possibile spostare il centro ad un u 0 che soddisfa Du 0 + P v = 0 deve essere che det(d) = αβ = 0. Se α = 0 allora l equazione (8) e βv 2 + mu + nv + f = 0 in questo caso se m 0 otteniamo una parabola mettendo in evidenza u come funzione di v. Se invece m = 0 possiamo avere due rette parallele o l insieme vuoto. Esercizio 6.1. Quanti tipi di coniche abbiamo ricavato?. Esercizio 6.2. Esiste un piano la cui intersezione con il cono x 2 + y 2 z 2 sia l insieme vuoto? Esercizio 6.3. Esiste un piano la cui intersezione con il cono x 2 + y 2 z 2 sia uguale a due rette parallele diverse? 6.1 Un esempio. Esempio 6.4. Sia C la conica: 29x xy + 36y 2 = 180 ( ) Gli autovalori e autovettori (unitari) della matrice A = sono rispettivamente , 20 ; ( 3 4 ), dunque rispetto alla base di autovettori A = (( 3 4 ( ) 4 3 ), 4u v 2 = 180 ( ) 4 3 ) la conica e o ancora meglio Risulta dunque che C e l ellisse: u v2 9 = 1 Forme quadratiche 14 Geometria

15 6.1 Un esempio. Politecnico di Torino Siccome ( 3 ) ( cos(3.13 ) ) sin(3.13 ) sin(3.13 ) cos(3.13 ) si puo anche pensare l ellisse C come il risultato di una rotazione di circa 3.13 in senso antiorario dell ellisse x y2 9 = 1 ecco il disegno di tutte e due: Forme quadratiche 1 Geometria

16 6.1 Un esempio. Politecnico di Torino Esercizio 6.. Disegnare le seguenti coniche: (1) 4x 2 + y 2 = 16, (2) 4x 2 y 2 = 16, (3) 4x y 2 = 16, (4) 4x 2 + y 2 = 0, () 4x 2 y 2 = 0, (6) 4x y 2 = 0, (7) 4y 2 + x 2 = 16, (8) 4y 2 x 2 = 16, (9) 4y x 2 = 16, (10) 4y 2 + x 2 = 0, (11) 4y 2 x 2 = 0, (12) 4y x 2 = 0, Esercizio 6.6. Disegnare le seguenti coniche: (1) 4xy + y 2 3 = 0, (2) x 26y + 4xy + y 2 = 0, (3) x 2 + 4xy + y 2 3 = 0, (4) x + x 2 + 2y + 4xy + y 2 = 0, Esercizio 6.7. Trovare l equazione della seguente ellisse: Forme quadratiche 16 Geometria

17 6.1 Un esempio. Politecnico di Torino Esercizio 6.8. Sia C la conica ( 4f 2 + d 2) ( d 2 4x 2) 4d 2 y 2 = 0. Disegnare C nei seguenti casi: (1) f = 3, d = 8, (2) f = 3, d = 6.001, (3) f = 3, d = 4, (4) f = 3, d =.999, Forme quadratiche 17 Geometria