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1 Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici ortogonali: Teorema Sia P una matrice n n Le condizioni seguenti su P sono equivalenti: (i) P è matrice ortogonale, (ii) (P x) (P y) x y per ogni x,y R n (P conserva il prodotto scalare), (iii) P x x, per ogni x R n (P conserva le norme) Dim (i) (ii) Sappiamo che P è ortogonale se e solo se P è invertibile e P P t Segue (P x) (P y) x P t (P y) x (P t P )y x y (ii) (iii) P x (P x) (P x) x x x (iii) (i) Facciamo vedere che se P (x x n ), ove x, x n sono le colonne di P, allora {x x n } è una base ortonormale di R n È x i P e i, ove e,, e n sono i vettori della base standard di R n Segue x i P e i e i Se i j x i + x j P e i + P e j P (e i + e j ) e i + e j x i + x j D altra parte x i + x j x i + x j + x i x j da cui segue x i x j 0 CVD Ulteriori proprietà delle matrici ortogonali: Teorema Siano P, Q matrici ortogonali n n Allora: (i) det P ±, (ii) P Q è una matrice ortogonale, (iii) P è una matrice ortogonale, (iv) P t è una matrice ortogonale Dim solo di (i) Gli altri asserti sono facili e si lasciano come esercizi per il lettore Da P t P n segue det(p t P ) Utilizzando il Teorema di Binet e ricordando che det P det(p t ), si ricava (det P ) e quindi det P ± CVD L insieme delle matrici ortogonali di ordine n si denota usualmente con O n Dal teorema precedente O n risulta essere un gruppo rispetto al prodotto di matrici (righe per colonne) È detto il gruppo ortogonale (di ordine n) L insieme delle matrici ortogonali con det si denota con SO n ed è un sottogruppo di O n L insieme delle matrici ortogonali con det si denota con O n Chiaramente non è un sottogruppo di O n, ma O n P SO n, ove P è una qualunque matrice ortogonale con det P, ad esempio 0 0 P Rotazioni del piano Sia θ R e sia x R Denotiamo con R θ (x) il vettore ottenuto ruotando in senso antiorario il vettore x attorno all origine (disegno) L applicazione R θ : R R, x R θ (x) si dice rotazione antioraria di angolo θ Teorema L applicazione R θ è una applicazione lineare La sua matrice standard ( la matrice rispetto alla base standard) è la matrice θ sin θ sin θ θ Dim Consideriamo due vettori x, y R (applicati all origine) Sappiamo che il vettore x + y è la diagonale del parallelogramma individuato da x e y Applicando R θ, tutto il parallelogramma viene ruotato e si ottiene il parallelogramma individuato dai vettori R θ (x) e R θ (y) La diagonale di quest ultimo parallelogramma è dunque R θ (x) + R θ (y) D altra parte la diagonale del parallelogramma ruotato si ottiene ruotando la diagonale del parallelogramma da cui siamo partiti che è dunque R θ (x + y) (disegno) Segue che R θ (x + y) R θ (x) + R θ (y)

2 Con un argomento simile (disegno) si dimostra anche che R θ (ax) ar θ (x), a R Si verifica poi facilmente (disegno e trigonometria elementare) che θ sin θ R θ (e ), R sin θ θ (e ) θ CVD In particolare (abuso di notazione: useremo la stessa notazione R θ per denotare anche la sua matrice standard) 0 sin 0 0 R 0 sin 0 0 0, R / sin 0 sin 0 sin 0 R sin 0, R / sin sin ( ) ( R /6 6 sin 6 sin 6, R / sin 6 sin ) Si verifica facilmente che le colonne di R θ sono ortonormali o anche che R t θ R θ Pertanto la matrice R θ è una matrice ortogonale D altra parte è geometricamente è evidente che R θ conserva le norme Inoltre è chiaro che R θ R φ R φ R θ R θ+φ Esplicitando (θ + φ) sin(θ + φ) θ sin θ φ sin φ sin(θ + φ) (θ + φ) sin θ θ sin φ φ ( θ φ sin θ sin φ ) (sin θ φ + θ sin φ) sin θ φ + θ sin φ θ φ sin θ sin φ si ottengono le formule di addizione per seno e eno Riflessioni del piano Sia L una retta del piano R passante per l origine, (L è un sottospazio vettoriale di dim di R Se x è un vettore (applicato all origine), denotiamo con s L (x) il vettore ottenuto da x per riflessione rispetto alla retta L (disegno; se la punta di x è il punto P, tracciare la retta r per P ortogonale ad L; sia Q il piede di r su L; la punta di s L (x) è il simmetrico di P rispetto a Q su r) Se L u e L v con u v, u v 0, si verifica facilmente che s L (u) u, s L (v) v e s L (x) x (x v)v Si verifica facilmente dalla formula (ma si può ripetere pari pari l argomento geometrico usato per la rotazione) che s L : R R è applicazione lineare Chiaramente s L conserva le norme (verificarlo 0 per esercizio dalla formula) La matrice di s L rispetto alla base (ortonormale) (u, v) è 0 Esercizio Trovare le matrici standard delle riflessioni rispetto ai due assi coordinati Trovare la matrice standard di s L quando L è la retta (per l origine) di pendenza m Trasformazioni ortogonali del piano Rotazioni e riflessioni sono esempi di trasformazioni ortogonali del piano, ovvero trasformazioni lineari T : R R tali che T (x) x, per ogni x R Chiaramente le matrici standard delle trasformazioni ortogonali sono matrici ortogonali e viceversa, se una trasformazione lineare ha matrice standard ortogonale, è una trasformazione ortogonale Teorema Sia T : R R una trasformazione ortogonale del piano con matrice standard P (i) Se det P, allora T è una rotazione (ii) Se det P, allora T è una riflessione a c Dim Supponiamo che P Poiché P è matrice ortogonale, le sue colonne hanno norma b d : a + b e c + d Esistono dunque angoli θ, φ tali che a θ, b sin θ e c φ, d sin φ Poiché le due colonne sono ortogonali, possiamo scegliere θ, φ in modo che φ θ ± /

3 (disegno) Primo caso: φ θ + / Segue φ (θ + /) sin θ, sin φ sin(θ + /) θ, θ sin θ P sin θ θ che è la matrice standard della rotazione R θ Inoltre θ sin θ det P det sin θ θ Secondo caso: φ θ / Segue φ (θ /) sin θ, sin φ sin(θ /) θ, θ sin θ P sin θ θ Segue che il polinomio caratteristico di P è det(p t ) t (Tr P )t + det P t (t + )(t ) Segue che P e quindi T ha autovalori e Se u e v sono i corrispondenti autovettori, allora u v 0, T (u) u e T (v) v Segue che T è la riflessione rispetto alla retta L u Inoltre θ sin θ det P det sin θ θ CVD Osservazione È immediato verificare che θ sin θ θ sin θ 0 sin θ θ sin θ θ 0 Quindi nel caso det T, T è lariflessione rispetto all asse delle ascisse seguita da una rotazione antioraria Chiaramente (disegno) i vettori che formano angolo θ/ con e sono uniti Segue che l autovettore (normalizzato) relativo all autovalore è θ u sin θ Trasformazioni ortogonali in dimensione superiore Teorema Gli autovalori di una trasformazione ortogonale sono ± oppure coppie di numeri complessi coniugati di modulo Dim Sia P una matrice ortogonale e sia λ C un suo autovalore; sia 0 v C n un autovettore corrispondente: P v λv Coniugando e trasponendo questa uguaglianza, si ottiene, tenuto conto che P è matrice reale, v t P t λv t Segue v t v v t P t P v λλv t v e quindi λλ λ Segue che λ ± se λ è reale, o λ e iθ, θ R, se λ non è reale CVD Corollario Se n e T SO, T id R, allora T è una rotazione attorno ad una retta passante per l origine Dim Facciamo vedere che dall ipotesi che det T segue che è autovalore di T Osserviamo che T ha almeno un autovalore reale perché il polinomio caratteristico è un polinomio a coefficienti reali di grado tre che ha quindi una radice reale Questa radice è o Se tutte le radici sono reali, almeno una deve essere uguale a (perché il loro prodotto è det T per ipotesi) Se due radici sono complesse coniugate, la terza radice reale non può essere : (a+ib)(a ib)( ) (a +b ) che non può essere uguale ad Quindi è autovalore di T Se u R è il corrispondente autovettore, allora T (u) u Posto L u, è T (L ) L : infatti, se u v 0, 0 u v T (u) T (v) u T (v) Segue che T (L ) L e quindi, essendo T invertibile, T (L ) L Segue che T L è una trasformazione ortogonale del piano L Poiché det T L, T L è una rotazione CVD

4 Esempio La matrice ortogonale 0 0 P ha polinomio caratteristico t (t )(t +t+) L autovettore corrispondente all autovalore è (,, ) Quindi P è una rotazione attorno alla retta L (,, ) La trasformazione ortogonale P L del piano L ha polinomio caratteristico t + t + Quindi det P L e troviamo conferma che P L è una rotazione Qual è l angolo di rotazione θ? Deve essere θ tr P L e quindi θ / Isometrie euclidee Una trasformazione F : R n R n si dice una isometria, se T (x) T (y) x y per ogni x, y R n A differenza delle trasformazioni ortogonali, qui non supponiamo che T sia un applicazione lineare Una isometria conserva le distanze tra punti (qui conviene pensare x, y come punti piuttosto che vettori, consideriamo R n come spazio affine) Una trasformazione ortogonale è una isometria: se T è lineare T (x) T (y) T (x y) x y Inoltre, ogni isometria che sia anche lineare è una trasformazione ortogonale T (x) T (x) 0 T (x) T (0) x 0 x Una traslazione di vettore v è l applicazione T v : R n R n definita da T v (x) x + v Se v 0, allora T v non è lineare perché T v (0) v 0 (T 0 id R n è lineare) Ma T v è una isometria: T v (x) T v (y) (x + v) (y + v) x y È facile verificare che la composizione di isometrie è una isometria (esercizio) Segue che, se T è una trasformazione ortogonale e T v è una traslazione, allora la composizione T v T è una isometria Facciamo ora vedere il fatto notevole che ogni isometria si può rappresentare come composizione di una trasformazione ortogonale seguita da una traslazione Teorema Sia T : R n R n una isometria tale che T (0) 0 (i) T (x) x, per ogni x R n (ii) T (x) T (y) x y, per ogni x, y R n (iii) T è lineare (iv) T è una trasformazione ortogonale Dim (i) è facile (esercizio) (ii) Siano x, y R n È T (x) T (y) T (x) T (x) T (y) + T (y), x y x x y + y Il risultato segue subito da T (x) T (y) x y (iii) Da (i) e (ii) segue T (x + y) T (x) T (y) ( T (x + y) T (x) T (y) ) (T (x + y) T (x) T (y) ) T (x + y) + T (x) + T (y) T (x + y) T (x) T (x + y) T (y) + T (x) T (y) x + y + x + y (x + y) x (x + y) y + x y 0 (verificare l ultima uguaglianza) Segue che T (x + y) T (x) + T (y) Similmente si dimostra che T (ax) at (x), a R (iv) Segue subito da (iii) e (i) CVD Sia F una isometria di R n Sia T : R n R n definita da T (x) F (x) F (0)

5 Allora T è una isometria e T (0) F (0) F (0) 0 Segue dal Teorema ora visto che T è una trasformazione ortogonale Inoltre per ogni x R n Posto v F (0), si ottiene F (x) T (x) + F (0) F (x) (T v T )(x) T (x) + v Poiché una traslazione (non identica) non è un applicazione lineare, non è rappresentata da una matrice Ma essendo il calcolo con le matrici molto efficiente, il seguente espediente è molto utile anche se a prima vista sembra una complicazione L idea è di rappresentare un punto x di R n mediante una colonna (n + ) ( x x) le cui componenti sono dette le coordinate omogenee di x Se P è la matrice della trasformazione ortogonale T, la isometria T v T è rappresentata dalla matrice (qui scritta a blocchi) 0 0, v P v P x v + P x Questo formalismo trova la sua naturale collocazione nel contesto della geometria proiettiva x n 5

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