descrizione di un ampiezza un segno

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1 II. Ripasso di Matematica: Scalari e Vettori Scalare quantità descrivibile unicamente da un numero (temperatura, lunghezza, ) Vettore quantità che necessita per la sua descrizione di un ampiezza ampiezza, di una direzione e di un segno (Forza, velocità, accelerazione, ) Si rappresenta con una freccia la cui lunghezza è proporzionale al modulo del vettore La punta della freccia rappresenta la direzione del vettore

2 simbologia per i vettori Lettera con freccia: Lettera in grassetto: Se si intende scrivere il modulo di un vettore allora si può usare o semplicemente la lettera o indicare la medesima in italic: A A A

3 Propietà dei Vettori Uguaglianza fra due Vettori Due vettori si dicono uguali se essi hanno stesso modulo e stessa direzione Spostamento di vettori in a diagramma Un vettore può sempre essere mosso parallelamente a se stesso senza che questo modifichi il vettore medesimo

4 Altre proprietà dei Vettori Vettore Negativo Un vettore è il negativo di un altro se ha lo stesso modulo ma direzione opposta ovvero ruotata di 180 (π/2) A = -B Vettore Risultante Il vettore risultante è il vettore ottenuto come somma dell insieme di vettori dato

5 Somma di Vettori Quando si sommano dei vettori, occorre tenere conto sempre delle loro direzioni Le unità adottate devono essere le stesse Metodo Grafico Si disegnano i vettori in scala Metodo Algebrico più conveniente (x 1,y 1,z 1 )+(x 2,y 2,z 2 ) =(x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 )

6 Metodo grafico A + B = B + A

7 Sottrazione di due vettori Un caso particolare di somma: A B = A+(-B)

8 Sistema di coordinate cartesiane 3D z u z P=( x, y, z) x u x r u y y

9 Sistema di coordinate sferiche ( r, fq, ) z u r u ϕ P=( r,ϑ,ϕ) ϑ r u ϑ x ϕ r sinϑ y OP= r = rsinqcos f, rsinqsin f, rcosq ( )

10 Cambiamento di coordinate y q r P ( θ) = ( θ) ( θ) + 2 ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) 2 ( θ) uˆ cos xˆ sin cos yˆ cos ρ uˆ sin = xˆ sin cos + yˆ sin θ uˆ = uˆ cos uˆ y ρ ( θ) sin ( θ) θ z uˆ = xˆ sin + yˆ ρ uˆ = xˆ cos yˆ θ ( θ) cos( θ) ( θ) sin ( θ) x ( θ) = 2 ( θ) + ( θ) ( θ) ( θ) = 2 ( θ) ( θ) ( θ) uˆ sin xˆsin yˆ sin cos ρ uˆ cos xco ˆ s yˆ cos sin θ uˆ = uˆ sin + uˆ x ρ ( θ) cos( θ) θ uˆ = uˆ sin + uˆ x uˆ = uˆ cos uˆ y ρ ρ ( θ) θ cos( θ) ( θ) sin ( θ) θ

11 Inversione di coordinate z x P(x,y,z) y y P x z Pxyz (,, ) = P' = ( x, y, z) ( )

12 Scalari,Pseudoscalari,Vettori,Pseudovettori Scalare: elemento appartenente ad R invariante per Inversione del sistema di coordinate; Pseudoscalare: elemento appartenente ad R che cambia segno per inversione del sistema di coordinate Vettore: Elemento dello spazio R 3 che cambia segno per inversione del sistema di coordinate; Pseudovettore: Elemento dello spazio R 3 che non cambia segno per inversione del sistema di coordinate; ESERCIZIO Dimostrare che dati due qualsiasi vettori nello spazio: il loro prodotto scalare è commutativo; il loro prodotto scalare da sempre uno scalare; il loro prodotto vettoriale è anticommutativo; il loro prodotto vettoriale da sempre uno pseudovettore;

13 Prodotto Scalare e Prodotto Vettoriale I Prodotto Scalare: Applicazione che va dallo spazio prodotto R 3 xr 3 in R tale che: AB AB AB 3, = j = 1 j j Norma di un Vettore: Applicazione che va dallo spazio dei vettori R 3 nello spazio dei Reali positivi R + definito come: 3 A AA, = A j = 1 Prodotto Vettore: Applicazione che va dallo spazio prodotto R 3 xr 3 nello spazio dei vettori R 3, definito dalla relazione: xˆ yˆ zˆ A B A A A x y z B B B x y z 2 j

14 Prodotto Scalare e Prodotto Vettore II j= 3 AB, AB = AB = A B cosθ j= 1 j j AB u AB xˆ yˆ zˆ A B A A A = uˆ A B sinθ x y z AB AB B B B x y z A q AB B

15 Formule di calcolo vettoriale Alcune proprietà dei Prodotti Scalari e Vettoriali: ( ) ( ) ( a b c = b c a = c a b) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c)