Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

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1 Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci Università di Napoli Parthenope

2 Contenuti Nel Piano Il piano cartesiano Vettori e punti del piano. Operazioni: Somma, prodotto esterno, prodotto scalare. Distanza e modulo. Rette nel piano Definizione Equazioni Parametriche e Cartesiane Rette parallele e perpendicolari Nello Spazio Lo spazio vettoriale R 3 Equazioni parametriche Equazioni cartesiane di rette e piani

3 Introduzione L idea fondante della geometria analitica è quella di poter associare a oggetti geometrici espressioni algebriche, che quindi si possano più facilmente manipolare. Il primo passo per questa associazione è associare ai punti del piano coppie di numeri reali che ne individuino la posizione. Introduciamo un sistema di assi cartesiani (da Descartes ( )) ortogonali, Ogni punto P 0 del piano viene individuato dalle sue coordinate (x 0, y 0 ) date dai numeri reali ottenuti dalle proiezioni ortogonali sugli assi del punto.

4 Lo Spazio Vettoriale R 2 R 2 = {(x, y) : x R, y R}. Un elemento P = (x, y) di R 2 sono è un punto P del piano di coordinate x e y. Inoltre, R 2 è uno spazio vettoriale e i suoi punti (x, y) sono identificati con i vettori v = (x, y) che partono dall origine degli assi e terminano in (x, y). y 2 1 (1,2) x y 6 (3,6) v 3 x

5 Operazioni in R 2 : Somma Definizione: Dati v = (x 1, y 1 ), w = (x 2, y 2 ), la somma tra v e w è il vettore z = v + w = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Elemento Neutro: L elemento neutro per la somma è il vettore nullo 0 = (0,0) che altro non è che l origine degli assi. L opposto di un vettore v = (x, y) è il vettore w = v = ( x, y). Opposto: L opposto di un vettore v = (x, y) è il vettore w = v = ( x, y).

6 Operazioni in R 2 : Prodotti Prodotto esterno. Dati v = (x, y) e α R, il loro prodotto esterno è dato dal vettore z = αv = (αx,αy). Prodotto scalare. Dati v = (x 1, y 1 ), w = (x 2, y 2 ), il prodotto scalare tra v e w è dato da z = v w = (x 1 x 2, y 1 y 2 ).

7 R 2 NON È Ordinato!! Al contrario di quanto accade in R, in R 2 non c è una relazione d ordine, cioè dati due punti di R 2 NON si può stabilire quale tra i due è più grande. y v = (1,2) w = (2,1) 2 (1,2) v 1 (2,1) w 1 2 x v w oppure v w?

8 Distanza in R 2 Dati P = (x p, y p ), Q = (x q, y q ) punti di R 2 definiamo la distanza tra P e Q il numero reale positivo d(p,q) = (x p x q ) 2 + (y p y q ) 2, Proprietà : 1 d(p,q) 0, d(p,q) = 0 P = Q; 2 d(p,q) = d(q,p); 3 d(p,q) d(p,r) + d(q,r), R = (x r, y r ) in R 2. Esempio: Dati P = ( 3,4), Q = (2, 1), la distanza è data da d(p,q) = ( 3 2) 2 + (4 ( 1)) 2 = = 50 = 5 2

9 Distanza e Modulo La distanza di un punto P = (x p, y p ) dall origine d(p,0) = xp 2 + y p 2 corrisponde al modulo del vettore associato a P; Quindi la nozione di distanza concorda con quella che conosciamo in R, dove la distanza da un punto dall origine è esattamente il suo modulo. Il modulo di un vettore corrisponde alla sua lunghezza ed è anche detto anche norma del vettore.

10 Luoghi Geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti che verificano una certa proprietà; l esempio più semplice di luogo geometrico sono le rette. Sono luoghi geometrici: l ellissi, le circonferenze, i piani, i coni...

11 Rette: Equazioni Parametriche Definizione Dato un punto P 0 = (x 0, y 0 ) e una direzione v = (p, q) (0,0), la retta passante per P 0 e con vettore direzione v è il luogo dei punti P = (x, y) tali per cui il vettore PP 0 sia parallelo a v, Cioè r = {P R 2 : PP 0 = t v, t R} Poiché il vettore PP 0 ha componenti (x x 0, y y 0 ), otteniamo { x x0 = t p y y 0 = t q queste sono le equazioni parametriche della retta passante per P 0 e con direzione v. t è il parametro.

12 Rette: Equazioni Parametriche Abbiamo ottenuto le equazioni parametriche di r { x x0 = t p y y 0 = t q o anche (x(t), y(t)) = (x 0 + t p, y 0 + t q) Ricordate che P 0 = (x 0, y 0 ) e v = (p, q) sono dati e al variare di t R troviamo tutti i punti della retta. Esempio Dato P 0 = (2,1) e v = ( 1,3), otteniamo la retta r di equazioni parametriche (x(t), y(t)) = (2 t,1 + 3t). Il punto P = (0,0) non appartiene alla retta perché non esiste t R per cui 2 t = 0 e 1 + 3t = 0. Mentre Q = (0,7) r.

13 Equazioni Parametriche degli Assi Le equazioni parametriche dell asse delle ascisse sono quelle della retta passante per P 0 = (0,0) e con direzione v = (1,0) { x = t, y = 0. Le equazioni parametriche dell asse delle ordinate sono quelle della retta passante per P 0 = (0,0) e con direzione v = (0,1) { x = 0 y = t.

14 Verso l equazione cartesiana Visto che (p, q) (0,0) possiamo supporre che sia ad esempio p 0 e troviamo t = x x 0 p y = y 0 + x x 0 p q la seconda equazione si può anche scrivere ax + by + c = 0 con a = q, b = p e c = y 0 p x 0 q. Questa è detta equazione cartesiana implicita della retta.

15 Osservazioni ed Esempi Diremo che un punto P di coordinate (x, y) appartiene alla retta r se le sue coordinate soddisfano l equazione, ad esempio data la retta r di equazione 2x 3y + 6 = 0 il punto P = (0,2) appartiene alla retta, poiché = 0, mentre il punto Q = (1,2) non vi appartiene in quanto = 2 0! L asse delle ascisse e l asse delle ordinate hanno equazioni rispettivamente y = 0, x = 0.

16 Perpendicolarità L equazione di una retta può anche essere data usando il concetto di perpendicolarità invece di quello di parallelismo, infatti dato un punto P 0 = (x 0, y 0 ) e un vettore v = (a,b) esiste una e una sola retta passante per P 0 e perpendicolare a v. Questa sarà il luogo dei punti P = (x, y) per cui il prodotto scalare tra il vettore P P 0 e v sia nullo, cioè P P 0 v = 0 ovvero (x x 0 )a + (y y 0 )b = 0 posto c = (ax 0 + by 0 ) otteniamo di nuovo l equazione cartesiana di una retta se almeno uno tra a e b è non nullo;

17 Equazione Esplicita Prendiamo l equazione cartesiana implicita ax + by + c = 0 con a = q, b = p e c = y 0 p x 0 q. se b 0 possiamo dividere per b e ottenere y = mx + q con m = a/b = q/p, q = c/b = (py 0 x 0 q)/p, che si chiama forma canonica o equazione esplicita della retta. Il numero m si dice coefficiente angolare della retta e ci da informazioni sulla pendenza della retta; q si dice termine noto.

18 Retta per due punti Dati P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ), un generico punto P = (x, y) apparterrà alla retta in cui si trovano P 0 e P 1 se il vettore PP 0 è parallelo al vettore P 0 P 1 Poiché PP 0 = (x x 0, y y 0 ) e P 0 P 1 = (x 1 x 0, y 1 y 0 ), otteniamo le equazioni parametriche { x x0 = t(x 1 x 0 ) y y 0 = t(y 1 y 0 )

19 Retta per due punti: seguito { x x0 = t(x 1 x 0 ) y y 0 = t(y 1 y 0 ) Se y 1 y 0 0 (altrimenti deve essere diverso da zero x 1 x 0 e si può ragionare in modo analogo) si ottiene che porta alla nota formula x x 0 = y y 0 y 1 y 0 (x 1 x 0 ). x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0. Che da l equazione cartesiana della retta passante per due punti dati.

20 Come si disegna una retta? Per disegnare una retta basta trovare due punti P e Q che vi appartengono e tracciare la linea passante per essi. Ad esempio per disegnare y + 3x 1 = 0, poniamo x = 0 ottenendo y = 1, poi x = 1 ottenendo y = 2, quindi poniamo nel piano cartesiano P = (0,1), e Q = (1, 2) e tracciamo la linea passante per P e Q. y 1 P 1-2 Q x

21 Rette Parallele Due rette r, r di equazioni ax + by + c = 0, a x + b y + c = 0 sono parallele se le rispettive direzioni sono proporzionali e poiché le direzioni sono date da ( b, a) e ( b, a ), deve esistere un numero α tale che b = αb e a = αa poiché almeno uno tra b e a è diverso da zero possiamo scrivere ad esempio che a = b/b a cioè ab = a b ovvero a b = b a Ricordando che m = a/b e m = a /b, otteniamo che due rette parallele hanno stesso coefficiente

22 Rette parallele agli assi L asse delle x ha equazione y = 0 ed il coefficiente angolare è m = 0. Quindi le rette parallele all asse x hanno m = 0 da cui l equazione y = c retta parallela all asse x. b L asse y ha equazione x = 0, quindi il suo vettore direzione è v = (0,1). Se una retta è parallela all asse y deve avere vettore direzione v = ( b, a ) = (0, a) e dunque x = c a retta parallela all asse y. y x = h y = K x

23 Rette Perpendicolari Due rette r, r di equazioni ax + by + c = 0, a x + b y + c = 0 sono perpendicolari se sono perpendicolari i loro vettori direzione per cui deve essere ( b, a) ( b, a ) = 0 a b = b a. Ricordando che m = a/b e m = a /b, otteniamo che i coefficienti angolari di due rette perpendicolari soddisfano m = 1/m.

24 Osservazioni Finali ed Esempi Già in queste prime osservazioni si vede come le varie proprietà geometriche si traducono in condizioni algebriche. Le rette sono rappresentate algebricamente da polinomi di grado uno, e nello studio delle proprietà geometriche delle rette usiamo tutti gli strumenti noti nell algebra dei polinomi. Se una retta r ha equazione ax + by + c = 0, con c = 0 allora tale retta passerà per l origine. Le rette y = x (y = x) si dicono bisettrici del primo e terzo quadrante, (bisettrici del secondo e quarto quadrante) perché dividono questi quadranti a metà.

25 Lo Spazio Lo spazio in cui viviamo è costituito da tre dimensioni: lunghezza, larghezza (o profondità ) e altezza. Algebricamente lo definiamo come lo spazio vettoriale (vedi dispense di algebra lineare) R 3 := { (x, y, z) : x, y, z R } mentre lo rappresentiamo geometricamente grazie a tre assi cartesiani y z x

26 Equazioni Parametriche La definizione del luogo geometrico retta non cambia quando passiamo dal piano allo spazio, quello che cambia sono le coordinate di un punto e le componenti del vettore direzione, che invece di essere due (come nel piano) sono tre. Pertanto, dato un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e un vettore v = (p, q,r ) la retta passante per P 0 di direzione v è il luogo r = { P R 3 : PP 0 = t v, t R } ed ha equazioni parametriche x = x 0 + t p y = y 0 + t q z = z 0 + tr

27 Parallelismo e Perpendicolarità Due rette di equazioni parametriche x = x 0 + t p 0 x = x 1 + t p 1 y = y 0 + t q 0 z = z 0 + tr 0 y = y 1 + t q 1 z = z 1 + tr 1 sono parallele se i due vettori direzioni sono proporzionali, cioè esiste α R tale che (p 0, q 0,r 0 ) = α(p 1, q 1,r 1 ); sono perpendicolari se i due vettori direzione sono perpendicolari, ovvero il loro prodotto scalare è nullo, cioè p 0 p 1 + q 0 q 1 + r 0 r 1 = 0.

28 Equazioni Parametriche di un piano Un piano π è individuato da due vettori v, w linearmente indipendenti e da un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), ogni altro punto P di R 3 appartiene a π se il vettore PP 0 può essere ottenuto come combinazione lineare dei vettori v, w, quindi π = {PP 0 = t v + sw, t, s R} se v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) otteniamo le equazioni parametriche di π x = x 0 + t v 1 + sw 1 y = y 0 + t v 2 + sw 2 z = z 0 + t v 3 + sw 3

29 Equazione Cartesiana di un piano: Prodotto Vettoriale tra vettori Il prodotto vettoriale di due vettori v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ), v w è dato dal vettore le cui componenti sono v w = (v 2 w 3 w 2 v 3, v 3 w 1 w 3 v 1, v 1 w 2 w 1 v 2 ) v w è un vettore ortogonale sia a v che a w. Visto che un piano π è generato da v, w linearmente indipendenti, un altro modo per dire che un punto appartiene a π è affermare che il vettore PP 0 è ortogonale al prodotto vettoriale v w.

30 Equazione Cartesiana di un piano: Quindi il prodotto scalare tra il vettore PP 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ) e il vettore v w deve essere nullo; Usando la notazione v w = (a,b,c), dobbiamo imporre (x x 0, y y 0, z z 0 ) (a,b,c) = 0 questo ci porta all equazione cartesiana del piano π (fate i conti!) ax + by + cz + d = 0, d = ax 0 by 0 cz 0 Dove ricordiamo che a, b, c sono le componenti di un vettore ortogonale al piano π.

31 Equazioni Cartesiane di una retta Una retta è determinata dall intersezione di due piani, quindi dai punti soluzioni del sistema di due equazioni in tre incognite { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Consideriamo i ranghi delle matrici ( ) ( a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 d 1 A = C = a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 d 12 ) Dal Teorema di Rouché-Capelli otteniamo le seguenti conclusioni:

32 Equazioni Cartesiane di una retta ( ) a1 b 1 c 1 A = a 2 b 2 c 2 ( ) a1 b 1 c 1 d 1 C = a 2 b 2 c 2 d 12 rga = 1 rg C = 2 allora il sistema non ha soluzioni, il che vuol dire che i due piani sono paralleli ma non coincidenti. rga = 1 = rg C = 1 allora il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da due parametri, il che vuol dire che i due piani sono paralleli e coincidenti. rga = 2 = rg C = 2 allora il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da un solo parametro, il che vuol dire che i due piani non sono paralleli e si intersecano in una retta.

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