Sistemi dinamici-parte 2 Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche

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1 Sistemi dinamici-parte 2 Parentesi di e trasformazioni AM Cherubini 11 Maggio / 25

2 Analogamente a quanto fatto per i sistemi lagrangiani occorre definire, insieme alla struttura del sistema, anche la classe di trasformazioni che la lascia invariante La struttura avra un ruolo fondamentale nel caratterizzare queste trasformazioni e altri aspetti della dinamica del sistema, come le costanti del moto. 2 / 25

3 Derivata di Lie Si e gia visto che dato un sistema a n gradi di liberta ẋ = F(x) la derivata di una funzione scalare f(x) lungo una soluzione x(t), cioe sul flusso, e la derivata direzionale di f lungo il campo vettoriale. d dt f(x(t)) = f F(x) = def Lf(x) derivata di Lie L operatore L che ad f associa la sua derivata lungo il flusso si chiama derivata di Lie Nel caso hamiltoniano, data H, x(t) = (p(t),q(t)) e cioe, esplicitamente L H (f(x)) = f E H prodotto scalare (1) L(f(x)) = f ( H q, H p ) = n i=1 ( f H f ) H q i p i p i q i 3 / 25

4 Prodotto scalare strett. La particolare forma (1) che assume la derivata di Lie nel caso hamiltoniano e un prodotto scalare : dati due vettori u, v R n il loro prodotto scalare e [u, v] = u Ev ( al posto dell identita I c e la matrice E). E antisimmetrico, quindi NON e un prodotto scalare! Una matrice conserva il prodotto scalare (cfr: una matrice ortogonale conserva il prodotto scalare. 4 / 25

5 Parentesi di strett. La derivata di Lie per il flusso hamiltoniano si esprime, tradizionalmente, con l operatore : date due funzioni scalari f e g in R 2n, x = (p,q) si definisce la seguente funzione scalare in R 2n {f, g} = f E g = Per quanto detto prima quindi n i=1 {f, g} = L g (f) ( f g f ) g q i p i p i q i cioe fare la due quantita dinamiche f e g equivale a fare la derivata di Lie di una lungo il flusso hamiltoniano definito dall altra. (2) 5 / 25

6 Costanti del moto strett. Una costante del moto I(p,q) per un sistema di hamiltoniana H e quindi caratterizzata dall avere nulla con H L H (I) = {I, H} = 0 6 / 25

7 Proprieta della strett. La e antisimmetrica: {f, g} = {g, f} Questo implica che in un sistema di hamiltoniana (autonoma) h, h e costante del moto e bilineare: a, b R, {h, h} = 0 {af 1 + bf 2, g} = a {f 1, g} + b {f 2, g} (idem per g) vale la regola di Leibniz (quella della derivazione) per il prodotto {f, gh} = {f, g}h + {f, h}g 7 / 25

8 Identita di Jacobi strett. vale l identita di Jacobi {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 f g h L identita di Jacobi esclude la proprieta associativa cioe in generale NON vale (dimostrarlo!). {f, {g, h}} = {g, {h, f}} 8 / 25

9 strett. Le proprieta si dimostrano per verifica diretta. Uno spazio vettoriale con un operazione binaria antisimmetrica, lineare e per cui valga l identita di Jacobi e un algebra di Lie. Esempio: R 3 con il prodotto vettoriale 9 / 25

10 Trasformazioni strett. Cosa significa che un sistema hamiltoniano nelle coordinate e invariante per una trasformazione? Ricorda: si e visto che trasformazioni di coordinate nello spazio delle configurazioni Q, estese alle variabili q tramite la matrice q = u( q) q = v( q, q) = u ( q) q lasciano invariati i sistemi lagrangiani cioe il sistema lagrangiano associato a L( q, q) e equivalente al sistema di lagrangiana L( q, q) = L(v( q, q), u( q)) 10 / 25

11 strett. Dato un aperto U R 2n, con coordinate x = (p, q), si cercano cambi di coordinate x w x tale che per ogni sistema di hamiltoniana H(x), la sua dinamica descritta nelle coordinate x e soluzione del sistema hamiltoniano relativo ad una hamiltoniana K( x) cioe p = K q K q = p Queste trasformazioni si dicono 11 / 25

12 Φ t ~ K ~ U U w w U t Φ H U Il flusso al tempo t e una trasformazione dello spazio delle fasi; se x = w( x) e canonica esiste una hamiltoniana K( x) per cui il diagramma commuta 12 / 25

13 Trasformazioni in senso stretto La trasformazione x = w( x) e canonica in senso stretto se l hamiltoniana K( x) si ottiene componendo H con w Ovvero, H il sistema K = H w ṗ = H q q = H p equivale, per K( p, q) = H w( p, q), al sistema p = K q K q = p 13 / 25

14 Esempio strett. La trasformazione di coordinate lineare delle q R n completata da q = A q A invertibile p = A T p = inversa della trasposta di A e strettamente canonica. (p, q) = w( p, q) = (A T p, A q) Infatti, se (p, q) e soluzione delle equazioni di Hamilton per H, prendo K( p, q) = H(A T p, A q) 14 / 25

15 Si ha K( p, q) q ( H(A T p, A q) = p p q + H(A T p, A q) q q ) q =.. quindi H(p, q)... = q A = ṗ A = A T ṗ = p K( p, q) p = q idem per le q. La matrice di w e ( A T 0 0 A ) 15 / 25

16 Canonicita strett. Una trasformazione di coordinate (p, q) = w( p, q) e canonica in senso stretto se e solo se la matrice J( p, q) e ovunque cioe JEJ T = E 16 / 25

17 Conseguenze strett. Una matrice ha determinante 1, quindi una trasformazione canonica conserva il volume nello spazio delle fasi La trasformazione q = v( q) nello spazio Q delle configurazioni si completa canonicamente cambiando le p con l inversa della trasposta della matrice v (cfr. invece il caso lagrangiano) p = ( v ) T ( q) p = u( p, q) La matrice di w = (u( p, q), v( q)) e infatti. 17 / 25

18 strett. La trasformazione p = q q = p e canonica: coordinate q e momenti coniugati p si possono scambiare, non c e alcuna differenza sostanziale tra i parametri lagrangiani. 18 / 25

19 Conservazione strett. Una trasformazione di coordinate (p, q) = w( p, q) conserva le se per ogni coppia di funzioni f, g nelle variabili (p, q)le loro trasformate f = f w = f (w 1 ( p, q), w 2 ( p, q)) sono tali che { } f, g = {f, g} w g = g w = g (w 1 ( p, q), w 2 ( p, q)) 19 / 25

20 Esempio: strett. E evidente che le particolari funzioni di (p, q) date da hanno parentesi (p, q) q i (p, q) p i i = 1, n {q i, q j } = 0 {p i, p j } = 0 {q i, p j } = δ ij Queste di chiamano parentesi Se (p, q) = (w 1 ( p, q), w 2 ( p, q)), posso verificare se ( p, q) vale ancora {w 1i, w 1j }( p, q) = 0 {w 2i, w 2j }( p, q) = 0 {w 1i, w 2j }( p, q) = δ ij 20 / 25

21 strett. Si verifica{ immediatamete } che per ogni coppia di funzioni f, g le parentesi f, g sono funzione { q i, q j } etc Quindi per verificare che una trasformazione conservi le parentesi basta calcolare le parentesi 21 / 25

22 Conservazione matrice strett. Una trasformazione (p, q) = w( p, q) conserva le se e solo se la sua matrice e ovunque DIM: si applica il fatto che le {f, g} sono il prodotto scalare dei gradienti f, g le matrici simplettiche conservano il prodotto scalare 22 / 25

23 Quindi... strett. Una trasformazione e strettamente canonica se e solo conserva le Abbiamo quindi uno strumento semplice per verificare la canonicita : basta verificare che le parentesi vengano conservate dalla trasformazione 23 / 25

24 Controesempio strett. Per un sistema hamiltoniano con n = 1 la trasformazione in variabili polari dello spazio delle fasi NON e canonica p = r sinφ q = r cosφ p r φ q 24 / 25

25 Esempio strett. Dati ω i > 0, i = 1, n, la trasformazione (p, q) (I, φ) in R 2n data da p i = 2Ii 2ω i I i cos φ i q i = sinφ i ω i e canonica e trasforma l hamiltoniana dell oscillatore H(p, q) = 1 2 n i=1,n nell hamiltoniana (ω = (ω 1,..., ω n )) con equazioni hamiltoniane K(I, φ) = ω I p 2 i + ω 2 i q 2 i I i = 0 φi = ω i i = 1, n 25 / 25