VIII Esercitazione di Matematica Finanziaria

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1 VIII Esercitazione di Matematica Finanziaria 7 Dicembre 200 Esercizio. Un privato decide di acquistare una nuova automobile. A tal fine ottiene da una finanziaria un anticipo per l importo S = euro da rimborsare in 5 anni con rata mensile posticipata variabile che ogni mese si riduce di 3 euro. Compilare il piano di ammortamento relativo alle prime cinque rate. Dopo tre anni la finanziaria propone al cliente di rimborsare il debito residuo con rate mensili costanti posticipate calcolate ad un tasso di interesse composto i = 8% annuo, lasciando invariata la scadenza. Determinare il valore della nuova rata R e compilare il nuovo piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate. Soluzione. Nel nostro caso, la rata è variabile e siamo nel caso di quota capitale costante, che è uguale a C = = mentre il tasso di valutazione mensile si ottiene da i m ens = R C = = E possibile, allora, calcolare il piano di ammortamento delle prime cinque rate: k M k R k C k I k

2 Il debito residuo in 3 anni è dato da M 36 = = e la rata per ammortizzare tale debito in 24 mesi al tasso mensile si calcola come i mens = ( ) /2 = R = = 45 ( ) 24 Dunque, il piano di ammortamento a rata costante, per le prime quattro rate, nella nuova situazione è k M k R k C k I k Esercizio 2. Si consideri un Bullet Bond con scadenza in s = 3 anni, cedola semestrale, tasso nominale annuo j nom = 4% e valore di rimborso C = 800;. calcolare il tasso interno di rendimento del titolo nel caso in cui sia quotato alla pari; 2. scegliere, tra i seguenti tassi, il tasso interno di rendimento del titolo nel caso in cui il prezzo sia P = 802 euro: 4.2% 4.25% 3.95% Data inoltre la struttura per scadenza dei tassi a pronti i(0, 0.5) = 3.3%, i(0, ) = 3.45%, i(0,.5) = 3.6% i(0, 2) = 3.77%, i(0, 2.5) = 3.98%, i(0, 3) = 4.7% calcolare il prezzo di mercato del Bullet Bond. Soluzione. Si calcola, anzitutto, la cedola del titolo I = = 6 euro

3 Se il titolo è quotato alla pari, il tasso interno di rendimento è il tasso equivalente annuo del tasso cedolare i c = = 0.02 cioè i = ( ) 2 = = 4.04% Se il prezzo del titolo è P = 802 euro, cioè il titolo è quotato sopra la pari, il tasso interno di rendimento è minore di quello calcolato sopra, dunque i < 4.04% quindi i = 3.95% Il prezzo di mercato, calcolato valutando il Bullet Bond secondo la struttura dei tassi a pronti assegnata, si ottiene da V e = 6( ) ( ) + 6( ).5 + 6( ) 2 + 6( ) ( ) 3 = euro Esercizio 3. In un mercato obbligazionario siano assegnati i seguenti titoli: un titolo a cedola nulla x con valore di rimborso C = 00 euro e scadenza in t = 0.5 anni; un titolo a cedola fissa x con scadenza in s = 2 anni, cedola semestrale I = euro e valore di rimborso C = 00 euro. Data la struttura per scadenza dei tassi a pronti i(0, 0.5) =.25%, i(0, ) =.50%, i(0,.5) = 2.05%, i(0, 2) = 2.70% calcolare. il valore attuale del titolo a cedola fissa x secondo la struttura dei tassi assegnata; 2. la duration del titolo a cedola fissa x. Se si considera il portafoglio Q composta da α quote del titolo x e da 3 quote del titolo a cedola nulla, calcolare il numero di quote α del titolo x affinché la duration del portafoglio calcolata in t 0 = 0 sia pari a un anno. 3

4 Soluzione. Il valore del titolo a cedola fissa x calcolato rispetto alla struttura dei tassi a pronti è V (0, x ) = v(0, 0.5) + v(0, ) + v(0,.5) + v(0, 2) = (.25) (.50) + (.205).5 + (.270) 2 = 6.96 euro La duration del titolo è data da D(0, x ) = 5.5v(0, 0.5) + v(0, ) + 6.5v(0,.5) + 222v(0, 2) V (0, x ) = 5.5(.50) + (.50) + 6.5(.205) (.270) = anni Il portafoglio Q = α x + 3x ha valore attuale V (0, Q) = α V (0, x ) + 3V (0, x) = 6.96α ( ) 0.5 = 6.96α Allora le quote α del titolo x che costituiscono il portafoglio Q si ottengono dall equazione cioè α D(0, x ) V (0, x ) V (0, x) + 3D(0, x) V (0, Q) V (0, Q) = α α α = da cui segue direttamente α =.638 Esercizio 4. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: un contratto a pronti x che garantisce 00 in t e prezzo P x = 98.4; un contratto a pronti y che garantisce 00 in t 2 e prezzo P y = 97.8; un contratto a termine z che garantisce 00 in t 3, pattuito in t 0 = 0 ma pagabile in t 2, e prezzo P z = 98.8 un titolo a cedola fissa q che garantisce cedola semestrale I = 3 euro, valore di rimborso C = 00 euro, prezzo P = 06 euro in t 0 e scadenza in t 4, 4

5 con scadenzario t := {0.5,,.5, 2} anni. Calcolare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine implicate dalle relative strutture dei prezzi. Si consideri, inoltre, una rendita che paga rata semestrale posticipata costante R = 25 euro e scadenza in t 3 =.5 anni. Calcolare il valore di mercato della rendita. Supponendo che il prezzo della rendita in t 0 = 0 sia 80 euro, costruire (utilizzando i titoli x, y, z )una strategia che permetta un guadagno non rischioso in t 0 = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni. Soluzione. La struttura dei prezzi a pronti si ottiene come v(0, 0.5) = = v(0, ) = = v(0,.5) = = v(0, 0.5) 3v(0, ) 3v(0,.5) v(0, 2) = = Da questa si ricava la struttura dei tassi a pronti ( ) /0.5 i(0, 0.5) = = = 3.278% ( ) i(0, ) = = = 2.249% ( ) /.5 i(0,.5) = = = 2.34% ( ) /2 i(0, 2) = = = 2.932% La struttura dei tassi a termine è v(0, 0, 0.5) = v(0, 0.5) = v(0, 0.5, ) = v(0,,.5) = v(0,.5, 2) = v(0, ) v(0, 0.5) = v(0,.5) v(0, ) = v(0, 2) v(0,.5) =

6 Da questa si ricava la struttura dei tassi a termine i(0, 0, 0.5) = i(0, 0.5) = 3.278% ( ) /0.5 i(0, 0.5, ) = = =.23% ( ) /0.5 i(0,,.5) = = = 2.444% ( ) /0.5 i(0,.5, 2) = = = 4.809% Il valore di mercato della rendita è V (0, r) = 25v(0, 0.5) + 25v(0, ) + 25v(0,.5) = 73.2 Assumendo prezzo della rendita pari a 80 euro, la strategia che permette di ottenere un guadagno immediato privo di rischi chiudendo in pareggio le altre posizioni è composta dalle seguenti azioni acquisto a termine il titolo z ; acquisto a pronti il titolo x ; acquisto a pronti =.984 quote del titolo y; vendo a pronti di 4 quote della rendita r. La tabella di payoff è data da

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