Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 12 Gennaio 2017

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1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 1 Gennaio 017 Problema 1 Si studi il sistema meccanico costituito da un punto materiale di massa unitaria soggetto al potenziale V x) = a lnx) x > 0 x a) Scrivere l energia del sistema; b) schematizzare lo spazio delle fasi e determinare le posizioni di equilibrio, la frequenza delle piccole oscillazioni per eventuali soluzioni stabili e le tangenti alle separatrici per quelle instabili; c) operando una trasformazione di scala x λx e introducendo l energia scalata E = λe determinare la dipendenza del periodo delle orbite chiuse dal parametro a e da E. d) Si consideri il sistema dinamico forzato { ẋ = v Supponento che ft) abbia la forma ft) = v = x + ft) { a 0 t T 0 t > T determinare a affinché lim t xt) = 0 con la condizione iniziale x0) = x 0 e v0) = 0. L energia del sistema si scrive nella forma Vi é un solo punto critico minimo locale in Lo sviluppo del potenziale si scrive E = ẋ + a ln x x 1 x a lnx) + 1) = 0 x c = e a+1 V x) V x c ) + 1 e 3a+1) x 1

2 quindi la frequenza delle piccole oscillazioni é ) 3a + 1) ω = exp Il periodo per le orbite chiuse si scrive T E, a) = dx E a ln x x ) Introducendo la variable scalata x = λy si ottiene T E, a) = λ 3/ E dy a ln λ ln y y ) ponendo λ = e a si ottiene T E, a) = e 3/a dy ) E + ln y y da cui la dipendenza cercata. Utilizzando la teoria delle equazioni lineari forzate possiamo scrivere la soluzione nella forma xt) = x 0 cosht + t 0 sinht s)fs)ds Si ricordi che il flusso di fase per l equazione omogenea di scrive nella forma ) ) cosht sinht x0 sinht cosht v 0 Dalle definizioni del problema segue per t > T T xt) = x 0 cosht + a sinht s)ds = xt) = x 0 cosht + a cosht cosht T )) 0 Dalla definizione di cosht la condizione lim t xt) = 0 si ottiene quando x 0 + a1 e T ) = 0 x 0 a = 1 e T ) Problema

3 Si consideri un punto materiale di massa unitaria vincolato su una sfera di raggio unitario soggetto SOLO ad un postenziale elastico V x) = k x + y a) Scrivere la Lagrangiana del sistema e determinare gli integrali del moto; b) calcolare il potenziale efficace e determinare eventuali soluzioni circolari; c) scrivere un equazione per le orbite uϕ) dove u = 1/ sin θ; La Lagrangiana del sistema si scrive in coordinate polari e ha l integrale del moto L = 1 sin θ ϕ + θ ) k sin θ p ϕ = sin θ ϕ oltre che all energia. Possiamo quindi scrivere un potenziale efficace E = 1 θ + Le orbite circolari sono soluzione dell equazione p ϕ sin θ + k sin θ p ϕ sin 3 θ + k sin θ = 0 sin θ = p ϕ k ) 1/4 ed esistono solo se é soddisfatta la condizione oppure con p ϕ k 1 1) cos θ = 0 θ = π Se la 1) é vera le prime sono stabili e θ = π/ é instable. Se 1) non é soddisfatta θ = π/ é la sola soluzione stabile. Calcoliamo l equazione dell orbita usando la relazione du dϕ = cos θ sin θ 3 θ ϕ = cos θ θ p ϕ

4 con u = 1/ sin θ. Ne segue E = u p ϕ u 1) ) du + p ϕ dϕ u + k u ovvero E 1 1u ) = p ϕ ) du + p ϕ dϕ u 1) + k 1 u 1 ) u 4 Abbiamo infine con E = E + p ϕ /. p ϕ ) ) du + p ϕ k 1 dϕ u + + E u k u 4 = E Problema 3 Si consideri un sistema meccanico formato da due aste omogenee di lunghezza l e massa m. La prima asta é incernierata con i due estremi su una circonferenza verticale di raggio R > l e ruota lungo la circonferenza, mentre la seconda asta ha un estremo vincolato al centro di massa della prima asta ed é libero di oscillare nel piano verticale. a) Scrivere la Lagrangiana del sistema; b) Determinare le posizioni di equilibrio stabili: c) Scrivere l equazione per le frequenze delle piccole oscillazioni. Il momento d inerzia di un asta per l asse passante per il centro di massa é I = ml /3 quindi calcoliamo l energia cinetica delle aste utilizzando il teorema di König: per la prima asta sia h = R l la distanza del CM dal centro del disco della prima asta abbiamo T 1 = mh θ + ml 6 θ per la seconda asta il centro di massa ha coordinate x = h sin θ + l sin ϕ y = h cos θ l cos ϕ da cui T = mh θ + ml ϕ + mhl cosθ ϕ) ϕ θ + ml 6 ϕ 4

5 La Langrangiana del sistema é L = m ) h + l θ + mhl cosθ ϕ) 3 ϕ θ + m ) 4 3 l ϕ + mgh cos θ + mgl cos ϕ La posizione di equilibrio stabile é θ = ϕ = 0 e la Langrangian delle piccole oscillazione si scrive L po = m ) h + l θ + mhl 3 ϕ θ + m ) 4 3 l ϕ mgh θ ϕ mgl e le frequenze delle piccole oscillazioni soddisfano a ) ω Det h + l /3) gh ω hl ω hl ω 4l = 0 /3 gl Problema 4 Si consideri un sistema meccanico Hamiltoniano nella forma H = ω p + q ) + q p + q Scrivere l Hamiltoniano usando le variabili azione-angolo θ, I) per il rotatore. Data la funzione generatrice del II tipo F θ, J) = Jθ + fθ) per una trasformazione canonica T : θ, I) ϕ, J) calcolare la funzione periodica fθ) per ridurre l Hamiltoniano alla forma integrabile HJ) = ωj Le variabili azione-angolo sono q = I sin θ p = I cos θ e la funzione di Hamilton nelle nuove variabili si scrive Hθ, I) = ωi + sin θ 5

6 Applicando la trasfotmazione canonica si ottiene per l equazione di Hamilton-Jacobi si ottiene ω J + df ) + sin θ = ωj dθ da cui deve essere soddisfatta l equazione ω df dθ = sin θ+ < sin θ > in quanto possiamo sempre aggiungere una costante nella funzione di Hamilton: ovvero fθ) = 1 ω θ cosθ)dθ = 1 ω sinθ) 6