Analisi sistematica delle strutture. Rigidezza

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1 Anls sstemt elle strutture Rgezz u U x

2 y v Trve nel pno v Vettore forze nol Vettore spostment nol θ u θ u U u V v Tre gr lertà per noo Due no per elemento x U θ u Se gr lertà per elemento V v tre rgezz elemento: 6 x 6 θ Trve nel pno mtre rgezz vene prm lolt n un sstem rfermento lole e po ruott nel sstem rfermento glole. T [ ] [ ] [ ] [ ] y y x α [] mtre rgezz nel sstem glole [ ] mtre rgezz nel sstem lole [] mtre rotzone x

3 Component ssl A re ell sezone u U U lunghezz E oulo Young Imponeno lo spostmento nole u, mnteneno vnolt tutt gl ltr gr lertà ell elemento, s generno le forze nol U e U : U u U u Component ssl A re ell sezone U U u lunghezz E oulo Young Imponeno lo spostmento nole u, mnteneno vnolt tutt gl ltr gr lertà ell elemento, s generno le forze nol U e U : U u U u In moo nlogo s possono legre U e U u J : U u U u relzone tr forze e spostment nol ell elemento può essere srtt n form mtrle U U u u

4 Component ssl u U U A re ell sezone lunghezz E oulo Young mtre rgezz ell elemento trve, nel pno, h menson 6x6. U V u v Convene qun espnere l mtre reltv lle sole omponent ssl, he è un x, n un mtre 6x6. I oeffent non efnt sono per l momento null. U V θ u v θ Component flessonl S onser un trve nstrt un estremo e ler ll ltro. Convenzone per moment e rotzon: postv se ntorr θ V v ove: lunghezz J omento nerz ell sezone E oulo Young Applno ll estremo lero un forz V, normle ll sse ell trve, s otterrà uno spostmento v, to ll not relzone: e un rotzone θ, t ll relzone: V v EJ V ϑ EJ

5 Component flessonl S onser un trve nstrt un estremo e ler ll ltro. Convenzone per moment e rotzon: postv se ntorr θ v ove: lunghezz J omento nerz ell sezone E oulo Young Applno ll estremo lero un forz V, normle ll sse ell trve, s otterrà uno spostmento v, to ll not relzone: e un rotzone θ, t ll relzone: Applno nvee un momento, vlor ello spostmento v e ell rotzone θ sono lolt lle relzon: V v EJ V ϑ EJ v EJ ϑ EJ Component flessonl S onser un trve nstrt un estremo e ler ll ltro. Convenzone per moment e rotzon: postv se ntorr V θ v ove: lunghezz J omento nerz ell sezone E oulo Young Applno ll estremo lero s l forz V he l momento s ottengono lo spostmento v e l rotzone θ V v EJ EJ V ϑ EJ EJ 5

6 S onser l elemento trve ompreso tr no e Component flessonl v V S suppong lsre lero l solo gro lertà v mentre tutt gl ltr sono lot. In prtolre eve essere θ S mpong or uno spostmento vertle nel noo o spostmento vertle v è legto ll forz V e l momento ll relzone: Per ongruenz on vnol eve essere: ϑ V EJ EJ V EJ ϑ EJ V v EJ EJ V V V v EJ Per lolre l oeffente rgezz è neessro esprmere l forz V n funzone ello spostmento v EJ V v V v EJ S onser l elemento trve ompreso tr no e Component flessonl v V S suppong lsre lero l solo gro lertà v mentre tutt gl ltr sono lot. In prtolre eve essere θ S mpong or uno spostmento vertle nel noo o spostmento vertle v è legto ll forz V e l momento ll relzone: Per ongruenz on vnol eve essere: ϑ V EJ EJ V EJ ϑ EJ V v EJ V EJ v EJ Per lolre l oeffente he leg v st esprmere versmente l relzone he leg v V e : v v 6

7 Component flessonl S onser l elemento trve ompreso tr no e θ V S suppong or lsre lero l solo gro lertà θ. In prtolre eve essere v S mpong or un rotzone nel noo rotzone θ è legt ll forz V e l momento ll relzone: Per ongruenz on vnol eve essere: V v EJ EJ V EJ V ϑ EJ v EJ EJ V ϑ EJ Anhe n questo so è neessro esprmere l momento n funzone ell rotzone θ ϑ ϑ Component flessonl S onser l elemento trve ompreso tr no e θ V S suppong or lsre lero l solo gro lertà θ. In prtolre eve essere v S mpong or un rotzone nel noo A questo punto l oeffente he leg V θ può essere flmente lolto: rotzone θ è legt ll forz V e l momento ll relzone: Per ongruenz on vnol eve essere: V v EJ EJ V EJ V ϑ EJ v EJ EJ V V V ϑ EJ EJ V V ϑ V ϑ 7

8 Component flessonl V v I oeffent lolt per l noo, reltv gr lertà v e θ, possono essere espress n form mtrle: θ V V EJ v θ Component flessonl Per l noo s proee n moo nlogo, meno el verso segno e moment e elle rotzon: Operno ome nel so preeente s gunge ll seguente relzone mtrle: V θ EJ V v v θ Convenzone per moment e rotzon: postv se ntorr In questo so, pplno ll estremo lero s l forz V he l momento s ottengono le seguent relzon per lo spostmento v e l rotzone θ: V v EJ EJ V ϑ EJ EJ 8

9 Component flessonl v V forz e l momento reltv l noo e penent llo spostmento e ll rotzone el noo possono essere lolt utlzzno le equzon equlro: V V V V V θ V u s rv mmetmente he: V EJ v ϑ Dll equlro e moment s ottene: V V EJ v EJ ϑ v ϑ v ϑ Component flessonl v V Qun oeffent lolt per l noo, reltv gr lertà v e θ, possono essere espress n form mtrle: θ V V EJ EJ v θ In moo el tutto smle s lolno gl ultm quttro oeffent ell mtre rgezz: V EJ EJ v θ 9

10 Component flessonl I oeffent rgezz flessonl possono qun essere rppresentt n un mtre x ome segue V EJ EJ v EJ θ V EJ EJ v EJ θ Or sono not tutt oeffent rgezz ell elemento e può essere srtt l nter mtre rgezz ell elemento lunghezz A re ell sezone J omento nerz ell sezone E oulo Young U u V EJ EJ v U EJ θ u V EJ EJ v EJ θ

11 mtre rgezz ottenut è srtt nel sstem rfermento lole. Per lolre l mtre nel sstem glole è neessro esegure l prootto mtrle: T [ ] [ ] [ ] [ ] Dove [] è l mtre rotzone, he può essere srtt n funzone ell ngolo α he pene lle oornte nol ell elemento, srtte nel sstem glole. y y y x α r tn x x y y α y x x x mtre rotzone [] srtt nel pno, per ue gr lertà trslzone e uno rotzone, h l form: trspost s rv molto semplemente smno le rghe on le olonne: [ ] T [ ] osα senα senα osα osα senα senα osα osα senα senα osα osα senα senα osα

12 Il prmo prootto mtrle: Arevzon: [ ] [ ] osα s senα osα senα senα osα osα senα senα osα EJ EJ EJ EJ EJ EJ s EJs EJ s EJs s s EJ s s EJs EJ s s EJ EJs EJ EJ [ ] [ ] T [ ] [ ] Il seono prootto mtrle: Arevzon: osα s senα EJs s EJ s 6 EJ EJs s s EJ s 6 EJ EJ s 6 EJ EJ EJs 6 EJs EJs s EJ 6 EJ EJ 6 EJ 6 EJ EJ 6 EJ J A s J A s s J A s J A s s osα senα senα osα osα senα senα osα E J A J s As s J J A A s s J J A s As J J J A s As 6 J s J s A s J A s J A s J As J s s J s J

13 Quest è unque l mtre rgezz 6 x 6 un elemento trve nel pno. Per lolrl è neessro onosere l rtterst elst el mterle e t geometr ell elemento: lunghezz A re ell sezone J omento nerz ell sezone E oulo Young y y α r tn x x 5 6 J A s J A s s J A s J A s s J A J s As J J J A s As 6 E s J A s J A s J s s J A s J A s J s J A s J As J A s J As 5 s J s J 6 Per l lolo è utle omplre un tell e oeffent: EJ s EJ s s s s EJ EJ s EJ s EJ s 5 EJ s s 6 EJ s EJ 5 s EJ s 6 EJ s Gl ltr oeffent sono efnt ll smmetr ell mtre: 56

14 F Esempo lolo s H 5 H A H ( H s) ( Hs s ) F y smmetr x H ( H s) J Connesson egl element El Coornte nol N x y Dlle onnesson egl element, lle oornte nol e lle rttersthe elsthe e geometrhe ogn elemento s rvno le quttro mtr rgezz 6 x El N x y

15 El e mtr egl element evono essere ssemlte nell mtre rgezz ell struttur, he veno no per g..l. per noo h menson x no g..l U V U V 5 6 u v θ u v θ U V u v θ U V u v θ El e mtr egl element evono essere ssemlte nell mtre rgezz ell struttur, he veno no per g..l. per noo h menson x no g..l U V U V u v θ u v θ U u V v θ U u V v θ 5

16 e mtr egl element evono essere ssemlte nell mtre rgezz ell struttur, he veno no per g..l. per noo h menson x El e mtr egl element evono essere ssemlte nell mtre rgezz ell struttur, he veno no per g..l. per noo h menson x 5 6 El

17 v v θ u Gr lertà non vnolt: v u v θ Gr lertà vnolt: u θ u v θ u v θ U V 5 6 u v θ U u V 5 5 v 6 6 θ U 7 u V 8 v 9 θ U u V v θ 7

18 Il sstem rsolutvo è osttuto equzon on nognte V v u v 5 6ϑ ( ) u ( 5 ) v ( 6 ) U v ϑ ( 5 ) u ( 55 ) v ( 56 ) V v 5 ϑ ( 6 ) u ( 65 ) v ( 66 ) v 6 ϑ Il sstem rsolutvo è osttuto equzon on nognte F v u v 5 6ϑ ( ) u ( 5 ) v ( 6 ) v ϑ 5 ( 5 ) u ( 55 ) v ( 56 ) v ϑ 6 ( 6 ) u ( 65 ) v ( 66 ) v ϑ 8

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