Sistemi di numerazione. Sistema binario, o1ale, esadecimale Rappresentazione delle informazioni

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1 Sistemi di numerazione Sistema binario, o1ale, esadecimale Rappresentazione delle informazioni

2 Informazioni u8li Docente: Carlo Robino Conta1o: Orari ricevimento: da concordarsi

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5 Cominciamo dall abc (senza snobbarlo ) rappresentazione (ed elaborazione) rigorosa (ossia meccanizzabile) dell informazione: Il primo 8po di informazione che si presta ad essere rigorosamente rappresentato è l informazione numerica Numeri rappresenta8 mediante: aste, fagioli, cifre greco- romane cifre decimali (o in altra base) Una prima fondamentale differenza quan8ta8va tra le diverse tecniche di rappresentazione: n aste per rappresentare il numero n (numerazione unaria) log k (n) + 1 cifre per rappresentare il numero n in base k dove x indica il più piccolo numero intero minore o uguale a x.

6 La rappresentazione dell informazione non numerica (Osservazioni preliminari) Informazione testuale (cara1eri) Informazione grafica (pixel, ma anche forme più astra1e) Informazione musicale (digitalizzata o no). Mul8medialità NB: Fondamentale dis8nguere tra rappresentazione dell informazione in forma analogica e digitale: L ele1ronica - e l informa8ca- moderne sono ormai assestate sulle tecniche digitali

7 La macchina da calcolo - in senso lato e astra1o- (cominciando dal basso) L essenza dell informa8ca sta nello scomporre l informazione in pezzi elementari e la sua elaborazione in operazioni elementari: Che cosa più elementare del bit, ossia di due possibili valori dell informazione: {0,1} o {Vero, Falso},? Tu1a l informazione - discreta- può essere scomposta - ossia rappresentata come una opportuna sequenza di 0 e 1 (e quella con8nua può essere approssimata in questa maniera) Una par8colare algebra ( Boole ) perme1e una facile manipolazione dei simboli

8 Primi esempi di rappresentazione di informazioni componendo bit Byte: sequenza di 8 bit: ( , , ,, ). Un byte può rappresentare i numeri naturali da 0 a 255 (= 2 8 1): zero = ; 8 = ; ; 255 = e i numeri interi compresi fra 127 e 127, ossia fra (2 (8 1) - 1) e (2 (8 1) - 1) (primo bit = 0: numero positivo, primo bit = 1: numero negativo; 0 = e 0 = (nel seguito vedremo una rappresentazione più efficace) I numeri reali: numeri razionali contenenti una parte intera e una frazionaria che approssimano il numero reale con precisione arbitraria. Notazione in virgola fissa: si codificano separatamente la parte intera e la parte frazionaria: ad esempio: ( in base due): primo byte (rappresentazione dell intero 8) = secondo byte (rappresentazione della parte frazionaria 0.345) = (anche qui vedremo ulteriori rappresentazioni in seguito)

9 Codifica ASCII I caratteri ASCII (American Standard Code for Information Interchange): sette bit usati per rappresentare 128 caratteri (ottavo per controllo). a ogni lettera (le maiuscole da A a Z, le minuscole da a a z), cifra (da 0 a 9) o separatore (usato per la punteggiatura o come operatore aritmetico) viene assegnato un numero naturale rappresentabile in forma binaria. Ad esempio A viene codificata in ASCII come numero 65 e la sua forma binaria è ; il separatore ; viene codificato come 59 e la sua forma binaria è NB: la stessa stringa di bit ha diversi significati, a seconda del tipo di informazione rappresentata!

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11 Sistemi di numerazione Numerazione decimale: base=10 Conteggio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 à 0 con riporto

12 Rappresentazione di numeri interi Si sceglie una base b. Si scelgono b simboli che rappresentano i numeri da 0 a b- 1 (cifre). I numeri sono rappresenta8 dai coefficien8 del polinomio per le potenze della base Indichiamo la base del sistema di numerazione con il pedice N b = A s A s- 1 A 1 A 0 0 A i b - 1 Valore N b = A s b s + A s- 1 b s A 1 b 1 + A 0 b 0 La rappresentazione è posizionale poiché il peso associato alla generica cifra A i dipende dalla posizione di A i

13 Sistemi di numerazione Numerazione binaria: base=2 Conteggio: 0, 1 à 0 riporto 10, 11 à 0 riporto 100, Corrispondenza binario- decimale

14 Sistemi di numerazione Numerazione binaria: base 2. Simboli usa8: 0, = = =698 10

15 Sistemi di numerazione: o1ale Numerazione o1ale: base 8 Simboli usa8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Esempio: = = = = =

16 Sistemi di numerazione: esadecimale La base 16 è molto usata in campo informa8co Cifre: A B C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è Esempio: (3A2F) 16 = 3X X X X16 0 = 3X X X = (14895) 10

17 Sistemi di numerazione: esempi Base 2 Base 8

18 Sistemi di numerazione: esempi Base 16

19 Sistemi di numerazione: esempi b = 10, N = N = b = 2, N = N = = = b = 8, N = N = = = b = 16, N = AB9E 16 N = = =

20 Esercizi = = F52 16 =

21 Esercizi = = = = F52 16 =

22 Esercizi = = = = = = F52 16 =

23 Esercizi = = = = = = F52 16 = =

24 Conversione di base Per la parte intera: Dato un numero in una base A, si vuole rappresentarlo in base B, cioè: N A = N B = x 0 + B (x 1 + B ( B x s ) ) Se dividiamo N A per la nuova base B, o1eniamo un quoziente N 1 ed un resto R. Uguagliando: N A = R + B N 1 = x 0 + B (x 1 + B (x 2 + ) ) da cui: x 0 = R (x 1 + B (x 2 + ) ) = N 1 Iterando il procedimento con N 1 al posto di N A, si o1engono tur i coefficien8 del polinomio nelle potenze di B, cioè la codifica di N A nella nuova base, e quindi N B

25 Conversione di base: numeri frazionari N b = 0, A - 1 A - 2 A - 3 A - 4 A - 5 Valore N b = A - 1 b A - 2 b A - 3 b A - 4 b A - 5 b - 5 In generale: Q b = A s A s- 1 A 1 A 0, A - 1 A - 2 A - 3 A - R 0 A i b - 1 Valore Q b = A s b s + A s- 1 b s A 1 b 1 + A 0 b A - 1 b A - 2 b A - 3 b A - R b - R Esempi: b = 10, N = 325,23 10 N = b = 2, N = 101,01 2 N = = ,25 = 5,25 10

26 Conversione di base Per la parte frazionaria: Dato un numero in una base A, si vuole rappresentarlo in base B, cioè: F A = F B = B - 1 (x B - 1 (x B - 1 ( B - 1x- r ) )) Se mol8plichiamo F A per la nuova base B, o1eniamo una parte intera I ed una parte frazionaria F 1. Uguagliando: F A B = I + F 1 da cui: x - 1 = I B - 1 (x B - 1 ( B - 1x- r ) ) = F 1 Iterando il procedimento con F 1 al posto di F A, si o1engono i coefficien8 del polinomio nelle potenze di B, cioè la codifica di F A nella nuova base, e quindi F B. Il procedimento termina quando F l = 0, oppure quando si è raggiunta la precisione desiderata (errore < B - r se ci si ferma al termine x - r )

27 In modo più semplice Il metodo si applica qualsiasi sia base nella quale si intende rappresentare il numero. Per la parte intera del numero si applica una serie di divisioni successive Per la parte frazionaria di si applica una serie di mol8plicazioni successive:

28 Da decimale a binario: numeri interi Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad o1enere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i res8 delle divisioni; la cifra più significa8va è l ul8mo resto

29 Da decimale a binario: numeri razionali Si mol8plica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad o1enere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le par8 intere dei prodor successivi; la cifra più significa8va è la parte intera del risultato della prima mol8plicazione

30 Conversione di base: numeri interi

31 Conversione di base: numeri frazionari

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