Calcolatori: Sistemi di Numerazione

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1 Calcolatori: Sistemi di Numerazione

2 Sistemi di Numerazione: introduzione In un Calcolatore, i Dati e le Istruzioni di un Programma sono codificate in forma inaria, ossia in una sequenza finita di e. Un Calcolatore può trattare diversi tipi di Dati: numeri (interi, frazionari, reali), testi, immagini, suoni Tutti questi tipi di Dati devono essere trasformati in sequenze inarie per poter essere elaorati, sequenze che rappresentano numeri inari

3 Sistemi di Numerazione Posizionali () Cosa intendiamo quando ad esempio scriviamo: duemilionitrecentoquarantacinquemilacinquecentosessantaquattro? Questo si ottiene come: duemilioni + trecentomila + quarantamila + + sessanta + quattro Ogni cifra viene moltiplicata per un peso associato alla sua posizione (da destra a sinistra i pesi sono,,,,..., ) e il totale si ottiene sommando i numeri ottenuti: * + 3* + 4* + + 6* + 4* 3

4 Sistemi di Numerazione Posizionali () Criterio per la rappresentazione di un insieme infinito di numeri mediante un insieme limitato di simoli. Un sistema di numerazione posizionale è costituito da: ) Una ase (es: ); ) Un insieme ordinato di cifre (es:,,,3,4,5,6,7,8,9); 3) Un codice di interpretazione (interpretazione posizionale); 4) Un insieme di algoritmi per le 4 operazioni aritmetiche fondamentali. 4

5 Sistemi di Numerazione in Base () Il codice di interpretazione specifica che ad ogni posizione è associato un peso; Ogni cifra associata ad una posizione indica il numero delle volte che deve essere considerato il peso corrispondente a quella posizione; Sistema di numerazione in ase : sistema di numerazione posizionale la cui ase per i pesi è ; ovvero: sistema di numerazione posizionale in cui i pesi sono espressi come potenze della ase. 5

6 Sistemi di Numerazione in Base () Numero in ase : Numero rappresentato utilizzando il sistema di numerazione in ase ed una sequenza di cifre del tipo: (c n- c n- c.c - c -m ) ; Il simolo. (punto di separazione) separa la parte intera da quella frazionaria; c ha peso c c

7 Forma Polinomia Vale la relazione (conseguenza della definizione di numero in ase ): (c n- c n- c.c - c -m ) c n- n- +c n- n- + +c + c - - c -m -m Tale somma di prodotti è detta Forma Polinomia 7

8 Sistema di Numerazione Base ( ): in Base Cifre c i {,,, 9} Esempio: (7.3)

9 Sistema di Numerazione in Base Base ( ): Cifre c i {,} Esempio: (.) (5.5) Conseguenza: La forma polinomia rappresenta l algoritmo di conversione inario decimale; In generale: Forma Polinomia sistema in ase sistema decimale 9

10 Algoritmi di Conversione Decimale Base Si distinguono due casi: Numeri interi (Algoritmo delle Divisioni Successive); Numeri frazionari (Algoritmo delle Moltiplicazioni Successive); In caso di numeri reali con parte intera e frazionaria i due algoritmi vengono applicati separatamente e cominati i risultati.

11 Metodo delle Divisioni Successive () Dato (N) N determinare la successione di cifre inarie (quindi ) c n- c n- c tale che: N c n- n- +c n- n- + +c Dividendo per entrami i memri: Essendo N Q+R N/ Q+R/ (R o ) Si ha: N/ Q + R/ c n- n- +c n- n-3 + +c + c - Q R/ Quindi R c ovvero c è il resto della divisione di (N) per.

12 Metodo delle Divisioni Successive () Q c n- n- +c n- n-3 + +c Dividendo per entrami i memri: Essendo Q Q +R Q/ Q +R / (R o ) Si ha: Q/ Q + R / c n- n-3 +c n- n-4 + +c + c - Q R / Quindi R c ovvero c è il resto della divisione di (Q) per.

13 Metodo delle Divisioni Successive (3) I coefficienti della forma polinomia in ase di (N) intero, sono rappresentati dai resti delle divisioni successive di (N) per. L algoritmo termina quando si ottiene un quoziente uguale a zero. 3

14 Metodo delle Divisioni Successive (es.) (N) 3 N/ 3/ Q 6 R c Q/ 6/ Q 3 R c Q/ 3/ Q R c Q/ / Q R c 3 (N) 3 (N) () (N) () (N) ( ) (3) 4

15 Metodo delle Moltiplicazioni Successive () Dato (F), parte frazionaria di un numero reale, determinare la successione di cifre inarie () c - c - c -m tale che: F c + c +... c + Moltiplicando entrami i memri per : F c { Parte Intera m m+ + c cm P M Parte Frazionaria m P+ M P c -, ovvero la parte intera del prodotto F rappresenta la cifra inaria di (F) immediatamente successiva al punto 5

16 Metodo delle Moltiplicazioni Successive () M c... m+ + c3 + + cm Moltiplicando entrami i memri per : M m+ c... ' { + c3 + + cm P+ M P' M ' ' P c - ovvero la parte intera del prodotto M rappresenta la seconda cifra inaria di (F) immediatamente successiva al punto. 6

17 Metodo delle Moltiplicazioni Successive (3) I coefficienti della forma polinomia in ase di (F) frazionario, sono rappresentati dalle parti intere delle moltiplicazioni successive di (F) per L algoritmo termina: quando si ottiene una parte frazionaria (M) uguale a zero (rappresentazione esatta); Oppure: - dando un numero massimo di moltiplicazioni da eseguire (n massimo di cifre inarie da calcolare) (approssimazione per difetto) Per un approssimazione migliore occorre iterare ulteriormente il procedimento con nuove moltiplicazioni. 7

18 Metodo delle Moltiplicazioni Successive (es. ) ( F).3 M.3.6 M.6.4 P M. 3 P c M. 6 P c M. 4 M.4.48 P c 3 M. 48 M c 4 M.96.9 c 5 ( F).3 ( F) ) P M. 96 P M. 9 (. Approx per difetto 5 ( F) (.) ( F)

19 Metodo delle Moltiplicazioni Successive (es. ) ( F). M. M M.8.6 c 3 P M. P c M. 4 P c M. 8 P M. 6 M.6. P c 4 M. M..4 c 5 P M. 4 Si presenta un ciclo infinito (numero frazionario periodico), è necessario specificare il numero di cifre inarie che vogliamo rappresentare affinché l Algoritmo termini. 9

20 Relazioni decimale-inario () Qual è il numero massimo in ase rappresentaile con n cifre inarie? Tale valore si ottiene dalla forma polinomia su n cifre, ponendo tutti i c : n n n n n ) (... Esempio: se n7, allora posso rappresentare tutti i numeri interi da a 7.

21 Relazioni decimale-inario () Dato (N) intero qual è il numero n di cifre inarie necessarie per la corrispondente rappresentazione inaria? n È il più piccolo n tale che: essendo n - il massimo valore rappresentaile con n cifre inarie, ed essendo n- - < per definizione di n: n + n log ( + ) n log( + ) Esempi: se N 54, si ha 5 3 e 6 64, quindi n 6, se N 89, si ha 48 e 496, quindi n.

22 Somma e sottrazione in ase () Regole per la somma Regole per la sottrazione Riporto Prestito

23 Somma e sottrazione in ase () Esempio di somma: + 3

24 Somma e sottrazione in ase (3) Esempio di sottrazione: - 4

25 Moltiplicazione e divisione in ase Regole per la moltiplicazione Divisione: La divisione inaria è calcolata in maniera analoga alla divisione decimale. 5

26 Sistemi di numerazione in ase 8 e 6 Sistema ottale (ase 8):,...,7 cifre: c i { } es. forma polinomia:( ) Sistema esadecimale (ase 6): cifre: {,...,9, A, B, C, D, E F} c i, es. forma polinomia: ( D3. B) Le regole per le operazioni fondamentali sono analoghe a quelle inarie 6

27 Conversione Binario-Ottale () In generale, non è possiile convertire direttamente un numero in ase in un numero in ase, a meno che, ovviamente, una delle due asi non sia la ase. Bisogna prima passare dalla ase alla ase (attraverso la forma polinomia), e poi passare dalla ase alla ase (attraverso il metodo delle divisioni successive e/o delle moltiplicazioni successive). Ci sono però dei casi in cui la conversione diretta è possiile. 7

28 Conversione Binario-Ottale () Osservazione: se c i {, } c + c + c 7 Al variare di c c c in {,}, il trinomio precedente rappresenta una cifra d i {,,, 7}, ovvero una cifra del sistema di numerazione in ase 8. 8

29 Conversione Binario-Ottale (3) cifra Ottale numero Binario

30 Conversione Binario-Ottale (4) Conversione Binario Ottale: Si raggruppano le cifre inarie a gruppi di tre da destra verso sinistra per la parte intera, da sinistra verso destra per la parte frazionaria. Si aggiungono se necessario a sinistra (per la parte intera) e a destra (per la parte frazionaria) del numero. Si sostituisce ogni gruppo di tre cifre inarie con la corrispondente cifra ottale. Esempio: (.) (. ) (3.44) 8 Conversione Ottale Binario Si sostituisce ogni cifra ottale con il corrispondente gruppo di tre cifre inarie. 3

31 Conversione Binario-Esadecimale () Osservazione: se c i {, } 3 c3 + c + c + c F 5 Al variare di c 3 c c c in {,} il quadrinomio precedente rappresenta una cifra d i {,,, 9,A, F} del sistema di numerazione in ase 6; Si procede analogamente alla conversione inario-ottale, raggruppando le cifre inarie a gruppi di 4; Tali gruppi si convertono nella corrispondente cifra esadecimale. 3

32 Conversione Binario-Esadecimale () cifra Esadecimale numero Binario A B C D E F 3

33 Esempi di Conversione Binario-Ottale Binario-Esadecimale Binario - Ottale (.) (. ) (5.) 8 Binario - Esadecimale (.) D (. ) (.4) 6 NOTA: In generale la conversione diretta da un numero in ase ad un numero in ase è possiile tutte le volte che vale la seguente proprietà: t.c. se > oppure se > Dove indica il numero di cifre che compongono i gruppi. 33

34 Il Complemento a Definizione: Dato N > N rappresentato in ase su cifre si definisce complemento a di N il numero C (N) in ase tale che: + C ( ) C ( ) Es: C ( 68) su cifre Osservazione: ( 3... ), cifre Infatti la forma polinomia di in ase è: da cui: ( 3... ), 34 cifre

35 Il Complemento a - Definizione: Dato N N rappresentato in ase su cifre si definisce complemento a - di N il numero C - (N) in ase tale che: + C ( ) Es: C ( 68) su cifre Osservazione: (( 4 44 )( 4 )...( 44 3 )), cifre Infatti: ( ( ( ( )... )... )...( )) 35

36 Proprietà del Complemento. Dalla definizione di complemento si ha: N, C( N) C ( N) +. C C ( N)) N ( C ( C ( N)) N Importante: Durante le sottrazioni per il calcolo del complemento a - non si effettuano operazioni di prestito. Esempio: C - C 9 (356) ( 4 - )

37 Complemento a Es. di complemento a su 4 cifre: C (( ) ) ( ) ( ) Regola pratica per il calcolo del complemento a (vale quindi se la ase è ):. Inversione di tutte le cifre ( ). 37

38 Complemento a Es. di complemento a su 4 cifre: C (( ) ) 3 ( ) ( 4 ) Regole pratiche per il calcolo del complemento a : Regola (a):. Copia delle cifre a partire da quella più a destra fino al primo incluso;. Inversione delle cifre rimanenti ( ). Regola ():. Inversione di tutte le cifre ( ) e somma di. 38

39 Complemento a Esempio: Calcoliamo C () secondo le regole appena viste, Regola (a): C() (inversione)(copia) Regola (): C() (inversione) + Nota: la regola () è equivalente a considerare la proprietà C (N) C - (N) + 39

40 4 Teorema del Complemento Hp) X, Y rappresentati su cifre; X Y Ts) cifre su ) ( Y C X Y X + Calcolo la differenza tra X e Y eseguendo la somma tra X e C (Y) e scartando la cifra più significativa del risultato ( ). Dimostrazione: Y Y C Y C X Y X Y X + + ) ( ) ( c c c Y C X c c c Y C X... ) ( ) ( cifre su + + Quindi: 3 cifre... ) ( X ) ( Y C Y C Y Y X + + Nota: la cifra a sinistra di c - è un riporto, quindi sarà

41 Sottrazioni nelle ipotesi del Teorema Complemento. Completare se necessario il minuendo e/o il sottraendo con lo stesso numero di cifre () aggiungendo zeri a sinistra;. Calcolare il complemento a del sottraendo; 3. Calcolare X+C (Y); 4. Si considerano le prime cifre della somma (equivalente a sottrarre al risultato). Esempi: In ase su cifre C( 5) In ase su 4 cifre ( ) ( ) ( ) + C ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) su cifre ( ) 7 su 4 cifre ( ) 4